类比、归纳、联想与直觉在解题中的应用

课程小论文：

构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明。

类比、归纳、联想与直觉在解题中的应用

摘要 本文将从具体的数学方法——类比、归纳、联想与直觉出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用，注重培养发展学生的推理能力。

关键词 类比；归纳；联想与直觉

1、引言

数学方法论是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学中的发现、发明与创新法则的学科。其中数学思想方法是数学方法论其中一个非常重要的研究对象。在《义务教育数学课程标准（2011版）》提到：在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力。其中推理一般包括演绎推理和合情推理，而合情推理就包含类比、归纳、联想与直觉等方法。本文将从类比、归纳、联想与直觉的具体方法出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用。

2、类比法在初等数学解题中的应用

类比——根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）的相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相同的思维形式。它是以比较为基础的一种从特殊到特殊的推理方法.

类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，著名数学教育家波利亚指出“类比是一个伟大的引路人”，类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利。同时，类比法是系统掌握新知识、巩固旧知识，使新旧知识融会贯通的有效方法。在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来。

2.1 解（证）题方法上的类比

例2.1 若2()4()()0c a a b b c ----=，且a b c ≠≠。求证：2b a c =+（即,,a b c

成等差数列）

分析：观察已知等式，类比联想到一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系，从而可以构造一元二次方程进行求证。

证：构造 2()()()0a b x c a x b c -+-+-=，容易知道1x =是方程的一个解。

由已知可得：2()4()()0c a a b b c ∆=----=。因此，方程有两个相等的实根，121x x ==。由韦达定理可知：121b c x x a b

-==-，整理即2b a c =+。 2.2 数与形的类比

在数学研究中，数与形的类比经常在相反的方向上得到应用。即通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质，又通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。

例2.2 已知x 为实数，求代数式22416(8)x x +++-的最小值。 分析：观察比较这个式子，联想到勾股定理，可以把24x +看成是两直角边为2,x 的直角三角形的斜边；同理216(8)x +-可看成是两直角边为4,8x -的直角三角形的斜边，从而可以构造这样的图形（如图1）

图 1

从图中可以知道，问题转化为求A E 、两点间的直线距离。

除了以上两种方法，类比方法在解题中还有非常多的应用，在解题过程中应有意识地培养学生类比猜想的思想方法。

3、归纳法在初等数学解题中的应用

归纳是一种由特殊到一般的思维过程，即通过对特例的分析来导出普遍的结论，把某类中个别事物所具有的的规律作为该类事物的普遍规律。从推理角度看，归纳分为完全归纳法和不完全归纳法，而其中的不完全归纳法属于合情推理的一种，是一种数学发现的方法，这与类比法一样，都可能由此思维形式导出数学猜想。现主要举例不完全归纳法在解选择题与填空题中独到的应用。

3.1 利用不完全归纳法解选择题

例 3.1 已知数列{}n a 满足 11(n 2)n n n a a a +-=-≥， 12,a a a b ==,记

12n n S a a a =+++ ，则下列结论正确的是（ ）

。 100100A ,2a a S b a =-=- 100100 ,2B a b S b a =-=-

100100 ,C a b S b a =-=- 100100 ,D a a S b a =-=-

解：3213123, 2a a a b a S a a a b =-=-=++=。

432434, 2a a a a S S a b a =-=-=+=-。

543545, a a a b S S a b a =-=-=+=-。

654656, 0a a a a b S S a =-=-=+=。

765767, a a a a S S a a =-==+=。

通过观察、分析，知,n n a S 都是以6为周期，所以由不完全归纳法，得

1006164410061644; S 2a a a a S S b a ⨯+⨯+===-===-。

因此本题选择A.

3.2 利用不完全归纳法解填空题

例3.2 已知113, 1(1,2,)n n n a a a a n +=-== ，n A 表示数列{}n a 的前n 项之积，则2002A = 。

解：由1121a a a -=，得223a =

；由2231a a a -=，得312

a =-； 由3341a a a -=，得43a =；由4451a a a -=，得523a = 通过观察、分析，容易知道n a 是以3为周期的。所以由不完全归纳法可以知道： 1231a a a ⨯⨯=-，200213a a ==；66766720021232002()(1)33A a a a a =⨯⨯⨯=-⨯=-。 因此答案为-3.

4.联想与直觉在初等数学解题中的应用

联想——是一种自觉的、有目的的思维活动，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一种事物，或由此再想象其他事物的心理活动。而数学联想是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法，它是类比、模拟、归纳、猜想等合情推理的基础，同时，它在形象思维、抽象思维等心理活动中发挥一定的作用。

人们通常理解的直觉是大脑不经过演绎、不经过推理就能够立即感知的事实；数学直觉是人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察，这是一种非逻辑的思维，是一种下意识（潜意识）活动参与的思维。

联想与直觉有利于寻找解题的思路，有利于突破解题的难点，提升数学解题思维层次的阶梯等等。以下具体以两个例子来说明。

例4.1 求函数13y x x =-+-的最小值。