离散傅里叶变换DFT

F =H f
离散傅里叶变换
离散傅立叶变换在单位圆上的分布
1 1 j 2 N e j 2 N 1 N e
逆时针旋转
离散傅里叶变换
1 1 1 F(0) j 2 F(1) 1 e N 2 j 2 F(2) = 1 e N F(N 1) N 1 j 2 N 1 e N 1 f (0) j 2 ... e N f (1) 2( N 1) j 2 f (2) N ... e f (N 1) ( N 1)(N 1) j 2 N ... e 1
• 函数W周期为N=8
e
j 2 xu yv / N
二维离散傅里叶变换
二维图像信号的频谱：
二维信号的频谱有虚部！
F ( u , v ) = | F ( u , v ) | e xp [ j ( u , v )] = R ( u , v ) jI ( u , v )
相位谱：
离散傅里叶变换DFT
王静远
傅里叶变换的内积表达
•傅里叶变换的表达式
•傅里叶变换的内积表达
两个连续函数f(x),g(x)的内积定义为二者 乘积在一个区间内的黎曼积分（定积分）.
傅里叶变换的内积表达
AB 两 个 函 数 的 内 积 可以看做 A 函数在 B 函数上的投影同 B 函 数的乘积。 傅里叶变换的本质 是求函数f(t)在不同 频率对应的 上的 投影。
W 00*6 *6 W 16 W 24*6 W 32*6 W 40*6
7 5*1 5 5*22 5*3 5*4 4 *5 W W W W51 W 56*6 WW W W W W 2 0 6*1 6 6*24 6*3 6* 4 *5 W W W W66 W 64*6 WW W W W W 5 4 7*1 7 7*26 7*3 7* 4 *5 W W W W73 W 72*6 WW W W W W
j 2 ( N 1) N
... f ( N 1)e
j 2
( N 1)( N 1) N
]
离散傅里叶变换
1 1 1 F(0) j 2 F(1) 1 e N 2 j 2 F(2) = 1 e N F(N 1) N 1 j 2 N 1 e N 1 f (0) j 2 ... e N f (1) 2( N 1) j 2 f (2) N ... e f (N 1) ( N 1)(N 1) j 2 N ... e 1
u =0 N 1
N 1
uk j 2 N
, u = 0,1,..., N 1
uk j 2 N
, k = 0,1,..., N 1
离散傅里叶变换
当u取不同值后，有：
1 F (0) = [ f (0) f (1) ... f ( N 1)] N 1 N 1 j 2 j 2 1 F (1) = [ f (0) f (1)e N ... f ( N 1)e N ] N 1 F ( N 1) = [ f (0) f (1)e N
I (u , v ) (u , v ) = tg [ ] R (u , v )
1
幅度谱：
| F ( u , v ) |= [ R ( u , v ) I ( u , v ) ]
2
2 1/ 2
二维傅立叶变换性质
• • • • • • • 可分离性 周期性 平移性 线性 共轭对称 相似性 旋转性
N 1
uk j 2 N
,k = 0, 1,...,N 1
离散傅里叶变换
一维离散傅立叶变换： 定义：设{f(n)|n=0,..,N-1}为一维信号的N个采样值，其 离散傅立叶变换及其逆变换分别为：
1 F (u ) = f ( k ) e N k =0 f ( k ) = F (u ) e
欧拉公式
e
uk j 2 N
拉普拉斯：“读读欧拉吧， 他是所有人的老师！”
1707年（丁亥年） 4月15日 白羊座
欧拉公式
欧拉公式
正频率
负频率
F (w ) =



f ( t ).e
jw t
.dt
离散傅里叶变换
一维傅立叶变换：
F (w ) =
1 F (u ) = N
N 1 k =0
7 xx (( 0 0) ) W W 0* 7 1* 7 x ( 1 ) x ( 1 ) W W 2* 7 xx (( 2 2) ) W W6 5 3* 7 xx (( 3 3) ) W W 7 xx (( 4 4) ) W W 4* 3 5*7 xx (( 5 5) ) W W 6* 7 xx (( 6 6) ) W W2 1 7*7 xx (( 7 7) ) W W
•计算量大、耗时
•难以达到实时处理的要求
• 问题一：二维离散傅里叶变换的频谱存在 一个虚部
• 问题二：二维离散傅里叶变换计算量大、 耗时、难以达到实时要求
谢谢！
V0-v8
• x(n)是输入函数，X(m)是输出函数，N=8
W 0 = 1, W2 =j W 4 = 1, W6 = j W 1 = (1 j ) / 2 W 3 = ( 1 j ) / 2 W 5 = ( 1 j ) / 2 W 7 = (1 j ) / 2
缩写
W = e
j 2 N
u =0 N 1
N 1
uk j 2 N
, u = 0,1,..., N 1
uk j 2 N
, k = 0,1,..., N 1
离散傅里叶变换
一维离散傅立叶变换： 定义：设{f(n)|n=0,..,N-1}为一维信号的N个采样值，其 离散傅立叶变换及其逆变换分别为：
1 F (u ) = f ( k ) e N k =0 f ( k ) = F (u ) e
顺时针旋转
离散傅里叶变换
信号的数据分布
离散傅里叶变换
一维傅立叶变换：
F (w ) =
1 F (u ) = N
N 1 k =0



f ( t ). e
uk j 2 N
jw t
.dt
w =
一维离散傅立叶变换：
u
2 N
f (k )e
,u = 0, 1,...,N 1
二维离散傅里叶变换
原始图像
实部频谱
虚部频谱
原始图像
幅度频谱
相位频谱
二维图像频域处理பைடு நூலகம்
图像
正变换
滤波
图像
逆变换
二维图像频域处理
二维图像频域处理
二维图像频域处理
傅立叶变换示例
•幅值谱 •相位谱
•幅值重构图像 •相位重构图像
图像信号的正交变换-离散傅立叶变换
离散卷积： 定义：设f(n)，h(n)是周期为N的周期函数，则离散卷 积输出y(n)也是周期为N的函数：
y (n) = f (n) h(n) = f (k )h(n k )
k =0
其中，N是两个输入序列长度之和再减去1。
N 1
图像信号的正交变换-离散傅立叶变换
二维离散傅立叶变换：
输入图像
f(x,y)
图像处理系统函数
输出图像 I(x,y)
H(x,y)
I (x, y) = f ( x, y) h( x, y)
X (m ) =
n = N 1 n=0 m = N 1 m =0

x ( n )e
j 2m n / N
1 反变换 x ( n ) = N
j 2 N
X ( m )e
j 2m n / N
缩写
W = e
函数W的周期为N
u0-u8
0*0 0 X(( ) W W 00 ) X 1*0 0 X X ( 1 ) W (1) W 2*0 0 W X X(( ) W 22 ) 3*0 0 X(( ) W 33 ) W X = = 4*0 0 W X X(( ) W 44 ) 5*0 0 X(( ) W 55 ) W X 6*0 0 W X X(( ) W 66 ) 7*0 0 X(( ) 77 ) X W W 0*1 0 WW 1*1 1 WW 2*1 2 WW 3*1 3 WW 4*1 4 WW 0*20 W W 1*22 W W 2*24 W W 3*26 W W 4*20 W W 0 0*3 W W 3 1*3 W W 6 2*3 W W 1 3*3 W W 4 4*3 W W 0 0* 4 W W 1*4 4 W W 0 2* 4 W W 3*4 4 W W 0 4* 4 W W *5 W00 W 55 W1* W *5 W22 W *5 W37 W *5 W44 W
F =H f
离散傅里叶变换
离散傅立叶变换在单位圆上的分布
1 1 1 j 2 NN1 j 2 N e =e j 2 ( N 1)( N 1) j 2 N 1 N N e e
二维离散傅里叶变换
二维离散傅立叶变换： 定义：设{f(x,y)|x=0,..,N-1, y=0,..,M-1}为二维图像信号 其离散傅立叶变换及其逆变换分别为：
1 F (u , v ) = MN 1 f ( x, y ) = MN
f ( x, y )e
x =0 y =0
N 1 M 1
ux vy j 2 ( ) N M
F =H f
离散傅里叶变换
离散傅立叶变换在单位圆上的分布 二次谐波信号
1 2 j 2 N e j 2 2( N 1) N e
逆时针旋转
离散傅里叶变换
1 1 1 F(0) j 2 F(1) 1 e N 2 j 2 F(2) = 1 e N F(N 1) N 1 j 2 N 1 e N 1 f (0) j 2 ... e N f (1) 2( N 1) j 2 f (2) N ... e f (N 1) ( N 1)(N 1) j 2 N ... e 1



f ( t ). e
uk j 2 N
jw t
.dt
w =
一维离散傅立叶变换：
u
2 N
f (k )e
,u = 0, 1,...,N 1
离散傅里叶变换
一维傅立叶逆变换：
1 f (t ) = 2
f (k ) = F (u )e u
=0



F (w ).e
jwt
dw
一维离散傅立叶逆变换：
F (u , v ) e
u =0 v =0
N 1 M 1
ux vy j 2 ( ) N M
一维傅立叶变换定义
• 设 x(n):x(0),x(1),……,x(N-1); X(m): X(0), X(1),……,X(N-1)是数字序列， 则序列x(n)的傅立叶变换生成序列X(m)表示如下： 正变换