专题：圆形磁场问题

θ/2
θ
例题：如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的 匀强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入
磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向 成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的 相互作用力及所受的重力。求： r B （1）电子在磁场中运动轨迹的半径R； v O （2）电子在磁场中运动的时间t； θ （3）圆形磁场区域的半径r。 mv R 解：（1） R θ/2
装带 置点 微 A 粒 发 射 P v R C r O O/
Q
x
例题：如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的
带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0， 不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚 到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁 场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以
所示。最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，
3 mv OA = 2r = qB
hsin 30º =vt qE 2 1 h cos 30º= ·t 2 m ∴t=2mv/qE· tan 30º
Smin =
r2
3 m2v2 = 4q2B2
(2) b到C 受电场力作用，做类平抛运动
O2
y
A v b O O1 60° E 30° x v h
磁扩聚
定点发射，平行飞出
例题：在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从 坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限， 如图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的 匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴 且沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积
为多大？（不考虑电子间的相互作用）
2 2
2
当速度变为2V的带电粒子，不具备“磁会聚”的 条件，因此不会都通过O点。但此题可采用极端分析 法，带电微粒在磁场中经过一段半径为r’=2R的圆 弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做 匀速直线运动，如图所示。靠近上端点发射出来的带 电微粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处； 靠近下端点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿 出磁场。所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围 是x>0. y
2 m2v0 1 2 r2 S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 eB
例题：（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀
强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发 射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带 电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。 已知重力加速度大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 应强度的大小与方向。 y （2）请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 交的区域，并说明理由。 粒 R 发 Av O/ （3）在这束带电磁微粒初速度变为 射 C 装 2v，那么它们与x轴相交的区域又在 置 O 哪里？并说明理由。 x
θ2
R2
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长越长对应 时间越长。(直径对应的弧最长)
例题：如图，半径为 r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁 场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入 磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使
粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应 如何（以v0与oa的夹角表示）？最大偏转角多大？ 解析：R=mv/Bq=5×102m>r 说明：半径确定时，通过的弧越 长，偏转角度越大。而弧小于半 个圆周时，弦越长则弧越长。 sin = r/R = 37º，
eB
（2）由几何关系得：圆心角：α = θ
t
v
m T 2 eB
O1
（3）由如图所示几何关系可知， tan

2

r R
mv tan 所以：r eB 2
结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和 圆心角都越小，运动时间越短。
例题：在圆形区域的匀强磁 场的磁感应强度wenku.baidu.comB，一群速 率不同的质子自A点沿半径方 向射入磁场区域，如图所示， 已知该质子束中在磁场中发 生偏转的最大角度为1060，圆 形磁场的区域的半径为R，质 子的质量为m，电量为e，不 计重力，则该质子束的速率 范围是多大？ 3BeR v 4m
y
v0 O
O1 O2 O3 O5 O4
x
解2: 磁场上边界如图线所示。 设P(x，y)为磁场下边界上的 一点，经过该点的电子初速度与x 轴夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ， 得: x2 + (y－r)2 = r2。
y
P (x,y)
v0
O
θ r
r
x
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
一轮专题复习
带电粒子在圆形磁场中 的运动
任其春
带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及粒子 轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
v α
B
O θ
边 界 圆
边 界 圆
B O C A
B
O＇
θ O′
轨 迹 圆
θ+ α = π
轨迹圆
两圆心连线OO′与点C共线。
结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出。
例题：电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转 技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入 一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。 磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束 将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到 屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ， 此时磁场的磁感应强度B应为多少？
1
v
2eU m
⑶电子在磁场做圆周运动的周期为T0 电子在圆筒内经过n次碰撞回到S， 每段圆弧对应的圆心角 1 - 2 n1 n次碰撞对应的总圆心角
在磁场内运动的时间为t2
t2
2m eB
到出发点。（不考虑重力，设碰撞过程中无动能损失） 求： ⑴电子到达小孔S时的速度大小； O R ⑵电子第一次到达S所需要的时间； N S ⑶电子第一次返回出发点所需的时间。
M me
解： ⑴根据 eU 得加速后获得的速度 mv 2 2 ⑵设电子从M到N所需时间为t1， 2m 1 2 1 eU 2 t d d at1 t1 得 1 则： eU 2 2 mL
y R P v θ
y
R
v A
C O
O/
R
Q x
O/
O
x
解析：（1）由mg=qE得E=mg/q；由qvB=mv2/r，r=R得 B=mv/qR，方向垂直于纸面向外 （2）这束带电微粒都通过坐标原点。 方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，这束带电微粒进 入磁场后的圆心轨迹是如图的虚线半圆，此圆圆心是坐标原点O。 方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动。P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ ，其圆心Q 的坐标为（-Rsinθ ，Rcosθ ）,圆周运动轨迹方程 x Rsinθ y Rcosθ R 解得：x=0 y=0（原点O）和x=-Rsinθ y=R(1+cosθ )（P 点）
q/m＝1.0×108 C/kg，不计粒子重力．
(1)粒子的轨迹半径；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间；
(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
[ 解析 ]
(1) 由牛顿第二 定律可求得粒子在磁场中运动的半
v0 2 径． qv0B＝ m ， R R＝ mv0 － ＝ 5.0× 10 2 m. qB
B r O 2R r N
b
x
例题：如图，质量为m、带电量为+q的粒子以速度v从O点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁 场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过 x轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为30º，同时进入场 强为E、方向沿与与x轴负方向成60º角斜向下的匀强电场 中，通过了b点正下方的C点。不计重力，试求：
一点发散成平行
平行会聚于一点
结论4：如果在圆形匀强磁场区域的 边界上某点向磁场发射速率相同的 带电粒子，且粒子在磁场中运动的 轨道半径与磁场区域半径相同，那 么粒子射出磁场时运动方向一定相 同．反之，粒子以相同速度平行射 人这样的磁场，粒子就能会聚于磁 场边界上的某点。
R
r R
r
磁会聚
平行飞入，定点会聚
(2)由于 R＞r，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中 运动的圆弧所对应的弧长最长，从图甲中可以看出，以直径 ab 为弦、R 为半径所作的圆周，粒子运动时间最长， 2πm T＝ qB ， 2α 2 α· m 运动时间 tm＝ × T＝ qB ， 2π r 3 － 又 sinα＝R＝ ，∴tm＝6.4× 10 8 s. 5
是(其中
1/4圆弧，B选项中曲线为半径是L/2的圆)( A )
mv 0 ，A、C、D选项中曲线均为半径是L的 B0 qL
圆形磁场临界问题
例题：如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的
带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都 不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m， 外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被缚 的带电粒子的荷质比为 q/m=4×107C/kg，中空区域中带 电粒子具有各个方向的速度。试计算： B （1）粒子沿环状的半径方向 R2 射入磁场，不能穿越磁场的最 R1 大速度。 O （2）所有粒子不能穿越磁 场的最大速度。 R2
解 ：质点在磁场中圆周运动半径为 a r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是 1/4 圆周，如图中M、N两点间的圆弧 。 在通过 M、N两点的不同的圆中，最小 的一个是以MN 连线为直径的圆周。 O 圆形磁场区域的最小半径R=MN/2= 2 mv/qB
形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略 y 不计。 v0 M
r v
答案：（1）1.5×107m/s，
（2）1.0×107m/s。
圆形磁场最小面积问题
例题：如图，带电质点质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区 域。为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴 的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于 xy平面、 磁感应强度为 B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆
B v0 a α r R α O b
最大偏转角为 2 = 74º。
例题：如图所示，在真空中半径 r ＝ 3.0×10 － 2 m 的圆 形区域内，有磁感应强度 B＝ 0.2 T，方向如图的匀强
磁场，一批带正电的粒子以初速度v0＝1.0×106
m/s，
从磁场边界上直径 ab 的一端 a 沿着各个方向射入磁场， 且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为
O4 O3 O2
O1
例题(多选)如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀
强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆 心O射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的
时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子
（
CD ）
B v O s1 θ1 R1 s2
A．射入时的速度一定较大 B．在该磁场中运动的路程一定较长 C．在该磁场中偏转的角度一定较大 D．从该磁场中飞出的速度一定较小
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）C点到b点的距离h。
O2 y
A v b O O1 60° 30° x v h
E
解：(1) 反向延长vb交y 轴于O2 点，作∠bO2 O的角平分
线交x 轴于O1 ， O1即为圆形轨道的圆心，半径为R =
OO1 =mv/qB，画出圆形轨迹交b O2于A点，如图虚线
h 2vt 4 3mv / qE
2
圆形磁场多次碰撞问题
例题：平行金属板M、N间距离为d。其上有一内壁光滑的半 径为R的绝缘圆筒与N板相切，切点处有一小孔S。圆筒内 有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度为B。电子 与孔S及圆心O在同一直线上。M板内侧中点处有一质量为 m，电荷量为e的静止电子，经过M、N间电压为U的电场加 速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞n次后，恰好沿原路返回