部分根轨迹例题

( 取 k 0)
根据根轨迹关于实轴对称的特点，可知极点p4＝－1－j的出射 角为26.6°。
a
( 2 k 1) nm ( 2 k 1) 4 1 60 ,180 ( k 1,0,1)
渐近线与实轴的交点：

p z
j
i
nm

0 3 1 j 1 j 2 4 1
1
④根轨迹的一条分支起始于极点p1=0，沿负实轴终止于零点 z=-2；一条分支起始于极点p2＝－3，沿负实轴趋向－∞；其 余的两条分支起始于共轭复极点p3、4＝－1±j，沿渐近线趋向 无穷远处。 ⑤求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程为： s 4 5 s 3 8 s 2 (6 K ) s 2 K 0
计算会合点和分离点：
由N ' (s)D(s) - N(s)D ' (s) 0求解
注意：
后两步可能不存在；
在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
例1：已知系统的开环传递函数为：
G (s) H (s) K s ( s 1)( 0.25 s 1)
（1）绘制系统的根轨迹图； （2）为使系统的阶跃响应呈现衰减形式，试确定K值范围。 解： 系统的开环传递函数为
劳斯阵列为：
s4 s3 s2 s1 s
0
1 5 40 ( 6 K ) 5 6 K 50 K 34 K 2K
8 6 K 2K 0 0
2K 0 0 0 0
系统处于临界状态时，由s1行首列为零得
6 K 50 K 34 K 0
解得： 辅助方程
K 7.03
40 (6 K ) 5 s 2 2K 0
计算极点处的出射角和零点处入射角：
出射角 ( 2 k 1) 从其他极点到该极点的 矢量幅角 ） （ （ 从各个零点到该极点的 矢量幅角 ） 入射角 ( 2 k 1) 从各个极点到该零点的 （ （ 从其他零点到该零点的 矢量幅角 ） 矢量幅角 ）
计算根轨迹和虚轴的交点；
p 2 , 3 2

5 K ( s 1) ( s 5)( s 2) 2
①开环零、极点
z1 1 , p1 5 , ( n 3, m 1)
②实轴根轨迹 ③渐近线

(5,1)
5 2 2 1 3 1
5

( 2 k 1) 3 1

D ( s ) ( s 5)( s 2 4 s 4) 5 K ( s 1)
得：
K 4
0 K 4
所以闭环系统稳定的K范围是
（2）闭环传递函数
(s)
G (s) 1 G (s) H (s) K ( s 1)( s 5) ( s 5)( s 2) 2 5 K ( s 1)
5s 2 K g 0
5s 2 20 0 s j j 2
求交点也可用如下方法：
2 2 令 s j 代入方程得： K g 5 j ( 4 ) 0
解得
4 2 0 2 2 K g 5 0 K g 20
s1 0.46 s2 2.87
由③知s2不在根轨迹上，故s1是根轨迹的分离点。 ⑤求根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程为：
s3 劳斯阵列为： s2 s1 s
0
s 3 5s 2 4 s K g 0
1 5 20 K g 5 Kg
4 Kg 0 0
第一列出现零，即Kg＝20时系统处于临界稳定，其对应的临 界开环增益为K＝Kg/4＝5。 相应的辅助方程为 即 与虚轴的交点为：
即
27 s 2 70 0 s j1.61
解得与虚轴交点为 ⑥求p3、4起点的出射角
p ( 2 k 1) ( p3 z i ) ( p3 p j )
3
m
n
i 1
j 1 j 3
( 2 k 1) ( p3 2 ) p3 ( p3 3) ( p3 1 j ) ( 2 k 1) 45 135 26 .6 90 26 .6

2
④分离点
d D(s) 0 s 3 3s 2 9 s 22 0 ds N ( s )
s1 2 ,
s2 3.854 ,
s3 2.854 ( 舍去 )
可作出根轨迹如图：
若使闭环系统稳定，则闭环特征根必须位于左半S平面，故将 s=0代入特征方程
例3：已知系统的开环传递函数为：
G (s) H (s) K ( s 2) s ( s 3)( s 2 2 s 2)
试绘制系统的根轨迹。 解：①系统n=4，m=1，其开环零、极点为：
z 2, p1 0, p 2 3, p3、 1 j 4
根轨迹共有四条分支，其中一条分支终止于零点－2，其余三 条分支趋向于无穷远。 ②实轴上的根轨迹位于区间（－2，0），（－∞，－3）。 ③渐近线的倾角：
当s1=－1时，由特征方程 D ( s1 ) 0 ，可得
K 1 0 .4
代入闭环传递函数
(s)
0.4( s 1)( s 5) ( s 5)( s 2) 2( s 1)
2

0.4( s 1)( s 5) ( s 1)( s 2 8 s 18 )
30
a
即
( 2 k 1) 30

( k 0,1,2)

a＝60 ， 180 ， 300
③实轴上的根轨迹区间是（－∞，－4），（－1，0） ④求根轨迹分离点
d D(s) d [ ] [ s ( s 1)( s 4)] 3s 2 10 s 4 0 ds N ( s ) ds
G (s) K ( s 1) s 4s 4
2
,
H (s)
5 s5
（1）绘制系统的根轨迹，确定使闭环系统稳定的K值范围。 （2）若已知系统闭环极点s1=－1，试确定系统的闭环传递函数。 解：（1）
G (s) H (s) 5 K ( s 1) ( s 5)( s 2 4 s 4)
前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ○ 确定实轴上的根迹区间； ”；
画出n-m条渐进线。其与实轴的交点和倾角分别为：
p z
j
i
nm
;
( 2 k Fra Baidu bibliotek) nm
, k 0,1,2,3...
系统的大致根轨迹如图：
确定K值范围：与分离点s1相应的
K g s . s 1 . s 4 s 0 .46 0.88
K K g 4 0.22
因此，若使系统在阶跃响应下为衰减振荡型，K的取值 范围应为 0.22 K 5 。
例2：已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为：
G (s) H (s) 4K s ( s 1)( s 4)
K g 4K

Kg s ( s 1)( s 4)
其中
①开环极点0，－1，－4，它们是三条根轨迹起点。系统无有 限开环零点，故根轨迹将趋向于无穷远点。 ②根轨迹的渐近线： a 1 4 0 1.67