第三节 三重积分的概念及性质

(k 为常数)．
性质 2
[ f ( x, y, z) g ( x, y, z)]d v f ( x, y, z) d v g ( x, y, z) d v.

性质 3 如果闭区域 划分为两个闭区域1与 2 ，则
f ( x, y, z) d v f ( x, y, z) d v f ( x, y, z) d v
1
(A) I1 0
(C) I1 2 I 2
(B) I 2 0
(D) I1 4 I 2
解
I1 xy 2 dv zdv,

0 4 zdv 4 xdv
1
1
答案为Ｃ．
例２ 设 t : x y z t (t 0) 函数f ( x, y, z )在
f ( x, y, z) d v f ( y, x, z) d v

例1 设 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 1 为 位于第一卦象内部分，
I1 ( xy 2 z )dv, I 2 xdv, 则（ ）．
质量可表示为
( x, y, z) d v．

三重积分的存在性： 当函数 f (x，y，z) 在闭区域 上连续时，函数 f(x，y，z) 在
上的三重积分是存在的，以后也总假定 f(x，y，z) 在闭区域 上是连续的．
二、三重积分的性质
性质 1
kf ( x, y, z) d v k f ( x, y, z) d v
f(x ，h ，z ) v f(x，y，z)dv lim l

0
i i i
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
n
i
．


积分号，
被积函数， 被积表达式，
f(x，y，z) f(x，y，z)dv
dv
x，y，z
体积元素，
积分变量， 积分区域，

f(x ，h ，z ) v
i i i
i 1
n
i
积分和．
三重积分的物理意义 若物体占有空间区域 ，且体密度函数为 ( x, y, z ), 则该物体的
上至少存在一点 (x ,h , z ) 使得下式成立：
f ( x, y, z) d v f (x ,h, z )V

有关三重积分的对称性应用 设 为空间有界比区域，f (x, y, z)在 上连续. (1) 如果 关于xOy(或xOz或yOz) 对称，且f (x, y, z)关于z(或y 或x)为奇函数，则
1 2
性质 4
d v V

（Ｖ为区域 的体积）．
性质 5
如果在 上，f ( x, y, z) g ( x, y, z) ，则有不等式
f ( x, y, z) d v g ( x, y, z) d v

特殊地有
f ( x, y, z) d v
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时， 这和的极限总 存在， 则称此极限为函数f (x，y，z)在闭区域 上的三重积分，
记作 f(x，y，z)dv ， 即

f(x ，h ，z ) v f(x，y，z)dv lim l

0
i i i
i 1
n
i
．
三重积分中的有关术语：
第三节 三重积分的概念与性质
一、三重积分的定义
二、三重积分的性质
一、三重积分的定义
设f (x，y，z)是空间有界闭区域 上的有界函数．将 任意 分成 n 个小闭区域 v1，v2，· · · ，vn 其中vi表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积．在每个vi上任 取一点(xi，hi，zi)，作乘积f(x i，h i，z i) vi（i1，2，· · · ，n)并 作和 n f(xi，hi，zi) vi．
f ( x, y, z) d v 0.

(2) 如果
某一侧部分，且f (x, y, z)关于z(或y或x)为偶函数，则
关于xOy(或xOz或yOz) 对称，1 为 在相应的坐标面
f ( x, y, z ) d v 2 f ( x, y, z ) d v
1
(3) 如果 与 关于平面y = x对称，则

f ( x, y, z ) d v
性质 6 设M、m 分别是f(x,y,z)在闭区域 上的最大值和最小值， V为 的体积，则有
mV f ( x, y, z ) d v MV

性质7 （积分中值定理） 设函数f(x, y, z)在闭区域 上连续，V为 的体积，则在
2 2 2 2
f ( x, y, z)dv
点( 0, 0, 0 )的某个邻域内连续，求 lim
t 0 t
t
3
.
解 由积分中值定理可知 (xt ,ht , z t ) t 使得

t 0
lim
t
3 4 t f ( x, y, z )dv f (xt ,ht , z t ) 4 3 f (0, 0, 0) lim 3 3 t 0 3 t t