第3讲 重叠问题初步(解析)

TG(2)第三讲重叠问题

知识要点：

重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复

计数，应从他们的和中排除重复部分。

解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图（韦恩图），借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。

1、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第 12 个，从右数起是第 21 个。这一行座位有多少个？

答案：32 个。解析：由于从左向右数与从右向左数，冬冬被算了两次，去掉一次即可。12＋21－1=32 个。

练1、学校组织二年级(4)班同学去听报告，小虎的座位从左向右数是第 18 个，从右向左数是第 13 个。请问这一排座位共有多少个？

答案：30 个。解析：由于从左向右数与从右向左数，小虎被算了两次，去掉一次即可。故

这一排座位共有18+13-1=30(个)。

2、洗好的 8 块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子?

答案：9 个。

解析1块手帕要用2个夹子；2 块手帕有1个重叠，用3个夹子；3 块手帕有2个重叠，用4个夹子……8 块手帕有7个重叠，每个重叠的边需要1个夹子，两头不重叠的边各要1个夹子。因此需要的夹子数为7＋2=9 个。

总结本题规律：把手帕挂在绳子上晾干，需要的夹子数比手帕数多一个。

练2、把10 块木条用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？

答案：36 个。

解析：10 块木块用铁钉钉成一条长木条，中间重叠部分有9段，一个重叠处需要4个铁钉，那么一共需要9×4=36 个铁钉。

3、小朋友围成一个三角形做游戏，每边3人，三个角各有1人，一共有多少个小朋友？

答案：6。解析：根据题意可以画图，如下。三个角的人重叠了一次，所以一共有3×3－3=6（个）小朋友。

练3、在一个正方形操场的四条边上栽树，四个角上各栽一棵树。若每边栽6棵树，那么一共要栽多少棵树？

答案：20。

解析：由题意可知：四个角上的树重叠了一次，所以4条边共有6×4－4=20（棵）。

4、（1）把长 40 厘米和 55 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长 4 厘米，焊接后这根铁条有多长？

（2）有七块长为 60 厘米的木板，钉成一块木板，中间钉在一起重叠的部分是 10 厘米，钉成的木板长多少厘米？

答案：（1）91；（2）360。

解析：（1）因为焊接部分为两根铁条的重叠部分，所以焊接后这根铁条长40＋55－4=91（厘米）。

（2）由题意可知：有6 个重叠部分，所以总长：60×7－10×6=360（厘米）。

练习4、有6根相同的筷子，兵兵准备把它们绑成更长的筷子，已知每根筷子长20 厘米，每个重叠部分需要5厘米，你知道兵兵最后绑成的筷子长多少吗？

答案：95。

解析：由题意可知：有5个重叠部分，那么总长度20×6－5×5=95（厘米）。

5、二（1）班同学人人参加课外活动，有 20 人参加英语班，有 26 人参加电脑班，每人至少参加一项。其中 4 人两个班都参加。二（1）班一共有多少人？

20人26人

答案：42 人。

解析：（方法一）已知20 人参加英语班，26 人参加电脑班，一共有20＋26=46 人。这46 人中，有4人两班都参加。也就是说这4人在英语班算了名额，在电脑班也算了名额，多算了一次。所以，全班的人数应是46－4=42 人。

（方法二）20－4＋26=42 人。

（方法三）26－4＋20=42 人。

练5、三（4）班做完语文作业的有 37 人，做完数学作业的有 42 人，两种作业都完成的有 31 人，每人至少完成一种作业。三（ 4 ）班共有学生多少人？

答案：48 人。

解析：已知37 人完成了语文作业，42 人完成了数学作业，一共有

37+42=79（人），但是有31 人两种作业都完成了，也就是说着31 人重复计算了一遍，所以需要减去，那么三（4）班的人数为：79-31=48（人）。

6、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多，小强的位置不管从前从后数，从左从右数都是第 4 个，跳舞的同学一共有多少人？

答案：49 人。解析：因为每行每列人数相同，所以排成的

队伍是一个正方形的队伍，如图：只要算出一行或者一列的人数

就能求出总数，行：4+4-1=7（人），共：7×7=49（人）

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TG(2)第三讲回家作业

1、学校组织看文艺演出，小兵的座位从左数起是第 6 个，从右数起是第 10 个。这一行座位有多少个？

答案：15 个。解析：由于从左向右数与从右向左数，小兵被算了两次，去掉一次即可。6＋10－1=15 个。

2、把 10 张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉?

答案：22 个。

解析：10 张图片用图钉钉在一起，中间有9 个重叠部分，每个重叠部分需要2 个图钉，重叠部分一共需要9×2=18 个图钉。再加上两头各需要2 个图钉，这样一共就需要18＋4=22 个图钉。

3、有一个正方形的花园，每边种 5 株牡丹，四个角上各种 1 株，一共种了多少株牡丹？

答案：16。

解析：四个角上的牡丹重复算了一次，所以一共种了 5×4－4=16（株）牡丹。

4、两根木棍放在一起，从头到尾共长66 厘米，其中一根木棍长48 厘米，中间重叠部分长12 厘米。另一根木棍长多少厘米？

答案：30 厘米。

解析：由题意可知，两个木棍的总长是 66+12=78（厘米），所以另一根木棍长：78-48=30（厘米）。

5、有四块各长 8 厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是 2 厘米，钉成的木板长多少厘米？

答案：26 厘米。

解析：由题意可知，四根木板的长度是8×4=32 厘米，钉在一起后，中间重叠部分长度均是2 厘米，共有3 个2 厘米的重叠，那么，钉成的木板长：32－3×2=26 厘米。

6、学校组织校运会，三（1）班同学每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有 20 人，参加跳绳的有 30 人，两种都参加的有 10 人，请问三（1）班一共有多少人？

答案：40 人。

解析：由题意可知，参加跳绳的人数加上赛跑的人数，即参加跳绳又参加