8.1.n阶常系数线性方程的解法
常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
常系数线性微分方程复习一、常系数线性微分方程的形式和名词解释1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：)(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
0111=++++−−n n n n a a a λλλL2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t tc c c y n 21e e e21λλλ+++=L例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解特征方程0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ方程的通解 t tc c y −+=e e231(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解特征方程04323=−+λλ 求出特征方程的根21321−===λλλ方程的通解为 t tt t c c c y 23221e ee −−++=(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
常系数线性微分方程的一般解法
如何将常系数线性微分方程与其他领域的知识进行交叉融 合，如人工智能、大数据等，是一个值得探索的方向。
复杂系统建模
随着对复杂系统的研究深入，如何建立更精确的数学模型 ，并求解这些模型，是未来研究的重要挑战。
应用拓展
随着科技的发展，常系数线性微分方程的应用领域也在不 断拓展，如何将其应用于新领域并解决实际问题，是一个 具有挑战性的任务。
二阶常系数线性微分方程
01
方程形式
y'' + p*y' + q*y = r
特征根法
根据特征方程的根的性质，将方程 化为标准形式，然后求解
03
02
解法
通过特征根法或公式法求解
公式法
根据特征方程的根，利用公式求解 通解
04
高阶常系数线性微分方程
方程形式
y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + an*y = 0
是已知函数的线性组合。
齐次方程的解在求解非齐次方程时也经常用到，因为非齐次项
03
可以通过与齐次方程的解进行运算来消去。
非齐次方程的求解
01
非齐次方程是常系数线性微分 方程的一种常见形式，其解法 相对复杂。
02
非齐次方程的解可以通过常数 变易法或待定系数法求解，其 解的形式通常是已知函数的线 性组合加上一个特解。
常系数线性微分方程的一 般解法
• 引言 • 常系数线性微分方程的解法 • 举例说明 • 总结与展望
01
引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
数值计算08-线性方程组数值解法(优选.)
0
(k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。
引理
A的主元素
a(k) kk
0
(k=1,2,…,n) 的充要条件
是矩阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
a1k
D1 a11 0 Dk
0, k 2, 3, , n
ak1
akk
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。
Page 5
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
Page 6
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
a(k) ik
a(k) kk
aijk
mik
a
k
kj
bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii
n
a
i
ij
x
j
,
xi
ji1
aiii
i, j k 1, k 2,, n
i n 1,,2,1
高斯消元法的条件
Page 20
定理1
如果在消元过程中A的主元素
a(k) kk
即:
a111
a112 a222
a11n a22n
x1 x2
bb1212
an22
an2n
xn
bn2
其中：
阶常系数齐次线性方程解法
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
４、线性微分方程解的结构
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
5-习题课（57）
5
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
特点 不显含未知函数y. 解法
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
5-习题课（57） 15
( 3)
特点 解法
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
பைடு நூலகம்
令 y P ( x ),
dp y P , dy
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
5-习题课（57） 10
注意： 全微分方程
P Q y x
解法 应用曲线积分与路径无关.
u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
0 0
5-习题课（57） 6
(3) 可化为齐次的方程
dy ax by c 形如 f( ) dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
令
x X h, y Y k，
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5-习题课（57） 7
第4节 n阶常系数线性差分方程
其重数为 k ( 2 k ≤ n ) , 则
r t cos ω t , t r t cos ω t , L , t k − 1 r t cos ω t t r sin ω t , t r t sin ω t , L , t k − 1 r t sin ω t 为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解， 为齐次方程 的2k个线性无关的特解，其中 b 2 2 r = a + b , tan ω = , ω ∈ ( 0 , π ) a
相应齐次方程的通解为
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π = B ， 入原方程得 B = 1 ， 一特解为 yt = 1 ， 代 方程得 得
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
4
阶常系数非齐次线性差分方程的解法 非齐次线性差分方程的 二、 n 阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
对应齐次方程 (1)
常数， 其中 a1 , L , a n −1 , a n , b 为常数，且 a n ≠ 0 , b ≠ 0 ，
3
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(2) (3)
上述特解共有n个 将它们用任意常数组合起来， 上述特解共有 个，将它们用任意常数组合起来， 即得齐次方程(2)的通解 的通解. 即得齐次方程 的通解.
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常微分方程高阶方程解法
常微分方程高阶方程解法常微分方程是描述变量关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶方程和高阶方程两种形式。
一阶方程是指方程中最高阶导数的阶数为一阶，高阶方程则是指方程中最高阶导数的阶数高于一阶。
高阶常微分方程解法较为复杂，需要借助一些特定的方法和技巧。
下面将介绍几种常见的高阶常微分方程解法。
1.常系数线性齐次方程的解法：齐次方程是指方程中没有出现自变量的项，且系数是常数的方程。
对于常系数线性齐次方程：a_n*y^n + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_0*y = 0可以使用特征根法来求解。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入方程可得：a_n*r^n*e^(rx) + a_(n-1)*r^(n-1)*e^(rx) + ... + a_0*e^(rx) = 0化简得到特征方程：a_n*r^n + a_(n-1)*r^(n-1) + ... + a_0 = 0解特征方程得到方程的特征根r1, r2, ..., rn，则方程的通解为：y = C1*e^(r1x) + C2*e^(r2x) + ... + Cn*e^(rnx)其中，C1, C2, ..., Cn为任意常数。
2.可降阶的高阶常微分方程的解法：可降阶的高阶常微分方程是指可以通过变量代换和符号分解等方法将高阶方程转化为一阶方程的形式。
例如，对于二阶常系数线性非齐次方程：a_2*y'' + a_1*y' + a_0*y = f(x)可以通过令z=y'代换变量，得到一阶常系数线性非齐次方程：a_2*z' + a_1*z + a_0*y = f(x)这样，高阶方程就转化为了一阶方程，可以采用一阶方程的解法来求解。
解出z后再求一次积分即可得到y的解。
3.常微分方程的级数解法：对于某些高阶常微分方程，可以采用级数展开的方法得到解的近似表达式。
假设方程的解可以表示为幂级数的形式：y = ∑(n=0 to ∞) a_n*x^n将该表达式代入方程，逐次求出各个系数a_n，即可得到解的级数表达式。
常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套
汇报人：
特征值和特征向量
特征值：线性变 换的特征值是线 性变换矩阵的特 征多项式的根
特征向量：线性 变换的特征向量 是线性变换矩阵 的特征多项式的 解
特征值和特征向 量的关系：特征 值和特征向量是 线性变换矩阵的 特征多项式的解 和根
特征值和特征向量 的应用：特征值和 特征向量在常系数 线性微分方程的解 法中有广泛的应用， 如求解线性微分方 程的解、求解线性 微分方程组的解等
积分因子法
积分因子法的定义：通过求解积分因子，将微分方程转化为积分方程，从而求解微分方程的方法。 积分因子法的步骤：首先，求解积分因子；然后，将微分方程转化为积分方程；最后，求解积分方程。
积分因子法的应用：适用于求解常系数线性微分方程，如二阶常系数线性微分方程。
积分因子法的优缺点：优点是简单易行，缺点是适用范围有限，仅适用于常系数线性微分方程。
,
汇报人：
目录
定义和形式
常系数线性微分方程：含有未知函数及其导数的方程，其系数为常数
一阶常系数线性微分方程：形如y' + py = q(t)的方程，其中p和q(t)为常数
二阶常系数线性微分方程：形如y'' + py' + qy = r(t)的方程，其中p、q和r(t)为 常数
高阶常系数线性微分方程：形如y(n) + p(n-1)y(n-1) + ... + qy = r(t)的方程，其中p(n-1)、q和r(t)为常 数
描述物体运动：如自由落体、弹簧 振子等
在物理中的应用
描述热传导：如热传导方程、热扩 散方程等
第八章 常微分方程初值问题的解法
第八章常微分方程初值问题的解法在科学与工程问题中，常微分方程描述物理量的变化规律，应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法，主要针对单个常微分方程，也讨论常微分方程组的有关技术.8.1引言本节介绍常微分方程、以及初值问题的基本概念，并对常微分方程初值问题的敏感性进行分析.8.1.1 问题分类与可解性很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述，比如，天体运动的轨迹、机器人控制、化学反应过程的描述和控制、以及电路瞬态过程分析，等等. 这些问题中要求解随时间变化的物理量，即未知函数y(t)，t表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数，这种微分方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），它具有如下的一般形式①：g(t,y,y′,⋯,y(k))=0 ,(8.1) 其中函数g: ℝk+2→ℝ. 类似地，如果待求的物理量为多元函数，则由它及其偏导函数构成的微分方程称为偏微分方程（partial differential equation, PDE）. 偏微分方程的数值解法超出了本书的范围，但其基础是常微分方程的解法.在实际问题中，往往有多个物理量相互关联，它们构成的一组常微分方程决定了整个系统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法，然后在第8.5节讨论常微分方程组的有关问题.如公式(8.1)，若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为y(k)，则称之为k阶常微分方程. 大多数情况下，可将常微分方程(8.1)写成如下的等价形式：y(k)=f(t,y,y′,⋯,y(k−1)) ,(8.2) 其中函数f: ℝk+1→ℝ. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数y(k)的方程称为显式常微分方程，对应的形如(8.1)式的方程称为隐式常微分方程.通过简单的变量代换可将一般的k阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方程(8.2)，设u1(t)=y(t),u2(t)=y′(t),⋯,u k(t)=y(k−1), 则得到等价的一阶显式常微分方程组为：{u1′=u2u2′=u3⋯u k′=f(t,u1,u2,⋯,u k).(8.3)本书仅讨论显式常微分方程，并且不失一般性，只需考虑一阶常微分方程或方程组.例8.1 (一阶显式常微分方程)：试用微积分知识求解如下一阶常微分方程：y′=y .[解] 采用分离变量法进行推导：①为了表达式简洁，在常微分方程中一般省略函数的自变量，即将y(t)简记为y，y′(t)简记为y′，等等.dy dt =y ⟹ dy y=dt , 对两边积分，得到原方程的解为：y (t )=c ∙e t ,其中c 为任意常数.从例8.1看出，仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解，还需在一些自变量点上给出未知函数的值，称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出t =t 0时未知函数的值:y (t 0)=y 0 .在合理的假定下，从t 0时刻对应的初始状态y 0开始，常微分方程决定了未知函数在t >t 0时的变化情况，也就是说这个边界条件可以确定常微分方程的唯一解（见定理8.1）. 相应地，称y (t 0)=y 0为初始条件，而带初始条件的常微分方程问题：{y ′=f (t,y ),t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.4)为初值问题（initial value problem, IVP ）.定理8.1：若函数f (t,y )关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L >0，使得对任意t ≥t 0，任意的y 与y ̂，有：|f (t,y )−f(t,y ̂)|≤L |y −y ̂| ,(8.5) 则常微分方程初值问题(8.4)存在唯一的解.一般情况下，定理8.1的条件总是满足的，因此常微分方程初值问题的解总是唯一存在的. 为了更清楚地理解这一点，考虑f (t,y )的偏导数ðf ðy 存在，则它在求解区域内可推出李普希兹条件(8.5)，因为f (t,y )−f (t,y ̂)=ðf ðy (t,ξ)∙(y −y ̂) , 其中ξ为介于y 和y ̂之间的某个值. 设L 为|ðf ðy (t,ξ)|的上界，(8.5)式即得以满足.对公式(8.4)中的一阶常微分方程还可进一步分类. 若f (t,y )是关于y 的线性函数，f (t,y )=a (t )y +b (t ) ,(8.6) 其中a (t ),b (t )表示自变量为t 的两个一元函数，则对应的常微分方程为线性常微分方程，若b (t )≡0, 则为线性齐次常微分方程. 例8.1中的方程属于线性、齐次、常系数微分方程，这里的“常系数”是强调a (t )为常数函数.8.1.2 问题的敏感性对常微分方程初值问题，可分析它的敏感性，即考虑初值发生扰动对结果的影响. 注意这里的结果（解）是一个函数，而不是一个或多个值. 由于实际应用的需要，分析常微分方程初值问题的敏感性时主要关心t →∞时y (t )受影响的情况，并给出有关的定义. 此外，考虑到常微分方程的求解总与数值算法交织在一起、以及历史的原因，一般用“稳定”、“不稳定”等词汇说明问题的敏感性.定义8.1：对于常微分方程初值问题(8.4)，考虑初值y 0的扰动使问题的解y (t )发生偏差的情形. 若t →∞时y (t )的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的（stable ），否则该初值问题是不稳定的（unstable ）. 特别地，若t →∞时y (t )的偏差收敛到零，则称该初值问题是渐进稳定的（asymptotically stable ）.关于定义8.1，说明两点：● 渐进稳定是比稳定更强的结论，若一个问题是渐进稳定的，它必然是稳定的. ● 对于不稳定的常微分方程初值问题，初始数据的扰动将使t →∞时的结果误差无穷大. 因此为了保证数值求解的有效性，常微分方程初值问题具有稳定性是非常重要的.例8.2 (初值问题的稳定性): 考察如下“模型问题”的稳定性：{y ′=λy,t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.7)[解] 易知此常微分方程的准确解为：y (t )=y 0e λ(t−t 0). 假设初值经过扰动后变为y 0+Δy 0，对应的扰动后解为y ̂(t )=(y 0+Δy 0)e λ(t−t 0),所以扰动带来的误差为Δy (t )=Δy 0e λ(t−t 0) .根据定义8.1，需考虑t →∞时Δy (t )的值，它取决于λ. 易知，若λ≤0，则原问题是稳定的，若λ>0，原问题不稳定. 而且当λ<0时，原问题渐进稳定.图8-1分三种情况显示了初值扰动对问题(8.7)的解的影响，从中可以看出不稳定、稳定、渐进稳定的不同含义.对例8.2中的模型问题，若考虑参数λ为一般的复数，则问题的稳定性取决于λ的实部，若Re(λ)≤0, 则问题是稳定的，否则不稳定. 例8.2的结论还可推广到线性、常系数常微分方程，即根据f (t,y )中y 的系数可确定初值问题的稳定性. 对于一般的线性常微分方程(8.6)，由于方程中y 的系数为关于t 的函数，仅能分析t 取某个值时的局部稳定性.例8.3 (局部稳定性): 考察如下常微分方程初值问题的稳定性：{y ′=−10ty,t ≥0y (0)=1 . (8.8)[解] 此常微分方程为线性常微分方程，其中y 的系数为a (t )=−10t . 当t ≥0时，a (t )≤0，在定义域内每个时间点上该问题都是局部稳定的.事实上，方程(8.8)的解析为y (t )=e −5t 2，初值扰动Δy 0造成的结果误差为Δy (t )=Δy 0e −5t 2. 这说明初值问题(8.8)是稳定的.对于更一般的一阶常微分方程(8.4)，由于其中f (t,y )可能是非线性函数，分析它的稳定性非常复杂. 一种方法是通过泰勒展开用一个线性常微分方程来近似它，再利用线性常微分方程稳定性分析的结论了解它的局部稳定性. 具体的说，在某个解函数y ∗(t)附近用一阶泰勒展开近似f (t,y )，f (t,y )≈f (t,y ∗)+ðf ðy(t,y ∗)∙(y −y ∗) 则原微分方程被局部近似为（用符号z 代替y ）: 图8-1 (a) λ>0对应的不稳定问题, (b) λ=0对应的稳定问题, (c) λ<0对应的渐进稳定问题. (a) (b) (c)z′=ðfðy(t,y∗)∙(z−y∗)+f(t,y∗)这是关于未知函数z(t)的一阶线性常微分方程，可分析t取某个值时的局部稳定性. 因此，对于具体的y∗(t)和t的取值，常微分方程初值问题(8.4)的局部稳定性取决于ðfðy(t,y∗)的实部的正负号. 应注意的是，这样得到的关于稳定性的结论只是局部有效的.实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的，因此在后面讨论数值解法时这常常是默认的条件.8.2简单的数值解法与有关概念大多数常微分方程都无法解析求解（尤其是常微分方程组），只能得到解的数值近似. 数值解与解析解有很大差别，它是解函数在离散点集上近似值的列表，因此求解常微分方程的数值方法也叫离散变量法. 本节先介绍最简单的常微分方程初值问题解法——欧拉法（Euler method），然后给出数值解法的稳定性和准确度的概念，最后介绍两种隐格式解法.8.2.1 欧拉法数值求解常微分方程初值问题，一般都是“步进式”的计算过程，即从t0开始依次算出离散自变量点上的函数近似值. 这些离散自变量点和对应的函数近似值记为：t0<t1<⋯<t n<t n+1<⋯y 0,y1,⋯y n,y n+1,⋯其中y0是根据初值条件已知的. 相邻自变量点的间距为 n=t n+1−t n, 称为步长.数值解法通常使用形如y n+1=G(y n+1,y n,y n−1,…,y n−k)(8.9) 的计算公式，其中G表示某个多元函数. 公式(8.9)是若干个相邻时间点上函数近似值满足的关系式，利用它以及较早时间点上函数近似值可算出y n+1. 若公式(8.9)中k=0，则对应的解法称为单步法（single-step method），其计算公式为：y n+1=G(y n+1,y n) .(8.10) 否则，称为多步法（multiple-step method）. 另一方面，若函数G与y n+1无关，即:y n+1=G(y n,y n−1,…,y n−k),则称为显格式方法（explicit method），否则称为隐格式方法（implicit method）. 显然，显格式方法的计算较简单，只需将已得到的函数近似值代入等号右边，则可算出y n+1.欧拉法是一种显格式单步法，对初值问题(8.4)其计算公式为：y n+1=y n+ n f(t n,y n) , n=0,1,2,⋯.(8.11) 它可根据数值微分的向前差分公式（第7.7节）导出. 由于y′=f(t,y)，则y′(t n)=f(t n,y(t n))≈y(t n+1)−y(t n)n,得到近似公式y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n))，将其中的函数值换为数值近似值，则得到欧拉法的递推计算公式(8.11). 还可以从数值积分的角度进行推导，由于y(t n+1)=y(t n)+∫y′(s)dst n+1t n =y(t n)+∫f(s,y(s))dst n+1t n,用左矩形公式近似计算其中的积分（矩形的高为s=t n时被积函数值），则有y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n)) ,将其中的函数值换为数值近似值，便得到欧拉法的计算公式.例8.4 (欧拉法)：用欧拉法求解初值问题{y ′=t −y +1y (0)=1. 求t =0.5时y (t )的值，计算中将步长分别固定为0.1和0.05.[解] 在本题中，f (t,y )=t −y +1, t 0=0, y 0=1, 则欧拉法计算公式为：y n+1=y n + (t n −y n +1) , n =0,1,2,⋯当步长h=0.1时，计算公式为y n+1=0.9y n +0.1t n +0.1; 当步长h=0.05时，计算公式为y n+1=0.95y n +0.05t n +0.05. 两种情况的计算结果列于表8-1中，同时也给出了准确解y (t )=t +e −t 的结果.表8-1 欧拉法计算例8.4的结果 h=0.1h=0.05 t ny n y (t n ) t n y n t n y n 0.11.000000 1.004837 0.05 1.000000 0.3 1.035092 0.21.010000 1.018731 0.1 1.002500 0.35 1.048337 0.31.029000 1.040818 0.15 1.007375 0.4 1.063420 0.41.056100 1.070320 0.2 1.014506 0.45 1.080249 0.5 1.090490 1.106531 0.25 1.023781 0.5 1.098737 从计算结果可以看出，步长取0.05时，计算的误差较小.在常微分方程初值问题的数值求解过程中，步长 n ,(n =0,1,2,⋯)的设置对计算的准确性和计算量都有影响. 一般地，步长越小计算结果越准确，但计算步数也越多（对于固定的计算区间右端点），因此总计算量就越大. 在实际的数值求解过程中，如何设置合适的步长达到准确度与效率的最佳平衡是很重要的一个问题.8.2.2数值解法的稳定性与准确度在使用数值方法求解初值问题时，还应考虑数值方法的稳定性. 实际的计算过程中都存在误差，若某一步的解函数近似值y n 存在误差，在后续递推计算过程中，它会如何传播呢？会不会恶性增长，以至于“淹没”准确解？通过数值方法的稳定性分析可以回答这些问题. 首先给出稳定性的定义.定义8.2：采用某个数值方法求解常微分方程初值问题(8.4)，若在节点t n 上的函数近似值存在扰动δn ,由它引起的后续各节点上的误差δm (m >n )均不超过δn ，即|δm |≤|δn |,(m >n)，则称该方法是稳定的.在大多数实际问题中，截断误差是常微分方程数值求解中的主要计算误差，因此我们忽略舍入误差. 此外，仅考虑稳定的常微分方程初值问题.考虑单步法的稳定性，需要分析扰动δn 对y n+1的影响，推导δn+1与δn 的关系式. 以欧拉法为例，先考虑模型问题(8.7)，并且设Re(λ)≤0. 此时欧拉法的计算公式为②：y n+1=y n + λy n =(1+ λ)y n ,由y n 上的扰动δn 引起y n+1的误差为：δn+1=(1+ λ)δn ,要使δn+1的大小不超过δn ，则要求|1+ λ|≤1 . (8.12)② 对于稳定性分析以及后面的一些场合，由于只考虑一步的计算，将步长 n 记为 .。
大学微分方程中的常系数线性微分方程
大学微分方程中的常系数线性微分方程在大学微分方程课程中，常系数线性微分方程是一种非常重要的类型。
它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、性质和解法，并通过一些例子来说明其应用。
一、常系数线性微分方程的定义和性质常系数线性微分方程是指形如下式的微分方程：\[a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x) = f(x) \]其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为常数，$y^{(n)}(x), y^{(n-1)}(x), \cdots, y'(x), y(x)$为待求函数$y$的各阶导数，$f(x)$为已知函数。
常系数线性微分方程有以下几个重要性质：1. 齐次性质：如果$f(x)=0$，即方程右端为零函数，那么称该方程为齐次常系数线性微分方程；2. 非齐次性质：如果$f(x)\neq0$，即方程右端不为零函数，那么称该方程为非齐次常系数线性微分方程；3. 线性性质：常系数线性微分方程是线性方程，即方程中的未知函数$y(x)$及其各阶导数的线性组合；4. 一阶方程：当$n=1$时，方程称为一阶常系数线性微分方程；5. 高阶方程：当$n>1$时，方程称为高阶常系数线性微分方程。
二、一阶常系数线性微分方程的解法对于一阶常系数线性微分方程$ay'(x)+by(x)=f(x)$，其中$a$和$b$为常数，我们可以使用以下步骤来求解：1. 首先求齐次方程的通解：假设$y(x)$是方程$ay'(x)+by(x)=0$的解，我们可以使用分离变量法或者特征方程法求解齐次方程；2. 然后求非齐次方程的一个特解：根据$f(x)$的形式和齐次方程的通解形式，选择一个特解形式，并代入方程求解；3. 最后得到非齐次方程的通解：将齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加，即可得到非齐次方程的通解。
常系数线性齐次微分方程的解法
常系数线性齐次微分方程的解法齐次线性微分方程是一类重要的常微分方程，广泛应用于物理学、数学和工程学中。
它的定义如下：设$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=F$是连续的关于$x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)}$的n阶齐次线性微分方程，其形式为$$a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=F(x,y,y',\cdots,y^{(n)}).$$其中$a_{0}(x),a_{1}(x),\cdots,a_{n}(x)$都是任意连续函数。
当$a_{n}(x)\neq 0$时，$y^{(n)}$以下各项可以通过一定的函数关系表示，可以把n阶线性微分方程简化为一阶的线性微分方程，从而实现其几何解的求解。
那么，如何才能求解n阶常系数线性齐次微分方程的解呢？常数系数线性齐次微分方程的解法对应有两种，即特征值分解法和非特征值分解法。
首先，我们来介绍一下特征值分解法。
给定n阶常系数线性齐次微分方程，先配合朗普斯特矩阵$\lambda I-A$，$A$为常系数矩阵，$I$为单位矩阵。
求特征值和特征向量，然后可以由下式求出解class解：$$y(x)=e^{\lambdax}\left(C_{1}\vec{v_{1}}+C_{2}\vec{v_{2}}+\cdots+C_{n}\vec{v_{n}}\right)$$其中$\vec{v_{i}}$是特征值$\lambda_{i}$对应的特征向量，$C_{i}$为任意常数。
其次，我们介绍一下非特征值分解法。
首先，先把常系数线性微分方程化为一阶线性微分方程，然后再用比较成熟的求解方法，比如Euler方法、Runge-Kutta方法。
根据已知条件，对积分引力的结果进行求解，求得特定的通解问题，即$y(x)$。
微分方程解法ppt课件
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对（5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入（7）式中，将条件S t0 0代入（8）式，
原方程，经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程（linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过（1，2）点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
高数 考研 n阶常系数线性微分方程 第六节
一、n阶常系数齐次线性微分方程的解法
二、n阶常系数非齐次线性微分方程的解法
一、n阶常系数齐次线性方程解法
y
( n)
P1 y
( n 1 )
Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0 特征方程的根
3 2 解 特征方程是 r 3r 3r 1 0 其根是 r1 r2 r3 1 y* x 3e x (ax b) 因=-1是特征方程的3重根,故 (a,b为待定常数) 原方程具有如下形式的特解
将上式代入方程得 6b 24ax x 5 1 5 ,b 比较系数求得 a 24 6 故原方程的通解为
y* x e Qm ( x )
k x
类型Ⅱ f ( x ) ex Pl ( x ) cos x Qn ( x ) sin x 这里是常数, Pl(x), Qn(x)分别是l,n次多项式．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
此时n阶常系数非齐次线性微分方程具有如下形式的特解
(1) ( 2) y * x k ex Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数. y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3 求方程
y ( 5 ) y ( 4 ) 2 y ( 3 ) 2 y y y 0 的通解.
解 特征方程为 r r 2r 2r r 1 0,
与二阶常系数非齐次线性微分方程解法类似,讨 论n阶常系数非齐次线性微分方程中f(x)具有下面两
常微分方程的线性多步法汇总
v0 0，v1 5.3216 ，v2 8.8911 ，v3 11.2565 ， v4 12.8630 ，v5 13.9411 ，v6 146674 ，v7 15.1552 ， v8 15.4830 ，v9 15.7030 ，v10 15.8508 ，v11 15.9500 ， v12 16.0165 ，v13 16.0612 ，v14 16.0912 ，v15 16.1113 。
p 为 F kv ，其中 1 p 2 ，比例系数 k 依赖于物体的大小、形状，空气
的密度和粘度。跳伞员下落的速度可描述为下列模型：
第八章常微分方程数值解法
dv p m k v mg ，v0 0， dt
负号表示下降。显然，当 1< p <2 时，适合于数值方法求解。 设 k / m =1.5，g=32，先用中点法提供开始值，再用下列两步而阶方法
yn1 yn h rj f n j，
j 0
r
（8.4.2）
其中
r 1 1 xn1 tk rj l j x dx dt，j 0， 1，r。 x 0 n h k 0，k j k j
由此可得（8.4.2）中的系数，其具体数值见表8-6。公式（8.4.2）是一个r+1 步的显式公式，称为Adams显式公式。r=0时，即为Euler公式。
基于数值积分可以构造出一系列求解常微分方程的计算公式，下面介绍
基于 Taylor 展开的待定系数法，它可灵活地构造出线性多步法。对固定的系
数，可以选取待定系数使线性多步法的阶尽可能高。还可以根据需要，确定 显
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法在微积分学中，常系数线性微分方程是一类重要的微分方程，其形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) 是常数系数。
解常系数线性微分方程有多种方法，下面将介绍其中两种常见的解法：特征根法和常数变易法。
一、特征根法特征根法是解常系数线性微分方程的一种常用方法。
它的基本思想是假设解具有指数形式：\[y = e^{rx}\]其中，\(r\) 是待定的常数。
代入微分方程得：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1re^{rx} +a_0e^{rx} = 0\]化简后得：\[e^{rx}(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0) = 0\]由指数函数的性质可知，对于任意 \(x\)，\(e^{rx} \neq 0\)，因此上式成立等价于：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0\]这个方程被称为特征方程。
解特征方程，求得所有的根 \(r_1, r_2, \ldots, r_n\)。
根据根的个数和重数，我们可以得到不同类型的解：1. 根为实数如果根 \(r\) 是实数，那么相应的解为：\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots + C_ne^{r_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \ldots, C_n\) 是待定常数。
2. 根为复数如果根 \(r\) 是复数，那么相应的解为：\[y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\]其中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是复数的实部和虚部，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是待定常数。
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第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时)教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。
教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。
教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法 教学难点: 特征根法和待定系数法教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法.讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数若)()(t t ψϕ和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称)1(),()()(2-=+=i t i t t z ψϕ为区间b t a ≤≤上的复值函数.若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续.若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为:,dtd i dt d dt dz ψϕ+= 复函数求导法则与实函数相同.2．复指数函数 ()()(cos sin )i tt z t ee t i t αβαββ+==+， 欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+3．复值解定义 定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++=对于a t b ≤≤恒成立。
对线性方程的复值解有下面的两个结论：定理1如果方程(4.11)的所有系数()(1,2,,)i p t i n = 都是实值函数，而)()()(t i t t z x ψϕ+==是方程的复值解，则z(t)的实部)(t ϕ和虚部)(t ψ及z(t)的共轭复数也都是方程(4.11)的解.定理 2 若方程()(1)11()()()()()n n n n y p t y p t y p t y u t iv x --'++++=+ 有复值解()()y u t iv t =+,这里()(1,2,,)i p t i n = 及)(),(t v t u 都只能是实函数，那么这个解的实部)(t u 和虚部)(t v 分别是方程()(1)11()()()()n n n n y p t y p t y p t y u t --'++++=和()(1)11()()()()n n n n y p t y p t y p t y v x --'++++=的解. 二. n 阶常系数线性齐次方程的解法 本节只讨论常驻系数线性齐次方程()(1)110n n n n y a y a y a y --'++++= (4.21)的求解问题，这里n a a a ,,,21 为常数. 由定理4.3，我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可。
虽然对于一般的线性齐次微分方程，人们至今没有找到一个求其基本解组的 一般方法，但是对于方程(4.21)，这一问题已彻底解决。
其中，一个自然的做法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常驻系数齐次微分方程组，然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解组，但是这样的推导过程并不简洁，因此我们这里将对方程(4.21)采用Euler 待定指数函数法求解。
我们知道，一阶常系数齐次线性方程0y ay '+=有通解axy ce-=，因此，对于方程(4.21)我们也尝试求指数函数形式的解xy e λ= 其中λ是待定常数，可以是实的，也可以是复的，把它代入方程(4.21)得:11[]()0x n n x n L e a a e λλλλ-=+++= 。
因此，xe λ为(4.21)的解的关系条件是:λ是代数方程11()0n n n P a a λλλ-≡+++= (4.22)的根，方程(4.22)称为方程(4.21)的特征方程，它的根为方程(4.21)的特征根.这样求方程(4.21)的解问题，便归结为求方程(4.21)的特征根问题了。
下面我们根据特征根的不同情况分别加以讨论.4.2.1特征根是单根的情形定理4.8 若特征方程(4.22)有n 个彼此不相等的根n λλλ,,,21 ，则1212,,,n x xxn y e y ey e λλλ=== (4.23)是方程(4.21)的一个基本解组。
由于1212111211()1211111112()111[,,]()0n n n n n n x xxxxxnxxxn n n xx x n n n n n xi j j i ne e e e e e w e e e e e e e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++-----++≤<≤===-≠∏故解组(4.23)线性无关，即为方程(4.21)的一个基本解组.若),,2,1(n i i =λ均为实数，则(4.23)是方程(4.21)的基本解组，从而(4.21)的通解为11()n x x n y x c e c e λλ=++其中n c c c ,,,21 为任常数.若),,2,1(n i i =λ中有复数，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现，设βαλi +=1是特征根，则βαλi -=2也是特征根，相应地方程(4.21)有两个复值解:()(cos sin )i x x e e x i x αβαββ+=+, ()(cos sin )i x x e e x i x αβαββ-=-.由定理1知，它的实部和虚部也是方程的解，这样一来，对应于方程的一对共轭复根为βαλi ±=，由此求得(4.21)的两个实值解为cos ,sin xx ex e x ααββ.4.2.2 特征根有重根的情形设特征方程(4.22)有k 重根1λλ=，则有(1)1111()()()0,()0.k k P P P P λλλλ-'====≠ (4.24) 其次，易见[](),m x xx m xmL e P e e x e λλλλλλ∂==∂ 因此有()[][][]()m x m m m xxx mm m e L x e L L e P e λλλλλλλλ∂∂∂===∂∂∂ ()(1)(2)2(1)()()()()2!m m m m x m m P mP x P x P x e λλλλλ---⎧⎫=++++⎨⎬⎩⎭于是由(4.24)立刻得到1[]0,0,1,2,,1x m L x e m k λ≡=-即函数1111,,,x x xk e xe x e λλλ- 都是方程(4.21)的解。
一般地，当特征方程有多个重根时，如何确定该方程的基本解组，我们有下面的 定理 4.9 如果方程(4.21)有互异的特征根12,,,p λλλ ，它们的重数分别为12,,,,1,p i m m m m ≥ 且12p m m m n +++= ，则与它们对应的方程(4.21)的特解是11112222111,,,,,,,,,p p ppx x m x x x m x xx m xe x e x ee x e x e ex e x e λλλλλλλλλ---(4.25)且(4.25)构成(4.21)在区间(,)-∞+∞上的基本解组。
对于特征方程有复根的情况，例如有k 重根βαλi +=，则βαλi -=也是k 重复根， 如同单复根对那样，我们也可以把方程(4.21)的2k 个复值解换成2k 个实值解1cos ,cos ,,cos ,x x k x e x xe x x e x αααβββ- 1s i n ,s i n ,,s i n .x x k xe x x e x x e x αααβββ- 1．求方程(4.21)通解的步骤：第一步：求(4.21)的特征方程及特征根n λλλ,,,21 . 第二步：计算方程(4.21)相应的解（a ）对每一个实单根k λ，方程有解k xk y eλ=.（b ）对每一个m>1重实根k λ，方程有m 个解1,,,k k k xx x m exe x e λλλ- .（c ）对每一个重数是一的共轭复根βαi ±，方程有两个解cos ,sin xx e x e x ααββ.（d ）对每一个重数是m>1的共轭复根βαi ±，方程有2m 个为以下形式的解：1cos ,cos ,,cos ,x x m x e x xe x x e x αααβββ- 和1sin ,sin ,,sin .x x m x e x xe x x e x αααβββ-第三步： 根据第二步中的(a),(b),(c),(d)写出方程(4.21)的基本解组及通解.例1 求方程0432233=+-x dtxd dt x d 的通解.解：特征方程0)2)(1(43223=-+=+-λλλλ 有根.2,13,21=-=λλ 1λ是单根,3,2λ是二重根，因此有解,,,22t t t te e e -其通解为t t t te c e c e c x 23221++=-，这里的321,,c c c 是任常数.例2 求方程044=-x dtxd 的通解.解: 特征方程 014=-λ有根i i -==-==4321,,1,1λλλλ，有两个实根和两个虚根，均是单根。
故方程的通解为t c t c e c e c t x t t sin cos )(4321+++=-，这里的321,,c c c 是任常数。
例3 求方程033223344=-+-dtdxdt x d dt x d dt x d 的通解. 解: 特征方程 0)1(333234=-=-+-λλλλλλ有根,1,021==λλ 其中01=λ是单根,12=λ是三重根，故方程的通解为t e t c t c c c x )(24321+++=，这里的321,,c c c 是任常数. 例4 求方程 022244=++x dtxd dt x d 的通解. 解: 特征方程0)1(12224=+=++λλλ, 即特征根i ±=2,1λ是二重根，因此，方程有四个实值解，t t t t t t sin ,sin ,cos ,cos故方程的通解为t t c c t t c c x sin )(cos )(4321+++=，这里的321,,c c c 是任常数.注：本节所介绍的求解方程(4.21)的方法，不仅可以求出其通解和初值问题的解，而且还能求出边值问题的解，初值问题和边值问题都是常微分方程的定解问题。