【三明市5月质检】福建省三明市2014届高三5月质量检查(数学文) Word版含答案
【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题+答案解析
【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，集合，，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，若在上的投影向量为，则()A.2B.3C.4D.55.已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.6.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为()A.120dBB.100dBC.80dBD.60dB7.已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为()A. B.C. D.8.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为()A.11B.9C.7D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.在单调递增B.是的零点C.的极小值为0D.是奇函数10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则()A.B.若，，则C.若，则面积的最大值为D.若，则11.已知抛物线与圆交于A，B两点，且过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则()A.若，则直线l的斜率为B.的最小值为18C.为钝角D.点P与点F的横坐标相同时，最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
福建省三明市2024年数学(高考)统编版模拟(自测卷)模拟试卷
福建省三明市2024年数学（高考）统编版模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（）A．B．C．D．第(2)题已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（）A．将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线B．将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C．将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线D．将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线第(4)题函数的最小正周期和最大值分别是（）A．和B．和2C．和D．和2第(5)题设集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知复数是的共轭复数，则（）A．2B．3C．D．第(7)题某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（）A．29B．30C．30.5D．31第(8)题几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（）A．1B．－7C．1或－7D．2或－7二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
福建省三明市2023届高三三模数学试题(含解析)
3 赛的数据统计，甲队种子选手 M 对乙队每名队员的胜率均为 ，甲队其余 4 名队员对乙
4 队每名队员的胜率均为 1 .（注：比赛结果没有平局）
2
(1)求甲队最终 2 :1获胜且种子选手 M 上场的概率；
(2)已知甲队 2 :1获得最终胜利，求种子选手 M 上场的概率.
21．已知 F
20 3
,10
上单调递减，
故当 r 20 cm 时， f r 取最大值，此时，加工后的几何体的体积取最小值，
3
故选：A.
6．D 【分析】分析可知，当 ACB π 时， ABC 的面积取最大值，求出圆心 C 到直线 AB 的距
2 离，由题意可知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y kx ，利用圆心到直线的距 离公式求出 k 的值，可得出 tan 的值，利用诱导公式、二倍角的正弦公式、弦化切可求得
(1)求 ADC ； (2)求△BCD 的面积.
18．已知数列an 满足 a1 2 ， 2an1 anan1 2an 0 n N* .
(1)求数列an 的通项公式；
(2)设 bn 1n
8 4n2 1
an
，bn 的前 n 项和为 Sn ，证明： 1
S2n
4 5
.
19．如图，平面五边形 ABCDE 由等边三角形 ADE 与直角梯形 ABCD 组成，其中 AD ∥ BC ，
交椭圆 C 于点 N ，直线 AM 、 BN 交于点T ，求 ATB 的最大值.
22．已知函数
f
x
ax x 1
lnx a
R
.
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)若
x
1 2
福建省三明市三校2014届下学期高三年级联考数学试卷(文科)
福建省三明市三校2014届下学期高三年级联考数学试卷（文科） 有答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上． 1．复数()3i -1i 的共轭复数．．．．是 A ．3i - B ．3i + C ．3i --D ．3i -+2．若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m 为 A ．12B ． 8C ．6D ． 44．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84,4.8B ． 84,1.6C ． 85,4D ． 85,1.65．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a = A ．1 B ．4C ．8D ．166．程序框图输出S 的值为 A ．62B ．126C ．254D ．5107．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 A ．81 B ．161C ．271 D ．838．已知m 是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率是 A ．23或25 B ．23 C ．5D ．23或5 9．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ∥a ，则n ∥α D ．若m ∥n ，m ⊥a ，n ⊥β，则α∥β10．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的]0,(,21-∞∈x x )(21x x ≠，有0))()()((1212>--x f x f x x 恒成立. 则当*N n ∈时，有A ．)1()()1(-<-<+n f n f n fB ．)1()()1(+<-<-n f n f n fC ．)1()1()(+<-<-n f n f n fD ． )()1()1(n f n f n f -<-<+11．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图像向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为 A ．2B ．3C ．4D ． 612．把数列一次按第一个括号一个数，按第二个括号两个数，按第三个括号三个数，按第四个括号一个数…，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25) …，则第50个括号内各数之和为A ．390B ．392C ．394D ． 396第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．注意把解答填入到答题卷上． 13．已知ABC ∆中，4AB =，1AC =，3=∆ABC S ，则AB AC ⋅的值为 ．14．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如图3所示，则该几何体的侧面积为 cm ．15．已知x 和y 满足约束条件0,210,20.y x y x y ≥⎧⎪++<⎨⎪++>⎩则21y x --的取值范围为 ．16．若)()()()(x f x f y x f x f +=+满足，则可写出满足条件的一个函数解析式.2)(x x f =类比可以得到：若定义在R上的函数)2();()()()1(),(2121x g x g x x g x g ⋅=+满足)()(,)3(;3)1(2121x g x g x x g <<∀=，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注意把解答填入到答题卷上． 17．（本小题满分12分） 图3俯视图侧(左)视图已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,142n n S a +=-,且12a =(Ⅰ) 求证:对任意n N *∈,12n n a a +-为常数C ,并求出这个常数C ; （Ⅱ）11+=n n n a a b 如果,求数列{b n }的前n 项的和.18．（本小题满分12分）已知21cos 2sin 23)(2--=x x x f (x ∈R). (Ⅰ)求函数()x f 的最小值和最小正周期；(Ⅱ)设∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )=0，若向量m ＝(1,sin A )与向量n ＝(2,sin B )共线，求a ，b 的值. 19．（本小题满分12分）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？ 20．（本题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.4侧视图俯视图MDEBAC N(Ⅰ)求出该几何体的体积。
2024福建省三明市高三下学期5月质量检测三模数学试题及答案
三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测数 学 试 题（本试卷总分150分， 考试时间120分钟。
）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线y=-x+2与圆 x ²+y ²=4相交于M ，N 两点，则|MN|= 2 B.2 2 D.42. 已知a ，b ，c 分别为ΔABC 三个内角A ，B ，C 的对边， a =3，b =37，c =7，则A+C 的值为 A.π6 B.π3 C.2π3D.5π63.随机变量ξ~ N （μ，σ²），函数 f (x )=x ²−4x +ξ没有零点的概率是 12，则μ的值为 A. 1 B.2 C.3 D.44.若 a =−b =−c =log 2313，则A. c>a>bB. c>b>aC. a>b>cD. b>c>a5.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数（3750）8转换为十进制数的算法为3×8³+7×8²+5×¹+0×8⁰=2024.若将八进制数 77⋯76个7转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是A.3B.4C.5D.66.函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点为图象与x 轴的交点，C 为图象的最高点，且△ABC 是等腰直角三角形，若 OB =−3OA ，则向量 A O 在向量 AC 上的投影向量的坐标为A. −14 , −14B. 14 , 14C. −12 , −12D. 12 ,127.已知抛物线x ²=2p y(p >0)的焦点为F ，第一象限的两点A ，B 在抛物线上，且满足|AF|-|BF|=3，|AB|=3 2若线段AB 中点的横坐标为3，则p 的值为A.2 B.3 C.4 D.58.已知函数f (x )=e ˣ⁻¹−e ¹⁻ˣ+x ³−3x ²+3x ，若实数x ，y 满足f (3x ²)+f (2y ²−4)=2，则x+y 的最大值为A. 1B.52C. 5D.303二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.i 是虚数单位，下列说法正确的是 A.i 2024=−1B.若 ω=−12−32i ，则 ω2=ωC.若|z|=l，z∈C，则|z-2|的最小值为1D.若-4+3i是关于x的方程x²+px+q=0(p,q∈R)的根，则q=710.假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为35B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为120C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为37150D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为183711.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，B C，C1D1的中点，则下列说法正确的是A.若点P在正方体的表面上，且PE⋅PG=0，则点P的轨迹长度为24πB.若三棱锥F-C1CE的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为14πC.过点E，F，D1的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面多边形的周长为2+213D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小值为32三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 .13.已知关于x的不等式(x−keˣ)[x²−(k+3)x+9]≤0对任意x∈(0，+∞)均成立，则实数k的取值范围为 .14.记N∗m ={1,2,3,⋯,m}(m∈N∗),A k表示k个元素的有限集，S（E）表示非空数集E中所有元素的和，若集合Mm,k ={S(Ak)|Ak⊆N∗m}，则M4,3=，若S(M m,2)≥817，则m的最小值为 .四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，多面体PABCD中，△PBD和△CBD均为等边三角形，平面ABD⊥平面PBD，BD=2，PC=3.（1）求证：BD⊥PC;（2）求平面ABD与平面PBC夹角的余弦值.16.（15分）已知函数f(x)=sinωx+cosωx+>0）图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.（1）若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；（2）将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，设ℎ(x)=g(x)+12x,求h（z）在(−2π，π)的极大值点.17.（15分）某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14,园艺类占14民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25,25,45,选手乙答对这三类题目的概率均为12.（1）求随机任选1题，甲答对的概率；（2）现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.18.（17分）已知数列{aₙ}满足a1⋅a2⋯ao−1⋅an=(2)n2+a,n∈N∗.（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若不等式(−1)n t Sn−14≤S n2对任意的n∈N∗恒成立，求实数t的取值范围；（3）记bn =1log2a n,求证：b1−b2b1+b2−b3b2+⋯+b a−b n+1b a<2(n∈N∗).19.（17分）已知平面直角坐标系xoy中，有真命题：函数y=mx+nx (m≥0，n>0)的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y=mx和y轴.例如双曲线y=4x 的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点O顺时针旋转π4得到双曲线x²−y²=8的图象.（1）求双曲线y=1x的离心率：（2）已知曲线E:x²−y²=2,过E上一点P作切线分别交两条渐近线于A，B 两点，试探究△AOB面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；（3）已知函数y=33x+32x的图象为Γ，直线l:x+3y−3=0,过F(1,3)的直线与Γ在第一象限交于M，N两点，过M，N作l的垂线，垂足分别为C，D，直线MD，NC交于点H，求△MNH面积的最小值.三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．BC 10．ACD 11．BCD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．613．1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．{}6,7,8,9,21（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解法一：（1）证明：取BD 的中点M ，连接PM MC 、,·······················1分∵BPD △和BCD △均为等边三角形，∴BD PM ⊥，BD CM ⊥.··································································2分又PM CM M = ，∴BD ⊥平面CPM ，·········································································3分CP ⊂ 又平面CPM ，∴BD CP ⊥.····················································································4分（2）以M 为原点，,MB MC所在直线为,x y 轴，过M 作平面BCD 的垂线所在直线为z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，···········································5分∵平面ABD ⊥平面PBD ，平面ABD 平面PBD BD =，PM ⊂平面PBD ，PM BD ⊥∴PM ⊥平面ABD .∵PBD △和CBD △均为等边三角形，∴3PM MC PC ===，60PMC ∠=︒，∴330,,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0C ，()1,0,0B ，··············································6分∴331,,22BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0BC =- .330,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ∴0,0BP BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即330,2230x y z x ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩取1z =,则()3,1=m ，···································································8分平面ABD 的法向量330,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，·················································10分设平面ABD 与平面PBC 的夹角为θ，∴cos cos ,MP MP MP θ⋅==nn n33913313==⋅··································12分∴平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值为3913.····································13分解法二：（1）同解法一······································································4分（2）如图，取MC 的中点E 为原点，连接PE ，过点E 作//EF MB ,交BC 于点F ,由（1）知CM BD ⊥,EF MC ⊥,又由（1）知BD ⊥平面CPM ，PE ⊂ 又平面CPM ，∴BD PE ⊥，∵PBD △和CBD △均为等边三角形且棱长为2，∴3PM MC PC ===，PE MC ∴⊥,BD MC M ∴= PE CBD∴⊥平面∴以E 为原点，,,EF EC EP所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示··························································5分∵平面ABD ⊥平面PBD ，平面ABD 平面PBD BD =，PM ⊂平面PBD ，PM BD ⊥∴PM ⊥平面ABD ，∴平面ABD的法向量30,,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭···················································7分∴30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,02B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭·············································8分∴()1,CB = ，330,,22CP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m ，∴00CP CB ⎧⋅⎪⎨⋅⎩==⎪m m,即033022x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =,则()=m ，·················10分设平面ABD 与平面PBC 的夹角为θ，∴39cos cos ,13MP MP MP θ⋅===mm m，······························12分∴平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值为3913.····································13分16.解法一：（1）由题意13()sin cos()sin cos sin(6223f x x x x x x ππωωωωω=++=+=+·····································································································2分因为()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，所以周期2ππ22T ω==⨯，故2ω=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，·····················4分当()0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，·················································5分因为()f x 在区间()0,m 上有最大值无最小值，所以ππ3π2232m <+≤，·········6分解得π7π1212m <≤，所以m 的取值范围为π7π,1212⎛⎤⎥⎝⎦.···································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-，因为(2,)x ππ∈-，所以当4(2,)3x ππ∈--时，()0h x '>，()h x 单调递增，····························11分当42(,)33x ππ∈--时，()0h x '<，()h x 单调递减，································12分当22(,33x ππ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，··································13分当2(,)3x ππ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减.·········································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分解法二：（1）同解法一.·····································································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-，当222233k x k ππππ-+<<+时，()0h x '>，()h x 单调递增，因为(2,)x ππ∈-所以1k =-时，423x ππ-<<-，()h x 单调递增，··································11分1k =时，2233x ππ-<<()h x 单调递增·················································12分当242233k x k ππππ+<<+时，()0h x '<，()h x 单调递减，因为(2,)x ππ∈-0k =时，23x ππ<<，()h x 单调递减，··············································13分1k =-时，4233x ππ-<<-，()h x 单调递减，······································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分解法三：（1）同解法一.·····································································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-因为(2,)x ππ∈-，所以,(),()x h x h x '的变化情况如下：x4(2,)3ππ--43π-42(,)33ππ--23π-22(,)33ππ-23π2(,)3ππ()h x '+0-0+0-()h x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减···································································································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分17.解:(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件(1,2,3)i A i =，记随机任选1题，甲答对为事件B ，··············································1分则31122331()()(|)()(|)()(|)()(|)i i i P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A ===++∑······························································································2分12121434545255=⨯+⨯+⨯=,·······························································4分所以随机任选1题，甲答对的概率为35；···········································5分(2)乙答对记为事件C ,则1122331111111()()(|)()(|)()(|)4242222P C P A P C A P A P C A P A P C A =++=⨯+⨯+⨯=·····································································································7分设每一轮比赛中甲得分为X ,则331(1)()()()15210P X P BC P B P C ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，·································8分331511(0)()()()225112P X P BC BC P BC P BC ⎛⎫⎛⎫===+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，········9分35511(1)()12P X P BC ⎛⎫=-==-⨯= ⎪⎝⎭.····················································10分三轮比赛后，设甲总得分为Y ,则33(3)10100207P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，······························································11分22331(2)C 10200272P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，··························································12分22123311279(1)C C 331051000102P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，···································13分所以甲最终获得奖品的概率为27272794411(3)0002001000100(2)(1)0P P Y P Y P Y =++====++=.····················15分18.（1）因为2121nn n n a a a a +-⋅⋅= ①所以当2(1)11212,n n n n n a a a a -+--≥⋅⋅= ②，·············································1分由②①得2n n a =··················································································2分因为1n =时12a =也符合上式，····························································3分所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以*,2n n N a n =∈.·············································································4分（2）由（1）知，()12122212nn n S +-==--，···············································5分因为不等式2(1)14n n n tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，又0n S >且n S 单调递增，·····································································································6分所以14(1)n n nt S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，···········································7分因为1234=26=14=30S S S S =，，，，··························································8分所以当n 为偶数时，原式化简为14n n t S S ≤+对任意的n *∈N 恒成立，即min 14n n t S S ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭因为26S =>2n =时，253t ≤，············································10分。
福建省三明市第一中学2014-2015学年高二上学期半期考试数学(文)试题
福建省三明市第一中学2014-2015学年高二上学期半期考试数学（文）试题（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的， 请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上．）1．公司现有青年人160人，中年人30人，老年人10人，要从其中抽取20个人进行身体 健康检查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法2．命题“∀x ∈R ，221x x+-≥0”的否定是（ ）A ．∃0x ∈R ，20021x x +-≤0B ．∃0x ∈R ，20021x x +-≥0C ．∃0x ∈R ，200210x x +-<D ．∀0x ∈R ，200210x x +-<3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的 是( )A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元D ．劳动生产率为1千元时，工资为90元4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差5．设P 是双曲线1422=-y x 上一点，F 1、F 2是双曲线的焦点，若|PF 1|等于1，则|PF 2|等于 ( )A ．5B ．3C ．2D ．1 6．已知,522:=+p 23:>q ，则下列判断中，正确的是（ ）A ．p 或q 为真，非q 为真B ． p 或q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ． p 且q 为假，p 或q 为假7.从装有3个红球和4个白球的口袋中任取2个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为( )A ．“都是红球”与“至少一个红球”B ．“恰有一个红球”与“至少一个白球”C ．“至少一个白球”与“至多一个红球”D ．“都是红球”与“至少一个白球”8.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方 厘米到64π平方厘米的概率是( )A ．925B ．1625C ．310D ．159．3<m <5是方程18322=-+-m y m x 表示的图形为双曲线的( ) A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件10．设21,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 4511．若直线4=+ny mx 与圆O ：422=+y x 没有交点，则过点),(n m P 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．012．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分． 请把答案填在答题卷相应的位置上．)13．命题“若0232≠+-x x ，则2≠x ”的逆否命题为_________14．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： [20，40)， [40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人 数是__________15．阅读右上所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于__________16．给出下列四个命题：①动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则点P 的轨迹是双曲线； ②“直线与双曲线只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件； ③直线l 交椭圆484322=+y x 于A ，B 两点，AB 的中点为M (2，1)，则l 的斜率为23-； ④已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心 P 的轨迹是椭圆．其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共74分． 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）现有参加CBA2013～2014赛季的甲、乙两支球队，统计两队队员的身高如下(单位：cm )：甲队队员：194，187，199，207，203，205，209，199，183，215，219，206，201， 208； 乙队队员：179，192，218，223，187，194，205，207，185，197，199，209，214， 189． (1)用茎叶图表示两队队员的身高；第14题图第15题图(2)根据茎叶图判断哪个队队员的身高更整齐一些．18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出后放回，连 续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中 三等奖．（1）求中二等奖的概率； （2）求未中奖的概率．19.（本小题满分12分）求以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线的标准方程．20.（本小题满分12分）已知m ＞0，p ：(x ＋2)(x －6)≤0，q ：2－m ≤x ≤2＋m ． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．21.（本小题满分13分）设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．22.（本小题满分13分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(2，0)，离心率为21．(1)求椭圆C 的方程； (2)求过点(1，0)且斜率为23的直线被C 所截线段的中点坐标． (3)设A 1和A 2是长轴的两个端点，直线l 垂直于A 1A 2的延长线于点D ，|OD |＝4，P是l 上异于点D 的任意一点．直线A 1P 交椭圆C 于M (不同于A 1，A 2)，设λ＝A 2M →·A 2P →， 求λ的取值范围．草稿纸班级 姓名 座三明一中2014—2015学年第一学期学段考高二数学（文）参考答案一、选择题：二、填空题：13．若,2=x 则0232=+-x x ； 14．50； 15． -3； 16．②③④． 三、解答题17．解： (1)茎叶图如下(以十位百位为茎，个位为叶)：……８分(2)由(1)中图知甲队队员的身高更整齐些．……12分18.解：（1）试验包含的所有基本事件有（0，0），（0，1）（0，2）（0，3），（1，0），（1，1）， （1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2）， （3，3）共16个， ………………2分设“中二等奖”的事件为A ， 事件A 包含基本事件(1,3),(2,2),(3,1)共3个， ……………4分故163)(=A P ………………6分 （2）设“未中奖”的事件为B ，“两个小球号码相加之和等于3”这一事件包括基本事件(0,3),(1,2)(2,1),(3,0)， 共4个，“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件(2,3),(3,2)共2个………………9分3427()1()1()16161616P B P B \=-=-++=……12分 答：中二等奖的概率为163，未中奖的概率为167．……13分19．解：椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，………………3分 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)…………4分∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ， ∴b a ＝12，……………………………6分 ∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，……………8分 ∴a 2＝8，b 2＝2，……………10分即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1．……12分 20．解： p ：－2≤x ≤6，q ：2－m ≤x ≤2＋m (m ＞0)……………2分(1)∵p 是q 的充分条件∴⎩⎪⎨⎪⎧2－m ≤－2，2＋m ≥6，……………4分 解之得m ≥4．故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．……6分(2)当m ＝5时，q ：－3≤x ≤7．……………7分∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴p 、q 一真一假，……………8分∴⎩⎨⎧>-<≤≤-7362x x x 或或⎩⎨⎧≤≤->-<7362x x x 或……………10分 得－3≤x ＜－2或6＜x ≤7．因此，实数x 的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]．……12分21．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，…………2分又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43．……5分 (2) l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2……………6分设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0．……………8分则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2．……………9分 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|即43＝2|x 2－x 1|．……………10分则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝224)1(8b b +…………12分 解得b ＝22．……13分 22．解：(1)将点(2，0)代入椭圆C 的方程，得24a ＝1，∴a ＝2，…………1分 又e ＝c a ＝21，∴c ＝1，∴3222=-=c a b ……………3分 ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．……………4分 (2)过点(1，0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x －1)， 设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝23(x －1)代入 椭圆方程得14)1(422=-+x x ，即2x 2－2x －3＝0，……………5分 由韦达定理得x 1＋x 2＝1，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝21，纵坐标为43)12123-=-（，……7分即所截线段的中点坐标为(43,21-)．……………8分(3)由(1)知，A 1(－2，0)，A 2(2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 在椭圆C 上，∴y 20＝34(4－x 20)．……………9分 由P ，M ，A 1三点共线可得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2．……………10分 ∴A 2M →＝(x 0－2，y 0)，A 2P →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2．……………11分 ∴A 2M →·A 2P →＝2(x 0－2)＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)，……………12分 ∵－2<x 0<2，∴λ＝A 2M →·A 2P →∈(0，10)．……………13分。
福建省三明市三校2014届下学期高三年级联考数学试卷(理科)
福建省三明市三校2014届下学期高三年级联考数学试卷（理科） 有答案注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1、如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z +所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为（ ） A ．154 B ．152C ．74D ．723．已知向量(1,1)a =-,(3,)b m =,//()a a b +,则m =（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．34.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π5、已知,l m 为两条不同的直线，α为一个平面。
若α//l ，则“m l //”是“α//m ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件6．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程y bx a =+中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ） A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟7、函数()f x 具有下列特征：2()(0)1,(0)0,0,()0f x f f x f x x''''==>⋅>，则()f x 的图形可以是下图中的（ ）8、函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，1()22xf x x a =-+，则函数()f x 的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-．3C π∠=，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆ABC ∆的形状．（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 10． 已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合： ① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ② {}2),(-==xe y y x M ③ {}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(== 其中所有“Ω集合”的序号是（ ）（A ）②③ ． （B ）③④ ． （C ）①②④． （D ）①③④．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.11．在531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为p ，则=+⎰dx p x )3(102 .12．已知实数,x y 满足012210x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数,(0)z ax y a =+≠取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为 .13．定义一种运算S a b =⊗，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“⊗”的含义。
【三明市5月质检】福建省三明市2014届高三5月质量检查(数学理)
2014年普通高中毕业班质量检查（一）理 科 数 学第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i 45i z =- (其中i 为虚数单位)，则复数z 为 （ ） A ．54i - B ．54i -+ C ．54i + D ．54i -- 2．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}8221|{<<=x x B ，则A B 等于（ ） A ．(2,12)B ．(2,3)C ．(1,3)-D ．(1,12)-3．观察下列关于两个变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（ ）A ．正相关、负相关、不相关B ．负相关、不相关、正相关C ．负相关、正相关、不相关D ．正相关、不相关、负相关 4． 设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若b a ,与α所成的角相等，则b a //B ．若α//a ，β//b ，βα//，则b a //C ．若α⊥a ，β⊥b ，βα⊥，则b a ⊥D ．若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα// 5．在二项式1()nx x-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．－56B ．－35C ． 35D ．566．设0a >且1a ≠，命题p ：函数()x f x a =在R 上是增函数 ，命题q ：函数3()(2)g x a x =-在R 上是减函数，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线221()my x m -=∈R 与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．13y x =±D ．3y x =± 8．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一 点，则点落在四面体内的概率为（ ）A ．913p B ． 113p C ．169p D ．169p9．已知函数11,[0,2],()1(2),(2,),2x x f x f x x ì-- ïïï=íï-? ïïïî则函数()ln(1)y f x x =-+的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．在数列{}n a 中，112a =，且55n n a a +≥+，11n n a a +≤+，若数列{}n b 满足1n n b a n =-+，则数列{}n b 是 A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．11．曲线21y x =+与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形的面积是 ．12．执行如图所示的程序框图，若输入的5a =，则输出的结果是__ __．13．已知变量,x y 满足约束条件1,1,3,2x y x y y ⎧⎪-≤⎪+≥⎨⎪⎪≤⎩若,x y 取整数，则目标函数2z x y =+的最大值是 .14．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为 .15．对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件： （ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=； （ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=； （ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕， 则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法； ②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法； ③{}A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有 ．（把所有正确的序号都填上）2n三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望EX ；(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率． 17．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ,AB AD ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ,若8,AB =2DC =，AD =4PA =,45PAD ∠=，且13AO AD =．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小为(090)θθ<≤，求cos θ的值．18．(本小题满分13分)已知点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上不同的两点，点D 在抛物线C 的准线l 上，且焦点F 到直线20x y -+=的距离为2. (I ）求抛物线C 的方程；(Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线AB 过焦点F ；②直线AD 过原点O ；③直线BD 平行x 轴． 请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明. 19．(本小题满分13分)若函数()sin cos (,)f x a x b x a b R =+ ，非零向量(,)a b =m ，我们称m 为函数()f x 的“相伴向量”，()f x 为向量m 的“相伴函数”.PABCD O 17题图（Ⅰ）已知函数22()(sin cos )2cos 2(0)f x x x x ωωωω=++->的最小正周期为2π，求函数()f x 的“相伴向量”；（Ⅱ）记向量=n 的“相伴函数”为g()x ，将g()x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移23π个单位长度，得到函数()h x ，若6(2),(0,)352h ππαα+=∈，求sin α的值； （Ⅲ）对于函数()sin cos 2x x x ϕ=，是否存在“相伴向量”？若存在，求出()x ϕ“相伴向量”；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分14分)已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R)，211()() (0)2g x x m x m m=-+>，且()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线方程为10x y --=.(Ⅰ）求,a b 的值；(Ⅱ）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0,2)内有且仅有一个极值点，求m 的取值范围；(Ⅲ）设1(,) ()M x y x m m>+为两曲线() ()y f x c c =+∈R ，()y g x =的交点，且两曲线在交点M 处的切线分别为12,l l .若取1m =，试判断当直线12,l l 与x 轴围成等腰三角形时c值的个数并说明理由.21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ）求二阶矩阵M ；(Ⅱ）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程. （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的方程为()2241x y -+=．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和圆M 的参数方程；(Ⅱ）求圆M 上的点到直线l 的距离的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设函数()211f x x x =--+.（Ⅰ）求不等式()0f x £的解集D ；（Ⅱ）若存在实数{|02}x x x 危 a 成立，求实数a 的取值范围．2014年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 二．填空题： 11．4312．62 13．5 14．162π 15．①、③ 三、解答题： 16．解：（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………2 分所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=． ……………………………3 分 则X 可能的取值为0,1,2， …………………………………………4分所以()2824070195C P X C ===,()11832240641195C C P X C ===,()2322401242195C P X C ===， 因此X 的分布列为7分故X 数学期望76412431280121951951951955EX =⨯+⨯+⨯==． …………………9分 (Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=， ……………10分 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ……………………………………………13分 17．解：（Ⅰ）因为13AO AD =，AD =，所以AO = ……………1分 在PAO ∆中，由余弦定理2222cos PO PA AO PA AO PAO =+-⋅∠， 得(22242482PO =+-⨯⨯=， ……………………………………3分PO ∴=222PO AO PA ∴+=， ………………………………………………4分 PO AD ∴⊥， …………………………………………………………………5分又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ． ………………………………………………………………6分(Ⅱ）如图，过O 作//OE AB 交BC 于E ，则OA ，OE ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OE ，OP 所在直线为z x 、y 、轴，建立空间直角坐标系O xyz -， …………………………7分 则)0,0,0(O，,A B ，(42,2,0),C P - (8)分(6,0)BC ∴=--，PB =8,-，……………………9分 设平面PBC 的一个法向量为=()x ,y ,zn ，由,,BC PB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得60,80,y y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩即,3,y z x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩取1x =则3y z ==-，所以(1,3)=-n 为平面PBC 的一个法向量． ……………………………11分 AB ⊥平面PAD , ()0,8,0AB ∴=为平面PAD 的一个法向量． 所以cos ,ABAB AB =⋅n n n==， ………………………………12分 cos cos ,6AB θ∴==n ． …………………………………………………13分18． 解：（I ）因为(,0)2p F ， 依题意得2d ==, …………………………2分 解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x = …………………………………4分(Ⅱ）①命题：若直线AB 过焦点F ，且直线AD 过原点O ，则直线BD 平行x 轴.…………………………………5分设直线AB 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ， ………………………6分 由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩ 得2440y ty --=，124y y ∴=-， ……………………………………………8分直线AD 的方程为11yy x x =， ……………………………………………9分所以点D的坐标为11(1,)yx --，112211144y y y x y y ∴-=-=-=， ……………………………………………………12分 ∴直线DB 平行于x 轴. ………………………………………………………13分 ②命题：若直线AB 过焦点F ，且直线BD 平行x 轴，则直线AD 过原点O . …………………………………5分设直线AB 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ， ………………………6分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩ 得2440y ty --=， 124y y ∴=-， ……………………………………………8分即点B 的坐标为224(,)x y -， ……………………………………………9分∵直线BD 平行x 轴，∴点D 的坐标为14(1,)y --， …………………………10分∴11(,)OA x y =，14(1,)OD y =--，由于111114()(1)0x y y y y ---=-+=，∴OA ∥OD ，即,,A O D 三点共线， ……………………………………………12分∴直线AD 过原点O . ………………………………………………………13分 ③命题：若直线AD 过原点O ，且直线BD 平行x 轴，则直线AB 过焦点F .…………………………………5分设直线AD 的方程为 (0)y kx k =≠，则点D 的坐标为(1,)k --， …………6分 ∵直线BD 平行x 轴，∴B y k =-，∴24B k x =，即点B 的坐标为2(,)4k k -， ……………………8分由2,4,y kx y x =⎧⎨=⎩得224k x x =， ∴244,,A A x y k k ==即点A 的坐标为244(,)k k ， ……………………………10分∴2244(1,),(1,)4k FA FB k k k =-=--，由于224444(1)()(1)04k k k k k k k k---⋅-=-+-+=，∴FA ∥FB ，即,,A F B 三点共线， ………………………………………12分 ∴直线AB 过焦点F . ………………………………………………………13分19．解：（Ⅰ）22()(sin cos )2cos2f x x x x ωωω=++-22sin cos sin 21cos 22x x x x ωωωω=++++- sin 2cos 2x x ωω=+)4x πω=+， ………………………………………1分依题意得222ππω=，故12ω=. ………………………………………2分 ∴()sin cos f x x x =+，即()f x 的“相伴向量”为（1，1）． ………3分(Ⅱ）依题意，g()cos 2sin()6x x x x π=+=+， ……………………………4分将g()x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数12sin()26y x π=+， ………………………………………………………5分再将所得的图象上所有点向左平移23π个单位长度，得到12()2sin[()]236h x x ππ=++， 即11()2sin()2cos 222h x x x π=+=， ……………………………6分∵6(2)35h πα+=，∴3cos()65πα+=，∵(0,)2πα∈，∴2(,)663πππα+∈，∴4sin()65πα+=， ……………8分∴3sin sin[()]sin()cos cos()sin 66666610ππππππαααα=+-=+-+=. ………………………………………………………10分(Ⅲ）若函数()sin cos 2x x x ϕ=存在“相伴向量”，则存在,a b ，使得sin cos 2sin cos x x a x b x =+对任意的x R ∈都成立，……………11分 令0x =，得0b =，因此sin cos 2sin x x a x =，即sin 0x =或cos 2x a =， 显然上式对任意的x R ∈不都成立，所以函数()sin cos 2x x x ϕ=不存在“相伴向量”. …………………………13分 (注：本题若化成3()sin sin x x x ϕ=－2，直接说明不存在的，给1分) 20． 解：(Ⅰ）()af x b x'=+，∴(1)1f a b '=+=，又(1)0f b ==， ∴1,0a b ==． …………………………………3分(Ⅱ）211()ln ()2h x x x m x m=+-+； ∴11()()h x x m x m'=+-+由()0h x '=得1()()0x m x m--=，∴x m =或1x m=． …………………………………5分 ∵0m >，当且仅当102m m <<≤或102m m<<≤时，函数()h x 在区间(0,2)内有且仅有一个极值点． …………………………………6分 若102m m <<≤，即102m <≤，当(0,)x m ∈时()0h x '>；当(,2)x m ∈时()0h x '<，函数()h x 有极大值点x m =，若102m m <<≤，即2m ≥时，当1(0,)x m ∈时()0h x '>；当1(,2)x m∈时()0h x '<，函数()h x 有极大值点1x m=，综上，m 的取值范围是1|022m m m ⎧⎫<≤≥⎨⎬⎩⎭或． …………………………………8分(Ⅲ）当1m =时，设两切线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，则1tan ()()2f x g x x xαβ''===-，tan =， ∵2x >， ∴,αβ均为锐角， …………………………………………9分当αβ>，即21x <<时，若直线12,l l 能与x 轴围成等腰三角形，则2αβ=；当αβ<，即1x >12,l l 能与x 轴围成等腰三角形，则2βα=．由2αβ=得，2tan 1βαββ==-2t a n ta n2t a n ，得212(2)1(2)x x x ---=，即23830x x -+=，此方程有唯一解(2,1x =，直线12,l l 能与x 轴围成一个等腰三角形．……11分 由2βα=得， 2tan 1αβαα==-2t an tan2t an ，得21211x x x⋅--2=，即322320x x x --+=， 设32()232F x x x x =--+，2()343F x x x '=--，当(2,)x ∈+∞时，()0F x '>，∴()F x 在(2,)+∞单调递增，则()F x在(1)+∞单调递增，由于5()02F <，且512，所以(10F <，则(1(3)0F F <， 即方程322320x x x --+=在(2,)+∞有唯一解，直线12,l l 能与x 轴围成一个等腰三角形． 因此，当1m =时，有两处符合题意，所以直线12,l l 能与x 轴围成等腰三角形时，c 值的个数 有2个． ………………………………………14分21.（1）解：（Ⅰ）设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12234A ==-，1213122A --⎛⎫⎪∴= ⎪-⎝⎭，…………2分 21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………………3分 (Ⅱ）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ …………………………………………4分代入22221x xy y ++=可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=． ……………………………………7分 21.（2）解：（Ⅰ）由1sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得1sin cos cos sin 662ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11222x y ∴+=，即10x -=， ………………………1分 设4cos ,sin ,x y ϕϕ-=⎧⎨=⎩4cos ,sin ,x y ϕϕ=+⎧∴⎨=⎩ ………………………2分所以直线l的直角坐标方程为10x -=；圆M 的参数方程4cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数). …………………………………3分(Ⅱ）设()4cos ,sin M ϕϕ+，则点M 到直线l 的距离为32sin 62d πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， ………………………5分泉州中远学校2014届高三毕业班数学试卷11∴当sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即22()3k k Z πϕπ=-+∈时，min 12d =. 圆M 上的点到直线l 的距离的最小值为12. ………………………7分（21）(3）解：（Ⅰ）当1x ≤-时，由()20f x x =-+≤得2x ≥，所以x ∈∅； 当112x -<≤时，由()30f x x =-≤得0x ≥，所以102x ≤≤； 当12x >时，由()20f x x =-≤得2x ≤，所以122x <≤. …………2分 综上不等式()0f x ≤的解集D {}02x x =≤≤. ………………3分 (= ……………………………………4分由柯西不等式得2(31)((2))8x x ?+-=，∴≤， …………………………………………………………5分 当且仅当32x =时取“=”， ∴ a的取值范围是(- . …………………………………………………7分。
2024届福建省部分地市高三下学期4月诊断检测(三模)数学数学答案
绝密★启用前试卷类型：A2023-2024学年福州市高三年级第三质量检测评分参考数学2024.4一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（i 是虚数单位），则z =A ．1-B ．1C ．i-D ．i解析：∵i i 1i z +=+，∴i 1z =，即i z =-，故选C.2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，cos α=，(,2)P m 为其终边上一点，则m =A ．4-B ．4C ．1-D ．1解析：∵cos α=，∴2tan 2m α==，∴1m =，故选D .解析：结合该函数为偶函数，及()03f =可判断应选A.4．在菱形ABCD 中，若||||AB AD AB -= ，且AD 在AB 上的投影向量为AB λ，则λ=A ．12-B ．12C ．22-D ．22解析：由已知AB AD AB -=知该菱形中AB AD BD ==，∴由D 向AB 作垂线，垂足即为AB 中点，∴12λ=，故选B .5．已知5log 2a =，2log b a =，1(2bc =，则A.c b a >>B.c a b>> C.a b c >> D.b c a>>解析：∵55log 2log 51a =<=，∴2log 0b a =<，1(12b c =>，∴c a b >>，故选B.6．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为1BD 上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为 A.33B.63C.66D.32解析：在正方体中，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BD DD D = ，∴AC ⊥平面1BDD ，易知当OP ⊂平面1BDD ，且1OP BD ⊥时，OP 的长度最小，在1RT BDD △中,不难求得66OP =，故选C.7．若直线y ax b =+与曲线e xy =相切，则a b +的取值范围为A ．(,e]-∞B ．[2,e]C ．[e,)+∞D ．[2,)+∞解析：设切点为00(,e )x x ，则0e ,x a =∴切线方程为000e ()e x x y x x =-+，则00(1)e x b x =-，∴00(2)e x a b x +=-，设00()(2)e x f x x =-，则00()(1)e x f x x '=-，易知函数()(1)e f x f ≤=，又(2)02f =<，故可判断选A.（由图象知当且仅当切线与曲线相切于()1,e 时，11e e a b a b +=⨯+==最大，亦可知选A.）8．已知函数()2sin cos )f x x x x ωωω=+(0)ω>在π(0,)3上单调递增，且对任意的实数a ，()f x 在(,π)a a +上不单调，则ω的取值范围为A ．5(1,]2B ．5(1,]4C ．15(,22D ．15(,]24解析：∵π()2sin cos )2sin(2)3f x x x x x ωωωω=+=-+∵()f x 在π(0,3上单调递增，∴πππ2332ω⋅-≤，∴54ω≤，∵对任意的实数a ，()f x 在区间(,π)a a +上不单调，∴()f x 的周期2πT <，∴2π2π2T ω=<，∴12ω>，∴1524ω<≤，故选D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDACDBC9．双曲线2222:13x y C a a-=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，且C 的两条渐近线的夹角为θ，若12||2F F e =（e 为C 的离心率），则解析：易知该双曲线实半轴为a ，半焦距为2a ，∴离心率22ae a==，∴焦距44a =，即1a =，∴选项A 正确，选项C 错误；易知C 的两条渐近线的斜率为3k a=±=，∴这两条渐近线的倾斜角分别为π3和2π3，∴C 的两条渐近线的夹角为π3，∴选项B ，D 正确；综上所述，应选ABD .10.定义在R 上的函数()f x 的值域为(,0)-∞，且(2)()()0f x f x y f x y ++-=，则A ．(0)1f =-B ．2(4)[(1)]0f f +=C ．()()1f x f x -=D ．()()2f x f x +-≤-解析：令0x y ==，则()()2000f f+=，∵函数()f x 的值域为(,0)-∞，∴(0)1f =-，选项A 正确；令1x =，0y =，则2(2)[(1)]f f =-，令2x =，0y =，则24(4)[(2)][(1)]f f f =-=-，∴选项B 错误；令0x =，则(0)()()0f f y f y +-=，∴()()(0)1f y f y f -=-=，即()()1f x f x -=，∴选项C 正确；∵()0f x ->，()0f x -->，∴[()()]2f x f x -+-≥∴()()2f x f x +-≤-，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量1,1,(1,2,3)n n n X n ⎧==⎨-⎩第次投出正面,第次投出反面,．记A 表示事件“120X X +=”，B 表示事件“21X =”，C 表示事件“1231X X X ++=-”，则A ．B 和C 互为对立事件B ．事件A 和C 不互斥C ．事件A 和B 相互独立D ．事件B 和C 相互独立解析：考查选项A ，事件B 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项A 错误；考查选项B ，事件A 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项B 正确；考查选项C ，易知12211()(22P A C ==，1()2P B =，事件AB 为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则1()4P AB =，∴1()()()4P AB P A P B ==，故选项C 正确；考查选项D ，由选项AC 可知311()(28P BC ==，1()2P B =，在事件C 中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则23313()(28P C C ==，∴()()()P BC P B P C ≠，故选项D 错误；综上所述，应选BC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.160；13.2；14.22mm +；1或2．12.62()x x+的展开式中常数项为．解析：易知该二项展开式通项为662()r r r C x x-，∴当3r =时，得到常数项为160，故应填160．13．某圆锥的体积为π3，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为．解析：设该圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，根据侧面展开图为半圆得2ππr l =，即2l r =，又根据圆锥体积得1ππ33r =，解得1r =，2l =，故应填2．14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >．则2a =（结果用m 表示）；若数列1{}nT 为等差数列，则m =．解析：易知112m T a ==，∴12221)(2m a a a a m =+=+，解得222a m m =+，故应填22m m +；（方法一）211111111111111n n n n n n n n T T m a m a m a m ma a m m m a ---------=-=-=-----+(2)n ≥，若数列1{}n T 为等差数列，则2111n n m ma a ----为常数d ，①若0d =，则11n a -=(2)n ≥恒成立，即1n a =(1)n ≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则1211n n dm dm a a --=--，∴2,,11dm dm ==⎧⎨⎩解得1,1,d m ==⎧⎨⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．（方法二）∵1{}n T 为等差数列，∴111n n d T T -=+(2)n ≥，易知112T m =，且12(1)n n d T m=+-，当2n ≥时，∵n n T a m +=，∴1n n n T T m T -+=，∴111n n m T T -=+，∴由12(1)n n d T m =+-，可得22(1)1(2)m n d n d m+-=++-，∴2(1)1(2)m dn m d m-=-++-对于任意n 恒成立，∴1,21(2)0,m m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩或0,21(2)0,d m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩或0,2,d m =⎧⎨=⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin a C c B =，2π3C =.（1）求B 的大小；（2）若ABC △的面积为4，求BC 边上中线的长.解：（1）∵sin sin a C c B =，∴由正弦定理，得sin sin sin sin A C C B =，…………2分∵0πC <<，∴sin 0C >，∴sin sin A B =，………………………………………3分∵0πA <<，0πB <<，∴A B =，……………………………………………………5分∵πA B C ++=，且2π3C =，∴π6B =.……………………………………………6分（2）依题意1sin 42ab C =，………………………………………………………………7分∵A B =，∴a b =，………………………………………………………………8分212πsin 23a ==，解得a =，…………………………………………10分设边BC 的中点为D ，∴32CD AC ==∴在ACD △中，由余弦定理知2222cos AD AC CD AC CD C=+-⋅⋅332π2132cos4234=+-⨯=，………………………………………………………12分∴BC 边上中线的长为212.……………………………………………………………13分16．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AB AC BC AA ====，1A B =.（1）设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；（2）求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．（第16题图）解：（1）∵D 为AC 中点，且2AB AC BC ===，∴在ABC △中，有BD AC ⊥，且BD =……………………………………………1分∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，∴BD ⊥平面11ACC A ，………………………………………………………………………2分∵1A D ⊂平面11ACC A ，∴1BD A D ⊥，……………………………………………………3分∵1A B =，BD =1A D ，……………………………………………………4分∵1AD =，12AA =，1A D =，∴由勾股定理，有1AC A D ⊥，……………………………………………………………6分∵AC BD ⊥，1A D BD D = ，∴AC ⊥平面1A DB ，…………………………………………………………………………7分（2）如图所示，以D 为原点，DA ，DB ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，可得(1,0,0)A，1A，B ，………………………………………………9分∴1(AA =-，(AB =-，…………………………………………………10分设平面11A AB 的法向量为(,,)x y z =n ，则由10,0,A A B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =1y =，1z =，∴=n ，…………………………………………12分由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =，…………………………………………13分记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α，∴5cos ||5||BD BD α⋅==n |n |，∴平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值为5．………………………………………15分17．（15分）从一副扑克牌中挑出4张Q 和4张K ，将其中2张Q 和2张K 装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q 和2张K 放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q ，则把它放回袋中；若抽出K ，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q 放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K 全部置换为Q.（1）在操作2次后，袋中K 的张数记为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作1n +()n *∈N 次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ．”为n A ，记()n n P P A =.（i ）在第1次取到Q 的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ii ）试探究1n P +与n P 的递推关系，并说明理由.解：（1）由题意X 的取值可能为0，1，2，……………………………………………1分当0X =时，即第一次取出K ，第二次也取出K ，∴211(0)22318P X ==⨯=++，…………………………………………………………2分当1X =时，即第一次取出Q ，第二次取出K ，或第一次取出K ，第二次取出Q ，∴2223135(1)22222231488P X ==⨯+⨯=+=++++，……………………………3分当2X =时，即第一次取出Q ，第二次也取出Q ，∴221(2)22224P X ==⨯=++，…………………………………………………………4分∴X 的概率分布列为…………………………………………………………………5分∴X 的数学期望1519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………6分（2）（i ）记事件“第1次取到Q ”为B ，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C ，则1()2P B =，………………………………………………………………………………7分依题意，若第1次取出Q ，则剩余的3次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，①若第2次亦取出Q ，则第3次和第4次均须取出K ，X 012P185814其概率为1221122+22+23+132⨯⨯⨯=；………………………………………………………8分①若第2次取出K ，则第3次须取出Q ，第4次须取出K ，其概率为1231322+23+13+164⨯⨯⨯=；………………………………………………………9分∴13()53264(|)1()322P CB P C B P B +===，即在第1次取到Q 的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为532．…………………………………………………………………………10分（ii ）（方法一）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，①当第1次取出Q ，则剩余的1n +次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，概率为212+22n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1次取出K ，则从第2次起，直到第1n +次均须取出Q ，且第2n +次取出K ，概率为23113(()2+23+13+184n n⨯⨯=⨯；………………………………………………………14分∴1+113(284n n n P P +⨯=．…………………………………………………………………15分（方法二）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，则一定有第2n +次（最后一次）取出K ，①当第1n +次（倒数第二次）取出Q ，则须在之前的n 次操作中的某一次取出K ，概率为333+14n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1n +次（倒数第二次）取出K ，则从第1次起，直到第n 次均须取出Q ，概率为3221111()((2+22+23+1822n n n +⨯⨯=⨯=；…………………………………………14分∴133+1(42n n n P P ++=．……………………………………………………………………15分18．（17分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且当l 的斜率为1时，|8MN =|．（1）求C 的方程；（2）设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点）．记线段MN 的中点为R ，若||3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．解：(1)不妨设l 的方程为2px my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立l 与C 的方程，得2220y mpy p --=，…………………………………………1分∴122y y mp +=，212y y p =-，…………………………………………………………2分则21212||()22(1)MN x x p m y y p p m =++=++=+，…………………………………3分∴由题可知当1m =时，||8MN =，∴2p =，…………………………………………4分∴C 的方程为24y x =．……………………………………………………………………5分(2)由(1)知1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得2(21,2)R m m +，……………………………6分易知C 的准线方程为1x =-，又l 与C 的准线交于点P ，∴2(1,)P m--，……………7分则直线OP 的方程为2mx y =，………………………………………………………………8分联立OP 与C 的方程，得22y my =，∴2(,2)Q m m ，……………………………………9分∴Q ，R 的纵坐标相等，∴直线QR x ∥轴，……………………………………………11分∴222|||21|1QR m m m =+-=+，…………………………………………………………12分∴MNQ QRM QRN S S S =+△△△121||||2QR y y =-3222(1)2||m QR =+，…………14分∵点Q （异于原点），∴0m ≠，…………………………………………………………15分∵||3QR ≤，∴13||QR <≤，∴3222||QR <≤即MNQ S ∈△．…………………………………………17分19．（17分）若实数集A ，B 对a A ∀∈，b B ∀∈，均有(1)1b a ab +≥+，则称A B →具有Bernoulli 型关系.（1）判断集合{|1}M x x =>，{1,2}N =是否具有Bernoulli 型关系，并说明理由；（2）设集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>，若S T →具有Bernoulli 型关系，求非负实数t 的取值范围；（3）当*n ∈N时，证明：1158n k k n -=<+∑．解：（1）依题意，M N →是否具有Bernoulli 型关系，等价于判定以下两个不等式对于1x ∀>是否均成立：①1(1)1x x +≥+，②2(1)12x x +≥+，…………………………………2分∵1x ∀>，1(1)1x x +=+，22(1)1212x x x x+=++>+∴M N →具有Bernoulli 型关系．………………………………………………………4分（2）（方法一）令()(1)1b f x x bx =+--，x S ∈，(0,)b ∈+∞，则1()[(1)1]b f x b x -'=+-，…………………………………………………………………5分①当1b =时，显然有(1)1b a ab +=+，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………6分②当1b >时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递减，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≥=，∴(1)(1)0b x bx +-+≥，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………………………………………………8分③当01b <<时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递增，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，∴()f x 的最大值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≤=，∴(1)(1)0b x bx +-+≤，即(1)1b x bx +≤+，∴当x S ∈，且01b <<时，(1)1b x xb +≥+不能恒成立，…………………………10分综上所述，可知若S T →具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为[1,)+∞．……………………………………………………11分（方法二）当1b =，或01b <<时，与方法一相同；…………………………………8分当1b >时，若10ab +≤，∵(1)01b a ab +>≥+，∴(1)1b a ab +≥+，若10ab +>，则1ab >-，又1b >，∴101b <<，∴由方法一的结论，可知11(1)11b ab ab a b +≤+⋅=+，即1(1)1b ab a +≤+，…………………………………………………………………………9分∵10ab +>，且(1,)a ∈-+∞，∴1[(1)](1)b b b ab a +≤+，即1(1)b ab a +≤+，即(1)1b a ab +≥+；………………………10分∴若集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为为[1,)+∞．…………………………………………………11分（3）∵1112222211((1)k k k k k k-+==+，…………………………………………12分显然211k >-，且1012k<<，由（2）中的结论：当01b <<时，(1)1b x xb +≤+，可知122231111(1)1+122k k k k k +≤⋅=+，………………………………………………………………………………………13分当2k ≥时，33121(1)111[]24()4(1)(1)4(1)(1)k k k k k k k k k k k k +--≤==---+-+，∴1221111(1)1[4(1)(1)k k k k k k +≤+--+，2k ≥，………………………………………15分当1n =时，1158n k k n -=<+∑显然成立；…………………………………………16分当2n ≥时，11122311[1]24(1)4(1)n n n k k k k k k k k k --====+<++--+∑∑∑211111111515[[24(1)(1)242(1)84(1)8n k n n n n k k k k n n n n ==++-=++⋅-=+-<+-+++∑，综上所述，当*n ∈N时，1158n k k n -=<+∑.……………………………………17分。
2023-2024学年福建省泉州五中、三明二中、三明九中等校高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省泉州五中、三明二中、三明九中等校高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．图中的阴影部分表示的集合为（）A．A∩B∩C B．A∩B∩（∁U C）C．A∩（∁U B）∩C D．（∁U A）∩B∩C2．若Z1，Z2为复数，则“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=(2−1)cosx的部分图象为（）1+e xA．B．C．D．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（）A ．3B ．4C ．6（√3−1）D ．3（√3+1） 5．已知数列{a n }满足a n −a n+1=a n a n+12n−1，且a 2＝﹣1，若a k ＝16a 8，则正整数k 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．106．如图，AB 是圆O 的一条直径，且|AB |＝4．C ，D 是圆O 上的任意两点，|CD |＝2．点P 在线段CD 上，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[√3，2]C ．[3，4]D ．[﹣1，0] 7．已知直线x =5π6，x =4π3是函数f(x)=4sin(ωx +π6)(ω＞0)图像相邻的两条对称轴，将f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g （x ）的图像．若g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(7π12，11π12] B ．(7π12，13π12] C ．(5π12，13π12] D ．(5π12，11π12] 8．已知a ＝e 0.11，b ＝1.11.1，c ＝1.11，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设正实数a ，b 满足a +b ＝2，则下列说法正确的是（ ）A ．b a +2b 的最小值为3B ．ab 的最大值为1C ．√a +√b 的最小值为2D ．a 2+b 2的最小值为2 10．函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f （x ）的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则（ ）A ．函数f （x ）在(−3π2，−π)上单调递增 B ．圆的半径为2√73C ．函数f （x ）的图象关于点(−2π3，0)成中心对称 D ．函数f （x ）在[2021π12，2023π12]上单调递减 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝2AB ＝2AA 1＝4，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点，点P 在侧面A 1ADD 1内，且BP →=xBE →+yBF →(x ，y ∈R)，则三棱锥P ﹣BB 1F 外接球表面积的取值可能是（ ）A ．10πB ．20πC ．12πD ．44π12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝2a n （lna n +1）+1，则下列说法正确的有（ ）A ．2a 3a 1+a 2＜5B ．a n+1≤2a n 2+1C ．若n ≥2，则34≤∑1a i +1＜1n i=1 D ．∑ln(a i +1)≤(2n −1)ln2ni=1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)，则sin(π3−α)= ． 14．非零向量a →，b →满足b →=(√3，1)，〈a →，b →〉=π3，(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为 ．（请用a →或b →表示）15．已知数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n =n(n ≤N ∗)，b n =λ(a n −1)−n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则λ的取值范围为 ．16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”，在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 1，O 3，则∠O 1AO 3＝ ；若△O 1O 2O 3的面积为√3，则三角形中|AB |+|AC |的最大值为 ．四、解答题：共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f(x)=√3sin(2x +φ)+cos(2x +φ)(|φ|＜π2)，将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）＝a 在[π6，512π]上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围． 18．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＝﹣2，是否存在实数m （m ∈N *），都有f （x ）≤m （x +1）恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由．19．设数列{a n }前n 项和S n 满足S n +a n =n−1n 2+n ，n ∈N *． （1）证明：数列{S n −1n+1}为等比数列； （2）记1b n =1n+1−S n ，求数列{b n (b n −1)(b n+1−1)}的前n 项和T n ． 20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 为等边三角形，M 为P A 的中点，PD ⊥AB ，平面P AD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面CDM ⊥平面P AB ；（2）若AD ∥BC ，AD ＝2BC ＜4，AB ＝2，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为3√3434，求三棱锥P﹣MCD的体积．21．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y ＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DÊ．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DÊ上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）在x∈[﹣π，π]的单调区间与最值；（2）当a＞13时，若g(x)=f(x)−12ax2，证明：g（x）有且仅有两个零点．2023-2024学年福建省泉州五中、三明二中、三明九中等校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．图中的阴影部分表示的集合为（）A．A∩B∩C B．A∩B∩（∁U C）C．A∩（∁U B）∩C D．（∁U A）∩B∩C解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是B的元素，也是A的元素，不是C的元素”，故阴影部分所表示的集合是A∩B∩（∁U C）．故选：B．2．若Z1，Z2为复数，则“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：先验证充分性：令Z1＝4i，Z2＝2i满足Z1﹣Z2是纯虚数，但是不满足Z1，Z2互为共轭复数，所以充分性不成立；再验证必要性：令Z1＝Z2＝1，满足Z1，Z2互为共轭复数，但是不满足Z1﹣Z2是纯虚数，所以必要性不成立，所以“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．函数f(x)=(2−1)cosx的部分图象为（）1+e xA．B．C．D．解：f（x）＝（21+e x−1）cos x=1−e x1+e x•cos x，定义域为R，∴f（﹣x）=1−e−x1+e−x•cos（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，D；令f（x）＝0，则x=π2+kπ，k∈Z，故有无数个零点，故排除B．故选：C．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（）A．3B．4C．6（√3−1）D．3（√3+1）解：如图：由题意可得∠FCD＝30°，∠ADE＝75°，CD＝24，∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°，∠CAD＝180°﹣30°﹣105°＝45°．△ACD中，由正弦定理可得24sin45°=ADsin30°，∴AD＝12√2．直角三角形ADB中，AB＝AD×sin∠ADB＝12√2×sin（90°﹣75°）＝12√2×sin（45°﹣30°）＝12√2×（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）＝12√2×（√22×√32−√22×12）＝6√3−6，∴AB的长度为6（√3−6）米，故选：C．5．已知数列{a n }满足a n −a n+1=a n a n+12n−1，且a 2＝﹣1，若a k ＝16a 8，则正整数k 为（ ） A ．13B ．12C ．11D ．10 解：由已知可得1a 2−1a 1=(12)0，1a 3−1a 2=(12)1，⋯⋯，1a n −1a n−1=(12)n−2， 以上各式累加可得，1a n −1a 1=(12)0+(12)1+⋯⋯+(12)n−2=1−(12)n−11−12=2−(12)n−2， 又a 2＝﹣1，代入1a 2−1a 1=2﹣（12）0＝1，即﹣1−1a 1=1，解得a 1=−12， 故a n =−2n−2， 令﹣2k ﹣2＝﹣16×26，解得k ＝12． 故选：B ．6．如图，AB 是圆O 的一条直径，且|AB |＝4．C ，D 是圆O 上的任意两点，|CD |＝2．点P 在线段CD 上，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[√3，2]C ．[3，4]D ．[﹣1，0] 解：因为O 为圆心，即O 为AB 中点，所以PA →⋅PB →=(PO →+OA →)⋅(PO →+OB →)=PO →2+PO →⋅OB →+PO →⋅OA →+OA →⋅OB →=PO →2+PO →⋅(OB →+OA →)−OA →2=|PO →|2−4，因为|AB |＝4，|CD |＝2，所以圆心到直线CD 的距离d =√22−12=√3，因为点P 在线段CD 上，所以√3≤|PO →|≤2，即3≤|PO →|2≤4，则−1≤|PO →|2−4≤0，即PA →⋅PB →的取值范围是[﹣1，0]．故选：D ．7．已知直线x =5π6，x =4π3是函数f(x)=4sin(ωx +π6)(ω＞0)图像相邻的两条对称轴，将f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g （x ）的图像．若g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(7π12，11π12] B ．(7π12，13π12] C ．(5π12，13π12] D ．(5π12，11π12] 解：由题意得4π3−5π6=T 2，即π2=πω，解得ω＝2，则f(x)=4sin(2x +π6)， f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)=4sin(2x −π6)， 又g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，所以转化为h （x ）＝4sin x 在x ∈(−2m −π6，2m −π6)上有三个不同的零点，其中，m ＞0， 则−2m −π6＜−π6，要使h （x ）＝4sin x 在x ∈(−2m −π6，2m −π6)上有三个不同的零点， 则{−2π≤−2m −π6＜−ππ＜2m −π6≤2π或{−3π≤−2m −π6＜−2π0＜2m −π6≤π，解之得7π12＜m ≤11π12． 故选：A ．8．已知a ＝e 0.11，b ＝1.11.1，c ＝1.11，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：下面先证明lnx ＜x ﹣1，（x ＞0且x ≠l ）．记f （x ）＝lnx ﹣（x ﹣1），则f ′（x ）=1x−1，令f′（x）＜0，得：0＜x＜1；令f′（x）＞0，得：x＞1；函数f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，所以对任意x＞0，都有f（x）≤f（1）＝0，即lnx≤x﹣1恒成立，所以对任意x＞0且x≠1，都有f（x）＜f（1）＝0，即lnx＜x﹣1恒成立，故1.1ln1.1＜1.1×（1.1﹣1）＝0.11，故a＞b，构造函数g（x）＝（1+x）1.1﹣（1.1x+1），则g（x）＝1.1（1+x）0.1﹣1.1＝1.1[（1+x）0.1﹣1]，故当x＞0时，f（x）单调递增，故f（0.1）＝（1+0.1）1.1﹣（1.1×0.1+1）＝1.11.1﹣1.11＞0，即b＞c，综上a＞b＞c．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ba+2b的最小值为3B．ab的最大值为1C．√a+√b的最小值为2D．a2+b2的最小值为2解：因为a＞0，b＞0，所以ba+2b=ba+a+bb=1+ba+ab≥2+1＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号，A正确；由ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a＝b＝1时，ab取得最大值1，B正确；（√a+√b）2＝a+b+2√ab=2+2√ab≤2+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故√a+√b≤2，即最大值为2，C错误；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2≥4−2×(a+b2)2=2，当且仅当a＝b＝1时取等号，a2+b2取得最小值2，D正确．故选：ABD．10．函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则（）A ．函数f （x ）在(−3π2，−π)上单调递增 B ．圆的半径为2√73C ．函数f （x ）的图象关于点(−2π3，0)成中心对称 D ．函数f （x ）在[2021π12，2023π12]上单调递减 解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心C （c ，0）对称，所以c =π3，于是T 2=c +π6=π2⇒πω=π2⇒ω=2， 由ω＝2及A(−π6，0)，得−π3+φ=0+kπ，k ∈Z ⇒φ=π3+kπ，k ∈Z ， 由于|φ|＜π2，所以φ=π3， 所以f(x)=2sin(2x +π3)，f(0)=√3，从而M(0，√3)，故半径为|CM|=√(π3)2+3≠2√73，故B 错误； 当x ∈(−3π2，−π)时，2x +π3∈（−8π3，−5π3），因为y ＝sin x 在区间（−8π3，−5π3）上先减后增，所以原函数在（−3π2，﹣π）上先减后增，故A 错误； f （−2π3）＝2sin （﹣π）＝0，故C 正确； 当x ∈[2021π12，2023π12]时，2x +π3∈[2023π6，2025π6]，即2x +π3∈[336π+7π6，336π+9π6]，此时f （x ）为减函数，故D 正确．故选：CD ．11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝2AB ＝2AA 1＝4，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点，点P 在侧面A 1ADD 1内，且BP →=xBE →+yBF →(x ，y ∈R)，则三棱锥P ﹣BB 1F 外接球表面积的取值可能是（ ）A．10πB．20πC．12πD．44π解：连接EF、D1E、D1F，取A1D1的中点G，连接AG、GF，分别取BF、AG的中点H、I，连接HI，如图所示：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，B1C1的中点，∴BF∥AG∥D1E，且BF＝AG＝D1E，∴四边形BED1F是平行四边形，∵BF、AG的中点H、I，连接HI，∴三棱锥P﹣BB1F外接球的球心O在直线HI上，连接OB、OP、IE、IP，设三棱锥P﹣BB1F外接球的半径为R，则R2＝OH2+HB2＝OI2+IP2，∵AD＝2AB＝2AA1＝4，∴HI＝2，HB＝IE=√2，∴R2＝OH2+2＝|2﹣OH|2+EP2+2，∴OH=14EP2+1，则当P与E重合时，OH＝1，此时三棱锥P﹣BB1F外接球的半径取得最小值√3，此时外接球的表面积为12π，当P与D1重合时，OH＝3，此时三棱锥P﹣BB1F外接球的半径取得最大值√11，此时外接球的表面积为44π，故三棱锥P﹣BB1F外接球表面积的取值范围是[12π，44π]，故选：BCD．12．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n（lna n+1）+1，则下列说法正确的有（）A．2a3a1+a2＜5B．a n+1≤2a n2+1C．若n≥2，则34≤∑1a i+1＜1ni=1D．∑ln(a i+1)≤(2n−1)ln2ni=1解：对A选项，∵a1＝1，a n+1＝2a n（lna n+1）+1，∴a2＝2a1（lna1+1）+1＝2×1×（0+1）+1＝3，a3＝2a2（lna2+1）+1＝6ln3+7，∴2a3a1+a2=2(6ln3+7)1+3=3ln3+3.5，∵ln3＞lne＝1，∴3ln3＞3，∴2a3a1+a2=3ln3+3.5＞6.5，故A选项错误；对于B选项，∵a n+1＝2a n（lna n+1）+1，∴要证a n+1≤2a n2+1，即证2a n(lna n+1)+1≤2a n2+1，即证lna n+1≤a n，即证lna n+1﹣a n≤0，令a n＝x，则即证lnx+1﹣x≤0，x＞0，设f（x）＝lnx+1﹣x，x＞0，∴f′(x)=1−xx，x＞0，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）≤f（1）＝0，∴lnx+1﹣x≤0，∴a n+1≤2a n2+1，故选项B正确；对选项C，易知{a n}是递增数列，∴a n≥a1＝1，∴lna n+1≥1，∴a n+1＝2a n（lna n+1）+1≥2a n+1，∴a n+1+1a n+1≥2，∴a n+1a n−1+1⋅a n−1+1a n−2+1⋅⋯⋅a2a1≥2n−1，即a n+1≥2n−1(a1+1)=2n，∴1a n+1≤12n，∴∑ n i=11a i +1≤12+122+⋯+12n =12(1−12n )1−12=1−12n ＜1， 而当n ≥2时，则有∑ n i=11a i +1≥1a 1+1+1a 2+1=34，故选项C 正确； 对选项D ，令g(x)=2lnx −x +1x，x ＞0， ∴g ′(x)=−(x−1)2x 2≤0，∴g （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴当x ≥1时，g （x ）≤g （1）＝0，∴lnx ≤12(x −1x )，∴a n+1≤2a n [12(a n −1a n)+1]+1=a n 2+2a n ， ∴a n+1+1≤(a n +1)2，∴ln(a n+1+1)ln(a n +1)≤2， ∴ln(a n +1)ln(a n−1+1)⋅ln(a n−1+1)ln(a n−2+1)⋅⋯⋅ln(a 2+1)ln(a 1+1)≤2n ﹣1， ∴ln(a n +1)≤2n−1ln(a 1+1)=2n−1ln2，∴∑ n i=1(lna i +1)≤(1+2+⋯+2n−1)ln2=（2n ﹣1）ln 2，故选项D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)，则sin(π3−α)= √63． 解：因为sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)， 所以cos(π6+α)=√63， 所以sin(π3−α)=cos(π6+α)=√63． 故答案为：√63． 14．非零向量a →，b →满足b →=(√3，1)，〈a →，b →〉=π3，(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为 14b → ．（请用a →或b →表示） 解：因为(a →−b →)⊥a →，所以(a →−b →)⋅a →=a →2−a →⋅b →=0，故a →⋅b →=a →2，即|a →|⋅|b →|cos〈a →，b →〉=|a →|2，故|b →|cos〈a →，b →〉=|a →|，因为〈a →，b →〉=π3，所以12|b →|=|a →|， 又b →=(√3，1)，所以|b →|=√3+1=2，故|a →|=12|b →|=1，a →⋅b →=a →2=1， 所以向量a →在向量b →方向上的投影向量为(a →⋅b →)b →b →2=14b →． 故答案为：14b →． 15．已知数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n =n(n ≤N ∗)，b n =λ(a n −1)−n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则λ的取值范围为 （38，+∞） ． 解：由题意可得n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n 2n =n ﹣（n ﹣1）＝1，即a n ＝2n ，对n ＝1也成立， 则a n ＝2n ，n ∈N *，b n ＝λ（2n ﹣1）﹣n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则b n +1＞b n 恒成立，即λ（2n +1﹣1）﹣（n +1）2+4（n +1）＞λ（2n ﹣1）﹣n 2+4n ，化为λ＞2n−32n 对n ∈N *恒成立． 设c n =2n−32n ，则c n +1﹣c n =2n−12n+1−2n−32n =5−2n 2n+1， 当n ＝1，2时，c 3＞c 2＞c 1，当n ≥3时，{c n }为递减数列，即c 3＞c 4＞c 5＞...，可得c 3为最大值，且为38， 则λ＞38． 故答案为：（38，+∞）． 16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”，在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 1，O 3，则∠O 1AO 3＝ 120° ；若△O 1O 2O 3的面积为√3，则三角形中|AB |+|AC |的最大值为 4 ．解：因为O1，O3为正三角形ABC'，△AB'C外接圆圆心，所以也是它们的中心，所以在△O1AB中，∠O1AB＝30°，同理∠O3AC＝30°，由∠BAC＝60°，所以∠O1AO3＝120°；由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则S△O1O2O3=12m2sin60°=√34m2=√3，解得|O1O3|＝m＝2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，在△O1AB中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，可知∠AO1B＝120°，在等腰△BO1A中，由ABsin120°=O1Asin30°，解得O1A=√3，同理O3A=√3，在△O1AO3中，由余弦定理，得O1O32＝O1A2+O3A2﹣2O1A•O3A•cos120°，即4=c24+b23−2•bc3•（−12），即b2+c2+bc＝12，即（b+c）2﹣bc＝12，故（b+c）2﹣12≤(b+c2)2，解得b+c≤4，当仅当b＝c＝2时，取等号，故三角形中|AB|+|AC|的最大值为4，故答案为：120°；4．四、解答题：共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|＜π2)，将f（x）的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝a在[π6，512π]上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin(2x+π6+φ）的图象向左平移π3个单位，得到g（x）＝2sin（2x+5π6+φ）的图象关于y轴对称；由于|φ|＜π2， 故φ=−π3； 所以f （x ）＝2sin （2x −π6）； （2）根据x ∈[π6，512π]， 所以2x −π6∈[π6，2π3]， 故2sin(2x −π6)∈[1，2]； 当x =5π12时，f （5π12）=√3， 由于函数f （x ）＝2sin （2x −π6）与y ＝a 与恰有两个实数根， 所以a ∈[√3，2）．18．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＝﹣2，是否存在实数m （m ∈N *），都有f （x ）≤m （x +1）恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由．解：（1）∵x ＞0，f ′(x)=1x−a ， 当 a ≤0时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，当 a ＞0时，f ′(x)=1−ax x， 令 f ′（x ）＞0，得x ＜1a ，f′(x)＜0，得x ＞1a， ∴f （x ）在(0，1a )单调递增，在(1a，+∞)单调递减， 综合得：当 a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增；当 a ＞0时，f （x ）在(0，1a )单调递增，在(1a，+∞)单调递减； （2）∵a ＝﹣2，∴f （x ）＝lnx +2x +1，∴lnx +2x +1≤m （x +1），∴m ≥lnx+2x+1x+1， 令 g(x)=lnx+2x+1x+1，∴g ′(x)=1x +2−lnx (x+1)2， 令 u(x)=1x +2−lnx ，u′(x)=−1x 2−1x ＜0，∴u（x）在（0，+∞）单调递减，∵u(e2)=1e2+2−lne2=1e2+2−2＞0，∵u(e3)=1e3+2−lne3=1e3+2−3＜0，∴∃x0∈(e2，e3)，使得u′（x0）＝0，即1x0+2−lnx0=0，1x0+2=lnx0，当x∈（0，x0），u（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（x0，+∞），u（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴g(x)max=g(x0)=lnx0+2x0+1x0+1=1x0+2x0+3x0+1=2x2⬚0+3x0+1 x0(x0+1)=2+1x0，∵x0∈(e2，e3)，1x∈(0，1)，∴m≥3，∴m的最小值为3．19．设数列{a n}前n项和S n满足S n+a n=n−1n2+n，n∈N*．（1）证明：数列{S n−1n+1}为等比数列；（2）记1b n =1n+1−S n，求数列{b n(b n−1)(b n+1−1)}的前n项和T n．（1）证明：∵S n+a n=n−1n2+n，且a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），∴2S n−S n−1=2n+1−1n（n≥2），∴2(S n−1n+1)=S n−1−1n(n≥2)，∴S n−1n+1S n−1−1n=12(n≥2)，令n＝1，可得S1＝0，∴S1−12=−12，所以数列{S n−1n+1}是首项为−12，公比为12的等比数列．（2）解：由（1）可得S n−1n+1=(−12)(12)n−1=−(12)n，∴1b n=−(S n−1n+1)=12n，∴b n=2n，∴b n(b n−1)(b n+1−1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，∴T n=(11−13)+(13−17)+(17−115)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD为等边三角形，M为P A的中点，PD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD．（1）证明：平面CDM⊥平面P AB；（2）若AD∥BC，AD＝2BC＜4，AB＝2，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为3√3434，求三棱锥P﹣MCD的体积．解：（1）证明：取AD中点为N，连接PN，因为△P AD为等边三角形，所以PN⊥AD，且平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊂面P AD，所以PN⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以PN⊥AB，又因为PD⊥AB，PN∩PD＝P，PN，PD⊂平面P AD，所以AB⊥平面P AD，又因为DM⊂平面P AD，所以AB⊥DM，因为M为AP中点，所以DM⊥P A，且P A∩AB＝A，P A，PB⊂平面P AD，所以DM⊥平面P AB，且DM⊂平面CDM，所以平面CDM⊥平面P AB．（2）由（1）可知，PN⊥AB且PD⊥AB，PN∩PD＝P，所以AB⊥平面P AD，且AD⊂平面P AD，所以AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AD ＝2a ，则可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，a ，√3a)，M(0，a 2，√3a 2)，C(2，a ，0)，D(0，2a ，0)，即PB →=(2，−a ，−√3a)，DC →=(2，−a ，0)，DM →=(0，−32a ，√32a)， 设平面MCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{DC →⋅n →=0DM →⋅n →=0，即{2x −ay =0−32ay +√32az =0，则可取n →=(a ，2，2√3)， 设直线PB 与平面MCD 所成角为θ，所以sinθ=|cos ＜PB →，n →＞|=|PB →⋅n →||PB →||n →|=√4+4a 2⋅√16+a 2=34， 解得a 2＝16，或a 2＝1，即a ＝4或1，当a ＝4时，则AD ＝2a ＝8，所以V P−MCD =13S PMD ⋅|AB|=13×12×4×4√3×2=16√33． 当a ＝1时，AD ＝2，所以V P−MCD =13S PMD ⋅|AB|=13×12×1×√3×2=√33． 21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x ∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B （﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DÊ． （1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DÊ上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．解：（1）由已知条件，得A＝2，又∵T4=3，T=2πω=12，∴ω=π6．又∵当x＝﹣1时，有y＝2sin（−π6+φ）＝2，∴φ=2π3．∴曲线段FGBC的解析式为y=2sin(π6x+2π3)，x∈[﹣4，0]．（2）由y=2sin(π6x+2π3)=1得x＝6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k＝0，x＝﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=√10．∴景观路GO长为√10千米．（3）如图，OC=√3，CD＝1，∴OD＝2，∠COD=π6，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1＝OP sinθ＝2sinθ，在△OMP中，OPsin120°=OMsin(60°−θ)，∴OM=OP⋅sin(60°−θ)sin120°=4√3⋅sin(60°−θ)=2cosθ−2√33sinθ．S平行四边形OMPQ＝OM•PP1=(2cosθ−2√33sinθ)⋅2sinθ=4sinθcosθ−4√33sin2θ=2sin2θ+2√33cos2θ−2√33=4√33sin(2θ+π6)−2√33θ∈（0，π3）．当2θ+π6=π2时，即θ=π6时，平行四边形面积最大值为2√33．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）在x∈[﹣π，π]的单调区间与最值；（2）当a＞13时，若g(x)=f(x)−12ax2，证明：g（x）有且仅有两个零点．解：（1）由f（x）＝x sin x+cos x，x∈[﹣π，π]，得f'（x）＝x cos x，x∈[﹣π，π]，令f'（x）＝0，则x＝0或x＝±π2，所以当﹣π＜x＜−π2或0＜x＜π2时，f'（x）＞0；当−π2＜x＜0或π2＜x＜π时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为[﹣π，−π2]和（0，π2]，单调递减区间为[−π2，0]和[π2，π]，所以f(x)max=f(−π2)=f(π2)=π2，f（x）min＝f（﹣π）＝f（π）＝﹣1．（2）证明：g(x)=f(x)−12ax2，则g（x）的定义域为（﹣∞，+∞），因为g(−x)=−xsin(−x)+cos(−x)−12a(−x)2=xsinx+cosx−12ax2=g（x），所以g（x）为偶函数．因为g（0）＝1＞0，所以当a＞13时，g（x）有且仅有两个零点等价于当a＞13时，g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．由g（x）＝x sin x+cos x−12ax2，得g'（x）＝x（cos x﹣a），当a⩾1时，若x＞0，则g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为g(π)=−1−12aπ2＜0，所以g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点，当13＜a＜1时，存在θ∈(0，π2)，使得cosθ＝a，当0＜x＜θ时，f′（x）＞0，当2kπ+θ＜x＜2kπ+2π﹣θ，k∈N时，g′（x）＜0，当2kπ+2π﹣θ＜x＜2kπ+2π+θ，k∈N时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，θ）上单调递增，在（2kπ+θ，2kπ+2π﹣θ）（k∈N）上单调递减，在（2kπ+2π﹣θ，2kπ+2π+θ）（k∈N）上单调递增，由tanθ=√1a2−1，13＜a＜1，可得0＜tanθ＜2√2，当k∈N时，2kπ+2π+θ−tanθ＞2(π−√2)，所以g(2kπ+2π+θ)=−12a[(2kπ+2π+θ−tanθ)2−1]+12a＜−16[(2kπ+2π+θ−tanθ)2−1]+32=−(2kπ+2π+θ−tanθ)2−106＜0因此g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．综上，当a＞13时，g（x）有且仅有两个零点．。
福建省三明市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
福建省三明市三明第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一､单选题1.的倾斜角是（）A.B. C. D.2.如图，三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）A. B.C. D.3.若直线与直线平行，则的值为（ ）A.2B.C.2或D.或4.已知在三棱柱中，侧棱底面点分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）B.5.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）6.已知，直线，为上的动点.过点作的切线20240y +-=π6π32π35π6111ABC A B C -G AD ,,BA a BC b BD c === CG =1122a b c -+ 1122a b c ++ 311222a b c -+ 311222a b c ++ ()1:2140l x m y +++=2:320l mx y +-=m 3-3-2-3-111ABC A B C -1BB ⊥,ABC BC CA ⊥11,D F 11A B 11AC 1BC CA CC ==1BD 1AF 12()()()0,1,2,1,0,1,2,1,OA OB OC λ==-= ,,,O A B C OC OB22:2220M x y x y +---= :220l x y ++=P l P M，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）.A. B.C.D.7.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（）A.若平面，则动点的轨迹是一条线段B.不存在点，使得平面C.当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大D.若，那么8.已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）.A.B.C.D.二､多选题9.下列给出的命题正确的是（）.A.若直线的方向向量为，平面的法向量，则B.两个不重合的平面的法向量分别是，则C.若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底,PA PB ,A B PAMB AB 210x y --=210x y +-=210x y ++=210x y -+=1111ABCD A B C D -P 1BB Q 11BB C C 1D Q ∥1A PD Q Q 1D Q ⊥1A PDQ 1CC 1Q A PD -1D Q =Q ,A B P (0PB PAλλ=>1)λ≠P ()0,0,O Q ⎛ ⎝1:230l kx y k -++=2:320l x ky k +++=P 12,l l 32PO PQ +6-9-3+l ()1,0,3e = a 22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭l ∥a ,αβ()()2,2,1,3,4,2u m =-=-αβ⊥{},,a b c {},,a b b c c a +++D.空间内任意一点与不共线的三点，若，则四点共面10.直线与曲线可取下列哪些值（ ）.A.B.C.111.在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（）A.当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为B.的面积最大值为1C.若原点始终在动弦上，则不是定值D.若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为三､填空题12.向量，若，且，则的值为__________.13.经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若的值为__________.14.已知球内切于正四棱锥是球的一条直径，点为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为__________.四､解答题15.已知直线和直线的交点为.（1）求过点且与直线平行的直线方程；（2）若直线与直线垂直，且到，求直线的方程.16.如图，在四棱锥中，平面，分别为线段的中点.O ,,A B C (),,OP xOA yOB zOC x y z =++∈R,,,P A B Cy x b =+x =b 1-xOy 221:(1)2C x y -+=AB 222:()(8C x a y -+=1C 2C a []3,5-1ABC O AB OA OB ⋅P OAPB P ()()2,1,,2,,1a x b y ==- a = a b ⊥ x y +()3,1P --k l 22:(1)(2)14C x y ++-=,A B AB =k O ,2,P ABCD PA AB EF -==O Q QE QF ⋅2310x y -+=20x y +-=P P 310x y --=1l 310x y --=P 1l 1l P ABCD -PA ⊥,,ABCD AB AD BC ⊥∥AD 222,1,,,AD BC PA AB E F G ====,,AD DC PB（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.如图所示中，分别为中点.将沿向平面上方翻折至右图所示的位置，使得.连接得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上.（1）证明：平面；（2）求动点到线段的距离的取值范围.18.已知的圆心在直线上，点在轴右侧且到轴的距离为被直线：截得的弦长为2.（1）求的方程；（2）设点在上运动，且点满足，（O 为原点）记点的轨迹为.①求曲线的方程；②过点的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19.如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆：交于两点，已知当直线过圆心时，.PEF ∥AGC GC PCD PAB ,12,,AP AB AB AP D C ⊥==,PA PB PDC DC ABCD PA =,,PA PB PC P ABCD -PB N CN Q CN CN ⊥PAB Q AP C 330x y --=C y y 1,C l 30x y -+=C D C T 2DT TO =T E E ()1,0M E ,A B x N x ANB ∠N ()00,P x y 22:9O x y +=P O l 1O ()22()(4)1000x a y a -+-=>,A B l 1O 14O P =（1）求的值；（2）当线段最短时，求直线的方程；（3）问：满足条件的点有几个？请说明理由.福建省三明市三明第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一､单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A二､多选题9.【答案】BC 10.【答案】AC 11.【答案】ABD三､填空题12.【答案】13.【答案】或014.【答案】四､解答题15.【答案】（1）；（2）或.a AB l 13AP BP=P 4-125-[0,2]320x y --=30x y +=380x y +-=16.【解】，且，所以四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线，即，因为平面平面，所以平面，因为分别为线段的中点，所以，因为平面平面，所平面，因为平面平面，所以平面平面（2）因为底面平面平面，所以，，因为，所以两两互相垂直，以为原点，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，所以，，设平面的法向量为则，所以令，可得，所以，设直线与平面所成角为，则BC ∥AD 1,2BC AD AE AB AD ==⊥ABCE O EB G PB OG PBE OG PE ∥OG ⊄,PEF PE ⊂PEF OG ∥PEF ,E F ,AD DC EF ∥AC AC ⊄,PEF EF ⊂PEF AC ∥PEF OG ⊂,GAC AC ⊂,GAC AC OG O ⋂=PEF ∥GACPA ⊥,ABCD AB ⊂,ABCD AD ⊂ABCD PA AB ⊥PA AD ⊥AB AD ⊥PA AB AD ､､A AB ,AD AP x y z()()()()110,0,0,,0,,1,1,0,0,2,0,0,0,122A G C D P ⎛⎫⎪⎝⎭()11,1,,1,1,122GC PC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()0,2,1PD =- PCD (),,n x y z = 0n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y z x y z -=⎧⎨+-=⎩1y =2,1z x ==()1,1,2n =GC PCD θ，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.【解】（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，所以，所以，在折叠前分别为中点，所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后，；以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则为中点，所以，设平面的法向量为，又，所以，令，则，所以，所以，所以，所以平面.（2）设，动点在线段上，所以，即，即，所以，设点到线段的距离为，，，令，则，根据二次函数的性质可知，所以，由此可知动点到线段的距离的取值范围为1sin 6n GCn GCθ⋅===PD ACG 16D PA 12PA =6PD AD ==PA =222PD AD PA +=PD AD ⊥,D C ,PA PB DC ∥AB PA AB ⊥DC PA ⊥PD AD ⊥,DC PD AD DC ⊥⊥D DA DC DP ､､x y z ､､()()()()()0,0,0,6,0,0,6,12,0,0,6,0,0,0,6,D A B C P N PB ()()3,6,3,3,0,3N CN =PAB (),,m x y z =()()6,0,6,0,12,0AP AB =-= 0660,1200AP m x z y AB m ⎧⋅=-+=⎧⎪⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ 1x =0,1y z ==()1,0,1m = 3CN m = CN ∥mCN ⊥PAB ()()()111111,,,,6,,3,0,3Q x y z CQ x y z CN =-=Q CN [],0,1CQ CN λλ=∈ ()()111,6,3,0,3x y z λλ-=111363x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩()()()3,6,3,6,0,6,63,6,3Q AP QA λλλλ=-=---QAP ,d d =[]0,1d λ=∈[]0,1d λ=∈[]2183654,0,1t λλλ=-+∈[]218(1)36,0,1t λλ=-+∈[]36,54t ∈d ⎡∈⎣Q AP.18.【答案】（1）（2）①；②存在，19.解：（1）当直线过圆心点时，，解得（负值舍去）.（2）解法1（代数法）：因为与圆相切，所以直线的方程为，且，所以圆心到直线的距离，则直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，所以，所以当时，，此时弦长最短由解得，所以直线亂的方程为.解法2（几何法）：如图，过作bot ，则为弦的中点，设，⎡⎣22(1)9x y -+=22113x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭11,06N ⎛⎫ ⎪⎝⎭l 1O 14O P ===3a =OP O l 009x x y y +=22009x y +=1O l d 0034z x y =+00340x y z +-=22009x y +=()0,0340x y z +-=3d '=1515z - (15)z =-max8d =AB 00220341509x y x y ++=⎧⎨+=⎩0095125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩34150x y ++=1O 1O M ‚AB M AB 1d O M =当最长时，弦长最短，因为，当且仅当三点共线时，取得最大值，此时，因为，所以直线的方程为，由解得（点在第3象限）所以直线的方程为3.（3）因为，所以设，则，所以，所以，（i ）如图，当在直线同侧时，②，由①②得或，当时，直线可看作是圆与圆的公切线，此时两圆相交，公切线有两条､所以满足条件的点有2个，时，直线AB 可看作是圆与圆的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点有2个，（ii ）如图，当在直线异侧时，，③由①③可得或（舍），满足条件的点不存在，综上，满足条件的点共有4个.附：当时，即，由解得P 或，当时，即，由，解得或或（舍去）.1O M AB 118d O P OO OP +=……1,,O O P 1OO AB ⊥143OO k =1OO 43y x =2200439yx x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩912,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭P13AP BP=AP t =()30BP t t =>4AB t =22(2)100d t +=①1,O O AB 222||25(3)t MP d ==--6d =2d =6d =AB 229x y +=22(3)(4)36x y -+-=P 2d =229x y +=22(3)(4)4x y -+-=P 1,O O AB 222||25(3)t MP d ==-+6d =-2d =-P P 6d =6d 0034918x y +-=00220349189x y x y ⎧+-=⎨+=⎩()3,0-2172,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2d =2d 003496x y +-=00220034969x y x y ⎧+-=⎨+=⎩P P 912,55P ⎛⎫⎪⎝⎭。
2014年福建省三明市中考数学试卷附答案
2014年福建省三明市中考数学试卷一、单项选择题（共10题，每题4分，满分40分） 1．（4分）（2014•三明）的相反数是（ ） ．． C D ．4．（4分）（2014•三明）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.000 002 5米的颗粒物，将0.000 002 5用科学记数法表5．（4分）（2014•三明）不等式组的解集是（ ）6．（4分）（2014•三明）如图是由5个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的主视图是（ ）．CD ．7．（4分）（2014•三明）小亮和其他5个同学参加百米赛跑，赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，选手以随机抽． C D9．（4分）（2014•三明）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是（ ）=10．（4分）（2014•三明）已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2014•三明）计算：×=_________．12．（4分）（2014•三明）甲、乙两支仪仗队的队员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为S2甲=0.9，S2乙=1.1，则甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是_________（填“甲”或“乙”）．13．（4分）（2014•三明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_________（写出一个即可）．14．（4分）（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是_________．15．（4分）（2014•三明）有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是_________．16．（4分）（2014•三明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_________．三、解答题（共9小题，满分86分）17．（7分）（2014•三明）解不等式2（x﹣2）＜1﹣3x，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（7分）（2014•三明）先化简，再求值：（1+）•，其中x=+1．19．（8分）（2014•三明）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（2，1），与x轴交于点B．（1）求k和b的值；（2）连接OA，求△AOB的面积．20．（8分）（2014•三明）如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB 是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）21．（10分）（2014•三明）某学校在开展“书香校园”活动期间，对学生课外阅读的喜好进行抽样调查（每人只选一种书籍），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生人数为_________人，扇形统计图中m的值为_________；（2）补全条形统计图；（3）如果这所学校要添置学生课外阅读的书籍1500册，请你估计“科普”类书籍应添置多少册比较合适？22．（10分）（2014•三明）为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费，设每户家庭每月用水量为x吨时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？23．（10分）（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．24．（12分）（2014•三明）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB 的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？25．（14分）（2014•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2014年福建省三明市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（共10题，每题4分，满分40分）1．（4分）（2014•三明）的相反数是（）．的相反数是．．C D．4．（4分）（2014•三明）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.000 002 5米的颗粒物，将0.000 002 5用科学记数法表5．（4分）（2014•三明）不等式组的解集是（），6．（4分）（2014•三明）如图是由5个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的主视图是（）．C D．7．（4分）（2014•三明）小亮和其他5个同学参加百米赛跑，赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，选手以随机抽．C D号跑道的概率是：9．（4分）（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）=，=10．（4分）（2014•三明）已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值﹣x++坐标是（﹣，）时，时，＜﹣＞﹣时，二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2014•三明）计算：×=6．×=612．（4分）（2014•三明）甲、乙两支仪仗队的队员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为S2甲=0.9，S2乙=1.1，则甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是甲（填“甲”或“乙”）．13．（4分）（2014•三明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是AB=AD（写出一个即可）．14．（4分）（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是2π．阴影部分的面积是：15．（4分）（2014•三明）有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是=．由题意得，=故答案为；=16．（4分）（2014•三明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是﹣1．AE===故答案为：三、解答题（共9小题，满分86分）17．（7分）（2014•三明）解不等式2（x﹣2）＜1﹣3x，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（7分）（2014•三明）先化简，再求值：（1+）•，其中x=+1．•，+1．19．（8分）（2014•三明）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（2，1），与x轴交于点B．（1）求k和b的值；（2）连接OA，求△AOB的面积．中即可计算出（．20．（8分）（2014•三明）如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB 是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）21．（10分）（2014•三明）某学校在开展“书香校园”活动期间，对学生课外阅读的喜好进行抽样调查（每人只选一种书籍），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为15；（2）补全条形统计图；（3）如果这所学校要添置学生课外阅读的书籍1500册，请你估计“科普”类书籍应添置多少册比较合适？）这次调查的学生人数为=200×=45022．（10分）（2014•三明）为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费，设每户家庭每月用水量为x吨时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？23．（10分）（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．24．（12分）（2014•三明）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB 的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？CH=OH=，∠∴．CH=，．的长为．∴．AM=．．∴=．ON=，．NG=OG=．∴．GN=，MN=．MN=﹣=．的长是或时，25．（14分）（2014•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．，又过点，﹣﹣，，x x+4，﹣+x x﹣，﹣+x x+8﹣﹣，﹣3+，﹣，﹣﹣3+x+．，则有，或，4+﹣，，，则有），﹣2，，8+2﹣参与本试卷答题和审题的老师有：星期八；2300680618；gbl210；未来；zhjh；sjzx；zcx；疯跑的蜗牛；lf2-9；守拙；gsls；caicl；lantin；sd2011；CJX；ZJX；sks；73zzx；1160374；SPIDER（排名不分先后）菁优网2015年1月27日21。
福建省三明市2014届高三5月质量检查文科数学试卷(带解析)
福建省三明市2014届高三5月质量检查文科数学试卷（带解析）1）A C【答案】B【解析】所以选B.考点：复数的运算.2）A【答案】B【解析】B{|x=故选B.考点：1.集合的描述的表示.2.集合的交集.3的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是（）A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关【答案】D【解析】试题分析：有相关性可知从左到右的第一个图是正相关，第二个图相关性不明确，所以不相关，第三个图是负相关.故选D.考点：1.相关性的概念.2.数形结合的数学思想.4．命题：）AC【答案】C【解析】试题分析：由命题：命题：.故选C.考点：1.命题的否定.2.全称命题与特称命题的关系. 5（ ）A【答案】C 【解析】故选C.考点：1.函数的导数.2.函数的单调性. 6）A【答案】A 【解析】.故选A.考点：1.程序框图.2.换元的程序.7（ ）A【答案】D【解析】试题分析：依题意可得所截的弦长是一个以直径为4的等腰三角形的直角边，所以弦长为故选D.考点：1.直线与圆的位置关系.2.解三角形的知识.8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（）A【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱锥的表面积由四个直角三角形构成.故选A.考点：1.三视图.2.几何体的表面积.3.空间向量能力.9）A正视图俯视图侧视图【答案】D 【解析】x,y 的取值范围如图所示.所以所求的概率为故选D.考点：1.线性规划.2.几何概型.10．.现给出下列四个函数：数”的是（ ）ABCD【答案】A【解析】.且是递增函数；偶函数所以B 不正确为奇函数但当时所以CD 不正确.故选A.考点：1.函数的性质.2.分段函数的性质.3.新定义.4.函数的单调性.11．在边长为2的取值范 围是（ ） A【答案】A【解析】试题分析：设,.由.所以故选A.考点：1.向量的运算.2.二次函数的最值.3.平面向量的基本定理.12）A.的极值点B. 是函数C. )x可能不存在D.必无极值点【答案】B【解析】试题分析：依题意可得函数的导函数为零是函数存在极值的必要不充分条件.所以A、C选项不正确.B选项正确.，但函数0，所以D选项不正确.故选B.考点：1.原函数与导函数的关系.2.反正法的思想.13【答案】21【解析】考点：1.等差数列的性质.2.等差数列的求和公式.14．已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心【答案】1【解析】试题分析：考点：1.圆锥曲线的基本性质.2.对比归纳的思想.15最小值是 ． 【答案】2 【解析】试题分析：依题意可得.所以2.考点：1.直线间的位置关系.2.基本不等式.16{1,B a =2(,),F A B ⋅⋅⋅【解析】况，并计算出排序的个数.即属于集合的拆分问题.如果2,3， ，n个元素的个数分别为.所以)=++另解用递推的方法解决.考点：1.拆分的数学思想.2.集合的子集.3.分类归纳的数学思想.17．某校为了解高一期末数学考试的情况，进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示）数为6.（1）估计所抽取的数学成绩的众数；（25个学生，并从这5个学生中任取21人的概率.【答案】（1）75；（2【解析】 试题分析：（1）由直方图估计所抽取的数学成绩的众数，概率最大数学成绩的是在70-80（260.12.所以总人数为50.0.24,0.16，所以这两组的抽取的人数分别为12,8人. 用分层抽样的方法这两组中共抽取5个学生，所以这两组分别抽取了3,2人. 从这5个学生中任取2人进行点评共有10种情况.1人的共有6种.所以即可求得结论.（1）由频率分布直方图可知：样本的众数为75． 3分 （24分用分层抽样的方法抽取5份得：7分则从5个同学中任取210种．1共6种．． 12分考点：1.统计图表的识别.2.统计图表中众数的估算.3.分层抽样.4.古典概型.18行的第一.（1（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1差，又由第二行起，.（2所以由等比数列的前n项和的公式可求的结论.（12分所以qd,的值分别为 6分（2n1由（17分又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，9分12分考点：1.等差数列的性质.2.等比数列的性质.3.分类递推的数学思想.19（1（2（3【答案】（1）参考解析；（2）参考解析；（3【解析】试题分析：（1平行，再根据直线与平面平行的判断定理即可得到结论.（2AC是平面PAC与平面ABC的交线，根据平面垂直的性质定理即可得PD垂直平面ABC，再根据平面与平面垂直的判断定理即可得到结论.（3）AC=3.在三角形ABC中根据余弦定理即可求得BC的值.所以三角形ABC的面积可以求出来，由于PD垂直于平面ABC所以PD为三棱锥的高，即可求得结论.= 2分（1EC DC⊄PABDE平面3分（2分分8分10分12分8分10分12分考点：1.线面平行.2.面面垂直.3.三角形的余弦定理.4.三棱锥的体积.20．（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（2【答案】（1）参考解析；（2【解析】试题分析：（1的值，即可得到抛物线方程与焦点坐标（2x轴，依题意不可能垂直于y轴，所以假设直线再联立抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式即可得到AB的弦长.由点到直线的距离公式即可得到点M到直线AB的距离..解法一：（14分（26分7分， 9分分11分12分解法二：（1）（同解法一）（2不符合题意． 5分6分7分9分10分11分12分考点：1.抛物线的性质.2.直线与抛物线的关系.3.弦长公式，点到直线的距离.4.运算能力.21．．（1（2（3，得到函数.个数.【答案】（1（2）参考解析；（3）参考解析【解析】试题分析：（1）由向量，定义一种向量积..（2）由（1.（3）由（2.（12分 （2 (,)(2x y =4分分8分（310分12分考点：1.三角函数的性质.2.向量的数量积.3.新定义问题. 22．（1（2）一个极值点，且足条件：【答案】（1（2）（ⅱ）参考解析【解析】试题分析：（1即可求出结论.（2）（ⅰ）由（1.已知条件即方程的根的个数来判定即可得到三点是不同点的点.通过向量的数量积可得到三点可构成直角三角形.（1 2分4分5分（2）8分9分10分11分由上可得点A，14分考点：1.导数的几何意义.2.函数的极值.3.分类讨论的数学思想.4.向量的数量积.5.运算能力.。
福建省达标校2024学年高三5月第一次调研考试数学试题
福建省达标校2024学年高三5月第一次调研考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++2．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．23．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，184．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．5．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l7．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 8．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-9．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 11．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1412．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2014年福建高考数学试题含答案word版
2014年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（ ）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1 8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分. 16.（本小题满分13分） 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
2024学年福建省三明市A片区高中联盟校数学高三第一学期期末检测试题含解析
2024学年福建省三明市A 片区高中联盟校数学高三第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣3．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A 29B 2932C 1923D ．54．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 5．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=6．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．27．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 8．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．239．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．210．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．3211．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．63C ．36D ．33612．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2013年三明市高中毕业班教学质量检查文科数学试题(word)
2013年三明市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学一、选择题：1．若集合A ＝{|2}x x >-，B ＝{|33}x x -<<，则A B 等于A ．{|2}x x >- B ．{|23}x x -<<C ．{|3}x x >- D ．{|33}x x -<< 2．已知(0,3)A -，(3,3)B ，(,1)C x -，若AB 与BC共线，则x 等于A ．5B ．1C ．1-D ．5- 3．输入1x =时，运行如图所示的程序，输出的x 值为 A ．4 B ．5 C ．7 D ．94．设函数26,[0,5]()5x f x x x +∈=- ，若从区间[0,5]内随机选取一个实数0x ,则所选取的实数0x 满足0()0f x ≤的概率为A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5 5.右图是某空间几何体的直观图，则该几何体的侧视图是6．若函数()f x 的定义域为R ，那么“0x ∃∈R ，00()()f x f x -=-”是“()f x 为奇函数”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线2221y x b-=(0)b >的一条渐近线为2y x =，且右焦点与抛物线22y px =(0)p >的焦点重合，则常数p 的值为ABC． D．8．若直线(1)10a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值是A ．1，1-B ．2，2-C ．1D ．1-9． 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若7,5,8a b c ===，则△ABC 的面积S等于A ．10 B．．20 D．10．已知甲、乙两种不同品牌的PVC 管材都可截成A 、B 、C 三种规格的成品配件，且每种PVC 管同时截得三种规格的成品个数如下表：现在至少需要A 、B 、C 三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个，若甲、乙两种PVC 管材的价格分别是20元/根、15元/根，则完成以上数量的配件所需的最低成本是 A ．70元 B ．75元C ．80元D ．95元11．已知函数()y f x =的导函数为21()e e xx k f x k'=+-（其中e 为自然对数的底数，k 为实数）,且()f x 在R 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是A ．(,-∞B ．(C ．D ．)+∞ 12．在透明塑料制成的正方体容器中灌进16体积的水，密封后可以任意摆放，那么容器内水面形状可能是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形． 其中正确的结果是A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②③④ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．已知复数1iz=+（其中i 是虚数单位），则2z z +=_________.14．若函数212sin y x =-图象的对称中心是0(,0)x ，则正数0x 的最小值是______.15．已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 .16．对于二次函数2()f x ax bx c =++，有下列命题：①若(),(),()f p q f q p p q ==≠，则()()f p q p q +=-+； ②若()() ()f p f q p q =≠，则()f p q c +=；③若() () f p q c p q +=≠，则0()()p q f p f q +==或.其中一定正确的命题是______________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}()n a n *∈N 的前n 项和为n S ，且335,9a S ==. (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设等比数列{}()n b n *∈N ，若2235,b a b a ==，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生．在考试结束后，为调查其测试前的培训辅导情况与测试成绩的相关性，抽取每个考室中座位号为05的考生，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）在这个调查采样中，用到的是什么抽样方法？ （Ⅱ）写出这40个考生成绩的众数、中位数（只写结果）；（Ⅲ）若从成绩在[60,70)的考生中任抽取2人，求成绩在[65,70)的考生至少有一人的概率. 19．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的部分对应值如下表：（I ）求()f x 的解析式；（II ）设函数()()()4h x f x f x π=-+，[,]44x ππ∈-，求()h x 的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）在空间几何体PQ ABC -中，PA ⊥平面ABC ，平面QBC ⊥平面ABC ，AB AC =，QB QC =．（I ）求证：//PA 平面QBC ；（II ）如果PQ ⊥平面QBC ，求证：Q PBC P ABC V V --=． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系x y O 中，经过点(1,0)D -的动直线l ，与椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）相交于A ，B 两点. 当l y ⊥轴时，||4AB =，当l x ⊥轴时，||AB（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 的中点为M ，且||2||AB OM =，求直线l 的方程． 22．（本小题满分14分）已知函数()ln 2f x x x x k =-+在0x 处取得极值，且0x 恰好是()f x 的一个零点． （Ⅰ）求实数k 的值，并写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设1l 、2l 分别是曲线()y f x =在点111(,)P x y 和222(,)P x y （其中12x x <）处的切线，且12l l ⊥． ①若1l 与2l 的倾斜角互补，求 1x 与2x 的值；②若[)11,e x ∈（其中e 是自然对数的底数），求12x x +的取值范围．QPABC2013年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学参考答案一、选择题1-5．CBCAA 6-10．BDDBC 11-12．CD二、填空题13．13i + 14．4π15．01m << 16．②③ 17．解：（Ⅰ）由39S =，得239a =，所以23a =． （2分）又因为35a =，所以公差2d =． （4分）从而2(2)21n a a n d n =+-=-． （6分）（Ⅱ）由上可得223b a ==，359b a ==，所以公比3q =， （8分）从而223n nn b b q-=⋅= ， （10分）所以1(1)1(13)1(31)1132nnn n a qT q-⨯-===---． （12分）18．解：（Ⅰ）系统抽样． …………(2分)（Ⅱ）众数是77.5，中位数是77.5．……(6分) （Ⅲ）从图中可知，成绩在[60,65)的人数为：10.015402m =⨯⨯=（人），…………(7分) 成绩在[65,70)的人数为：20.025404m =⨯⨯=（人）．…………(8分) 设成绩在[60,65)的考生为,a b ，成绩在[65,70)的考生为,,,c d e f ，则所有基本事件有：（,a b ）,(,)a c ,(,)a d ,(,)a e ,(,)a f ,(,)b c ,(,)b d ,(,)b e ,(,)b f ,(,)c d ,(,)c e ,(,)c f ,(,)d e ,(,)d f ,(,)e f ,共15种， ………………………(10分)其中成绩在[65,70)的考生至少有一人的事件有：(,)a c ,(,)a d ,(,)a e ,(,)a f ,(,)b c ,(,)b d ,(,)b e ,(,)b f ,(,)c d ,(,)c e ,(,)c f , (,)d e ,(,)d f ,(,)e f ,共14种．所以成绩在[65,70)的考生至少有一人的概率为1415P =. ……………… 12分 19．解：（Ⅰ）由表格给出的信息可以知道，函数()f x 的周期为344T πππ=-=， 所以22πωπ==.由sin(2())04πϕ⨯-+=，且0ϕπ<<，得2πϕ=．……4分 所以函数解析式为()sin(2)2f x x π=+（或者()cos 2f x x =）． …………6分（Ⅱ）()()()4h x f x x π=-cos(2)22x x π=-+sin 222sin(2)3x x x π==+ ， ………………………9分又因为[,]44x ππ∈-，所以52636x πππ-≤+≤，所以1sin(2)123x π-≤+≤，所以函数()h x 的最大值是2，最小值是1-．……………………………………12分 20．解：（I ）如图，取BC 中点D ，连QD ，由QB QC =得QD BC ⊥， ∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ， ………………2分又∵PA ⊥平面ABC ，∴QD ∥PA ， …………………………4分 又∵QD ⊆平面QBC ，∴PA ∥平面QBC ． ………………6分 （Ⅱ）连接AD ，则AD BC ⊥．∵平面QBC ⊥平面ABC ，面QBC ∩面ABC BC =，∴AD ⊥平面QBC ． 又∵PQ QBC ⊥平面，∴PQ ∥AD ． ………………8分 又由（Ⅰ）知，四边形APQD 是矩形，∴PQ AD =，PA QD =． ……………………………………10分 ∴11()32Q PBC P QBC V V BC QD PQ --==⋅⋅⋅⋅， 而11()32P ABC V BC AD PA -=⋅⋅⋅⋅，则Q PBC P ABC V V --=．……………………12分 21．解法一：（Ⅰ）当l y ⊥轴时，||4AB =⇒24a =当l x ⊥轴时，||AB =2222(1)21a b -+=解得2a =，1b =．PA所以椭圆C 的方程为：2214x y +=．…………5分 （Ⅱ）设直线:l 1x ty =-，与方程2214x y +=联立，得22(4)230t y ty +--=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12224t y y t +=+，12234y y t =-+ ．…① 因为||2||AB OM =，即1||||2OM AB =， 所以OA OB ⊥，即12120OA OB x x y y ⋅=+=， ………………………………8分所以1212(1)(1)0ty ty y y --+=，则21212(1)()10t y y t y y +-++=，将①式代入并整理得：22223(1)21044t t t t -+-+=++，解出12t =±，此时直线l 的方程为：112x y =±-，即220x y ++=，220x y -+=．……12分 解法二：（Ⅰ）同解法一 ………………………………5分（Ⅱ）设直线l ：1x ty =-，与2214x y +=联立，得22(4)230t y ty +--=．…（﹡） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12224t y y t +=+，12234y y t ⋅=-+．从而12|||AB y y =-==24t =+． …………………8分 设00(,)M x y ，则121202()41224x x t y y x t ++-==-=+，120224y y ty t +==+． 由||2||AB OM =得：24t =+ 整理得4224(43)16t t t ++=+，即 4241540t t +-=，即22(1)(41)0t t +-=，解得214t =，从而12t =±．故所求直线l 的方程为：112x y =±-， 即220x y -+=和220x y ++=． ……………………………………12分 22．解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=-，由已知得：00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩ 得0000ln 10,ln 20,x x x x k -=⎧⎨-+=⎩ ……………………3分解得k e =． ………………………………………………………………4分 当(0,)x e ∈时，()0f x '<，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 单调减区间是(0,)e ，增区间是(,)e +∞． …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()ln 2f x x x x e =-+，依题意，直线1l 和2l 的斜率分别为1()f x '和2()f x '，因为12l l ⊥，所以12()()1f x f x ''⋅=-， 所以12(ln 1)(ln 1)1x x -⋅-=-．…（*）① 因为1l 与2l 的倾斜角互补，所以12()()0f x f x ''+=，即12(ln 1)(ln 1)0x x -+-=，（**） …8分由（*）（**），结合12x x <，解得1ln 11x -=-，2ln 11x -=，即11x =，22x e =． 10分② 因为11x e ≤<，所以101ln 1x <-≤，2ln 11x -≥，所以22122121(1ln )(ln 1)11(1ln )(ln 1)[](ln )24x x xx x x -+-=--≤=，所以221x x e ≥⋅ ，当且仅当11x =时，等号成立．又因为22212111(1)1x x x x e x e e +≥+=+≥+，当且仅当11x =时，等号成立． 所以212[1,)x x e +∈++∞． ………………………………………………14分。
三明市中考数学模拟试卷(5月份)
三明市中考数学模拟试卷（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016七上·海盐期中) 实数1，﹣1，﹣，0，四个数中，最小的数是（）A . 0B . 1C . ﹣1D . ﹣2. （2分）(2020·项城模拟) 某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米=10－9米，将这种冠状病毒的直径(单位是米)用科学记数法表示为（）A . 120×10－9B . 1.2×10－11C . 1.2×10－7D . 0.12×10－123. （2分） (2016·雅安) 将如图绕AB边旋转一周，所得几何体的俯视图为（）A .B .C .D .4. （2分）下列计算正确的是（）A . 2（x+y）=2x+yB . x4•x3=x7C . x3﹣x2=xD . （x3）2=x55. （2分）(2019·保定模拟) 如图1，工程队要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB=（）A . 80°B . 90°C . 100°D . 105°6. （2分） (2017九上·抚宁期末) 在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）在一次数学测试中，小明所在小组6人的成绩（单位：分）分别为84、79、83、87、77、81，则这6人本次数学测试成绩的中位数是（）.A . 79B . 82C . 83D . 808. （2分） (2019九上·梁平期末) 若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A .B .C .D .9. （2分）将抛物线y=3x2先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的抛物线解析式为（）A . y=3(x+2)2+3B . y=3(x-2)2+3C . y=3(x+2)2-3D . y=3(x-2)2-310. （2分）(2011·百色) 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（）A . 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B . 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C . 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D . 当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019七下·即墨期末) 计算： ________.12. （1分） (2008七下·上饶竞赛) 若不等式组无解，则a、b的大小关系是________.13. （1分）(2019·二道模拟) 对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为________.14. （1分） (2019九上·鄞州期末) 木工师傅可以用角尺测量并计算出国的半径．如图，用角尺的较短边紧靠圆0于点A，并使较长边与圆O相切于点C，记角尺的直角顶点为B，量得AB=18cm，BC=24cm，则圆O的半径是________cm15. （1分） (2019七下·南海期末) 将一张长方形纸片按图中方式折叠，若∠2＝65°，则∠1的度数为________．三、解答题 (共8题；共82分)16. （5分）(2018·峨眉山模拟) 化简，并求值，其中与、构成的三边，且为整数．17. （12分）(2017·槐荫模拟) 某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查，在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如图所示．（1）本次调查人数共人________，使用过共享单车的有人________；（2）请将条形统计图补充完整；（3）如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？18. （10分）(2019·海南模拟) 如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N.（1）求证：△ABE≌△NCE；（2）若AB=3n，FB= GE，试用含n的式子表示线段AN的长.19. （5分） (2018九下·梁子湖期中) 鄂州市电信部门积极支持鄂州国际航空大都市的建设，如图，计划修建一条连接B，C两地的电缆，测量人员在山脚A测得B，C两地的仰角分别为31°和45°，在B处测得C处的仰角为53°.已知C地比A地髙50m，则电缆BC至少需要多少米？（精确到1m，参考数据：sin31°≈ ，tan31°≈ ，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）20. （10分）“六·一”儿童节那天,小强去商店买东西,看见每盒饼干的标价是整数,于是小强拿出10元钱递给售货员阿姨,下面是他俩的对话:如果每盒饼干和每袋牛奶的标价分别设为x元、y元,请你根据以上信息,解答下列问题:（1）找出x与y之间的关系式;（2）请利用不等关系,求出每盒饼干和每袋牛奶的标价.21. （10分）(2020·杭州模拟) 如图1，在△ABC中，D是AB上一点，已知AC=10，AC2=AD·AB。
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2014年三明市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V S h =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，那么复数(1i)i -等于A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i - 2．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =<，则AB 为A ．{|0}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x >3．观察下列关于变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是A ．正相关、负相关、不相关B ．负相关、不相关、正相关C ．负相关、正相关、不相关D ．正相关、不相关、负相关4．命题：“0>∀x ，都有02≥-x x ”的否定是A ．0x ∀≤，都有20x x ->B ．0x ∀>，都有02≤-x xC ．0∃>x ，使得02<-x xD ．0x ∃≤，使得20x x -> 5．函数32()34f x x x =-+-的单调递增区间是 A ．(,0)-B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．(2,)+ 6. 某程序框图如图所示，若输入2x π=，则该程序运行后输出的b a ,值分别是 A ．0,1 B. 1,1 C. 1,0 D. 0,7．直线0x y +=与圆22(2)4x y -+=相交所得线段的长度为AC ．2 D．8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A．1B ．2CD ．329．若y x ,均为区间)1,0(的随机数，则20x y ->的概率为 A ．81B ．41 C ．21D ．4310. 对于函数()f x 在定义域内的任意实数x 及(0)x m m +>，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>成立，则称函数()f x 为“Z 函数”.现给出下列四个函数：(0),()(0);x g x x ≥=<⎪⎩()()ln 0,()ln()0;x x u x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩1()h x x x =+；()cos v x x =. 其中是“Z 函数”的是A ．()g xB ．()h xC ．()u xD ．()v x正视图俯视图侧视图11．在边长为2的等边ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则⋅的取值范围是 A ．23[,3]16 B ．23[,2]16 C ．3[,3]2D ．[2,9] 12．设函数()f x 的导函数为()f x '，那么下列说法正确的是A.若()'0fx = ，则x 是函数()f x 的极值点B. 若x 是函数()f x 的极值点，则()'0f x =C. 若x 是函数()f x 的极值点，则()'f x 可能不存在D.若()'0fx =无实根 ，则函数()f x 必无极值点第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．在等差数列{}n a 中，若34=a ,则=7S ．14. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为,,21e e 则12e e ⋅=______.15．已知0,0,a b >>若直线01:21=++y a x l 与直线03)1:22=+-+by x a l （互相垂直，则ab 的最小值是 ．16．定义(,)n F A B 表示所有满足{}12,,,n AB a a a =⋅⋅⋅的集合,A B 组成的有序集合对(,)A B 的个数．试探究12(,),(,),F A B F A B ⋅⋅⋅，并归纳推得(,)n F A B =_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从 高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份 试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分 布直方图（如图所示），其中成绩在[50,60)的学生人数为6.0.010.010.010.03（Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数； （Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率. 18．（本小题满分12分）将数列{}n a 按如图所示的规律排成一个三角形数表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数125,,,a a a ⋯构成公差为d 的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序都构成公比为q 的等比数列.若11=a ，43=a ，53a =. （Ⅰ）求q d ,的值； （Ⅱ）求第n 行各数的和T .19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，且22==AD DC ，2:1:=EC PE PC E 上一点，为，（Ⅰ）求证：；平面PAB DE //（Ⅱ）；平面求证：平面ABC PDB ⊥（Ⅲ） 若32==AB PD ，， 60=∠ABC ，求三棱锥ABC P -的体积．20．（本小题满分12分）已知抛物线22y px =（0p >）的准线与x 轴交于点(1,0)M -． （Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB （直线与抛物线交于点A ，B ），使得三角形MAB 的面积MAB S D =？若存在，请求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a……PABED21．（本小题满分12分）设向量12(,),a a =a 12(,)b b =b ，定义一种向量积12121122(,)(,)(,)a a b b a b a b ⊗=⊗=a b ．已知向量1(2,)2=m ，(,0)3π=n ，点),(00y x P 为x y sin =的图象上的动点，点),(y x Q为)(x f y =的图象上的动点，且满足OQ OP =⊗+m n （其中O 为坐标原点）． （Ⅰ）请用0x 表示OP ⊗m ；（Ⅱ）求)(x f y =的表达式并求它的周期；（Ⅲ）把函数)(x f y =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象.设函数=)(x h t x g -)(()t ∈R ，试讨论函数)(x h 在区间[0,]2π内的零点个数.22．（本小题满分14分）已知函数()(e)(ln 1)f x x x =--(e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若m 是()f x 的一个极值点，且点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足条件：1212ln()ln ln 2x x x x ⋅=⋅+.（ⅰ）求m 的值；（ⅱ）求证：点A ，B ，(,())P m f m 是三个不同的点，且构成直角三角形．2014年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．A 11．A 12．B 二、填空题：13．21； 14．1； 15．2； 16．3n ． 三、解答题：17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：样本的众数为75． ……………………………3分（Ⅱ）由频率分布直方图可得：第三组[50,60)的频率：0.012100.12⨯=， 所以6n =÷， ………………………………………………………………4分∴第四组[80,90)的频数：0.024105012⨯⨯=；第五组[90,100]的频数：0.01610508⨯⨯=； 用分层抽样的方法抽取5份得： 第四组[80,90]抽取：125320⨯=；第五组[90,100]抽取：85220⨯=． …………7分记抽到第四组[80,90)的三位同学为123,,A A A ，抽到第五组[90,100]的两位同学为12,B B则从5个同学中任取2人的基本事件有：1213111223(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A A2122(,),(,)A B A B ，313212(,),(,),(,)A B A B B B ，共10种．其中分数在[90,100]恰有1人有：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ，共6种．∴所求概率：63105P == ． ………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）依题意得512a a d =+，312d ∴=+，所以1d =． ……………………………………………2分又321()a a q a d q ==+，2q =，所以q d ,的值分别为1． …………………………………6分（Ⅱ）记第n 行第1个数为A ，由（1）可知：1(1)A a n d n =+-=， ………………7分又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列， 所以第n行共有(21)n -个数， ………………………………9分∴第n 行各数为以n 为首项，2q =为公比的等比数列， 因此其总数的和2121(12)212n n n T n n ---==--． …………………………12分19．解：（Ⅰ）2,//PE ADDE PA EC DC==∴，……2分 ,PAB DE 平面⊄ ,PAB PA 平面⊂；平面PAB DE //∴ ………………3分（Ⅱ）因为平面⊥PAC 平面ABC ， 且平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ， ……………6分 又⊂PD 平面PAC ，所以平面⊥PAC 平面ABC ．…………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知PD ⊥平面ABC ．法一：ABC ∆中，,3=AB ,60=∠ABC 3=AC ，由正弦定理ABC AC ACB AB ∠=∠sin sin ，得1sin 2ACB ∠=，因为AC AB >，所以ACB ABC ∠<∠，则6A C B π∠=，因此2CAB π∠=， …………PABED8分△ABC 的面积233332121=⋅⋅=⋅=∆AB AC S ABC ． …………………………10分 所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯3=． …………………………12分法二：ABC ∆中，3=AB ，60=∠ABC 3=AC ，由余弦定理得：60cos 2222⋅⋅-+=BC AB BC AB AC ，所以260AC -=，所以AC AC ==舍去）． …………………………………8分 △ABC 的面积233233232160sin 21=⋅⋅⋅=⋅⋅=∆ BC AB S ABC ． ……………10分 所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯3=． ……………………12分20．解法一：（Ⅰ）由已知得：12p-=-，从而抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ． ……………………4分（Ⅱ）由题意，设:AB 1x ty =+，并与24y x =联立，得到方程：2440y ty --=， …………………………………………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y ⋅=-．…………………7分121||(||||)2MAB MAF MBS S S S MF y y D D D =+=?∵120y y ⋅<，∴12||||y y +12||y y =-== ， ……9分又||2MF =，∴122MAB S D =创=……………………………………10分解得1t = ， ………………………………………………………………11分故直线AB 的方程为：1x y =±+．即10x y +-=或10x y --=．…………………12分解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）当AB x ⊥轴时，||24AB p ==，11||||24422MAB S MF AB D =?创=， 不符合题意． ……………………………………………………………5分故设:AB (1)y k x =-（0k ¹），并与24y x =联立，得到方程：2222(24)0k x k x k -++=， ……………………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =． …………………7分12||=AB x x p ++224(1)=k k +， 点M 到直线AB 的距离为d ==， ………………9分∴221141||22MAB k S AB dk D +=?创（）== …………10分 解得1k = ， …………………………………………………………11分故直线AB 的方程为：(1)y x =±-．即10x y +-=或10x y --=． ………12分 21．解：（Ⅰ）000011(2,)(2,sin )22OP x y x x ⊗==m ， ……………2分（Ⅱ）OQ OP =⊗+m n ， 所以011(,)(2,sin )(,0)(2,sin )2332x y x x x x ππ=+=+，……………………4分因此002,31sin ,2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即03,2sin 2,x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………………………………6分所以11()sin()226y f x x π==-，它的周期为4π． ………………………………8分（Ⅲ）)62sin(21)(π-=x x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递减， 又111(0),(),()43224g g g ππ=-==， ……………………………10分时，或当4141-21<≤=t t 函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内只有一个零点；时，当2141<≤t 函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内有两个零点；当14t <-或14t >时，函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内没有零点． …………………………12分22． 解：（Ⅰ）e()ln f x x x'=-， ……………………………………2分(1)e f '=-，又(1)e 1f =-， …………………………………………4分所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(e 1)e(1)y x --=--， 即e 2e 10x y +-+=． (5)分（Ⅱ）（ⅰ）对于e()ln f x x x'=-，定义域为(0,)+ ．当0e x <<时，ln 1x <，e 1x -<-，∴e ()ln 0f x x x'=-<； 当e x =时，()110f x '=-=；当e x >时，ln 1x >，e 1x ->-，∴e ()l n 0f x x x '=->， ………………8分所以()f x 存在唯一的极值点e ，∴e m =，则点P 为(e,0)． …………………9分（ⅱ）若1e x =，则122ln ln 1x x x =+，122ln ln 2ln 2x x x ⋅+=+，与条件1212ln ln ln 2x x x x ⋅=⋅+不符，从而得1e x ¹．同理可得2e x ¹． ………………………………………………10分若12x x =，由1212l n l n l n 2x x x x ⋅=⋅+211(ln )2ln 20x x ⇒-+=，此方程无实数解， 从而得12x x ¹． ………………………………………………………11分由上可得点A ，B ，P 两两不重合．又1122(e,())(e,())PA PB x f x x f x ⋅=-⋅-121212(e )(e )(e )(e )(l n1)(l n 1)x x x x x x =--+---- 121212(e )(e )(l n l n l n 2)x x x x x x =---+0=从而PA PB ⊥，点A ，B ，P 可构成直角三角形． ………………………14分。