8.1.n阶常系数线性方程的解法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时)
教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。
教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法,了解复值函数与复值解的有关结论。 教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法 教学难点: 特征根法和待定系数法
教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法.
讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数
若)()(t t ψϕ和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称)
1(),()()(2
-=+=i t i t t z ψϕ为区间b t a ≤≤上的复值函数.
若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上连续,则称z(t)在b t a ≤≤上连续.
若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上可微,则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为:
,dt
d i dt d dt dz ψϕ+= 复函数求导法则与实函数相同.
2.复指数函数 ()()(cos sin )i t
t z t e
e t i t αβαββ+==+, 欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+
3.复值解
定义 定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解,如果
()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++=
对于a t b ≤≤恒成立。
对线性方程的复值解有下面的两个结论:
定理1如果方程(4.11)的所有系数()(1,2,,)i p t i n = 都是实值函数,而
)()()(t i t t z x ψϕ+==是方程的复值解,则z(t)的实部)(t ϕ和虚部)(t ψ及z(t)的共轭复数
也都是方程(4.11)的解.
定理 2 若方程()(1)11()()()()()n n n n y p t y p t y p t y u t iv x --'++++=+ 有复值解
()()y u t iv t =+,这里()(1,2,,)i p t i n = 及)(),(t v t u 都只能是实函数,那么这个解的实部)(t u 和虚部)(t v 分别是方程
()(1)11()()()()n n n n y p t y p t y p t y u t --'++++=
和
()(1)11()()()()n n n n y p t y p t y p t y v x --'++++=
的解. 二. n 阶常系数线性齐次方程的解法 本节只讨论常驻系数线性齐次方程
()(1)110n n n n y a y a y a y --'++++= (4.21)
的求解问题,这里n a a a ,,,21 为常数. 由定理4.3,我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可。虽然对于一般的线性齐次微分方程,人们至今没有找到一个求其基本解组的 一般方法,但是对于方程(4.21),这一问题已彻底解决。其中,一个自然的做法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常驻系数齐次微分方程组,然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2,就可以求得(4.21)的基本解组,但是这样的推导过程并不简洁,因此我们这里将对方程(4.21)采用Euler 待定指数函数法求解。
我们知道,一阶常系数齐次线性方程0y ay '+=有通解ax
y ce
-=,因此,对于方程(4.21)
我们也尝试求指数函数形式的解x
y e λ= 其中λ是待定常数,可以是实的,也可以是复的,把它代入方程(4.21)得:11[]()0x n n x n L e a a e λλλλ-=+++= 。因此,x
e λ为(4.21)的解的关
系条件是:λ是代数方程
11()0n n n P a a λλλ-≡+++= (4.22)
的根,方程(4.22)称为方程(4.21)的特征方程,它的根为方程(4.21)的特征根.
这样求方程(4.21)的解问题,便归结为求方程(4.21)的特征根问题了。下面我们根据特征根的不同情况分别加以讨论.
4.2.1特征根是单根的情形
定理4.8 若特征方程(4.22)有n 个彼此不相等的根n λλλ,,,21 ,则
1212,,,n x x
x
n y e y e
y e λλλ=== (4.23)
是方程(4.21)的一个基本解组。
由于
1212111211
()1211
111112()11
1
[,,]()0
n n n n n n x x
x
x
x
x
n
x
x
x
n n n x
x x n n n n n x
i j j i n
e e e e e e w e e e e e e e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++-----++≤<≤=
==
-≠∏
故解组(4.23)线性无关,即为方程(4.21)的一个基本解组.
若),,2,1(n i i =λ均为实数,则(4.23)是方程(4.21)的基本解组,从而(4.21)的通解为
11()n x x n y x c e c e λλ=++
其中n c c c ,,,21 为任常数.
若),,2,1(n i i =λ中有复数,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现,设
βαλi +=1是特征根,则βαλi -=2也是特征根,相应地方程(4.21)有两个复值
解:()(cos sin )i x x e e x i x αβαββ+=+, ()(cos sin )i x x e e x i x αβαββ-=-.
由定理1知,它的实部和虚部也是方程的解,这样一来,对应于方程的一对共轭复根为βαλi ±=,由此求得(4.21)的两个实值解为cos ,sin x
x e
x e x ααββ.
4.2.2 特征根有重根的情形
设特征方程(4.22)有k 重根1λλ=,则有
(1)1111()()()0,()0.k k P P P P λλλλ-'====≠ (4.24) 其次,易见
[](),
m x x
x m x
m
L e P e e x e λλλλλλ
∂==∂ 因此有
()[][][]()m x m m m x
x
x m
m m e L x e L L e P e λλλλλλλλ
∂∂∂===∂∂∂ ()(1)(2)2(1)()()()()2!m m m m x m m P mP x P x P x e λλλλλ---⎧⎫
=++++⎨⎬⎩⎭
于是由(4.24)立刻得到
1[]0,
0,1,2,,1x m L x e m k λ≡=-