量子力学——第四章作业参考答案

对于分立的能量本征态ψ n ，有 Hψ n = Enψ n ，在该态下动量平均值
im ⎛ ⎞ im p = ⎜ψ n , [ r , H ]ψ n ⎟ = (ψ n , ( rH − Hr )ψ n ) ⎝ ⎠ = =
3.14 解：设
im im
(ψ n , rHψ n ) −
im
(ψ n , Hrψ n ) =
+
x。
同理
( r × l ) y = zlx − xlz ，
( r × l ) y = ( r × l ) y − 2i
+பைடு நூலகம்
y，
( r × l ) z = xl y − ylx ，
( r × l ) z = ( r × l ) z − 2i
+ +
z，
故有 ( r × l ) ≠ r × l ，因而算符 r × l 不是厄米算符。 可以构造厄米算符 r × l − l × r ，
（1）角动量算符 l = r × p
+ + lx = ypz − zp y ，则 lx+ = pz+ y + − p y z = pz y − p y z = ypz − zp y = lx ；
同理 l y = zpx − xpz ，则 l y = p x z − pz x = px z − pz x = zpx − xpz = l y ； 同理 l z = xp y − ypx ，则 lz = p y x − px y = p y x − px y = xp y − ypx = l z ； 故有 l = l ， l 为厄米算符（当然， l x 、 l y 和 l z 也是厄米算符） 。 （2）算符 r i p = xpx + yp y + zpz
2
=−
2
⎡ ∂2 1 ∂ 1 ∂ ⎛ ∂ 1 ⎞ 1 ⎤ ⎢ 2 + r ∂r + r ∂r + ⎜ ∂r r ⎟ + r 2 ⎥ = − ⎝ ⎠ ⎣ ∂r ⎦
⎛ ∂2 2 ∂ ⎞ ⎜ 2+ ⎟ r ∂r ⎠ ⎝ ∂r
=−
（e） p = −
2
2
1 ∂ 2 ∂ 。 r r 2 ∂r ∂r
⎡1 ∂ 2 ∂ ∂ ∂ ∂2 ⎤ 1 1 + + r sin θ ⎢ r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 ⎥ ⎣ ⎦
+
+ + + + +
+
+
+
+
+
( ri p )
+
+ + + + = px x + py y + pz+ z + = px x + p y y + pz z = xpx + yp y + zpz − 3i ≠ r i p
故有 r i p 不是厄米算符。 可以构造出相应的厄米算符 r i p + p i r ，
( r i p + p ir )
+
= p + ir + + r + i p + = pir + r i p 为厄米算符。
（3）算符 p × l
( p × l ) x = p y lz − pz l y ，
12
( p × l ) x = lz+ p y+ − l y+ pz+ = lz p y − l y pz = ( p y lz − i
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
+ + + + + 1 ⎡⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ⎤ 1 ⎡ + ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ⎤ i i i p p p ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ = ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ i p⎥ 2⎣ r r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎢ ⎥ 2⎢ ⎥ ⎣ ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎦
1⎛ r r ⎞ = ⎜ pi + i p ⎟ = pr 。 2⎝ r r ⎠
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
∞
∞
=
m ,n =0 ∞
∑C ⎡ ⎣( −i ) x
mn
m −1
p n + xpx m −1 p n − x m p n +1 ⎤ ⎦
=
m ,n =0 ∞
∑C ∑C
∞
mn
⎡ ⎣ 2 ( −i ⎡ ⎣ m ( −i
) x m−1 p n + x 2 px m−2 p n − x m p n+1 ⎤ ⎦ = ... ) x m−1 p n + x m p n − x m p n+1 ⎤ ⎦
im
(ψ n , rHψ n ) −
im
( Hψ n , rψ n )
En (ψ n , rψ n ) −
im
。 En (ψ n , rψ n ) = 0 （ H 为厄米算符）
φ 为 lˆz 的本征态，则有 lˆz φ = lz φ ，其中 lz 为本征值。
1 ˆ ˆ [l y , lz ] 有， i 1 1 φ [ lˆy , lˆz ] φ = φ lˆy lˆz φ − φ lˆz lˆy φ i i 1 lz φ lˆy φ − lz φ lˆy φ = 0 。 i
( r × l − l × r ) x = ( ylz + lz y ) − ( zl y + l y z ) ，
13
( r × l − l × r ) y = ( zlx + lx z ) − ( xlz + lz x ) ， ( r × l − l × r ) z = ( xl y + l y x ) − ( ylx + lx y ) ，
∂ ∂ ∂r ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ + 1 − r − 1 ⎟ = −i ⎜ r − r − ⎟ = i 。 ∂r ∂r ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r
2
（d） p = −
2 r
2
⎛ ∂ 1⎞ ⎜ + ⎟ =− ⎝ ∂r r ⎠
2
⎛ ∂2 1 ∂ ∂ 1 1 ⎞ + + ⎟ ⎜ 2+ r ∂r ∂r r r 2 ⎠ ⎝ ∂r
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
( p × l )z
+
== ( p × l ) z − 2i pz ≠ ( p × l ) z ，
+
故有 ( p × l ) ≠ p × l ，因而算符 p × l 不是厄米算符。 可以构造厄米算符 p × l − l × p ，
( p × l − l × p ) x = ( p y lz − pz l y ) − ( l y p z − l z p y ) = ( p y lz + lz p y ) − ( pz l y + l y pz ) ， ( p × l − l × p ) y = ( pz lx − px lz ) − ( l z px − lx pz ) = ( p z lx + lx pz ) − ( px l z + lz px ) ， ( p × l − l × p ) z = ( px l y − p y l x ) − ( lx p y − l y px ) = ( px l y + l y px ) − ( p y l x + lx p y ) ，
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦
r 1 ⎛ ∂ 1⎞ = i p − i = −i ⎜ + ⎟ 。 r r ⎝ ∂r r ⎠
（c） [ r , pr ] = rpr − pr r = −i ⎜ r
+
px ) − ( pz l y + i px )
= ( p × l ) x − 2i px ≠ ( p × l ) x 。
同理
( p × l ) y = pz l x − px l z ，
( p × l ) y == ( p × l ) y − 2i
+
py ≠ ( p × l ) y ，
( p × l ) z = pxl y − p y lx ，
( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
= ly ⎡ ⎣l y , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , p x ⎤ ⎦ l y + l z [ lz , px ] + [l z , px ] l z =i
=i
2
( −l
y
pz − pz l y + l z p y + p y l z ) = i
(p l
y z
− pz l y − l y pz + lz p y )
2
=
1 2 l + pr2 。 r2
15
3.12 解：哈密顿量 H = p
2 [r, H ] = ⎡ ⎣r, p
2
2m + V ( r ) ，有
1 2 2 2m + V ( r ) ⎤ ⎦=⎡ ⎣ r , p 2m ⎤ ⎦ = 2m ⎡ ⎣r, p ⎤ ⎦ 1 i i = 2i p = p ，从而 p = [ r , H ] 。 2m m m
证明：令 C =
（1） （2）
F = F+ + F−
其中 F+ = 有
（3） （4）
1 1 F + F † ) ， F− = ( F − F † ) ( 2 2i 1 † −1 † F + F ) = F+ ， F−† = ( ( F − F ) = F− 2 2i
F+† =
（5）
这样利用上述方法，任意一个算符都可以表示为两个厄米算符的和 3.2 解：粒子的坐标 r 和动量 p 为厄米算符。
第四章作业参考答案
[曾谨言著《量子力学教程》(第二版) 习题 3: P74-75]
3.1
1 1 ( AB + BA) ， D = ( AB − BA) ，有 2 2i 1 1 1 † C † = ( AB + BA ) = ( B † A† + A† B † ) = ( AB + BA ) = C 2 2 2 − 1 − 1 1 † D† = ( AB − BA) = ( B† A† − A† B† ) = ( AB − BA) = D 2i 2i 2i 可见， C 、 D 都是厄米算符 对于一个给定的算符 F ，可以将其分成两部分
=⎡ ⎣ p y , lz ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , pz ⎤ ⎦ = 2i px ，
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
ˆ = 根据对易关系 l x
1 lˆx = i 1 = i
同理
1 lˆy = φ [ lˆz , lˆx ] φ = 0 。 i ˆ Y (θ , ϕ ) = l ( l + 1) 3.15 解：粒子处于 Ylm (θ , ϕ ) 状态下，有 l lm
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B