材料力学-- 弯曲应力

M
y
(dA) z
A

E yzdA y轴为对称轴 0 dA A
M
1
z
(dA) y
A
Ey 2
A

dA E

A
y dA
2
EI z

M
M EI z
(6 - 1)
EIz－梁的抗弯刚度
E
y

(2)
z
M
x y
1 M EI z
(3)
My Iz
30
1
q=60kN/m B
2m
120 180 20
x 1
1 2
z y
A
1m
1
M
解：画 M 图： +
ql2/ 8
qlx qx 2 M1 ( ) 2 2 60kNm
M max ql 2 / 8 67.5kNm
1
30
q=60kN/m B
2m
120 20 180 1
z
2
求应力
bh3 0.12 0.183 Iz 12 12 5.832 10 5 m 4
bh 2 Wz 6.48 10 4 m 3 6
194.4m
M1 60 1max 107 92.6MPa W z 6.48 M max 67.5 max 107 104.2MPa Wz 6.48
[例6-2-2] 钢板尺厚0.8mm，长252mm，弹性模量 E=200GPa。求当钢板尺弯成π /3圆弧时，钢板尺内的最 大正应力。 解： s 3 s

63
21.2 cm3
A 400 RA
5kN C
3kN υ60 B 300 RB 0.90kNm υ43
(3)计算最大正应力 C截面的最大正应力：
1000
max C
M C 1.17 103 W z 21.2 10 6 55.2 MPa
M
B截面的最大正应力：
[例6-3-1] T形截面铸铁梁，许用拉应力[]+=30MPa， 许用压应力为[]-=60MPa。已知中性轴位置 y1=52mm， 截面对z轴的惯性矩 Iz ＝764cm4 。试校核梁的强度。并 说明 T 字梁怎样放置更合理？
9kN
4kN Ⅰ
z y1 y2
80
A 1m RA M
C
B Ⅰ 1m 1m RB
1000
F2 250
20
A
F1F1 F2B NhomakorabeaC
F2
b( h 3 d 3 ) WZ b (h3 d 3 ) / h 12 2 6h 20 (60 3 30 3 ) 9 10 10.5 10 6 m3 6 60
F1 1 F2 0.25
M max F1 max Wz Wz F1 Wz 10.5 137 1.44 kN
3s
max
1 M max ymax Iz

/3
M max EI z max Eymax Eymax 3 s
2 1011 0.4 103 3 252 10 3 332.4 MPa
A 400 RA
5kN C
[例6-2-3]如图所示圆轴， 3kN 在A、B两处的轴承可简 B υ60 υ43 化为铰支座，轴的外伸部 分是空心圆轴。试求轴内 1000 300 的最大正应力。 RB 0.90kNm 解：(1)求支反力，并画弯矩图
M max Wz
则
max



若


则 max 且 max

强度校核: 截面设计:
M max max [ ] Wz
M max Wz [ ]
载荷设计:
M max [ ]Wz
(6 - 2)
σ符号：拉为正，压为负。
★ 适用条件：①平面假设；②单向受力假设； ③服 从虎克定律； ④拉伸与压缩时的弹性模量相等。 ★ 只要梁有一纵向对称面，且荷载作用在这个平面内， 公式 (3)、 (4) 就可适用。
（四）最大正应力：
M max ymax M max max Iz Wz
平面弯曲的分类：
纯弯曲(CD段)： Fs=0，M =常量≠0 横力（剪切）弯曲 (AC、DB段) ： Fs、M同时存在。
Fs
Fa
§6-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲时的正应力
m
n
a
a
横线（mm、nn）：仍为直 线，发生了相对转动，仍与 变形之后的梁轴线垂直。 纵线（aa、bb）：互相平行的 直线变为互相平行的曲线，凹 侧缩短，凸侧伸长。
A
F1
60
B
C
(2)销钉设计：
1000
F2 250
A
F1
F1 F2
B
C
F2
F1 1 F2 0.25
F1 F2 5F1 A A 30 2 98 A 4 F1 13.85kN 5 5
取F1 1.44kN、F2 5.76kN
[例6-3-4] 简支梁的荷载、尺寸如图示。求梁下边缘的 总伸长。 解：(1)求约束反力
q
h
ql RA RB 2
B
A
（2）求x 截面下边缘的正应力
x dx
RA
b
l
RB
（3）求梁下边缘的总伸长
ql q x x 2 3q (lx x 2 ) M x 2 2 W b h2 bh2 6
（一）变形几何关系
纵向对称面 O b dx 曲率半径 M y O b
O 曲率 中心
M 中性层
O
中性轴(位 z 置待定）
O b y
x y 对称轴
dx OO OO d
d 曲率 K dx 1
d
M
O b
bb dx d
bb y d
4kNm + 2.5kNm
解：(1) 绘制弯矩图 RA＝2.5 kN RB ＝ 10.5 kN 危险截面可能在B 、C截面。
y 20
120
20
M
C + 2.5kNm
4kNm -
B
(2)强度校核 M B y1 校核B： max )B （ 27.2 MPa
27.2MPa
y1 y2
28.8MPa
y2 y1
( max ) ( max ) B 46.1 MPa [ ]-
(×) 27.2MPa (3)本T形梁形心偏上放置合理
故满足强度条件。
M
C + 2.5kNm
4kNm B
讨论：其它条件不变，若改变下面任一条件，则危险 截面有几个？是那几个？ （1）铸铁梁改为钢梁。 （2）T形截面改为关于中性轴对称的截面。 （3）整根梁上M不变号。 一个，均为弯矩最大截面。 若（1）材料的[σ]+≠ [σ]-；（2）截面不关于中性轴 对称；（3）同时有最大正弯矩和最大负弯矩，三条 件同时满足，则两个极值弯矩所在截面均为危险截 20 面，均需校核。
A
1m
M (kNm) 60
1
y
+
67.5
求曲率半径
1
EI z 200 5.832 10 M1 60
M 1 y1 60 60 1 105 61.7MPa Iz 5.832 M1 y2 60 70 2 105 72MPa Iz 5.832
第六章
弯曲应力
第六章 弯曲应力
§6.1
§6.2
概述
平面弯曲时梁横截面上的正应力
§6.3
§6.4 §6.5 §6.6 §6.7
弯曲正应力的强度条件
弯曲剪应力 梁的剪应力强度校核 非对称截面梁的平面弯曲 提高弯曲强度的措施 弯曲中心
§6-1
F A a F + F + M C
概述
F D a l-2a
B
C
RA
2m
RB F
1m
140
52
[例6-3-2] T形截面铸铁梁，许用拉应力[]+=35MPa， 许用压应力为[]-=80MPa。截面对形心轴z轴的惯性矩 Iz＝763cm4。试确定梁的许可载荷[F]。 F A
B z (2) 求许可载荷
( ) max

M max y 上 F 52 10 3 Iz 763 10 8 [ ] 35 10 6
Wz ymax 抗弯截面模量
y
Iz
Wz
Iz ymax
Iz ymax
bh3 12 bh2 h2 6
b
C
h
z
Wz

D 4 64
D2

D3
32
D
Wz
Iz ymax

D 3
32
(1 4 )
d D
d d D D
梁的横截面不对称于 z 轴(中性轴)：

max
RA=2.93kN; RB=5.07kN
M
+ 1.17kNm
危险截面可能在 C、B 截面 (2)计算抗弯截面模量
Wz
实心圆轴Wz ：
D3
空心圆轴Wz’：
32 32 4 4 D 3 d 63 43 Wz 1 1 15.6 cm3 32 D 32 60