定积分证明题方法总结六

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探讨定积分不等式的证明方法

探讨定积分不等式的证明方法定积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和其他学科中有着广泛的应用。

定积分不等式是对定积分的一种推广和扩展，它可以用来证明数学中的很多重要不等式。

定积分不等式的证明方法有很多种。

下面将介绍其中的几种常见证明方法。

1.利用积分的定义定积分的定义是通过极限来定义的，可以用积分和极限的性质来证明定积分不等式。

一般的证明步骤如下：（1）通过积分的定义，将定积分转化为极限的形式。

（3）利用极限的性质，对被积函数和不等式进行变换和处理，最终得到待证不等式。

2.利用积分的性质和中值定理（1）利用中值定理，将定积分表示为导数的形式。

（3）利用中值定理和被积函数的性质，对待证不等式进行变换和处理，最终得到待证不等式。

3.利用积分的性质和数学归纳法数学归纳法是数学中常用的证明方法之一，可以用来证明定积分不等式。

具体的证明方法如下：（1）利用积分的性质，将待证不等式转化为一系列具有相似性质的子不等式。

（2）对待证不等式的子不等式进行归纳证明，即先证明基本情况，然后假设第n个不等式成立，再通过已知的前n个不等式得到第n+1个不等式。

（3）通过数学归纳法的证明，得到待证不等式。

这种证明方法的优点是简单直接，能够通过归纳证明得到待证不等式，但需要对数学归纳法的性质和待证不等式的子不等式非常熟悉。

除了以上的方法，还可以利用几何意义、特殊函数的性质、不等式的基本性质等进行证明。

不同的证明方法适用于不同的场合和问题，需要根据具体情况选择合适的方法。

综上所述，定积分不等式的证明方法有很多种，可以利用积分的定义、性质和中值定理，数学归纳法等进行证明。

不同的证明方法有不同的优点和适用范围，需要根据具体情况选择合适的方法。

对于定积分不等式的证明方法的深入理解和熟练应用，对于深化对定积分的理解和掌握具有重要意义。

定积分的求解技巧总结

定积分的求解技巧总结定积分是微积分中的重要概念之一，它在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。

在求解定积分的过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，以便快速有效地求解定积分问题。

下面是关于定积分求解技巧的总结。

1. 凑微分法：凑微分是一种常见的定积分求解技巧，它通过巧妙地选择变量代换，将被积函数转化为易于求解的形式。

凑微分法的关键是选择合适的代换变量，使得被积函数中有微分的部分能够与代换变量的微分形式完全匹配。

例如，当被积函数为形如$f(x)g'(x)$的形式时，我们可以选择合适的代换变量，使得$g'(x)$变为某个函数$u$的微分形式$du$，然后利用凑微分法将被积函数变为$udu$的形式，进而方便地求解。

2. 分部积分法：分部积分法是定积分求解中最常用的一种技巧之一。

它通过对被积函数中的某一项进行分部积分，并利用积分的性质将被积函数转化为易于求解的形式。

分部积分法的基本公式为$\\int{u dv} = uv - \\int{v du}$，其中$u$和$v$是可以求导或可积的函数。

通过不断应用该公式，我们可以将被积函数中的一项转化为另一项的积分形式，从而简化求解过程。

3. 换元法：换元法是求解定积分的另一种常用技巧，它通过选择合适的代换变量，将被积函数转化为易于求解的形式。

换元法的关键是选择合适的代换变量和对应的微分形式。

通常情况下，我们选择代换变量$y = f(x)$，然后计算其导数$dy$，将原定积分转化为新的定积分。

选择合适的代换变量是换元法的关键，需要根据被积函数的特点进行选择，以便简化求解过程。

4. 奇偶性：奇偶性是定积分求解中常用的一种简化技巧。

通过判断被积函数的奇偶性，可以将定积分的求解范围缩小一半，从而简化求解过程。

如果被积函数$f(x)$具有奇函数的性质，即$f(-x) = - f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为单侧的定积分。

类似地，如果被积函数$f(x)$具有偶函数的性质，即$f(-x) = f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为两侧定积分的加和。

定积分不等式的证明方法

定积分不等式的证明方法【摘要】高等数学中定积分不等式的证明,难度都比较大,涉及的知识面广泛,计巧性比较强,但又十分的重要。

因而它是学习“高等数学”的重点和难点。

本文介绍了定积分不等式的十二种常用证明方法,加深对定积分不等式证明的理解。

【关键词】分部积分法积分中值定理凹凸性变限积分变量代换法1.利用分部积分法。

析:分部积分证题法就是通过运用分部积分法公式(分部积分法公式:),并结合运用其他方法以达到证明的目的。

例题1:设在上具有非负连续导数,求证对任意的自然数n有不等式因为,故是单调增函数,因而故而:小结:当见到积分不等式证明题时,首先考虑是否可以用分部积分法来简化积分,特别是当含有时,更要慎重。

利用积分中值定理证明例题2:设在上连续,证明:证:由积分中值定理可知:存在使得,然而,即对等式两边取绝对值得:3.利用泰勒公式证明。

析:当题设或者是题断中给出了被积函数二阶或者二阶以上导函数符号时,一般可以采用泰勒公式证明有关积分不等式。

例题3:在上有二次可导,并且,证明:证:将在处展为一阶泰勒公式,注意到,所以有:对上式两边同时求定积分可得:4.利用凹凸性证明。

析:当题中含有或者时,可以考虑是否可以利用图形的凹凸性来证明。

例题4:设在上有二阶导数,并且,证明:证:因为,故是单调增函数,进而可知在上是凹的,因在上,有。

故:对上式两边同时求积分可得:5.利用变限积分证明。

析:利用变限积分证明积分不等式是一种行之有效的方法,特别是在当已知了被积函数导数性质的积分不等式,为了能够借助求导法证明,常常引入变限积分来证明。

例题5:设证明证:先证明左边因为,故而当时有证明右边:引入变限积分,归结证明,事实上再由拉格朗日中值定理可以得到:因,故是单调增函数。

而,故。

因而,于是在上单调增函数,即所以:6.利用二次三项式的判别式的性质证明。

析:在做证明题的时候,对于非负(正)或者恒负(正)的实二次三项式,常常利用其判别式来证明积分不等式例题6:设在上连续,证:且等号仅当或时成立(c为常数)证:令,则:两边同时平方后,在同时对两边求积分,可得显然可知上式右边为一个关于的非负的实二次三项式,其判别式为,即:故:7.利用被积函数所满足的不等式证明。

定积分不等式证明方法

定积分不等式证明方法要证明一个定积分的不等式，通常可以使用下面的方法：1.使用函数的性质：a.利用函数的递增性或递减性：如果能够证明被积函数在积分区间上是递增函数或递减函数，那么可以利用这个性质来证明不等式。

b.利用函数的凸性或凹性：如果被积函数在积分区间上是凸函数或凹函数，那么可以利用这个性质来证明不等式。

c.利用函数的导数性质：如果能够证明被积函数的导数在积分区间上具有一些特定的性质，比如非负或非正，那么可以利用这个性质来证明不等式。

2.使用定积分的性质：a.利用定积分的线性性质：如果能够将被积函数表示为两个或多个可积函数的线性组合，那么可以利用定积分的线性性质来证明不等式。

b.利用定积分与函数极限的关系：如果被积函数是一个收敛函数序列的极限函数，那么可以利用定积分与函数极限的关系来证明不等式。

c.利用平均值定理：如果能够找到一个介于被积函数在积分区间上的最大值和最小值之间的常数函数，那么可以利用平均值定理来证明不等式。

3.使用面积比较法：a.利用图形的几何性质：将被积函数与一个已知函数或图形进行比较，通过比较图形的面积大小来证明不等式。

b.利用图形的对称性：如果能够将积分区间对称分割，或者利用函数的对称性，那么可以利用对称性来证明不等式。

4.使用特殊技巧：a.利用变量替换：通过对积分变量进行适当的代换，可以将原来的不等式转化为更加简单的形式，从而更容易证明。

b.利用积分的可加性：如果被积函数具有可加性的性质，即可以将积分区间分成多个子区间进行求积分，那么可以利用这个性质来证明不等式。

以上是一些常用的定积分不等式证明方法，但并不是穷尽的。

在实际问题中，根据具体的情况可能需要结合多种方法来证明不等式。

最后，需要强调的是，在证明中需要合理运用数学工具和定义、定理，推导过程要严密，逻辑要清晰，以确保证明的正确性和严谨性。

证明定积分等式的几种方法

证明定积分等式的几种方法
虽然定积分只要求求取定积分的值，但是在求取值的时候也需要合理的证明該积分等
式是正确的。

定积分的证明有三种常见的方法：几何图形法、定义域上的极小值和变分法。

1. 几何图形法：这是一种最简单的方法，通过可直观地图像描绘中凸出的几个不同
面积单元来推断积分结果。

几何图形证明是最被广泛使用的方法之一，它特别适用于证明
有生物学或物理意义的积分表达式。

利用几何图形法，对于一种定积分，将它分解为一系
列小面积图形，每一个小面积图形都可以用一个简单的图示来解释和表示。

2. 定义域上的极小值：极值理论也是证明定积分的一种方法，它的证明过程假定特
定的物理模型，而假设物理模型是正确的，通过对物理模型求解出最优解来证明该定积分。

它的本质就是用极值的概念，也就是认为定积分的值是某个变量从设定范围内取得的极值，然后再推出定积分的值。

3. 变分法：变分法是最常用的定积分证明方法之一，它是一种搜索最优解的方法，
是唯一可能找到特定函数的定积分的最佳方法，而且对于非线性的定积分而言，是最有效
的解决方法。

它的证明的方法可以求得某一特定函数的定积分的最优解，通俗地讲就是把
某一特定函数里的不定积分变成一个定积分，这时，定积分的变量就是不定积分的变量，
不定积分的变量就定下来了，然后对它求最值。

总之，证明定积分的几种方法分别是几何图形法、定义域上的极小值和变分法。

它们
原理不同，但都可以有效地证明积分等式的正确性，因此，应该根据具体问题进行灵活选
择最合适的方法来证明定积分。

证明定积分等式的几种方法

证明定积分等式的几种方法
1 定积分的定义
定积分，即定积分（Definite integral），是一个积分形式，
用来表示某个函数在某个区间上的范围积分。

可以看作是定义在一段
区间上的函数的积分，定义为：给定函数f(x)在区间[a,b]上，它的定积分（Definite integral）是这个函数在这个区间上从a到b的积分，记作：
$$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$$
其中$F(x)$为任何一个函数$f(x)$的某一原函数
2 证明定积分等式
定积分等式一般可以用以下四种方法进行证明：
1、可积性法：可积性法证明定积分等式，是指先讨论曲线
$y_1=f(x)$、$y_2=F(x)$的可积性，然后再考虑当曲线$y_1=f(x)$的
可积性和曲线$y_2=F(x)$的可积性满足时，定积分等式的定义。

2、微分法：微分法证明定积分等式，是指利用傅里叶积分定理，
充分利用函数f(x)和它的一阶关于x的导数f'(x)的关系：$$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F'(x)]_a^b=f(b)-f(a)$$
3、减法法：减法法证明定积分等式，是指选取恰当的积分区间和项数，以区间[a,b]中的函数作精确分段积分，让每个小区间的函数的结果差减少，使得获得的结果接近定积分的区间上的积分结果。

4、基本定理法：基本定理法是指将定积分分解为多个小区间上的积分求和，然后凭借定积分基本定理证明把小积分加和为大积分，最后再将大积分加和形成定积分等式。

以上四种方法，可以有效证明定积分等式，具体形式因定积分所求函数而异。

定积分计算方法总结

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型：表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．（3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式．例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。

定积分应用方法总结(经典题型归纳)

定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。

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高等数学之定积分证明题的问题方法总结
定积分的证明题是考研中必考题型，主要涉及到讨论变限积分所定义的函数的极限、导数、奇偶性、周期性、单调性和求被积函数；讨论定积分或变限积分的不等式，或者定积分、变限积分的零点问题。

需要重点掌握定积分的如下性质：
证明某积分不等式，是考研中经常见到的问题，处理这类问题有三种方法：
（1）将要证的某某>0的一边看成变限函数，用微分学的办法证此不等式（例如单调性，最值，拉格朗日中值定理等），这是考研中经常用到的方法。

（2）利用积分性质，例如积分中值定理，积分变量代换，分部积分等方法，经变形并计算。

例1：
分析：凡是微分中值定理中又涉及积分中值定理的，应首先应用积分中值定理获取一些特定点的函数值信息，再用微分中值定理证明。

证明：
利用积分中值定理证明
例2：
证明：
利用第一种方法证明。

几类定积分不等式的证明_王阳

二、美国犹太人的过去与现在的颠覆
（苏州大学外国语学院江苏苏州 215006）
犹太人对自己的生活是有着传统性的恪守，男婴出生第八天要举行割礼仪式，是对再生的追求，也是对性的约束。一直生活在异
[摘要]现代美国犹太人在美国这块“应许之地”、“希望之乡”的生乡的犹太人对自己的身份经历了尴尬、模糊和认定的全面过程。在
分法先求出 f (x) 在[a,b] 上的最大、最小值，再用估值定理即可。
∫ 例：求证
2 exp(− 1 ) ≤ 2
1
−
2 1
exp(− x2 )dx
≤
2
2。
证：先求被积函数
f (x) = exp(− x2 ) 在 ⎡⎢⎣−
1, 2
1 ⎤ 上的最大 2 ⎥⎦
和最小值。
∫ ∫ λ f ( x )dx ≥ λ 1 f ( x )dx 。
0
0
三、利用柯西-许瓦兹不等式证明定积分不等式
( ) ∫ ∫ 当所求证的不等式中含有： b f 2 (x)dx, b f (x)dx 2 或
a
a
∫ ∫ b f (x)dx b g(x)dx 的形式时，可用柯西——许瓦兹不等式求证。
a
a
∵ f ′(x) = −2x exp(−x2 )
3.4 落地技术的对比研究
且经过 T 检验(p<0.01)，它们之间存在显著性差异，体现出两个项
最佳着地技术是尽可能加大脚跟与身体重心之间的水平距离，
目的较大差别。众所周知，助跑速度和起跳能力是决定跳跃成绩的尽量利用身体重心的抛物线轨迹使双脚落得更远。从起跳脚离地后，
两个最为重要的因素，而在实际情况中，则恰恰是由于主观上要求运动员身体重心抛物线的移动轨迹就已被决定。但在实际跳跃中，

定积分不等式证明方法

f x dx 表示由曲线 y f x ,x
b a b a
轴及直线
x a , x b 所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（3）如果连续函数 f x 正负不定, 则
f x dx 表示由曲线 y f x ,x 轴及直
线 xa , xb 所围成的一些小曲边梯形的面积的代数和 , 有
a c a
性质 5
d
[1]
若
f x 在 a, b 上可积,且 f x 0 , c, d a, b ,则
b
f x dx f x dx .
c a
性质 6
[1]
若
f x 在 a, b 上可积, x a, b ,则
b
b a i f a ,即 n
定积分
f x dx 为一序列和的极限,这样我们可由一些序列和的不等式得到积分不
[3]
等式,下面首先给出著名的 Jensen 不等式 ,即设 f x 为 a , b 上的连续下凸函数 , 证明对于任意 xi a, b 和 i 0 , （i=1,2,……,n）,
1.2 利用泰勒公式
定理 1
[2]
（泰勒定理）
若函数 f x 在 a , b 上存在直至 n 阶的连续导函数,在 x, x0 a, b ,至少存在一点 a, b ,
a, b 内存在{n+1}阶导函数,则对任意给定的
使得
f x f x0 f ' x0 x x0
f n x0 n!
f '' x0 2!

(总结)定积分证明题方法总结六篇

2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则
M(b-a)<=<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
3)柯西积分不等式
≤%
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法
篇二：定积分知识点总结
1、经验总结
(1)定积分的定义：分割―近似代替―求和―取极限
(2)定积分几何意义：
①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab
②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a
基本积分公式f(x)dxg(x)dxg(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx.f(x)dx
kdxkxC
xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxCax
edxeCadxlnaCxx
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC
●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、关于广义积分
设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a
定积分的应用
1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)
●直角坐标系下(含参数与不含参数)
●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)

定积分等式的证明技巧

证明定积分等式是微积分中的一项重要任务，下面是一些证明定积分等式的常用技巧：
1. 利用牛顿-莱布尼茨公式：如果$F(x)$是$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，那么$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$。

利用这个公式，可以将定积分等式转化为函数值的等式，从而简化证明过程。

2. 换元法：通过适当的换元，将复杂的定积分转化为简单的定积分。

换元法的关键是选择合适的代换函数，使得积分式子更容易计算。

3. 分部积分法：对于形如$\int_a^b u(x)v'(x)dx$的积分，可以使用分部积分法将其转化为$\int_a^b u'(x)v(x)dx$和一个更容易计算的积分的和或差。

4. 利用奇偶性：如果被积函数$f(x)$在区间$[-a,a]$上是奇函数，则$\int_{-a}^a f(x)dx=0$；如果$f(x)$在$[-a,a]$上是偶函数，则$\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx$。

利用函数的奇偶性可以简化定积分的计算。

5. 利用定积分的性质：定积分具有线性性、可加性、保号性等性质，可以利用这些性质来证明定积分等式。

这些技巧可以帮助我们更有效地证明定积分等式。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用各种技巧来解决问题。

定积分的计算与题型总结

定积分的计算与题型总结本文内容是高等数学中积分相关内容的一个大总结，包括凌乱知识点的总结和一些附带的例子，以及一些常用的和容易出错的细节和结论。

内容主要涉及定积分的计算技巧、结论的运用、定积分的几何和物理应用；多重积分的计算技巧(包括排列和旋转等。

)及其在定积分中的应用；曲线和曲面积分的计算公式和定理总结，各种积分之间的关系，物理和几何的应用。

您现在浏览的内容是此系列的第一篇：定积分的计算与题型总结。

1.定积分的计算(1)直接先计算不定积分，然后使用牛顿-莱布尼茨公式。

这个非常简单，也是最基本的一种方法，不多赘述。

（注意：只适用于所有能简单积分出原函数的题，所以想做好定积分，不定积分首先要过关。

）牛顿-莱布尼茨公式：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且存在原函数 F(x) ，则 \int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_{a} ^{b}(2)利用定义计算。

若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可积，将区间分为 n 等分:\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =\lim _{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n}f\left[a+\frac{i}{n}(b-a)\right] \frac{b-a}{n}特别注意，根据上述表达式有，当 [a, b] 区间恰好为 [0,1] 区间时，则 [0,1] 区间积分表达式为:\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)例1:用定义计算 \int_{0}^{1}x^2\mathrm{d}x解: \int_{0}^{1} x^2 \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2=\lim _{n \rightarrow\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2=\lim _{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}(3)利用奇偶性计算根据定积分的几何意义(图像和横轴围成的有向面积)，奇函数在正负对称区间的积分为0。

定积分证明题方法总结

定积分证明题方法总结1. 引言在微积分学中，定积分是一种重要的概念，它用于计算曲线下的面积或曲线的定积分值。

在解决定积分证明题时，有一些常用的方法可以帮助我们简化问题和推导定积分的计算过程。

本文将总结一些常见的定积分证明题方法。

2. 几何解释法定积分可以被解释为曲线下面积的概念，这一特性可以用几何解释法来进行证明。

在这种方法中，我们可以将定积分问题转化为求曲线下某个区域的面积，然后通过几何图形的性质进行计算。

例如，我们要证明函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值为I，可以进行如下步骤：1.将函数f(x)和x轴围成的曲线下面积表示为S。

2.将区间[a,b]平均分为n段，即将[a,b]划分为n个小区间。

3.将每个小区间的长度设定为Δx，将小区间的起点和终点分别表示为xi和xi+1。

4.在每个小区间上，选择一个插值点ci，计算f(ci)。

5.根据插值点计算出小区间的面积ΔSi，即ΔSi = f(ci)* Δx。

6.将所有小区间的面积加起来，得到近似的曲线下面积Sn = Σ(ΔSi)。

7.当n趋向于无穷大的时候，Sn的极限值即为S。

8.由于S表示曲线下面积，所以证明Sn趋于S，即证明了定积分的值为I。

这种方法通过将定积分转化为几何问题，使得证明过程更加直观明了。

3. 确定积分值的边界法定积分值的边界法是另一种常见的方法，通过确定积分的上下界来简化问题。

这种方法通常适用于具有特殊性质的函数。

例如，我们要证明函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值为I，可以进行如下步骤：1.设定积分的下界和上界分别为g(x)和h(x)，即g(x)≤ f(x) ≤ h(x)。

2.对区间[a,b]上的g(x)和h(x)进行定积分，分别得到下界和上界的定积分值：Ig = ∫[a,b] g(x) dx，Ih = ∫[a,b] h(x) dx。

3.如果可以证明Ig ≤ I ≤ Ih，即下界小于等于积分值小于等于上界，那么定积分值为I。

考研必备(数学分析知识点之_定积分之证明)

例5、1若在上二次可微，且证明：
其中 .
证明1：将在处用Taylor公式展开，注意到有
，
上式两端在上积分,再两端取绝对值得
其中 .
证明2：考虑则在上三阶可微，且，， .
由Taylor公式知
其中
从而
又
,
于是
，
得证
例5、2设函数处处二阶可导，且又为任意一连续函数，证明：
证明：由Taylor公式知存在
证明：由，对，有，又在上单调不增，有
.从而， .
于是，问题得证. 成立.
评注：当不等式中的积分限不同时，常借助变量代换改变积分限或被积函数，证明不等式.
例1、设在上连续，且单调减少求证：对于满足的任何，有 .
证明：因为 .
令
注意到在上单减，
由比较原理（两端从）得
即
又由比较原理和
证明：由于在上单调递减，则
对于任意有
所以பைடு நூலகம்
即
而
所以对任何，有
评注：比较原理的基本思想：若
（其中等号仅当时成立）
考察其特殊情况，主要利用定积分的单调性、绝对值及估值不等式来证明，尤其对于以及的不等式，可用微积分先求出在定义的区间的最大值、最小值，再用估值定理求证.
例4、求证
证明：先求被积函数在区间上的最值.
所以
，
于是，
.
题目三：设函数在上连续，在上可导，且
证明：
分析：本题利用拉格朗日中值定理，即可证明.
证明：由拉格朗日微分中值定理
又所以有
故
于是
评注：对于类似问题题型可采用的方法：

定积分证明题方法总结

定积分证明题方法总结定积分证明题是数学分析中的重要知识点，也是应用数学和工程学科中常见的问题。

在解决实际问题时，定积分证明题经常被用来计算曲线下面积、求函数的平均值以及计算物理量等。

本文旨在总结定积分证明题的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

定积分证明题的背景和重要性是引出本文的基础。

首先，通过定积分的定义，我们可以准确计算出曲线下面的面积，这对于许多实际问题的解决非常有益。

例如，在物理学中，我们可以通过定积分来求解物体的体积、求解材料的质量等。

其次，定积分证明题也是数学分析和工程学科中的基础知识，对于深入理解相关领域的理论和应用有着重要的作用。

本文将介绍定积分证明题的方法总结。

我们将重点讨论常见的证明方法，例如几何法、代数法和变量代换法等。

这些方法在实际问题中具有广泛的应用，并且在解决定积分证明题时非常有效。

我们还将提供一些例题和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这些方法。

总之，本文旨在为读者提供一个定积分证明题方法的总结，帮助他们更好地应用这一知识点解决实际问题。

通过研究和掌握这些方法，读者将能够提高自己的数学分析能力并应用于相关领域的问题求解。

基本概念总之，本文旨在为读者提供一个定积分证明题方法的总结，帮助他们更好地应用这一知识点解决实际问题。

通过研究和掌握这些方法，读者将能够提高自己的数学分析能力并应用于相关领域的问题求解。

基本概念定积分是微积分中的一种重要数学工具，用于计算曲线下的面积或者曲线围成的区域的面积。

它是微积分的重要概念之一。

定积分是微积分中的一种重要数学工具，用于计算曲线下的面积或者曲线围成的区域的面积。

它是微积分的重要概念之一。

定积分的定义是通过极限的概念来进行表述的。

对于一个给定的函数f(x)，定义在闭区间[a。

b]上，我们可以将[a。

b]分成若干很小的区间，然后在每个区间上选择一个点，通过计算这些点处的函数值与该区间的长度的乘积，再将所有乘积相加，就可以得到一个近似的面积。

定积分证明题方法总结六篇

定积分证明题方法总结六篇
定积分证明题方法总结六篇
定积分证明题方法总结六篇
篇一：定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则>=()dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)
b)当0<x<兀2时，2兀<<1< p="">
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m 则
M(b-a)<=<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
3)柯西积分不等式
≤%
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
</x<兀2时，2兀<<1<>。

有关定积分计算和证明的方法

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证明: 令
x
b
x
b
F(x) a g(x) d xa f (x) d x a f (x)dxa g(x) d x
在上连续,
在
故由罗尔定理知 , 至少
存在一点
使
即
b
b
g( )a f (x)dx f ( )a g(x)dx 0
因在上连续且不为0 , 从而不变号, 因此
故所证等式成立 .
机动目录上页下页返回结束
思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 如果能, 怎样设辅助函数?
要证:
设辅助函数
x
F(x) a f (t)dt
G(
x)

x
a
g
(t
)dt
例15 目录上页下页返回结束
例6. 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且
二、有关定积分计算和证明的方法
1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法
机动目录上页下页返回结束
例1. 求
y cos x

解: I 2 (sin x cos x)2 dx 0
sin x

x
a

f
(t)
f
(t)

2

d
t

x [ f (x) f (t)]2 d t a f (x) f (t)
故 F(x) 单调不减 ,
即 ①成立.
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d

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定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。

篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a定积分的应用1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)●直角坐标系下(含参数与不含参数)●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)●功、水压力、引力●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)篇四：定积分计算方法总结一、不定积分的概念和性质若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢！性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或df(x)dxf(x) dx性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C性质3[f(x)g(x)]dx或[f(x)g(x)]dx二、基本积分公式或直接积分法基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dxkdxkxCxxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC axedxeCadxlnaC xxcosxdxsinxCsinxdxcosxCdxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxCsecxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxCdxarctanxCarccotxC（）1x2arcsinxC（arccosxC）直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。

代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。

三、换元积分法：1.第一类换元法（凑微分法）g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)注 (1)常见凑微分：u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx，若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)；(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；2.第二类换元法f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:(1) 对被积函数直接去根号;(2) 到代换x1; t(3) 三角代换去根号xatantxasect、xasint(orxacost)f(xdx，tf(xx，xasectf(xx，xasintf(xx，xatant f(ax)dx，taxf(xx，t三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.注 (1)u的选取原则：按“反对幂三指”的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;(2)uvdx要比uvdx容易计算；(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：arcsinx1dx，uv(4)多次使用分部积分法： uu求导 vv积分（t；篇五：定积分计算方法总结一、原函数定义1 如果对任一xI，都有F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。

[ln(xx2) 原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。

注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。

设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。

注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数）注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。

1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。

二、不定积分定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。

u(x)u(x) (2-1)f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb篇六：定积分计算方法总结摘要:结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。

为使学生熟练掌握,灵活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方法,简单进行了整理归类。

关键词:积分方法第一类换元法第二类换元法分部积分法不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。

熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。

在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。

这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。

对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。