离散傅里叶变换DFT

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离散傅里叶变换(DFT)

9
在截取16点时，得到的是完整的余弦波形；而截取8点时，得到的是半截的余弦波形，当然有大量的谐波成分。
10
例7.16 验证N点DFT的物理意义
j 4 1 e j x ( n ) R ( n ), 求得 X ( e ) FT [ x(n)] ，（1） 4 j 1 e
这种方法计算DFT概念清楚、编程简单，但占用内存大、运行速度低，所以不实用。MATLAB基础部分提供了fft、ifft、fft2、 ifft2等等快速计算傅里叶变换的函数，使DFT的运算速度量提高了若干数量级，在后面的例题中均直接调用这些函数。
6
例7.15 序列的离散傅立叶变换
求复正弦序列 x1 (n) e 余弦序列
13
结论：若序列长度为L，频域采样点数（DFT的长度）为N，且L≤N，则频域采样后可不失真地恢复原序列 x ( n) ；但若L>N，则频域采样后不能不失真地恢复原序列 x ( n) 。
图3-3-1 时域恢复示意图
14
例7.17 频域与时域采样对偶性
（1）产生三角波序列
n x(n) M n 0 n M /2 M /2 n M
j n 8
RN ( n)
x2 ( n) cos n RN ( n) 8
正弦序列
x3 ( n) sin n RN ( n) 8
的离散傅立叶变换，分别按N =16和N =8进行计算。绘出幅频特性曲线，进行比较讨论。解：直接产生序列x1n、x2n和x3n，调用fft函数求解
绘出幅频曲线和相频曲线。
（2）计算并图示x(n)的8点DFT。（3）计算并图示x(n)的16点DFT。

离散傅里叶变换(DFT)

尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0

离散傅里叶变换(DFT)

移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2

离散傅里叶变换 DFT

数字信号处理第五章离散傅里叶变换授课教师：胡双红联系QQ：79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院DFT:离散傅里叶变换引言DFSDFTDFT性质DFT应用快速算法：FFT引言DTFT对绝对可加序列给出了频域（ω）表示 Z变换对任意序列给出了广义频域（z）表示特点：变换都是对无限长序列定义的；变换都是连续变量（ω或z ）的函数；用MATLAB实现时必须将序列截断然后在有限点上求表达式。

即DTFT和ZT都不是数值可计算的变换数值可计算的变换DFT方法：通过在频域对DTFT采样获得。

步骤：通过分析周期序列来建立傅里叶级数(DFS)将DFS推广到有限长序列得DFT优点：适合计算机实现的数值可计算的变换缺点：对长序列的数值计算费时多改进方法：快速傅里叶变换（FFT）第一次课5.1 离散傅里叶级数定义MATLAB实例与Z变换和DTFT的关系Z域采样与重建~式中：x解：由题设可得基波周期~~令x周期，⎪⎧±±==−,2,,02N Lk j N N k L π"作出L=5和N=20的周期序列图>> x=[1,1,1,1,1,zeros(1,15)];>> xtilde=x'*ones(1,3);>> xtilde=xtilde(:);>> xtilde=xtilde';>> n=[-20:39];>> stem(n,xtilde)>> axis([-20,39,-0.5,1.5]);>> xlabel('n');ylabel('x(n)');title('周期方波序列')2）对L=5和N=20的MATLAB脚本如下------------------------MATLAB脚本--------------------->> L=5;N=20;k=[-N/2:N/2];% 方波参数>> xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];% 方波序列x(n) >> Xk=dfs(xn,N);% DFS>> magXk=abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]);% DFS幅度>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,0.5]);>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5]);>> xlabel('k');ylabel('Xtilde(k)');>> title('L=5,N=20 的方波的DFS');3）结论：方波DFS的DFT包络为抽样函数"sinc"函数k=0时幅度为L，函数的零点在N/L的整数倍点方波持续时间相同时，周期越大，其频谱越密设x(n)是一有限长的序列，长度为N,即：那么它的z 变换和DTFT 为：,01()0,n N x n n ≤≤−⎧=⎨⎩非零其余()()()()∑∑−=−−=−==1010N n jwnjw N n n e n x e X zn x z X 与Z 变换和DTFT 的关系（了解）~现在以周期3）在4）在解：序列x(n)不是周期的，但是有限长的在设x(n)任意序列N−∞1上式表明：单位圆上对X(z)采样，时域将得到一个周期序列，是原序列x(n)和它的无穷多个移位±rN 的副本的线性组合。

离散傅里叶变换fft

离散傅里叶变换fft
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是信号处理中的一种重要工具，它可以把一个时域信号转换为其对应的频域表示。

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是DFT的一种高效算法，其复杂度为O(n log n)，远优于直接计算DFT的O(n^2)复杂度。

在离散傅里叶变换中，输入是一个时域信号，通常表示为一个数字序列，输出是该信号的频域表示，也是一个复数序列。

这个过程可以理解为将信号的波形“展开”成一系列正弦波和余弦波的叠加，而这些正弦波和余弦波的频率、幅度和相位就是DFT的输出结果。

FFT是一种快速计算DFT的算法，其基本思想是利用对称性和周期性的特点，将一个大的DFT问题分解为几个小的DFT 问题，从而大大减少了计算的复杂度。

FFT的出现极大地推动了信号处理领域的发展，使得实时信号处理和大数据信号处理变得更加可行。

在实际应用中，离散傅里叶变换和快速傅里叶变换被广泛应用于信号处理、图像处理、通信、雷达、声呐、图像处理、频谱分析等领域。

例如，在音频处理中，通过DFT或FFT可以将音频信号转换为其对应的频谱表示，从而实现对音频信号的滤波、降噪、合成为止等操作。

在图像处理中，通过DFT 或FFT可以将图像信号转换为其对应的频谱表示，从而实现
对图像的滤波、锐化、特征提取等操作。

总之，离散傅里叶变换和快速傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它们提供了一种从时域到频域的转换方法，使得我们能够更好地理解、分析和处理各种信号。

dft与离散傅里叶变换

dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。

DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。

本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。

一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。

它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。

DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。

DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。

它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。

通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。

二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。

以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。

它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。

2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。

它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。

3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。

它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。

三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。

它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。

2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。

3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。

4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。

第四章离散傅立叶变换(DFT)

x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点

x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN

m

x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k

2
k
j

2
k

e
j
(e
k j
e e
j

2
k
)
k

16

16
k
j

16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(

2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：

第3章离散傅里叶变换(DFT)

N X ( k )
第3章离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期，即
x ( n)
m

x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )

n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x

离散傅里叶变换(DFT)

倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末
尾补L－M
（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )，因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件

数字信号处理之离散傅里叶变换

共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算，即X = W * x，其中X是DFT的输出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具有特殊的结构，可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时傅里叶变换、Wigner-Ville分布等，可根据具体应用场景选择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。

五种傅里叶变换

五种傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。

傅里叶变换可以分为五种：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和希尔伯特-黄变换（HHT）。

一、离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是指将一个有限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的复数序列。

它是一种计算量较大的方法，但在某些情况下精度更高。

DFT 的公式如下：$$F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-i2\pi kn/N}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(k)$ 是频域表示。

二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种计算 DFT 的高效算法，它可以减少计算量从而加快计算速度。

FFT 的实现方法有多种，其中最常用的是蝴蝶运算法。

FFT 的公式与 DFT 相同，但计算方法不同。

三、连续时间傅里叶变换（CTFT）连续时间傅里叶变换是指将一个连续的时间信号，通过一定的算法转化成一个连续的频域函数。

CTFT 的公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中 $f(t)$ 是原始信号，$F(\omega)$ 是频域表示。

四、离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是指将一个无限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的周期性复数序列。

DTFT 的公式如下：$$F(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-j\omegan}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(e^{j\omega})$ 是频域表示。

五、希尔伯特-黄变换（HHT）希尔伯特-黄变换是一种基于经验模态分解（EMD）和 Hilbert 变换的非线性时频分析方法。

它可以对非平稳信号进行时频分析，并提取出信号中的本征模态函数（IMF）。

DSP-离散傅里叶变换(DFT)

由于：
N1
N 1 W k0
k(mn) N
{1 0
mnM N,MM为整数
mnM N,M
所以，在变换区间上满足下式：
IDFT[X(k)]=x(n),
0≤n≤N-1
离散傅里叶逆变换是唯一的。
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例]
解:
序(1)列设x变(n换)=区R4间(nN) ，=8求，x(则n)：的X (8k点) 和n1760 点x(DnF)WT 8。kn
设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：
N1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
比较上面二式可得关系式
0kN-1
X(k) XXX(((kkkX )))(XXX(z(z(z)z)))zzezej2jN 2Njk2ke ,k,j,2N k00,0kkkNN--N 11-10((33k ..1(1.3.33. )1).3)N ze N
离散傅里叶变换(DFT)
本章主要内容
▪ 离散傅里叶变换的定义 ▪ 离散傅里叶变换的基本性质 ▪ 频率域采样 ▪ 离散傅里叶变换的应用举例
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采
样(时域和频域都是离散化的有限点长的序列)。
DFT变换的意义：
▪ 开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进行处理，增加了数字信号处理的灵活性。 ▪ DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备的简化。
3 N 0
j 2 kn
e8
XX(k(k)
77
)
n n0 0

第3章--离散傅里叶变换(DFT)

设x(n)是一种长度为M旳有限长序列，则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数，即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望同学们高度注重。
第三章离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n

离散傅里叶变换的公式

离散傅里叶变换的公式离散傅里叶变换（DFT）是一种数字信号处理的方法，它将时域上的信号转换为频域上的信号。

在图像处理、音频处理、通信等领域中广泛使用。

DFT的公式和理论基础十分重要，本文将详细介绍DFT的公式及其相关知识。

一、基本概念在介绍DFT的公式前，有一些基本概念需要了解：1.离散时间傅里叶变换（DTFT）：DTFT是一种将离散时间序列（离散信号）变换到连续角频率谱的变换。

它表示为X(e ^ jω)=∑x(n)e ^ -jωn ，其中X(e ^ jω) 是离散时间序列 x(n) 的 DTFT，e ^ jωn 是离散复指数信号。

2.离散傅里叶变换（DFT）：DFT是一种计算离散时间序列的离散频率谱的算法。

用DFT可以将一个N个离散点的信号转换为N个离散频率点的频谱，其中每个点代表一个离散频率。

由于DFT的本质是使用频域上的样本估计DTFT，因此它通常比DTFT更具实际意义。

3.复数：在DFT中，我们需要使用复数表示信号和频率。

复数可表示为 a+bi ，其中a,b均为实数，i为虚数单位，i^2=-1。

其中a称为实部，b称为虚部。

4.正变换和逆变换：正变换是将时域信号转换为频域信号的过程，逆变换是将频域信号转换为时域信号的过程。

对于DFT来说，正变换即将离散时间序列转换为离散频率点的频谱，逆变换即将离散频谱转换为离散时间序列。

二、DFT的公式DFT的公式如下：X(k)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N ，k=0,1,2,...,N-1其中，X(k)是离散时间序列x(n)的DFT系数，k是频率索引，N是样本数。

公式中的 e ^ -j2πkn/N 是离散复指数信号，也称为旋转因子，代表了信号的周期性。

由于信号周期性的特点，e ^ -j2πkn/N 的 n 取值范围在 0~N-1 之间，因此k 取值在 0~N-1 之间时，X(k) 能够准确地表达样本信号的离散频率成分。

需要注意的是，X(k) 及其离散频率点均为复数，且X(n) 中既包含了信号的幅度，也包含了频率相位信息。

离散傅里叶变换

这个过程如下图所示。 16
从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出，当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本，而且好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来。因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位
17
18
19
b) 时域循环移位定理对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为
2
傅里叶变换的各种形式
连续时间、离散频率的傅里叶变换对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
连续时间、连续频率的傅里叶变换对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的。
3
离散时间、连续频率的傅里叶变换对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周期的连续函数。
(1)周期延拓 (2)折叠 (3) 移位和取主值 (4)相乘 (5)相加
x2(m)————x2((m))N
x2((m))N————x2((-m))N
循环反转序列
x2((-m))N————x2((n-m))NRN(m)
x2((n-m))NRN(m) ————x1(m) x2((n-m))NRN(m)
summ{0,1,……,N-1}
考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT 等于它们的DFT的循环卷积除以N，即
频域循环卷积定理 26
27
3.2.4 复共轭序列的DFT
x n 是长度为N的序列x(n)的复共轭序列，X k DFT xn
则
DFT x n X N k , 0 k N 1
(3.2.11)
将上式中的n换成N-n，并取复共轭，再将式(3.2.9) 和

《离散傅里叶变换》课件

$X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}$
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换（DFT）最基础的方法，通过直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中提取特定的频率分量，用于信号识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调

离散傅里叶变换DFT

X1(n)= 1 2 4 8
X2(n)= 1 1 1 1
……………………………………………………
1 2 4 8
1 2 4 8
1 2 4 8
解：
N=5时：
N=10,N=50时类同
2.5 DFT的性质
2.5.1.线性
1.两序列都是N点时
如果则有：
2.5.2圆周移位
一、定义
一个有限长序列的圆周移位定义为：
这里包括三层意思：
1)先将进行周期延拓
2)再进行移位
3)最后取主值序列：
二、时域圆周移位定理
证明：
由DFS和DFT的关系：
表明：有限序列的圆周移位，在频域引入一个和频率成正比的线性相移，对幅度没影响。
第2章离散傅里叶变换（DFT)
2.1引言
一.DFT是重要的变换
分析有限长序列的有用工具。
在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题：
一是离散与量化，
二是快速运算。
三.傅氏变换的几种可能形式
1.连续时间、连续频率的傅氏变换
时域信号连续的非周期的
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期
非周期和离散
离散和非周期
周期和连续
散和周期
周期和离散
2.2周期序离散傅里叶级数DFS
一、.周期序列DFS的引入
周期序列：
周期序列可以表示成成谐波关系的复指数序列：
正变换：
逆变换：
二、的周期性
三、和Z变换、X（ejw）的关系
※ 是Z变换X(Z)在单位圆上采样，

离散傅里叶变换(DFT)

k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT，它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N

离散傅里叶变换DFT

离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换 DFT

离散傅里叶变换fft

dft与离散傅里叶变换

第四章 离散傅立叶变换(DFT)

第3章 离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)

数字信号处理之离散傅里叶变换

五种傅里叶变换

DSP-离散傅里叶变换(DFT)

第3章--离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换的公式

离散傅里叶变换

《离散傅里叶变换》课件

离散傅里叶变换DFT

离散傅里叶变换(DFT)

第四章离散傅立叶变换(DFT)

第3章离散傅里叶变换(DFT)