随机变量的数学期望

3
一,离散型随机变量的数学期望
例1 有甲,乙两射手,他们的射击技术如下表: 有甲,乙两射手,他们的射击技术如下表: 甲:
击中环数 频率
8 30% % 8 20% %
9 10% % 9 50% %
10 60% % 10 30% % 问哪一个射手 水平较高? 水平较高?
乙:
击中环数 频率
解 假定各射 枪,则平均每枪所得环数约为 假定各射N枪
若级数
∑x
k=1
∞
k
pk
绝对收敛, 绝对收敛,
则称之为X的数学期望,记为E(X),即 则称之为 的数学期望,记为 ( )
E( X ) = ∑ xk pk
k =1
∞
6
面额为1元的彩票共发行 万张, 元的彩票共发行1万张 例2 面额为 元的彩票共发行 万张,其中可得奖金 1000元,20元,5元的彩票分别有 张,50张和 元的彩票分别有2张 张和500 元 元 元的彩票分别有 张和 张.若某人购买1张彩票,则他获奖金额X的数学 若某人购买 张彩票,则他获奖金额 的数学 张彩票 期望E(X)为多少? 为多少? 期望 为多少 解 X P 1000 0.0002 20 0.005 5 0.05 0 0.9448
8 × 0.3 N + 9 × 0.1 N + 10 × 0.6 N 甲: = 9.3 , N
4
甲:
击中环数 频率
8 30% % 8 20% %
9 10% % 9 50% %
10 60% % 10 30% % 问哪一个射手 水平较高? 水平较高?
乙:
击中环数 频率
解 假定各射 枪,则平均每枪所得环数约为 假定各射N枪
1 x f ( x ) = e , ∞ < x < ∞ 2 求 E( X ) , EX 2 .
解
1 x E( X ) = ∫ xf ( x ) dx = ∫ x e dx ∞ ∞ 2 1 +∞ x 1 0 = ∫ xe dx + ∫ xe x dx = 0 . 2 0 2 ∞ +∞ +∞ 2 2 2 1 x E( X ) = ∫ x f ( x) dx = ∫ x e dx ∞ ∞ 2
14
三,随机变量的函数的数学期望
定理 设随机变量 Y 是随机变量 X 的函数 Y = g( X ) , 这里 g 是连续函数,那么 是连续函数,
(1)若 是离散型随机变量 是离散型随机变量, (1)若X是离散型随机变量,且X的概率分布为 的
P{ X = xi } = pi , i = 1,2,
则
源自文库
E(Y ) = E[g( X)] = ∑g( xi ) pi .
+∞
+∞
=∫
+∞ 0
x e dx = 2 .
2
18
x
设随机变量( , ) 例8 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 y f ( x, y) = 2 x y x 0, else 1 ). 求 E(Y ), E( XY
解 E(Y ) =
1
x
10
一种验血新技术) 例4 (一种验血新技术) 在一个人数很多的单位中普 查某种疾病, 个人去验血 有两种方法: 个人去验血, 查某种疾病,N个人去验血,有两种方法: (1) 每个人 的血分别化验,共需N次 的血分别化验,共需 次;(2) 把k个人的血样混在一 个人的血样混在一 起化验,如果结果是阴性,那么一次就够了; 起化验,如果结果是阴性,那么一次就够了;如果呈 阳性,那么对这k个人的血样再逐次化验 共需k+1次. 个人的血样再逐次化验, 阳性,那么对这 个人的血样再逐次化验,共需 次 假定对所有人来说, 呈阳性的概率为p,且相互独立, 假定对所有人来说, 呈阳性的概率为 ,且相互独立, 下面说明当p较小时 方法(2)能减少化验的次数. 较小时, (2)能减少化验的次数 下面说明当 较小时,方法(2)能减少化验的次数. 解 记 q = 1 p , 则 k 个人的混合血样呈阳性的概率为
E( X) = ∫ xf ( x)dx
∞
+∞
13
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望. 求X的数学期望. 的数学期望
解
E( X ) = ∫
+∞ ∞
1 0
xf ( x ) dx
2
=∫
3 x 3 x dx = . 4
按此计算结果,自然应当以采取推迟扩展的决策为有利. 按此计算结果,自然应当以采取推迟扩展的决策为有利. 如果领导人对未来市场的估计不是2:1,而是3:2, 如果领导人对未来市场的估计不是 ,而是 , 那么, 那么,他立即扩展所期望的利润为
2 3 328 × + ( 80) × = 83.2 (万元 ) 5 5
9
如果领导人对未来市场的估计不是2:1, 如果领导人对未来市场的估计不是 ,而是 3:2,那么,他立即扩展所期望的利润为 ,那么,
2 3 328 × + ( 80) × = 83.2 (万元 ) 5 5
而推迟扩展所期望的利润为
2 3 160 × + 16 × = 73.6 (万元 ) 5 5
按此计算结果,则立即扩展较为有利. 按此计算结果,则立即扩展较为有利.
第四章
1
前面讨论了随机变量的概率分布, 前面讨论了随机变量的概率分布,它完整地 描述了随机变量的概率性质, 数字特征则是由 描述了随机变量的概率性质,而数字特征则是由 概率分布所决定的常数,它刻划了随机变量的某 概率分布所决定的常数, 常数 一方面的性质.在许多实际问题中, 一方面的性质.在许多实际问题中,分布往往不 易求得或不需求得,而只需了解某些数字特征, 易求得或不需求得,而只需了解某些数字特征, 数理统计的方法得到 而数字特征往往容易通过数理统计的方法得到. 而数字特征往往容易通过数理统计的方法得到. 在这些数字特征中,最常用的是 在这些数字特征中,
8 × 0.3 N + 9 × 0.1 N + 10 × 0.6 N = 9.3 , 甲: N
8 × 0.2 N + 9 × 0.5 N + 10 × 0.3 N = 9.1 , 乙: N
可见甲的水平高些. 可见甲的水平高些.
5
定义 设离散型随机变量 的概率分布为 设离散型随机变量X的概率分布为
P{ X = x k } = pk , = 1,2, k
1 k 1 1 k k E 因此, 因此, ( X ) = q + (1 + ) (1 q ) = 1 q + , k k k
N个人需化验的次数的数学期望为 个人需化验的次数的数学期望为 例如, 例如,
0.9910 0.1 = 0.804 , 1 k 就能减少验血次数. 当 q > 时, 就能减少验血次数.
则 E( X ) = 1000 × 0.0002 + 20 × 0.005 + 5 × 0.05
= 0.55 .
7
数学期望在经济管理中经常用到,特别是在决策问题中. 数学期望在经济管理中经常用到,特别是在决策问题中. 假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题, 例3 假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题, 根据现有资料估计, 根据现有资料估计,如果未来的市场繁荣而现在就进 行扩展经营,则一年内可以获利328(万元);如果未来 行扩展经营,则一年内可以获利 (万元) 市场萧条,则将损失80(万元) 市场萧条,则将损失 (万元).如果这个企业等待下 一年再扩展,在市场繁荣的情况下,将获利160(万元), 一年再扩展,在市场繁荣的情况下,将获利 (万元), 而在市场萧条的情况下,则仅能获利16(万元) 而在市场萧条的情况下,则仅能获利 (万元).现在 的问题是,这个企业的领导人将怎样作出决策? 的问题是,这个企业的领导人将怎样作出决策? 首先要对未来市场作出适当估计. 解 首先要对未来市场作出适当估计.假定企业领导 人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对 之比 之比, 人认为未来市场萧条较之市场繁荣是 对1之比,即市 场萧条和繁荣的概率分别为2/3和 ,因此, 场萧条和繁荣的概率分别为 和1/3,因此,如果立即 扩展, 扩展,则利润的期望值是
P{ X = xiY = y j } = pij ,i , j = 1,2,
则 E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( x i , y j ) pij .
j i
型随机变量, (2) 若(X,Y)是连续型随机变量,联合概率密度为 , ) 连续型随机变量 f(x,y),则 ( , )
E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∫
+∞ ∞
∫
+∞ ∞
g ( x , y ) f ( x , y ) d xd y
16
例6 设随机变量 的概率分布如下: 设随机变量X的概率分布如下: 的概率分布如下 X P -2 0.1
4
-1 0.2
0 0.3
1 0.4
求 E( 3 X + 1) , EX 2 .
解
E(3 X + 1) = ∑ (3 xi + 1) pi
i =1
= 5 × 0.1 2 × 0.2 + 1× 0.3 + 4 × 0.4 = 1 .
EX 2 = ∑ x i2 pi
i =1
4
= 4 × 0.1 + 1 × 0.2 + 0 × 0.3 + 1 × 0.4 = 1 .
17
例7 设随机变量 的概率密度为拉普拉斯分布 设随机变量X的概率密度为拉普拉斯分布
i
(2)若 是连续型随机变量 且其概率密度为 ( ) 是连续型随机变量, (2)若X是连续型随机变量,且其概率密度为 f(x), 则
E(Y ) = E[g( X)] = ∫ g( x) f ( x)dx .
∞
15
+∞
上述结论可推广到两个随机变量的函数的情况. 上述结论可推广到两个随机变量的函数的情况. 设 Z 是随机变量 X, Y 的函数 Z = g( X , Y ) ,这里 g 是 连续函数, 是一维随机变量, 连续函数,则 Z 是一维随机变量, 且有 (1) 若(X,Y)是离散型随机变量,且其联合分布律为 , )是离散型随机变量,
1 qk ,
用方法(2)验血时,每个人需化验的次数 的概率分布为 用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为 (2)验血时
11
用方法(2)验血时,每个人需化验的次数 的概率分布为 用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为 (2)验血时 1 1 1+ X k k
P
q
k
1 q
k
1 N (1 q + ) , k
k
N = 1000, k = 10, p = 0.01 ,
k
12
二,连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X的概率密度为 ) 的概率密度为f( 定义 设连续型随机变量 的概率密度为 (x),如果积分
∫
+∞ ∞
xf ( x ) dx
绝对收敛,则称之为X的数学期望,记为E( ) 绝对收敛,则称之为 的数学期望,记为 (X),即
8
市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和 , 市场萧条和繁荣的概率分别为 和1/3, 如果立即 扩展, 扩展,则利润的期望值是 1 2 328 × + ( 80) × = 56 (万元 ) 3 3 如果他决定下一年再扩展, 如果他决定下一年再扩展,则利润的期望值为
1 2 160 × + 16 × = 64 (万元 ) 3 3
∫ ∫
∞
x
+∞
+∞ ∞
y f ( x , y ) d xd y
=∫
+∞
1
3 3 +∞ 1 dx ∫ 1 3 dy = ∫ 2 ln x dx 3 2x y 2 1 x x
期望和方差
这一节先介绍随机变量的数学期望. 这一节先介绍随机变量的数学期望
2
§1 数学期望 (Mathematical Expectation)
对于一个随机变量 X,有时希望知道 X 的取值集中 在哪里, 的平均值.由于其取值是随机的, 在哪里,即要确定 X 的平均值.由于其取值是随机的, 如 P{ X = 1} = 0.1 , P{ X = 2} = 0.9 , 1 和 2 的算术平均值 1.5 并不能真实体现 X 取值的平均水平,这是由于 X 取 1 取值的平均水平, 的概率不等所致, 与取 2 的概率不等所致,实际上 X 取 2 比取 1 的概率大 得多.因此, 取值的平均, 得多.因此,要真正体现 X 取值的平均,不能用简单算 术平均方法来确定, 术平均方法来确定 ,还应考虑到它取各不同值的概率大 概率权方法 用数学期望来表示随机变量 X 的 即采用概率权方法, 小, 即采用概率权方法, 平均值. 平均值 .