抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质2018/11/25

题型一、抛物线的标准方程：

例题：

1、 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 _______

2、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为

3、 以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为

4、 点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是 _______

5、 抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______

练习：

1、 抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,点(－到焦点距离是6,则抛物线的方程为 _______

2、 顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y =12上的抛物线方程是 _______

3、 已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ________

4、 若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA |+|MF |取最小值的M 的坐标为 _______

题型二、抛物线性质：

例题：

1、 抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于

2、 抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________

3、 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322

--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是

4、 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦长等于23，则这抛物线的方程是

练习：

1、 过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为

2、 边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________

3、 若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，则线段AB 的长

4、 过点Q (4,1)的抛物线y 2＝8x 的弦AB 恰被点Q 平分，则AB 所在直线方程是

题型三、抛物线的应用

例题：

1、 已知圆2290x y x +-=与顶点原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程。

2、已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．

(1)求证：OA ⊥OB ；

(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．

3、过抛物线22y x =的顶点作互相垂直的二弦OA 、OB ，证明：AB 与x 轴的交点为定点。

4、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F

重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；

（2）求线段BC 中点M 的坐标；

（3）求BC 所在直线的方程.