高等数学无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质教学教案

(u nvn) u n vnS 1S2
n 1
n 1 n 1
例7
因为等比级数
1
与
1
n12n
n13n
收敛 ,
所以级数
1 n12n
31n
也收.敛
一个收敛级数与 一个发散级数的和是 收敛的还是发散的？
是发散的
问题
两个发散的级数 之和是收敛的还是发 散的？
不一定
看看 (1)n 与 (1)n1之.和
n 1
例3
讨论等比级数 ar n 1 的敛散性.
n 1
解 等比级数的部分和为：
n
Sn ark1
k1
a arn1 r
1 r
a (1 r n ) 1 r
当公比 | r | < 1 时, nl im Snnl im a(1 1 rrn)1 a r ,
此时等比级数收敛, 其和为： S a 。 1 r
当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.
例4
讨论级数
1
的敛散性.
n1(2n1)(2n1)
解 (2n 1 )12 (n1 )1 2 2n 1 12n 1 1
S n 1 2 1 1 3 1 2 1 3 1 5 1 2 1 5 7 1 1 2 2 n 1 1 2 n 1 1
unu1u2 un
n1
为一个无穷级数, 简称为级数. 称 un 为级数的一般项或通项.
例1 下列各式均为常数项级数
n 121n1 21 4 21n ;
n12n;
n1
( 1 )n 1 1 1 1 1 ( 1 )n 1 ;
n 1
co ns c1 oc so 2 sco n s.
12 1
1 2n1
1 1 1 13 35 57
而 nl im Snnl im 1 212n1112
故
1
1
n1(2n1)(2n1) 2
即该级数收敛, 其和为 S 1 . 2
111 1 1 1 33 55 7 (2 n 1 )2 ( n 1 ) 2
二. 级数收敛的必要条件
n1
n1
2. 性质 2
若un与vn收,敛 其和S 分 1和 S别 2, 为
n1
n1
则级(数 unvn)也收 , 且 敛
n1
(unvn)S1S2 un vn.
n1
n1
n1
证
(un vn ) 的部分和为：
n1
n
Sn (uk vk) ( u 1 v 1 ) ( u 2 v 2 ) ( u n v n ) k1
定理
若级数 u n
n 1
收敛,
则必有 nl imun 0.
证
设 un S,
n1
则nl im SnS.
n l iu m n n l i(S m n S n 1 )
n l im S nn l im S n 1
SS0
例5
判别级 (1数 )n1
n
的敛.散性
n1
n1
解 由于
nl im |un|nl im (n 1) n 11n1,
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) S1n S2n
故 ln i S m n ln i( S m 1 n S 2 n)n l iS 1 m n n l iS m 2 n S 1 S 2
即 级数 (un vn) 收敛, 且
n1
n 1
例2 下列各式均为函数项级数
( 1 )n 1 x n 1 1 x x 2 ( 1 )n 1 x n 1 , xR.
n 1
a nxna 0 a 1 x a 2x2 a nxn , | x|1.
n 0
sinn x six n si2 x n sinn x , xR.
nl im un 0, 故该级数发散.
证明调和级数是发散的:
例6
1111 1 .
n1n 2 3 n
证 调和级数的部分和有：
S1
11， 0 2
S2
S21
1 1， 2
S4S22
11 21 31 4
1
1 2
1 2
1
2 2
，
S8
S23
11111111
2345678
11 21 31 41 51 67 18 1
n 1
2. 级数的敛散性定义
来自百度文库
无穷级数 u n 的前 n 项之和：
n 1
n
Sn uk u1u2 un, k1
称为级数的部分和.
若 lni mSn S 存在, 则称级数 u n n 1
S 称为级数的和： un S .
n 1
收敛.
若
lim
n
Sn
不存在 ( 包括为 ) ,
则称级数 u n 发散.
n1
n1
问题
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉 有限项后, 所得到的新的级数与原级 数的敛散性相同.
但对收敛级数来说, 它的和将改变.
证 设级数 u n 的部分和为 Sn , 去掉级数的前
1121212
1
3 2
S2k
1k 2
?
由数学归纳法, 得
S 2k
1 k， 2
k = 0, 1, 2,
而
kl im1
k 2
故 lim n
Sn
不存在,
即调和级数发散.
三.无穷级数的基本性质
1. 性质 1
若 c 0 为常数, 则 u n 与 cu n
n 1
n 1
有相同的敛散性, 且 cun cun.
当公比 | r | > 1 时, nl im Snnl im a(1 1 rrn).
当公比 r =1时, n l iS m nn l in m a .
当公比 r = 1时, Sn=
a, n为奇数 0, n为偶数 , 故nl im Sn不存. 在
综上所述,
当公比 | r | < 1 时, 等比级数收敛；
第八章 无穷级数
常数项级数的概念和性质 常数项级数敛散性判别法 函数项级数 函数展开为幂级数 函数展开为傅里叶级数
结束
第一节 常数项级数的概念和性质
一. 无穷级数的概念 二. 级数收敛的必要条件 三. 无穷级数的基本性质
一.无穷级数的概念
1.无穷级数的定义
设有数列 {un}: u1 , u2 , …, un , … 则称表达式
n1
n1
证
n
u n 的部分和为 S n u k，
n 1
k 1
n
n
cu n 的部分和为 Sn cuk c uk cSn,
n 1
k1
k1
故 n l iS m n n l ic m n S c n l iS m n
即
u n 与 cu n 同时收敛或同时发散,
n 1
n 1
且有 cun cun.