北师大版八年级上册数学强化班讲义：第三章-位置与坐标

2018-2019学年初二数学（北师大版）强化讲义模块一、基础知识归纳1、平面直角坐标系在平面内，两条__________且有公共原点的数轴组成。

通常，两条数轴分别置于水平位置和铅直位置，取向和向为正方向。

其中水平的数轴称为轴或轴，铅直的数轴称为轴或轴。

横轴和纵轴统称 ,公共的原点O称为直角坐标系的 .2、点的坐标如左下图,平面内的点P,过P作x轴的垂线,垂足A在x轴上所对应的数为 ,它叫做点P 的坐标,写在前面；过P作y轴的垂线,垂足B在y轴上所对应的数为 ,它叫做点P的坐标,写在后面,因此点P的坐标表示为P( , ),两数不能交换.类似地,C点在x轴上对应的数为 ,它是点M的横坐标,D点在y轴上的对应数为 ,它是点M的纵坐标,因此点M的坐标标识为( , )；A点的坐标为( , ),B点的坐标为 ,C点的坐标为 ,D点的坐标为 .3、认识象限(1)在如右上图所示的直角坐标系中标出第一、第二、第三、第四象限.(2)如图,A、B两点在x轴上,它们是某一象限的点吗 .C、D两点在y轴上,它们是某一象限的点吗 .点O呢 ,由此你能得出结1论: .4、如图是一个笑脸，（1）在“笑脸”上，位于第一象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是数，纵坐标是是数。

（2）第二象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是数，纵坐标是是数；第三象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是数，纵坐标是是数；第四象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是数，纵坐标是是数。

（3）不描出点，分别判断A（1,2），B（-1，-3），C（2.，-1），D（-3,4）这些点所在的象限，说说你是怎么判断的。

不同象限点的坐标的特征：第一、二、三、四象限点的符号分别是（+，+）、、、 .5、坐标轴上点或与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接.（1）D（-3,5），E（-7,3），C（1,3），D（-3,5）（2）F（-6,3），G（-6,0），A（0,0），B（0，3）1观察所描出的图形，根据图形回答下列问题：（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点（2）线段EC与x轴有什么位置关系点E和点C的坐标有什么特点线段EC上其它点的坐标呢（3）点F和点G的横坐标有什么共同特点线段FG与y轴有怎样的位置关系坐标轴上点的坐标的特征：(1)x轴上的点：纵坐标为_____,记为( ); (2)y轴上的点：横坐标为_____,记为( );(3)原点的横、纵坐标都为_____,记为( ),原点既在x轴上，又在y轴上.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征:(1)与x轴平行的直线上的点：_______坐标相同; (2)与y轴平行的直线上的点：_______坐标相同.拓展(1)当点P(m,n)在第一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上时，则点P的坐标有何特征1(2)当点P(m,n)在第二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上时，则点P的坐标有何特征在两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点:在第一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上的点，横、纵坐标 ;在第二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上的点，横、纵坐标。

6、两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系(1).在图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗之间有怎样的位置关系对应点A( , )与A1( , )的横坐标，纵坐标；其他对应的点B( , )与B1( , )，C( , )与C1( , )，D( , )与D1( , )也都横坐标，纵坐标。

(2)在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系解：如图，它的各个“顶点”的坐标，纵坐标。

小结：①.关于x轴对称的两点，它们的横坐标________，纵坐标_________；②关于y轴对称的两点，它们的横坐标________，纵坐标_________.7、探索坐标变化引起的图形变化(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），你得到了一个怎样的图案1(2)将(1)所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢(3)将(1)中所得图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，依次连接所得的点，你会得到怎样的图案这个图案与原图案有怎样的位置关系呢小结：①横坐标相同、纵坐标互为相反数（乘-1）的两点关于_________对称；②横坐标互为相反数（乘-1）、纵坐标相同的两点关于_________对称；111、在平面直角坐标系中，点)3,2(-P 关于x 轴对称的点在第 象限；2、已知点),(b a P ，当0<ab ，点P 的位置在（ ）A 、第一或第三象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第二或第四象限3、若点),(b a P 在第四象限，则点)1,(--b a Q 在 象限；4、点P （a ，b ）与点Q （1，2）关于x 轴对称，则=+b a ；5、如果点Q （2m +，112m -）在y 轴上，则点Q 的坐标为 ； 【考点题型2】---坐标变换的规律【例3】在直角坐标系中，将某三角形纵向拉长了2倍，又向右平移了3个单位长度，则所得三角形的三个顶点坐标是将原三角形的三个顶点坐标（ ） A 、先纵坐标不变，横坐标均扩大2倍，再横坐标均增加3；B 、先横坐标不变，纵坐标均扩大2倍，再纵坐标不变，横坐标均增加3；C 、先横坐标不变，纵坐标均扩大2倍，再纵坐标不变，横坐标均增加3；D 、先横坐标不变，纵坐标均增加2，再纵坐标不变，横坐标均增加3； 【考点题型3】---图形变换与坐标的求法【例4】1、如图：平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标为（ ）A 、)7,3(B 、)3,5(C 、)3,7(D 、)2,8(2、如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系中，白棋②的坐标为)4,7(--，白棋④的坐标为(5,6)--，那么白棋①的坐标为 ；1【例5】如图：在直角坐标系中，第一次将OAB ∆变换成11B OA ∆，第二次将11B OA ∆变换成22B OA ∆，第三次将22B OA ∆变换成33B OA ∆。

已知：A （1，3），1A （2，3），2A （4，3），3A （8，3），B （2，0），1B （4，0），2B （8，0），3B （16，0） （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将33B OA ∆变换成44B OA ∆，求4A 、4B 的坐标；（2）若按（1）题找到的规律将OAB ∆进行n 次变换，得到n n B OA ∆，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测n A 、n B 的坐标；【例6】如图：点)0,0(O ，)0,4(B ，将OAB ∆绕点O 按逆时针方向旋转︒90到//B OA ∆； （1）画出//B OA ∆； （2）点/A 的坐标为 ；（3）求/BB 的长；1◆目标训练2：1、同学们玩过五子棋吗它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜，如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是（1,-5），黑②的位置是（2,-4），现轮到黑棋走，你认为黑棋放在 位置就获得胜利了。

2、上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，如图，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东︒45和北偏东︒15方向，那么B 处船与小岛M 的距离为（ ）A 、20海里B 、220海里C 、315海里D 、320海里◆【创新题型•思维拓展】【例7】1、如图：已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第一象限内，OA 与x 轴的夹角为︒30，那么点B 的坐标是 ；2、平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ；1◆方法感悟：求点的坐标，关键作出点到x 轴、y 轴的距离，转化为求线段的长。

选择建立合适的坐标系可以简化运算。

注意体会分类讨论思想，方程思想的运用。

【例8】根据指令[],s A （0,0360s A ≥︒≤<︒）机器人在平面上能完成以下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ，现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（3-，3）的位置，应给机器人下的指令是 。

【例9】（规律探索）在平面直角坐标系中，已知点0P 的坐标为（1，0）。

将0P 绕着原点按逆时针方向旋转︒30得到点1P ，延长1OP 到点2P ，使122OP OP =；再将2P 绕着原点按逆时针方向旋转︒30得到点3P ，延长3OP 到点4P ，使 ；342OP OP =如此继续下去。

求：（1）点2P 的坐标为（ ）；（2）点2010P 的坐标为（ ）；【例10】在直角坐标系xOy 中，已知点A 、C 的坐标分别为A （2-，0）、C （0，32-），在坐标平面xOy 内，是否存在点M ，使AC 为等腰ACM ∆的一边，且底角为︒30，如果存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标，如果不存在，请说明理由；1【例11】如图：在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点C 的坐标是)0,4(。

（1）写出A 、B 两点的坐标；（2）若E 是线段BC 上一点，且︒=∠60AEB ，沿AE 折叠正方形ABCO ，折叠后点B 落在平面内点F 处，请画出点F 并求出它的坐标；（3）若E 是直线BC 上任意一点，问是否存在这样的点E ，使正方形ABCO 沿AE 折叠后，点B 恰好落在x 轴上的某一点P 处若存在，请写出此时点P 和点E 的坐标；若不存在，请说明理由；模块三、综合检测一、选择题(每小题3分，共30分)1．在平面直角坐标系中，点P (－3，1)的位置在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2. 在如图所示的直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（ ） A. M （－1，2），N （2，1） （2，－1），N （2，1）（－1，2），N （1，2） （2，－1），N （1，2）1小华小军小刚3. 点M (1,2)关于x 轴对称的点坐标为( )A. (－1,2)B. (1,－2)C. (2,－1)D. (－1,－2)4. 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用(0，0)表示，小军的位置用(2，1)表示，那么你的位置可以表示成( ) A ．(5，4) B ．(4， 5) C ．(3，4) D ．(4，3)5. 点P (13++m m ，)在直角坐标系的x 轴上，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2，0) C ．(4，0) D ．(0，－4)6. 若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为( )A ．(3，0) B.(3，0)或(–3，0) C.(0，3) D.(0，3)或(0，–3) 7．若点M (a ,b )在第二象限，则点N (－b ,b －a )必在( )A ．第一象限B ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限8. 已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点P 的坐标是( ) A.(－1，1)B.(1，－1)C.)2,2(-或)2,2(-D.)2,2(-9. 坐标半面上，在第四象限内有一点P ，且P 点到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是5，则P 点坐标为( ) A ． (?5，4) B. (?4，5) C. (4，?5) D. (5，?4)10.已知等边△ABC 的边长为2，以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，则点A 的坐标为( )． A.(，0)或(－，0) B.(0，)或(0，－) C.(0，) D.(0，－) 二、填空题（每小题4分，共20分)11. 点A （﹣1，2）在第__________象限．12.点P （1，－2）关于y 轴对称的点P′的坐标为 ．.13.以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，则点B 的坐标是 . Rt △ABC 的周长为__________33333314. 若点A(x，0)与点B(2，0)的距离是5，则x的值是____________15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（－1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为 _.三、解答题（共50分）16．（10分)△ABC在直角坐标系内的位置如图．（1）分别写出A、B、C的坐标；（2）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，并写出B1的坐标．17.（10分)△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，建立适当的直角坐标系，并写出点A、B、C的坐标；118.（10分) 在图上建立直角坐标系，用线段顺次连结点(－2，0)，(0，3)，(3，3)，(4，0)，(－2，0).(1)作出图形;(2)求出它的面积；(3)求出它的周长.119.（10分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3).(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(其中A1、B1、C1是A、B、C的对应点，不写画法)(2)写出A1、B1、C1的坐标；(3)求出△A1B1C1的面积.20.（10分)已知A、B、C、D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1)连接AC,CD,DB,求四边形ABCD的面积;(2)连接BC，判断△CBD的形状，并说明理由.11B 卷(50分)一、填空题(共20分，每小题4分)21.第三象限内的点P （x ，y ），满足|x |=5，y 2=9，则点P 的坐标是 ．22.已知点A （﹣3，2a ﹣1）与点B （b ，3 ）关于原点对称，那么点P （a ，b ）关于y 轴的对称点P′的坐标为 ． 23.若点A （4﹣m ，3m+2）到x 轴的距离等于它到y 轴的距离的一半，则m= .24、规定：在平面直角坐标系xOy 中，“把某一图形先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折”为一次变化．如图，已知正方形ABCD ，顶点A(1，3)，C(3，1)．若正方形ABCD 经过一次上述变化，则点A 变化后的坐标为 ，如此这样，对正方形ABCD 连续做2015次这样的变化，则点D 变化后的坐标为 ．25、如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP 1，以点P 1和线段P 1A 的中点B 为顶点作正△P 1BP 2，再以点P 2和线段P 2B 的中点C 为顶点作△P 2CP 3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P 6的坐标是 ．二、解答题(共30分)26(8分).如图，在平面直角坐标系xoy 中，(1)在图中作出ABC △关于y 轴的对称图形111A B C △．(2分)(2)写出点111A B C ，，的坐标．(3分)(3)求出ABC △的面积和BC 边上的高．(3分)127(10分).阅读材料：例：说明代数式 221(3)4x x ++-＋的几何意义，并求它的最小值．解：2222221(3) 4 (0)1(3)2x x x x ++-+=-++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P(x ，0)是x 轴上一点，则22(0)1x -+可以看成点P 与点A(0，1)的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B(3，2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以A′B＝32，即原式的最小值为32． 根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P(x ，0)与点A(1，1)、点B 的距离之和．(填写点B 的坐标) (2)代数式 22491237x x x ++-+的最小值．28(12分).等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；(1)如图(1)，已知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标；(2)如图(2)，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；(3)如图(3)，若点A在x轴上，且A(-4，0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连结CD交y 轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度.11。