电路分析基础第五版第10章

§10-2 含有耦合电感电路的计算 一、网络方程法
U 1 jL1 I 1 jM I 2 U 2 jL2 I 2 jM I 1




I1

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jM
I2

+
U1

jL1


+

jL2 U 2
首先写出耦合电感元件的端口电压电流关 系的相量方程，再根据基尔霍夫定律，列写整 个网络相量方程，进而求解计算。
2
(3)异侧并联：异名端分别相联。
I

I
jM
jL2

+
U

+
U

jL1
jL反
L1 L2 M L异 L1 L2 2 M
2
4、含耦合电感三端网络的去耦等效
可用三个电感组成的T形网络来等效。
(1)同名端相接
jM +
jLa + U2

jLc
I1

jL1
+ jL2 I 2
I1

U1
-
U1
jLb
I2

U2

+ -
(2)异名端相接
La=L1-M Lb=M Lc=L2-M
+
jM
I1

La=L1+M Lb= - M Lc=L2+M
jL1
+ jL2 I 2
U1
U2
-
5、可以看作三端网络的耦合电感
I1

jM
I2

I1

jM
I2

+
U1

jL1


+

1
1 f1 ( i1 , i2 ) 2 f 2 ( i1 , i2 )

i1
u1
i2
2

u2
1 (t ) L1i1 (t ) M12 i2 (t )
2 (t ) M 21i1 (t ) L2 i2 (t )
1、自感磁链：线圈本身的电流产生的磁链。
11 (t ) L1i1 (t ) 22 ( t ) L2 i2 ( t )
例：某工厂从电力系统中的某一变电站获得10kV电压 进线，厂车间所需电压为0.4kV，因此需用变压器降压。 设车间的总负荷为1350kVA，其中重要负荷容量为 680kVA。试确定所需变压器的台数和容量。 解： 为了满足对重要负载供电的可靠性要求，一般选 择两台变压器。 任一台变压器单独运行时，要满足60%~70%的负 荷，即
jM
b
a
j ( L1 L2 2 M )
I

b
+
U

L反 L1 L2 2 M
等效电感不能为负值， 因此：L反 0,
1 M ( L1 L2 ) 2

3、并联耦合电感的去耦等效 (1)同侧并联：同名端分别相联。
I

I
jM
jL2
+
U

+
U

jL1
jL同
L1 L2 M L同 L1 L2 2 M
音 频 功 放

n :1

扬声器
理想变压器
uoc 音 频 功 128 放
+
8n 2
工程技术 实践
电力变压器
变压器是电力网中的重要设备，其主要功能是升高 或降低电压，以利于电能的合理输送、分配和使用。 电力网由输电网利配电网组成。输电网主要是将远 离负荷中心的发电厂的大量电能经过变压器升压，通过 高压输电线路送到邻近负载中心的枢纽变电站，同时， 输电网还有联络相邻电力系统和联系相邻变电站的作用， 或向某些容最特大的用户直接供电。输电网的额定电压 通常为220~750kV或更高。配电网可分高压、中压和低 压配电网。高压配电网的电压一般为35~110kV或更高， 中压配电网的电压一般为6~20kV，它们将来自变电站 的电能分配到众多的配电变压器，以及直接供应中等容 量的用户。低压配电网的电压为380/220 V，用于向数 量很大的小用户供电。
2、同名端的应用 判断互感的正负和互感电压的极性。
3、同名端的实验确定法
实验装置如图所示。 把其中一个线圈通过开 关与直流电源相联，另 一线圈与直流电压表 (或电流表) 相联。
K
1
1
2
V
2
电压表的正极与端钮 2 相联，开关K闭合瞬间， 如果直流电压表正偏，则1、2 端为同名端；反之， 则1、2′端为同名端。
思考
变压器是如何实现升压或降压的? 加入变压器对电路有何影响? 根 据实际需要该如何选择不同类型 的变压器、设计变压器电路呢?
变压器
有载调压变压器
小变压器
§10-1 互感 一、互感(耦合电感)元件 是通过磁场联系相互约束的若干电感元件的 集合，是构成耦合电感线圈电路模型的基本元件。 二端口线性互感元件
2
因为 L同 0 所以 L1 L2 M 0
2
M L1 L2
2
同时有：M 1 ( L L ) 可得： Mmax L1 L2 1 2 (2)耦合系数：实际的M 值与 Mmax L1 L2 之比。 M 0≤k≤1 记为k，即 k L1 L2 耦合系数反映了耦合电感的磁通相耦合的程度。 k=1时，互感达到最大值，称为全耦合。 k近于1时，称为紧耦合。 k值较小时(k=0.1～0.3)，称为松耦合。

u1
i1

n :1
i2



u1
i1
n :1
i 2 n
i2
u2
u

1
n
u2
模型符号
等效模型
理想变压器的唯一的参数是变比(匝比)n。
n1 n n2
二、理想变压器的伏安关系 1、时域形式

u1
2、相量形式
i2

i1

n :1


U1

I1

n :1

I2




U2
u2
u1 nu2 1 i1 i 2 n
Zi U1 I1 n2 (




nU 2 I 2/ n



I2

n :1
U1


U2


ZL
U2 I2
) n 2 Z L 输入端等效阻抗与负载阻抗成正
Zi
比，比例常数是变比的平方。
例1、电路如图，试求电压 U 2 解：(1) 用KVL和VCA求解

1 I 1

列KVL方程：

a
U oc

6 j5 Zo j 5 3 j 7.5 2 j 5
6 j10
Zo
(c)
b
60 V
j10 6

a
b
I 1 6 j 5 j 5


60 V
j 5

U oc

a
b
6
(a)
(b)
§10-4 理想变压器 一、理想变压器模型 理想变压器是一个二端口元件。
+
U1

jL2 U 2
La=L1-M Lb=M Lc=L2-M

jL1


+
U2

jL2
jLa +

jLc jLb
I2
jM
+

I1

-
U1
U2

+
I1

jL1
+ jL2 I 2
-
-
U1
U2
-
互感消去法二十四字诀 欲消互感，对照串联，顺串为加， 反串为减，第三支路，符号相反。 例1、电路如图所示， 已知L1=1H、L2=2H、M=0.5H、R1=R2=1k， 正弦电压 us 100 2 cos200t V


i 42.3 2 cos(200t 32.1 ) mA
M 0.5 0.354 35.4% 耦合系数： k L1 L2 1 2
例2、求图示含源单口网络的等效电路。 解：去耦等效为(b)图。
U oc

( 6 j 5) 60 30V (6 j 5) (6 j 5)
2、串联耦合电感的去耦等效



目的是将双口耦合电感等效为单口电感元件。
(1)顺串（异名端相接）
a


jM
+
jL1 jL2 I

b
a
j ( L1 L2 2 M )
I

b
U

+ L顺 L1 L2 2M
U

(2)反串（同名端相接）
a

+
I
jL1 jL2

U

R1 us
试求电流 i 以及耦合系数 k。

M
+
L1
L2

R2
i
解： U s 100 0V Z i R1 R2 j( L1 L2 2 M )
2000 j 200( 3 1) 2000 j 400 2361 .732.1 Us 1000 I 42 . 3 32 . 1 mA Z i 2361.732.1
M12 12 / i2 , M 21 21 / i1 , M12 M 21 M
互感是一个三参数元件。 即：
1
L1、L2、M

i1
u1
i2
2

u2
二、互感元件的VAR
d1 di1 di2 u1 ( t ) dt u11 u21 L1 dt M dt d 2 di1 di2 u2 ( t ) u12 u22 M L2 dt dt dt
1
(a)
2
2
1
(a)
2
1
u1
1

i1
1
2
i2
2
u2 2
(b)

1 i1 + u1 L1
1
M
i2 2

(b)
L2
+ u2
2
相量模型
I1

jM
I2

+
U1

jL1


+

I1

jM
I2

jL2 U 2
+
U1

jL1

+


(b)
jL2 U 2
(a)
二、互感消去法(等效去耦法) 消去互感，变为无互感的电路计算，从而简化 电路的计算。
1、受控源替代去耦法
I1

jM
I2

I1

I2

+
U1

jL1


+

jL2 U 2
+ jL1 U1
jM I 2



jL2
jM I 1

+
U2

U 1 jL1 I 1 jM I 2 U 2 jL2 I 2 jM I 1

1
I1
U 1 Zi



100V

0.5 U1 100 3.330V 1 0.5

(b)
1 U 2 U 1 10 3.330 33.30 V n
例2、扬声器的电阻只有几欧，而音频功率放大器 的输出电阻通常是几千欧，所以将扬声器接到音 频功放时需要接入变压器，以达到最大功率传输 的目的。某音频功放的输出电阻是128，扬声器 的内阻为8，试确定变压器的变比。 解：等效电路如图 根据最大功率获得条件 8n2=128 n=4
2、互感磁链：由相邻线圈的电流产生，与本线 圈相交链的磁场部分。
12 (t ) M12 i2 (t )
21 (t ) M 21i1 (t )
3、自感(系数)：是与时间、电流无关的常数。 L1 11 (t ) / i1 (t ), L2 22 (t ) / i2 (t ) 4、互感(系数)：是与时间、电流无关的常数。
第十章 含有耦合电感的电路 教学目标
深刻理解互感现象，掌握互感现象的数学描 述方法
建立自感电压、互感电压、互感系数、耦合 系数和同名端等概念 掌握含有耦合电感电路的分析计算（等效） 熟练掌握理想变压器的VAR及其相关计算
引例：变压器
变压器是工程上常用的电气设备之一，它既可用 于电力系统的电压变换，也可用于信号处理电路 的信号隔离、藕合和阻抗匹配等。例如，在电力 系统中，发电厂生产的电能通常由三相升压变压 器升压后经输电线远距离传输，再经降压变压器 降压输送到用户端。
相量形式：
1

U 1 jL1 I 1 jM I 2 U 2 jL2 I 2 jM I 1
注意： •互感元件的自感恒为正；




i1
u1
i2
2

u2
•互感元件的互感有正有负，与线圈的具体绕法及 两线圈的相互位置有关。 当每个电感元件中的自感磁链与互感磁链是互相 加强时(自感磁链与互感磁链同向)，互感为正； 反之为负。（说法不同，正确理解）
三、互感元件的同名端
1、定义：两个耦合线圈中的一对端钮，当变化电 流从该对端钮中分别流入两个线圈时，它们产生 的磁链是互相加强的(自感磁链与互感磁链同向)， 称这对端钮为同名端；反之，称为异名端。
标记方法：在同名端的端钮上标记“＊”或 “●”。 1 1 i1 M i2 2 1 i i2 2 1 + + u u1 L1 u1 L2 u2 2
I 1 1 U 1 10 0


100V

U1

a I2




50 U 2
I 2 50 U 2


1 : 10 b
(a)
理想变压器的VAR ：
1 U1 U2 10

I 1 10 I 2



联立方程可解得： U 2 33 .3 0 V
(2) 用阻抗变换求解 1 2 Z i n Z L 2 50 0.5 10 初级等效电路如图(b)
U 1 nU 2 1 I1 I 2 n


注意：伏安关系是与电压、电流的参考方向和同 名端位置相配合的。
3、功率 p(t ) u1i1 u2 i2 0 理想变压器是一个既不贮存能量，也不消耗能量 的理想二端口元件，称为非能元件。 三、理想变压器的阻抗变换性质 输入端等效阻抗 I1