(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册
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第八章 多元函数微分法及其应用
第 一 节 作 业
一、填空题：
.
sin lim .4.
)](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos
),,(.21)1ln(.102
2
2
2
322=
===-=+=+++-+-=→→x xy
x x f x x x x y x y x f y
x z z y x f y x x y x z a
y x ψϕψϕ则设的定义域为
函数的定义域为函数
二、选择题（单选）： 1. 函数
y
x sin sin 1
的所有间断点是:
(A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）；
(B) x=y=n π(n=1,2,3,…)；
(C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)；
(D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。
答：（ ）
2. 函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222
22
2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：
（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。
答：（ ） 三、求.4
2lim 0xy xy a
y x +-→→
四、证明极限2222
20
0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业
一、填空题：
.
)1,(,arcsin
)1(),(.2.
)1,0(,0,0
),sin(1),(.122
=-+==
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x f y
x
y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设
二、选择题（单选）：
.
4
2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2
)(:,22
2
2
2
2
2y x y x y x y y x y D e
y x y C y y x B y A z z ++++⋅+⋅+⋅⋅=等于则设
答：（ ）
三、试解下列各题：
.,arctan .2.
,,tan ln .12y
x z
x y z y
z
x z y x z ∂∂∂=∂∂∂∂=求设求设
四、验证.2
2222222
2
2
r z
r y r x r z y x r =∂∂+∂∂+∂∂++=满足
第 三 节 作 业
一、填空题：
.
,.2.
2.0,1.0,1,2.1=
==
=∆-=∆=∆===dz e z dz z y x y x x
y
z x
y 则设全微分值
时的全增量当函数
二、选择题（单选）：
1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：
（A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）
2. f(x,y)在(x 0,y 0)处两个偏导数f x (x 0,y 0),f y (x 0,y 0)存在是f(x,y)在该点连续的：
（A ）充分必要条件； （B ）必要非充分条件；
（C ）充分非必要条件； （D ）既非充分亦非必要条件。
答：（ ）
三、试解下列各题：
.
,arccos
.4.
2,1)1ln(.3.
,.2.,.12
2
22dz y
x x z y x y x z du x u dz y
x
xy z yz 求设时的全微分当求函数求设求设+===++==+
=
四、证明：xy x f =),(在点（0,0）处的偏导数存在，但在点(0,0)处不可微。
第 四 节 作 业
一、填空题：
.,,sin ,.132====-dt
dz t y t x e z y x 则
而设
.,),,(.3.,23,,ln .22=
-+==∂∂-==
=dz f y x y x f z x
z y x v y x u v u z 则可微设则而设
二、选择题（单选）：
).
ln()(2)();
ln()()(2)(;
)(2)()];ln())(()([2)(:
,,)(.11122y x y x D y x y x y x C y x z B y x y x y x y x z A u u y x z y x u z z z z z y x z ---+----++-++=-=+-等于则而设
答：（ ）
.
3ln )]('[[3)(')()];
('[3
ln 3)(;
3ln )]('[3)(;3ln )]('[3)(:,)(,3.2y yf x z y f z D y yf x C y yf x B y xf y A dy
dz
f y f x z xy y x xy
xy xy xy +-++++==等于则
可导且而设
答：（ ）
.
)(;
)(;)(;)(,),(.3"
22"21'2"22"21"
22'2"12"12"12"11'22xzf xf f D xzf xf C xzf xf xf B xf zf xf f A z
x xz y x f u ++++++++=
∂∂∂+=则有二阶连续偏导数设
答：（ ）
三、试解下列各题：
1. 设.,),arctan(dx
dz e y xy z x
求
而==
2. 求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： ).,,()2().
,()1(2
2
xyz xy x f u e y x f u xy
=-=