含参数的不等式

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高二数学含参数不等式的解法

含参数不等式的解法
例1．解关于x的不等式 ax b 0
分析：参变数可分为三种情况，即 a 0, a 0和a 0 ，
分别解出当 a 0, a 0和a 0时的解集即可。
解：原不等式可化为：ax b
当 a 0 时,则 x b a
当
a

0
时,则
x

b a
当 a 0 时,则原不等式变为: 0 b
解: 原不等式可化为:
(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a，则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
当a 0时，解集为{x | x b}
a 当a 0时，解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时，解集为
当a 0且b 0时，解集为R
例2．解关于x的不等式
x2 (a a2 )x a3 0(a R)
； https:// 女性生理期计算器
；
（4分）答：? ? 17.文中画线的句子使用了什么修辞方法？请结合文章内容，具体分析其表达作用。（3分）雪花簌簌地落着，风安静地睡去，远山近水被夜色围拢而来，婴孩一般安卧在村庄阔大的臂弯里。答：? ? 18.下面对文章的理解分析，不正确的两项是（）（? ） A.文章以“冰窗花”为线索，回顾作者早年的故园生活，着力描写了盛开在冬日窗棂上的冰窗花。 B.第①自然段“尤其是在久居乡下的那些日子里”一句起强调作用，并自然地引起下文。 C.第②自然段中，作

含参数的一元二次不等式例题

含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。

解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。

例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。

解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。

当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。

若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

含参不等式组问题

含参不等式组问题在数学中，含参不等式组是指一组包含参数的不等式。

这些参数可以是任意实数，通常用来表示问题中的变量或未知数。

含参不等式组的解集通常是关于参数的表达式，通过对参数的取值范围进行分析可以得到不等式组的解集。

对于含参不等式组的求解，通常需要进行以下步骤：1. 分析每个不等式的条件：首先，需要确定每个不等式的条件，即参数的取值范围。

这可以通过对不等式进行化简和变形来获得。

例如，对于形如ax + b > c的不等式，可以将其转化为ax > c - b，然后根据a的正负性确定参数x的取值范围。

2. 求解每个不等式的解集：根据不等式的条件，可以确定每个不等式的解集。

这可以通过绘制数轴图或使用数值法来确定。

例如，对于形如ax + b > c的不等式，可以绘制一个数轴，然后根据a的正负性确定参数x的解集。

3. 综合每个不等式的解集：最后，需要根据每个不等式的解集，确定整个不等式组的解集。

这可以通过对每个不等式的解集进行交集或并集运算来获得。

例如，如果有两个不等式ax + b > c和dx + e < f，可以通过求解这两个不等式的解集，然后取交集来确定不等式组的解集。

含参不等式组在实际问题中的应用非常广泛。

例如，在经济学中，含参不等式组可以用来表示供求关系，帮助决策者制定合理的价格和数量策略。

在物理学中，含参不等式组可以用来描述力学系统的平衡条件，帮助研究者找到系统的稳定解。

总之，含参不等式组是数学中一个重要的概念，在解决实际问题中起着重要的作用。

通过对不等式的条件和解集进行分析，可以得到含参不等式组的解集，从而对问题进行求解和分析。

含参数的不等式的成立问题

解含参数的不等式的成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的: （1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D , 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D , 如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.例题精析：（1）不等式的恒成立问题【例1】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。

解答含参不等式问题常用的几种方法

考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。

含参数的不等式的解法

初高中数学衔接知识选讲含参数的不等式的解法一、复习引入：1．函数、方程、不等式的关系2．一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项二、讲解新课：例1解关于x 的不等式022≤-+k kx x说明一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题.小结：讨论∆，即讨论方程根的情况例2．解关于x 的不等式：(x-2x +12)(x+a)<0.小结：讨论方程根之间的大小情况若不等式13642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3<x<5},求a 、b 的值.小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分例5 已知关于x 的二次不等式：a 2x +(a-1)x+a-1<0的解集为R ，求a 的取值范围.说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么？）练习：已知(2a -1) 2x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围.三、布置作业1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥21(x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围 4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围。

高二数学含参数不等式的解法

(2) ax (2a 1) x 2 0
2
1 当a 0时，解集为 x | x 2 a 当a 0时，解集为x | x | x 2 1 1 当0 a 时，解集为 x | x 或x 2 2 a 1 当a 时，解集为x | x 2 2 1 1 当a 时，解集为 x | x 2或x 2 a
含参数不等式的解法
例1．解关于x的不等式
分析：
ax b 0
参变数可分为三种情况，即 a 0, a 0和a 0 ，分别解出当 a 0, a 0和a 0 时的解集即可。原不等式可化为：ax b
解：
b 当 a 0 时,则 x a
b 当 a 0 时,则 x a
当0 a 1时，有a 2 a 2 当a 0、a 1时，有a a
解: 原不等式可化为:
( x a)(x a ) 0
2
当a 0时, 则a a 2 , 原不等式的解集为 {x | x a或x a 2 }
当a 0时, 则a a 2 0, 原不等式的解集为 {x | x 0}
1 1 0 1 1 x ,因为 1 a 0, 所以x 1, 故有1 x x 1 a 1 1 a x
综上所述，当a 1时，不等式的解集为：
1 x 0 x | 1 a
当 0 a 1 时，不等式的解为：
石器时代 http://www.shiqi.co/m/ 石器时代
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一个紧张的汇报着这一星期的成果。夜北冥安静的听完后，点了点头，顿时跪着的十三个人就齐齐松了一口气。夜北冥从朝凰大陆带来的十二个人，都是月如跟月媚亲自在暗门挑的，每一个都是暗门中的精英，都有各自的特长。在这次夜北冥给的为期一个星期的任务中，她们互相合作，已经在距离青龙王朝不远处的郊外买下了一间面积特大的客栈，打算在未央大陆再开一家梦之境和凤栖楼。这处山洞是十二属下挖的，是专门给这两天在青龙王朝各地找到的天赋、经脉不错且无家可归的人或奴隶市场的人提供修炼的地方。这一星期以来梦瑶跟濯清炼制的丹药和武器也算是有了用武之地，这些东西交给十二属下分发给几千个修炼的人。得到了丹药和武器的人们，顿时对那位高座上戴银色面具穿黑袍的女子产生了再生之情，一个个看着夜北冥的眼光都是如同小孩子看着自己最仰慕的父母的眼神。夜北冥感觉到精神海中有什么又开始增长了，连带着身体非常的舒爽，好像这浑浊的空气更加的清新了。这就是信仰之力，从小的时候，夜北冥就感受到这种信仰的力量了，尤其在六年前自己十二岁的时候结束了未央大陆的战乱，将魔兽都赶到落叶森林让人类得以解放。从那时候起，夜北冥尤其感觉到了精神海中的信仰之力的疯涨，这也是夜北冥境界升的这么快的原因。等到了傍晚，夜北冥就让濯清梦瑶等人都留在这里和月如十二属下一起创建势力，自己独身一人往自己的行宫中赶去。在路过一汪池塘的时候，精神力‘看到’一男一女正在欺负一个躺在地上蜷缩的人，那男的在拿鞭子抽地上蜷缩成一团的人，抽的很用力，好像有什么深仇大恨似的不抽死鞭子下的人誓不罢休似的，夜北冥站在离他们十米左右的树枝上都能清晰的听到鞭子破空抽入皮肉的声音。不一会，夜北冥就感觉到地上的人已经断气了，于是就摇摇头准备离开。忽然间，夜北冥浩瀚的精神力察觉到原本在地上蜷缩起来已经断气的人突然就开始呼吸，而且在夜北冥精神力的查看下，能敏锐的感觉到，这死了又复活的人与没死之前的气息大不一样。那人没死之前带给夜北冥的气息是绵软的，很懦弱没胆子还很好欺负的样子，可是现在复活过来的人给夜北冥的气息是强悍的，就好像是尖锐的箭破空刺入敌人的身体一样带着很浓郁的血腥味。果然，夜北冥精神力‘看到’那人站起来，接住了马上就要降落在自己身上的鞭子，反手一拽一拉，鞭子就到了自己手里。手一扬就狠狠的落在鞭子之前的主人身上，那两人好像被突然站起身反击的人吓了一跳，接着就被鞭子抽的哇哇大叫，跑的比兔子还快，几秒钟的时间就已经消失的无影无踪。看到周围没有危险了，那人原本躬身战斗的姿势瞬间崩塌，手中的鞭子掉落在地上，人也紧跟着要倒

含参不等式的解法

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当m>3时, 原不等式的解集为∅。

含参数的不等式

含参数的不等式1. 解关于x 的不等式：a 1 >+x解：1°若 a>0 则： x +1<-a 或 x +1>a ∴ x <-a-1 或 x >a-1 解集为：{}1a 1a |->--<x x x 或 2°若 a<0 则：解集为：R3°若 a=0 则：不等式为：0 1 >+x 解集为： {}1|-≠x x2. 解关于x 的不等式：1a 13 +>+x解：1°当a+1>0即a> -1时得：3x+1<-a-1 或 3x +1>a+1∴ 323a--<x 或 3a>x∴解集为： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--<3a 323a |x x x 或2°当a+1<0即a< -1时得：解集为：R3°当a+1=0即a= -1时得：013>+x ∴解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈31,R |x x x3. 解关于x 的不等式：1a 2 +≤-x解：1°当a+1>0即a> -1时得：1a 21a +≤-≤--x ∴3a 1a +≤≤+-x解集为：{}3a 1a |+≤≤+-x x2°当a+1<0即a< -1时得：解集为：φ 3°当a+1=0即a= -1时得：02≤-x ∴解集为：{}2|=x x4. 解关于x 的不等式： 0k )1k (2>++-x x解：令 0k )1k (2=++-x x 得：0)k )(1(=--x x ∴ x 1=1 x 2 = k1°当 k>1 时解集为：{}k 1|><x x x 或2°当k<1 时解集为：{} 1 k |><x xx 或 3°当k=1 时不等式为：1)1(2>-x 解集为：{} 1 , R |≠∈x x x5. 解关于x 的不等式：x 2-3 (a+1)x + 2(a+1)2 ≤0解：令 x 2-3 (a+1)x +2(a+1)2=0 得：[])1a (2+-x [])1a (+-x =0 ∴ x 1=2a+2 ，x 2=a+1 1°当2a+2>a+1即a> -1时，得解集为： {}1a 1a 2|+≤≤+x x 2°当2a+2<a+1即a< -1时，得解集为：{}1a 21a |+≤≤+x x 3°当2a+2=a+1即a= -1时，不等式为：x 2≤0，解集为：{}0|=x x6. 解关于x 的不等式：x 2-a (a+2)x +2a 3>0解：令 x 2-a (a+2)x +2a 3=0 得：(x -a 2)(x -2a)=0， ∴ x 1=a 2 x 2=2a1°当a 2>2a 即a<0或 a>2时，得解集为：{}2a a 2|><x x x 或 2°当a 2<2a 即0<a<2时，得解集为：{}a 2 a |2><x x x 或 3°当a 2=2a 时，a=0 或 a=2a=0 时，解集为：{} 0 R |≠∈x x x 且a=2 时，解集为：{} 4 R |≠∈x x x 且7. 解关于x 的不等式：a x 2+(a+1)x +1<0解：1°a=0 时，解集为：{}1|-<x x2°a ≠0 时，令 a x 2+(a+1)x +1=0 得：(a x +1)(x +1)=0 ∴x 1=a 1-, x 1= 1-若 a ≥1 解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-a 11|x x若 0<a<1 解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-1a 1|x x若 a<0解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<a 1 1|x xx 或8. 设 A={}02|2<--x x x ，B={}03a 2a )2a 2(|22<-+++-x x x ，若 A B A = ，求： a 的取值范围。

含参数的不等式的

(3)当 8 k 0 时,不等式解集为

(4)当 k 0 时,不等式解集为 x x 0 (5)当 k 0 时,不等式解集为
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例题讲解
2 ax (a 1) x 1 0. 例4:解关于 x 的不等式： {x | x 1}. 解: （一）当 a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解集为：（二）当 a 0 时, 原不等式变形为： (ax 1)(x 1) 0
2 k 8k 0 （３)当即
k 0 或 k 时 8 ,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
原不等式解集为
综上所述， (1)当 k 8 时,不等式解集为
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4 (2)当 k 8 时,不等式解集为 x解集为： x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： x | x 3a或x 2a
例题讲解
例3:解关于 x 的不等式2 : x
2
2
kx k 0
分析:由于 x 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号. 解： k 2 8k
问题2
若关于x的一元二次不等式(m－2)x2＋
2(m－2)x＋4＞0的解集为R，求m的取值范围．
问题3 若关于x的一元二次不等式 (m－2)x2＋
2(m－2)x+4≤0 的解集为, 求m的取值范围．问题4 若二次函数y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4
的值恒为非负，求m的取值范围．
问题5 若关于x的不等式(m－2)x2＋2(m－2)x

一元二次不等式的解法(含参不等式)

一元二次不等式的解法
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)

0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx

bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1

66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.

含参数的不等式的解法

含参数的不等式的解法在高中数学的学习中，不等式的解法贯穿始终，在各章中均有体现，是重点也是难点，而含参数的不等式的解法，又是不等式解法的难点，下面就对含参数的不等式的解法进行简单的举例分析。

例1．解关于x 的不等式：014)1(2≤+-+x x m )(R m ∈分析：当1+m =0时，它是一个关于x 的一元一次不等式，当1+m ≠0时，还需对1+m ＞0及1+m ＜0来讨论，并结合判别式及图像的开口方向进行分类讨论。

解：当1+m =0,，即m =-1时，原不等式的解集为}41{≥x x ；当1+m ≠0，即m ≠-1时，∆=16-4（1+m ）则当m ＜-1时，图像开口向下，原不等式的解集为≥x x {132+--m m 或≤x 132+-+m m ｝当-1＜m ＜3时，原不等式的解集为{x {132+--m m ≤≤x 132+-+m m } 当m =3时，原不等式的解集为{21=x x } 当m ＞3时，原不等式的解集为∅。

小结：（1）解含参数的不等式一般先分解因式再分类讨论，若不易分解，也可对判别式进行分类讨论；（2）利用函数的图像必须说明①开口方向、②判别式确定解的存在范围、③两根大小、④二次项的取值（如取0取正取负等）对不等式实际解的影响。

练习1：不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}其中β＞α＞0，求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集。

例2．解关于x 的不等式：212---x x ax ＞0 分析：解此分式不等式先要等价转换为整式不等式，再对1-ax 中的a 进行讨论求解，还需用到序轴标根法。

解：原不等式等价于)1(-ax )1(+x )2(-x ＞0(1) 当a =0时，原不等式等价于)1(+x )2(-x ＜0解集为1{-x ＜x ＜2｝(2)当a ＞0时，原不等式等价于)2)(1)(1(-+-x x ax ＞0 ① 因a 1＞-1所以当a 1＜2即a ＞21时，解集为1{-x ＜x ＜2｝ ② 当a 1=2，即a =21时，2)2)(1(-+x x ＞0解集为x x {＜2且}2≠x ③ 当a 1＞2，即0＜a ＜21时，解集为x x {＜-1或a1＜x ＜2｝（3）当a ＜0时，原不等式等价于)1(ax -)1(+x )2(-x ＜0 ①a 1＜-1，即-1＜a ＜0时，解集为x x { ＜a1，或-1＜x ＜2｝ ②a1=-1，即a =-1时，解集为2{<x x 且}1-≠x ③-1＜a 1＜0，即a ＜-1时，解集为1{-<x x 或a1＜x ＜2｝小结：（1）本题分类讨论中容易忽视a =0的情况以及对a1、-1、2这三根的大小比较；（2）解含参数的不等式时，一定要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏；（3）对任何分式不等式都是通过移项、通分等手段把不等式一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。

含参数不等式的解法举例

含参数不等式的解法举例教学目标：1.进一步掌握常见不等式的解法；2.能根据参数的“位置”正确进行分类讨论，解不等式.教学重、难点：通过分类讨论解含参数的不等式.教学过程：例1．解不等式 3222(22)x x x x --<-．解：原不等式可化为4223220x x -⋅+<，即：22(21)(22)0x x --<， ∴2122x <<，∵2x y =是增函数，∴021x <<，∴102x <<， ∴原不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【变题】解关于x 的不等式 )22(223x x x x m --<-．解：原不等式可化为422(1)20x x m m -+⋅+<，即：0)2)(12(22<--m x x ①（1）当1m >时，由①得：m x <<221，∵2x y =是增函数，∴m x 2log 210<<；（2）当1m =时，由①得：0)12(22<-x ，∴x φ∈；（3）当01m <<时，由①得：122<<x m ， ∴0log 212<<x m ；（4）当0m ≤时，由①得：221x <，∴0x <．综上所述：当1m >时，原不等式的解集为21(0,log )2m ；当1m =时，原不等式的解集为φ；当01m <<时，原不等式的解集为21(log ,0)2m ；当0m ≤时，原不等式的解集为(,0)-∞．例2．解不等式 222log 2log (36)x x x ≤--．解：∵2log y x =是增函数，∴原不等式等价于2220360236x x x x x x >⎧⎪-->⎨⎪≤--⎩20560x x x >⎧⇔⎨--≥⎩ 061x x x >⎧⇔⎨≥≤-⎩或，∴6x ≥，即原不等式的解集为[)6,+∞．例3．解关于x 的不等式 a x x a log log<(0,1)a a >≠．解：原不等式等价于 1log log a a x x<，即：0log )1)(log 1(log <-+x x x a a a ， ∴1log 01log <<-<x x a a 或，（1）当1a >时， a x a x <<<<110或；（2）当01a <<时，11<<>x a ax 或．综上所述：当1a >时，原不等式的解集为1(0,)(1,)a a U ；当01a <<时，原不等式的解集为1(,1)(,)a a +∞U ．说明：去掉对数符号时，必须限制真数大于零.例4．设{}|12A x x =≤≤，{}2|(1)0B x x a x a =-++≤．（1）若A B ≠⊂，求a 的取值范围；（2）若A B ⊇，求a 的取值范围；（3）若A B I 为仅含一个元素的集合，求a 的取值范围.解：()(){}10B x x x a =--≤，∴当1a ≤时，{}1B x a x =≤≤；当1a >时，{}1B x x a =≤≤，又{}|12A x x =≤≤，（1）若A B ≠⊂，则a 的取值范围是()2,+∞；（2）若A B ⊇，则a 的取值范围是[]1,2；（3）若A B I 为仅含一个元素的集合，则a 的取值范围是(],1-∞．小结：1．解指数、对数不等式的基本方法是：依据指数函数、对数函数的单调性进行等价转化，去掉对数符号时，必须限制真数大于零；2．在解含有参数的不等式时，要根据参数的“位置”正确进行分类讨论.作业：1．解不等式：（1）)1(332)21(22---<x x x ；（2） )102(log )43(log 31231+>--x x x ． 2. 解关于x 的不等式：（1）211221log ()log 10x a x a-++<；（2）34422+>+-m m mx x ；（3）0)(log log >x a a （10<<a ）；（4）)1,0(,011log ≠>>-+a a xx a． 3．若方程：22221(log 4)log 104x a x a --+-=有两个不同的负根，求a 的范围.。

七年级下册数学不等式有关计算含参数

七年级下册数学不等式有关计算含参数一、引言在七年级下册数学课本中，不等式是一个重要的概念，而计算含参数的不等式更是其中的一个重要部分。

通过学习这一部分内容，学生可以深入理解不等式的性质和运算，并且为进一步学习代数课程奠定基础。

接下来，我们将从简单到复杂，由浅入深地探讨七年级下册数学不等式有关计算含参数的内容，帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。

二、基本概念我们需要了解什么是不等式，以及什么是含参数的不等式。

在数学中，不等式是含有不等号（如<、>、≤、≥）的数学表达式，表示的是两个数之间的大小关系。

而含参数的不等式，则是指在不等式中出现了一个或多个变量，需要通过不等式的解来确定参数的取值范围。

在七年级下册数学课本中，通常会出现一些简单的含参数不等式，如2x+3>7，要求学生求解x的取值范围。

三、深入探讨在学习不等式的计算含参数部分时，我们需要掌握一些基本的解不等式的方法和技巧。

我们可以通过逆运算的方式来解不等式，例如对不等式两边同时加减、乘除同一个数，以及取对数等方式来确定参数的取值范围。

对于含有绝对值的不等式，我们也需要特别注意其解的特点和技巧，在课本中通常也会有相应的例题和讲解。

在解不等式的过程中，我们还需要注意到一些常见的错误和易忽略的地方。

对于含有分式的不等式，我们需要注意分母不能为0的情况，同时也需要注意对不等式两边的操作是否符合不等式的性质，以免导致解的错误。

四、总结回顾在本文中，我们通过从简到繁的方式探讨了七年级下册数学不等式有关计算含参数的内容。

在学习这一部分知识时，我们首先需要了解不等式和含参数的概念，然后深入掌握解不等式的方法和技巧，最后需要注意常见的错误和易忽略的地方。

通过这样的学习方式，我们可以更全面、深刻、灵活地理解和掌握这一部分内容。

五、个人观点在我看来，数学不等式有关计算含参数是一个重要但也比较抽象的概念。

通过学习这一部分内容，不仅可以提高我们的逻辑思维能力，还可以为以后学习更复杂的数学知识打下基础。

含参数不等式

高中数学第六章《不等式》第 6 课
含参数不等式
典型例题
例１、解关于x的不等式
ax 1 ax 3 ( a 0)
变式:解关于x的不等式
log a (ax 2 ) log a x 2 (a 0且a 1)
典型例题
x2 3 ( x a, a为常数) 例２、已知函数 f ( x) xa
(1)解不等式f(x)<x; (2)设x>a时，f(x)的最小值为６，求a的值．
典型例题
例3、已
2
试求实数a的取值范围．
【思维点拨】
数形结合，利用函数图象来解决．
典型例题
xa 例４、已知不等式 x 3 的解集为Ａ． 2 （１）若Ａ＝求实数a 的取值范围；
（２）是否存在实数a，使Ａ∩Ｚ＝｛２，３｝？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
【思维点拨】在明确Ａ之后，关键在于将集合语言Ａ∩Ｚ＝｛２，３｝等价转化为不等式，并正确地解出．
典型例题
2 x 4x p x 3 5 的x的最例5、已知适合不等式
大值是３，求p的值．

高一数学含参数不等式的解法

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少女写好信不小心遗落的，二是她随手丢弃，三是男朋友收到后，非常生气，回家的路上就顺手扔了。不管如何，这封没有地址与署名的诀别信，一定是亲手递交的，可见这个少女非常有诚意，又写诀别信、又亲手交托。不像我们年轻时的感情事件，对方离开时的理由到如今都还是谜一样。三月在信里说：“在你十八岁生日时，无论我在不在你身旁，一定会送你一枚银戒指，传说在十八岁生日时收到银戒指，此后将会一路顺畅平安。如今，这段甜蜜的过去就要放弃，明知你是真心爱我，December，回头再看一眼，再看一眼就好，珍重！再见！” 这结尾写得真不错，我坐在公园的长椅上，读着路上偶然捡到的情书，想到少年时代我们的情感都是如此纠缠的，因为不能了解一切都只是偶然。银戒指何必等到分手之后再送，今天送不是很好吗？明天的事，谁知道呢？不知道后来三月找到四月，十二月找到一月没有？那信纸也选得很好，是一个背着行李站在铁轨交叉点的少女，不知道走哪一条路好。“不管怎么走，都会有路。”我把诀别的情书收好，想起这句话。咸也好，淡也好一个青年为着情感离别的苦痛来向我倾诉，气息哀怨，令人动容。等他说完，我说：“人生里有离别是好事呀！” 他茫然的望着我。我说：“如果没有离别，人就不能真正珍惜相聚的时刻；如果呋有离别，人间就再也没有重逢的喜悦。离别从这个观点看，是好的。” 我们总是认为相聚是幸福的，离别便不免哀伤。但这幸福是比较而来，若没有哀伤作衬托，幸福的滋味也就不能体会了。再从深一点的观点来思考，这世间有许多的“怨憎会”，在相聚时感到重大痛苦的人比比皆是，如果没有离别这件好事，他们不是要永受折磨，永远沉沦于恨海之中吗？幸好，人生有离别。因相聚而幸福的人，离别是好，使那些相思的泪都化成甜美的水晶。因相聚而痛苦的人，离别最好，雾散云消看见了开阔的蓝天。可以因缘离散，对处在苦难中的人，有时候正是生命的期待与盼望。聚与散、幸福与悲哀、失望与希望，假如我们愿意品尝，样样都有滋味，样样都是生命中不可或缺的。高僧弘一大师，晚年把生活与修行统合起来，过着随遇而安的生活。有一天，他的老友夏丐尊来拜访他，吃饭时，他只配一道咸菜。夏丐尊不忍的问他：“难道这咸菜不会太咸吗？” “咸有咸的味道。”弘一大师回答道。吃完饭后，弘一大师倒了一杯白开水喝，夏丐尊又问：“没有茶叶吗？怎么喝这平淡的开水？” 弘一大师笑着说：“开水虽淡，淡也有淡的味道。” 我觉得这个故事很能表达弘一大师的道风，夏丐尊因为和弘一大师是青年时代的好友，知道弘一大师在李叔同时代，有过歌舞繁华的日子，故有此问。弘一大师则早就超越咸淡的分别，这超越并不是没有味觉，而是真能品味咸菜的好滋味与开水的真清凉。生命里的幸福是甜的，甜有甜的滋味。情爱中的离别是咸的，成有成的滋味。生活的平常是淡的，淡也有淡的滋味。我对年轻人说：“在人生里，我们只能随遇而安，来什么品味什么，有时候是没有能力选择的。就像我昨天在一个朋友家喝的茶真好，今天虽不能再喝那么好的茶，但只要有茶喝就很好了。如果连茶也没有，喝开水也是很好的事呀！” 知?了山上有一种蝉，叫声特别奇异，总是吱的一声向上拔高，沿着树木、云朵，拉高到难以形容的地步。然后，在长音的最后一节突然以低音“了”作结，戛然而止。倾听起来，活脱脱就是：知——了！知——了！这是我第一次听到蝉如此清楚的叫着“知了”，终于让我知道“知了’这个词的形声与会意。从前，我一直以为蝉的幼虫名叫“蜘蟟”，长大蝉蜕之后就叫作“知了”了。蝉，是这世间多么奇特的动物，它们的幼虫长住地下达一两年的时间，经过如此漫长的黑暗飞上枝头，却只有短短一两星期的生命。所以庄子在《逍遥游》里才会感慨： “惠蛄不知春秋！” 蝉的叫声严格说起来，声量应该属噪音一类，因为声音既大又尖，有时可以越过山谷，说它优美也不优美，只有单节没有变化的长音。但是，我们总喜欢听蝉，因为蝉声里充满了生命力、充满了飞上枝头之后对这个世界的咏叹。如果在夏日正盛，林中听万蝉齐鸣，会使我们心中荡漾，想要学蝉一样，站在山巅长啸。蝉的一生与我们不是非常接近吗？我们大部分人把半生的光阴用在学习，渴望利用这种学习来获得成功，那种漫长匐匍的追求正如知了一样；一旦我们被世人看为成功，自足的在枝头欢唱，秋天已经来了。孟浩然有一前写蝉的诗，中间有这样几句：黄金然桂尽，壮志逐年衰。日夕凉风至，闻蝉但益悲。听蝉声鸣叫时，想起这首诗，就觉得 “知了”两字中有更深的含义。什么时候，我们才能一边在树上高歌，一边心里坦然明了，对自己说：“知了，关于生命的实相，我明白了。” 前世与今生有一个人来问我关于前世的问题，说他常常在梦里梦见自己的前世，他问我：“前世真的存在吗？” 前世真的存在吗？我不能回答。我告诉他：“我可以确定的是，昨天的我是今天的我的前世，明天的我就是今天的我的来生。我们的前世已经来不及参加了，让它去吧！我们希望有什么样的来生，就掌握今天吧！” 前世或来生看起来遥远而深奥，但我总是相信，一个人只要有很好的领悟力，就能找到一些过去与未来的消息。就好像，我们如果愿意承认自己的坏习惯与坏思想，就会发现自己在过去是走了多么偏斜的道路。我们如果愿意去测量，去描绘心灵的地图，也会发现心灵的力量推动我们的未来。因此，一个人只要很努力，就可以预见未来的路，但再大的努力也无法回到过去。所以，真正值得关心的是现在。我对那时常做前世梦的朋友说：“与其把时间浪费在前世的梦，还不如活在真实的眼前。” 真的，世人很少对今生有恳切的了解，却妄图去了解前世，世人也多不肯依赖眼前的真我，却花许多时间寄托于来世，想来令人遗憾。纯善的心我每一次去买花，并不会先看花，而是先看卖花的人，因为我认为一个人如果不能把自己打扮得与花相衬，是不应该来卖花的。惟有像花的人，才有资格卖花。像花的人指的不是美丽的少女，而是有活力，有风采的人。所以，每次我看到俗人卖花，一脸的庸俗或势利，就会感到同情，想到我国民间有一种说法，有三种行业是前世修来的福报，就是卖花、卖伞和卖香。那是因为这三种行业是纯善的行业，对众生只有利益，没有伤害，可以一直和人结善缘。可叹的是，有的人是以痛苦埋怨的心在经营这纯善的行业。我经常去买花的花店，卖花的是一位中年妇人，永远笑着，很有活力；永远穿着干净而朴素，却很有风采。当我对她说起民间的说法，赞美她说：“老板娘一定是前世修来的福报，才能经营这纯善的行业呀！”她笑得很灿烂，就像一朵花，不疾不徐地说：“其实，只要有纯善的心，和人结善缘，所有的行业都是前世修来的。” 静心与抽烟 ?有一个关于禅者的笑话说：两个有烟瘾的人，一起去向一位素以严苛出名的禅师学习打坐。当他们打坐的时候，由于摄心，烟瘾就被抑制了，可是每坐完一注香，问题就来了。那一段休息时间被称为“静心”，可以在花园散步，并讨论打坐的心得。每到静心时间，甲乙两人便忍不住想抽烟，于是在花园互相交换抽烟的心得，愈谈愈想抽。甲提议说：“抽烟也不是什么大不了的事，我们干脆直接去请示师父，看能不能抽。” 乙非常同意，问道：“由谁去问呢？” “师父很强调个别教导，我们轮流去问好了。”甲说。甲去请教师父，不久之后，微笑着走出禅堂对乙说：“轮到你了。” 乙走进师父房里，接着传来师父怒斥和拳打脚踢的声音，乙鼻青眼肿地爬出来，却看见甲正在悠闲地抽烟。他无比惊讶地说：“你怎么敢在这里抽烟？我刚刚去问帅父的时候，他非常生气，几乎把我打死了。” 甲说：“你怎么问的？” 乙说：“我问师父：‘静心的时候，可不可以抽烟？’师父立刻就生气了，你是怎么说的，师父怎么准你抽烟？” 甲得意地说： “我问师父：‘抽烟的时候，可不可以静心？’师父听了很高兴，说：‘当然可以了！”这虽然是一个笑话，却说明了同样的一件事，如果转一个弯来看，烦恼就是菩提。随风吹笛远远的地方吹过来一股凉风。风里夹着呼呼的响声。侧耳仔细听，那像是某一种音乐，我分析了很久，确定那是嫡子的声音，因为萧的声音没有那么清晰，也没有那么高扬。由于来得遥远，使我对自己的判断感到怀疑；有什么人的笛声可以穿透广大的平野，而且天上还有雨，它还能穿过雨声，在四野里扩散呢？笛的声音好像没有那么悠长，何况只有简单的几种节奏。我站的地方是一片乡下的农田，左右两面是延展到远处的稻田，我的后面是一座山，前方是一片麻竹林。音乐显然是来自麻竹林，而后面的远方仿佛也在回响。竹林里是不是有人家呢？小时候我觉得所有的林间，竹林是最神秘的，尤其是那些历史悠远的竹林。因为所有的树林再密，阳光总可以毫无困难的穿透，唯有竹林的密叶，有时连阳光也无能为力；再大的树林也有规则，人能在其间自由行走，唯有某些竹林是毫无规则的，有时走进其间就迷途了。因此自幼，父亲就告诉我们“逢竹林莫人”的道理，何况有的竹林中是有乱刺的，像刺竹林。这样想着，使我本来要走进竹林的脚步又迟疑了，在稻田田硬坐下来，独自听那一段音乐。我看看天色尚早，离竹林大约有两里路，遂决定到竹林里去走一遭——我想，有音乐的地方一定是安全的。等我站在竹林前面时，整个人被天风海雨似的音乐震摄了，它像一片乐海，波涛汹涌，声威远大，那不是人间的音乐，竹林中也没有人家。竹子的本身就是乐器，风是指挥家，竹于和竹叶的关系便是演奏者。我研究了很久才发现，原来竹子洒过了小雨，上面有着水渍，互相摩擦便发生尖利如笛子的声音。而上面满天摇动的竹叶间隙，即使有雨，也阻不住风，发出许多细细的声音，配合着竹子的笛声。每个人都会感动于自然的声音，譬如夏夜里的蛙虫鸣唱，春晨雀鸟的跃飞歌唱，甚至刮风天里涛天海浪的交响。凡是自然的声音没有不令我们赞叹的，每年到冬春之交，我在寂静的夜里听到远处的春雷乍响，心里总有一种喜悦的颤动。我有一个朋友，偏爱蝉的歌唱。孟夏的时候，他常常在山中独座一日，为的是要听蝉声，有一次他送我一卷录音带，是在花莲山中录的蝉声。送我的时候已经冬天了，我在寒夜里放着录音带，一时万蝉齐鸣，

含参不等式专题

本和收益下的最优策略。
市场供需平衡
在分析市场供需平衡时，需要建立含参不等式模型，以确定不同
价格和产量下的供需关系。
投资风险评估
在投资决策中，风险评估是关键的一环。通过建立含参不等式模型，可以评估不同投资方案的风
险水平，为决策提供依据。
04 含参不等式的扩展
高次含参不等式
总结词
高次含参不等式是指含有未知数的高次幂的不等式，这类不等式在数学中具有广泛的应用。
详细描述
参数分离法是将含参不等式中的参数分离出来，单独处理的一种方法。通过将参数与未知数分离，可以将复杂的不等式转化为简单的不等式，从而简化求解过程。这种方法需要观察不等式的特点，正确地将参数分离出来。
图像法
总结词
通过图像表示不等式的解集，直观地展示不等式的解。
详细描述
图像法是通过图像表示不等式的解集的一种方法。通过绘制不等式的图像，可以直观地展示不等式的解集和参数对解集的影响。这种方法适用于一些简单的不等式和特定类型的不等式。在绘制图像时，需要注意不等式的定义域和值域，以及参数的取值范围。
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总结词
通过代数手段，将含参不等式转化为不含参的不等式，再求解。
详细描述
代数法是一种常用的解含参不等式的方法，它通过代数手段，如合并同类项、因式分解、配方等，将含参不等式转化为不含参的不等式，再利用不等式的性质和求解方法求解。这种方法需要熟练掌握代数运算和不等式性质。
参数分离法
总结词
将含参不等式中的参数分离出来，单独处理，简化不等式的形式。
未来发展方向
深入研究参数范围的影响
01
未来可以进一步深入研究参数范围对不等式证明的影响，探索

含参数不等式

1 1 4a 解为 x0 2
综上,
0a 1 时, 不等式的解为 4 1 1 4a 1 1 4a 1 1 4 a ( , 0) ( , ) 2 2 2 1 1 1 4a a 时, 不等式的解为 ( ,0) 。 4 2
本题的特点是同时进行两种讨论，对变量x的讨论，要按参数的取值进行合并！
等价于函数 f x 在区间 D 上的最大值大于 A ,
等价于函数 f x 在区间 D 上的最小值小于 B . ③恰成立问题若不等式 f x A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f x A 的解集为 D , 若不等式 f x B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f x B 的解集为 D ,
0
25 16
a
0
25 16
a
解：（1） a 0 时， 25 16a 0 ，不等式的解为：
x 5 25 16a 5 25 16a 或x . 2a 2a
4 （2） a 0 时，不等式化为 5 x 4 0 ，解得 x ； 5
（3）当 0 a
①恒成立问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立,则等价于函数 f x 在区间 D 上的最小值大于
A, B.
若不等式 f x B 在区间 D 上恒成立,则等价于函数 f x 在区间 D 上的最大值小于 ②能成立问题若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x A 成立,即 f x A 在区间 D 上能成立, ,则若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x B 成立,即 f x B 在区间 D 上能成立, ,则
即 a 或 a 2 , 而 a 1 ,