2013年邯郸一中直升班数学真题试卷

2013年邯郸一中直升班数学真题试卷

总分150分时间90分钟

一、选择题（共16小题，每题4分，共64分）

1、附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形。根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等( )

A. △ACF

B. △ADE

C. △ABC

D. △BCF

考点：全等三角形的判定

分析：根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．

解答：

根据图象可知△ACD和△ADE全等，

理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，∴△ACD≌△AED，

即△ACD和△ADE全等，故选B.

2、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60∘，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E. 如果点M是OP的中点，则DM的长是（）

A. 2

B. 2

C. 3

D. 23

考点：

角平分线的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，勾股定理

分析：

由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．

解答：

∵OP平分∠AOB，∠AOB=60∘，∴∠AOP=∠COP=30∘，

∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，

∵∠PCE=∠AOB=60∘，PE ⊥OB ，∴∠CPE=30∘，∴CE=12CP=1，∴PE=3，∴OP=2PE=23， ∵PD ⊥OA ，点M 是OP 的中点，∴DM=

2

1

OP=3.故选：C. 3、如图所示,将矩形纸片先沿虚线AB 按箭头方向向右对折,接着对折后的纸片沿虚线CD 向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是()

A. B.

C.

D.

考点：剪纸问题 分析：

严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解． 解答：

∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开,可得，即可排除答案A ，

∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D ，排除B 与C. 故选：D.

4、如图，△ABC 周长为26，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）。

A. 3

B. 4

C. 25

D.2

3 考点：平行四边形的性质

分析：本题主要考查三角形中位线定理。

由已知条件可得∠ABQ=∠EBQ ，BQ=BQ ，∠AQB=∠EQB=90∘，所以△ABQ ≌△EBQ （ASA ），所以AQ=EQ ，AB=BE 。同理△ACP ≌△DCP （ASA ），所以AP=DP ，AC=DC ，所以PQ 是△ADE 的中

位线，得PQ=

2

1

DE 。因为△ABC 周长为26，BC=10，所以AB+AC=26−10=16，即BE+CD=16，所以DE=BE+CD −BC=16−10=6，所以PQ=2

1

DE=3。

故本题正确答案为A 。

5、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90∘，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD=CE.连接DE ，DF ，EF.在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为8. 其中正确的结论是( )

A. ①②③

B. ①④⑤

C. ①③④

D. ③④⑤ 考点：正方形的判定, 全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形 分析：

解此题的关键在于判断△DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；

判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF 是等腰直角三角形DE=2DF ，当DF 与BC 垂直，即DF 最小时，DE 取最小值42，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确． 解答：

连接CF ；

∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45∘，CF=AF=FB ； ∵AD=CE ，

∴△ADF ≌△CEF(SAS)； ∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ； ∵∠AFD+∠CFD=90∘， ∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，

∴△EDF 是等腰直角三角形(故①正确).

当D. E 分别为AC 、BC 中点时,四边形CDFE 是正方形(故②错误). ∵△ADF ≌△CEF ，

∴S △CEF=S △ADF ∴S 四边形CEFD=S △AFC,(故④正确). 由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小； 即当DF ⊥AC 时,DE 最小,此时DF=2

1

BC=4. ∴DE=2DF=42(故③错误).

当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小。

此时S △CDE=S 四边形CEFD −S △DEF=S △AFC −S △DEF=16−8=8(故⑤正确) 故选：B.