湖北高考理科数学试题及答案Word版

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湖北高考理科数学试卷及答案详解WORD版(答案超级详细)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试卷卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫M 黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试卷卷上无效。

4. 考试结束，请将本试卷卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B)-i (C)1 （D)i解读：选B 。

()()()()2111121112i i i i i i i i i +++++===--+，故2011201111i i i i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭2.已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð(A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(C) ()0,+∞(D)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解读：选D{}{}2log ,10U y y x x y y ==>=>，11,202P y y x y y x ⎧⎫⎧⎫==>=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故U P =ð12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，即为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B)522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D)5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解读：选A.()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()1f x ≥得：1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，于是522,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解之即得A 。

高考数学试卷理科答案普通高等学校招生全国统一考试湖北A卷数学理工类6

高考数学试卷(理科) 答案普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是 A 3+2i B 3+2i C 2 + 3i D 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 A.25πB.43C.32D.2π 由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C.103π D.6π此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B 5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=aA.0B.1C.11D.12()()20122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a C C C C a ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D6.定义在（∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

年高考真题试卷(湖北卷)数学(理科)参考答案

年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 324f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 2322θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (1sin 2)32θθ=+-πsin 23212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）分组频数频率[)1.301.34， 4 0.04 [)1.341.38， 25 0.25[)1.381.42， 30 0.30 [)1.421.46， 29 0.29 [)1.461.50， 10 0.10 [)1.501.54， 2 0.02 合计1001.00（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于 1.40的概率约为10.040.250.300.442++⨯=．（Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ．连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．在CHD Rt △中，2sin 2CH a θ=；设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，2sin θϕ=． π02θ<<∵，样本数据频率/组距1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.540sin 1θ<<∴，20sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴．即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，2tan 22a aVD θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，．从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理22211(0)tan 0022222a aAB VD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··，即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··．得02tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(112)θ=，，n ，又(00)BC a =-，，，于是22sin sin 222cot BC BCa ϕθθ===+n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，20sin 2ϕ<<．ADBCHVADB CVyz又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴．即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(000)000000D A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，220tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是220tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(020)AB a =，，．从而(020)ABDC a =，，·20002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理22(020)0tan 022AB DV a a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥．又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==，··n n ，得2022tan 022ay ax az θ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，．可取(tan 01)θ=，，n ，又22022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是2tan 22sin sin 21tan BC a BC θϕθθ===+n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，20sin ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴，即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ADBCVxy解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，．设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，(0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，n n ····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CB a =，，，于是22222sin 22ta CB CBa t t at aa t ϕ====+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin 2ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴．即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知A DB CVyz识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．2121212()4p x x p x x x x =-=+-22224822p p k p p k =+=+∴当0k =时，2min ()22ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．2222111111()222O P AC x y p y p '==+-=+∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2pa =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得NO ACB yxNO AC ByxO 'l222222212121211()4148AB k x k x x x x k p k p =+-=++-=++··22212p k k =++·又由点到直线的距离公式得21d k=+．从而22221121222221ABN S dAB p k k p k k ==++=++△·····∴当0k =时，2min ()22ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△．设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34114()2()22p p PQ x x a y a p a a y a p a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令02p a -=，得2pa =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =，即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）．即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1kx kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033mm n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥，于是11133n nmm n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n =，，，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n nnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2131333n nnn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．即34(2)(3)nnn n n n ++++<+．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论12345n =，，，，的情形：当1n =时，34≠，等式不成立；当2n =时，222345+=，等式成立；当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立；当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有23n =，．解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1mx mx +>+． ①（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1kx kx +>+，则当1m k =+时，因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >．于是在不等式(1)1kx kx +>+两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴，而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥， 1111332nnm m m n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤．（Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)nn n n n n ++++=+成立，即有0000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ② 又由（Ⅱ）可得00000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭000000011111333n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭00011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与②式矛盾．故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．下同解法1．。

高考数学理(湖北卷)WORD解析版

一、选择题1、在复平面内，复数z2i （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【分析与答案】 z2i 1i ， z 1 i 。

应选 D 【有关知识点】复数的运算1 i1x2、已知全集为 R ，会合 Ax1 ，Bx | x 2 6x 8 0 ，则AI C R B （）2A. A. x | x 0B. x 2 x 4B.C.x | 0 x 2或 x 4D. x | 0 x2或 x 4【分析与答案】 A0,， B 2,4 ，AI C R B 0,2 U 4,。

应选 C【有关知识点】不等式的求解，会合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲下降在指定范围” ， q 是“乙下降在指定范围” ，则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为（）A.p q B. p qC.p q D. p q【分析与答案】“ 起码有一位学员没有下降在指定范围” 即：“ 甲或乙没有下降在指定范围内” 。

应选 A 。

【有关知识点】命题及逻辑连结词4、将函数 y3 cosx sin x x R 的图像向左平移 m m0 个长度单位后，所获得的图像对于 y 轴对称，则 m 的最小值是（）A.B.C.56D.1236【分析与答案】 y 2cos x的图像向左平移 m m 0 个长度单位后变为6y 2cosxm ，因此 m 的最小值是。

应选 B 。

【有关知识点】三角函数图象及其变换 6 6x 2 y 2 y 2x 25、已知 04 ，则双曲线 C 1 : cos 2sin 21与C2:sin 2sin 2tan 21的（）A. 实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等C 1 的离心率是 e 11【分析与答案】双曲线，双曲线 C 2 的离心率是cose 2sin 2 1 tan 21sin，应选 D 【有关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形cosuuur uuur6、已知点 A 1,1 、B 1,2 、C 2, 1 、 D3,4 ，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为（）3 2 3 15 3 2 3 15 A.B.C.2D.222uuuruuuruuur uuur 15 3 2 【分析与答案】5,5 ，ABgCDAB2,1 ， CDuuur5 22 ，应选 A 。

高考数学(湖北卷理科)(word版)含答案

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =A.(-15,12)B.0C.-3D.-11 2. 若非空集合A ,B ,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则 A.“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B. “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件D. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”必要条件3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为A.38π B. 328πC.π28D. 332π 4. 函数f (x )=)4323(1122+--++-x x x x n x的定义域为A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］B.(-4,0) ∪(0,1)C. ［-4,0］∪（0，1）］D. ［－4，0∪（0，1） 5.将函数y=3sin （x -θ）的图象F 按向量（3π，3）平移得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线x=4π,则θ的一个可能取值是 A.π125 B. π125- C. π1211 D. π1211 6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.150 7.若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）8.已知m ∈N*,a,b ∈R ，若0(1)limm x x ab x→++=,则a ·b = A ．-m B ．m C ．-1 D ．1 9.过点A （11，2）作圆22241640xy x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有A.16条B.17条C.32条D.34条10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1+c 1=a 2+c 2;②a 1-c 1=a 2-c 2;③c 1a 2＞a 1c 1;④31c c ＜22c a . 其中正确式子的序号是A.①③B.②③C.①④D.②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11.设z 1=z 1-z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，则z 2的虚部为 .12．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 .13.已知函数f(x)=x 2+2x+a,f(bx)=9x-6x +2,其中x ∈R ，a ,b 为常数，则方程f (ax+b )=0的解集为 .14.已知函数f(x)=2x ,等差数列{a x }的公差为2.若f(a 2+a 4+a b +a 2+a 1)=4,则 Log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a)·…·f(a 10)]= . 15.观察下列等式：2122213222111,22111,326111,424ni ni n i i n n i n n n i n n n ====+=++=++∑∑∑ 444311111,52330ni i n n n n ==++-∑ 24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+ ……………………………………212112101,nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑可以推测，当x ≥2（k ∈N*）时，1111,,12k k k a a a k +-===+a k -2= .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数f (t17()cos (sin )sin (cos ),(,).12g x x f x x f x x ππ=+∈ （Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域. 17.（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=a ξ-b ,E η=1,D η=11,试求a,b 的值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥侧面A 1ABB 1.（Ⅰ）求证：AB ⊥BC ；（Ⅱ）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ,二面角A 1-BC-A 的大小为φ的大小关系，并予以证明. 19.（本小题满分13分）如图，在以点O 为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F.若△OEF 的面积不小于l 斜率的取值范围. 20.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为V （t ）=12(1440)50,010,4(10)(341)50,1012.x t t e t t t t ⎧⎪-+-+≤⎨⎪--+≤⎩（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t ＜t 表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）. 21.(本小题满分14分)已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ,a n+1=24,(1)(321),3nn n na nb a n+-=--+其中λ为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b,S n为数列{b n}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1.C2.B3.B4.D5.A6.D7.C8.A9.C 10.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11.1 12.612 13.∅ 14.-6 15. 12k ，0 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）()cos sin g x x x =cos sin x x = 1sin 1cos cos sin .cos sin x xx x x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+--sin cos 2x x =+-＝2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)2344x x ππ-≤+≤+--＜＜，故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2;当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）（Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得AD ⊥平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ，所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，则AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BC.又AA 1 AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1，又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .（Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=在Rt △ADB 中，sin ,ADABϕ= 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02πθϕ＜，＜，所以θϕ＜，解法2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1=a ,AC =b , AB =c ,则 B (0,0,0), A (0,c,0),1(0,,),C A c a 于是1(0,,),BC BA c a ==1,0),(0,0,).AC c AA a =-=设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则由10,0,n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,cy az +=⎧ 可取n =(0,-a ,c )，于是0n AC ac AC = ＞，与n 的夹角β为锐角，则β与θ互为余角.sin cos n AC n AC θ-β==11cos BA BA BA BA ϕ==所以sin ϕ= 于是由c ＜b，得即sin sin ,θϕ＜又0,2πθϕ＜，＜所以,θϕ＜ 19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由.4,11)3(222222=+=-b a ba 解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴,0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔.33,1<<-±≠k k∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x kk --=-16,14212,于是｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k kk ③ 综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴.0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔33,1<<-±≠k k .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示）， S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆O D F O EF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222k k --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆O EF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）解：（Ⅰ）①当0＜t ≤10时，V (t )=(-t 2+14t -40),5050441<+e化简得t 2-14t +40>0,解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.②当10＜t ≤12时，V （t ）＝4（t -10）（3t -41）+50＜50, 化简得（t -10）（3t -41）＜0, 解得10＜t ＜341，又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综合得0<t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V (t )的最大值只能在（4，10）内达到.由V ′（t ）=),8)(2(41)42341(41241-+-=++-t t c t t c tt令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍去).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32a n -2n +14) =32(-1)n ·（a n -3n +21）=-32b n 又b 1x -(λ+18),所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列：当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴321-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得 S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n ）－（－　λ 要使a <S n <b 对任意正整数n 成立，即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b(n ∈N +) ，则令得)2(1)()32(1)18(53)32(1--=--<+-<--n f b a nn λ ① 当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95;35<≤≤n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95,于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.1831853--<<--⇔a b b λ 当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a <S n <b ,且λ的取值范围是（－b -18,-3a -18）.。

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普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （） A ．1- B. 1 C. i - D. i2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （）A.2B. 54C. 1D.423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存有集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,”是“∅=B A ”的（）A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件4.根据如下样本数据x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0,0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2,1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-上的正交函数的组数是（） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L V 2361≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么,近似公式h L V 2752≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A.227 B.258C.15750D.355113 9.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.3B.3C.3D.2 10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)32(21)(222a a x a x x f --+-=.若R x ∈∀,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为 A ．[61,61-] B ．[66,66-] C ．[31,31-] D ．[33,33-] 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相对应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.第13题图14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点))(,()),(,(b f b a f a -的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（Ⅰ）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；（Ⅱ）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB .16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h ）的变化近似满足函数关系：（Ⅰ）求实验室这个天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存有正整数n ，使得80060+>n S n ?若存有，求n 的最小值；若不存有，说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（Ⅰ）当1=λ时，证明：直线1BC ∥平面EFPQ ;（Ⅱ）是否存有λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存有，求出λ的值；若不存有，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入．．流量．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相对应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （Ⅰ）求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1. 记点M 的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹为C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -.求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相对应取值范围.22.（本小题满分14分）π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数xxx f ln )(=的单调区间；（Ⅱ）求e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.（Ⅲ）将e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D6.C7.D8.B9.A 10.B 二、填空题11.3± 12.2 13.49514.(Ⅰ)x ； (Ⅱ)x （或填(Ⅰ)x k 1 ； (Ⅱ)x k 2，其中21,k k 为正常数均可） 15.4 16.)1,3( 三、解答题17. （Ⅰ）因为)12sin 2112cos 23(210)(t t t f ππ+-==)312sin(210ππ+-t ，由0≤t ＜24，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt . 当t=2时，1)312sin(=+ππt ；当t=14时，1)312sin(-=+ππt . 于是f(t)在[0，24）上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这个天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. （Ⅱ）依题意，当f(t)＞11时，实验室需要降温.由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，故有)312sin(210ππ+-t ＞11，即)312sin(ππ+t ＜21-. 又0≤t ＜24，所以61131267ππππ<+<t ，即10＜t ＜18. 在10时至18时实验室需要降温.18. （Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存有正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存有正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存有满足题意的n ；当42n a n =-时，存有满足题意的n ，其最小值为41.19. 几何方法（Ⅰ）证明：如图1，连接AD 1，由ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ=1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1 所以BC 1∥FP.而FP ⊂平面EFPQ, 且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ.（Ⅱ）如图2，连接BD. 因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF=21BD. 又DP=BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ=BD ，从而EF ∥PQ ，且EF=21PQ. 在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ=DP=λ，BE=DF=1，于是EQ=FP=21λ+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形.分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO=O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存有λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH=90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF=MN ，知四边形EFNM 是平行四边形. 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以GH=ME=2. 在△GOH 中，GH 2=4，OH 2=21)22(1222+=-+λλ, OG 2=21)2()22()2(1222+-=--+λλ, 由OG 2+OH 2=GH 2，得42121222=+++-λλ）（，解得221±=λ，故存有221±=λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.向量方法：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D —xyz. 由已知得B(2，2，0)，C 1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)1BC =(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0)（Ⅰ）证明：当λ=1时，FP =(-1，0，1)，因为1BC =(-2，0，2)，所以1BC =2FP ，即BC 1∥FP. 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ. （Ⅱ）设平面EFPQ 的一个法向量为n=(x ，y ，z)，则由⎩⎨⎧=⋅=⋅,0,0n n FE 可得⎩⎨⎧=+-=+.0,0z x y x λ于是可取n=(λ，-λ，1).同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m=(λ-2，2-λ，1)若存有λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n=（λ-2，2-λ，1）·（λ，-λ，1）=0，即λ(λ-2)- λ(2-λ)+1=0，解得221±=λ. 故存有221±=λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角. 20. （Ⅰ）依题意，2.05010)8040(1==<<=X P p ,7.05035)12080(2==≤≤=X P p , 1.0505)120(3==>=X P p . 由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：9477.0)101()109(4)109()1()1(3433144304=⨯⨯+=-+-=p C p C p .（Ⅱ）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形.因为水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E(Y)=5000×1=5000. （2）安装2台发电机的情形.依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，所以P(Y=4200)=P(40＜X ＜80)=p 1=0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，所以P(Y=10000)=P(X ≥80)=p 2+p 3=0.8；由此得Y 的分布列如下所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840. （3）安装3台发电机的情形.依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，所以 P(Y=15000)=P(X ＞120)=p 3=0.1，由此得Y 的分布列如下综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.21.（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③ （ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点. 当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.22.（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=．当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．（Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中．由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<．由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>；由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <．综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，πππ333<<<ee，33e e <.又有（Ⅱ）知，ee ln ln <ππ，得ππe e <. 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小. 由（Ⅰ）知，当0＜x ＜e 时，e e f x f 1)()(=<，即e x x 1ln <. 在上式中，令π2e x =，又e e <π2，则ππee <2ln，从而ππe<-ln 2，即得ππe->2ln .①由①得，3024.3)88.02(7.2)1.372.22(7.2)2(ln >=-⨯>-⨯>->ππee e ，即e ㏑π＞3,亦即3ln ln e e>π，所以ee π<3. 又由①得，πππ>->->e e636ln 3，即3㏑π＞π，所以3ππ<e .综上可得，ππππ3333<<<<<e e e e，即6个数从小到大的顺序为ππππ3333，，，，，e e e e .。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷,解析版)

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖北卷，解析版）本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A.2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210, 【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A.3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ 【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B. 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=nB. 1=nC. 2=nD. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0B. 4.0C. 3.0D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2B. 415C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B. 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0B. 864.0C. 720.0D. 576.0 【答案】B解析：21AA 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B.8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2-B. []3,2-C. []2,3-D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ，则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D.9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.【答案】6667 解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ，则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为；（Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 .【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ，所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos /0/⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有种.（结果用数值表示）【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力n=1n=2 n=3 n=4解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ，当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值．本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。

新版湖北省高考理科数学试卷及答案(word版)

CD
52 52
52
2
【 31】（C，湖北，理 7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
v( t) 7 3t 25 （ t 1t
的单位： s，v 的单位： m/s）行驶至停止 . 在此期间汽车继续行驶的距离（单位： m）是
A ． 1 25ln5
11 B ． 8 25ln
3
考点名称定积分与微积分基本定理
解析： z 2i i(1 i) 1 i ，则 z 1 i ，其对应点 Z （1，－ 1）位于第四象限 . 1i
【 1】（A ，湖北，理 2）已知全集为 R ，集合 A { x ( 1 )x 1} ， B { x x 2 6x 8 0} ，则 A eR B 2
A ． { x x 0}
B． { x 2 x 4}
每一个小正方体的一个面涂漆的频率为
150 1
1
6
，则它的涂漆面数为 X 的均值 E( X )
6.
750 5
5
5
【 29】（ C，湖北，理 10）已知 a 为常数，函数 f ( x) x(ln x ax) 有两个极值点 x1 ， x2 (x1 x2 ) ，则
A ． f ( x1 ) 0 ， f ( x2 )
125 个同样大小的小正方体 . 经过
搅
拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为
X ，则 X 的均值 E( X )
126 A．
125
6 B．
5
168 C．
125
7 D．
5
考点名称统计
【 26】（ B，湖北，理 9）B 125 个同样大小的小正方体的面数共有 125×6=750，涂了油漆的面数有 25×6=150.

高考湖北理科数学试题及答案word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1)【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数(为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）(A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D)第四象限【答案】D【解析】，则，其对应点位于第四象限，故选D．（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为，集合，，则（）(A）(B) （C) （D）【答案】C【解析】∵，，∴，故选C．（3)【2013年湖北，理3,5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（）（A)∨(B）∨（C)∧（D）∨【答案】A【解析】因为p是“甲降落在指定范围"，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为∨，故选A．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）(A）（B) （C) (D）【答案】B【解析】因为可化为，将它向左平移个单位得，其图像关于轴对称，故选B．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知,则双曲线：与：的（）(A）实轴长相等(B）虚轴长相等（C）焦距相等（D）离心率相等【答案】D【解析】对于双曲线，有，．对于双曲线，有，．即这两双曲线的离心率相等，故选D．（6）【2013年湖北,理6,5分】已知点、、、，则向量在方向上的投影为（)（A）(B）(C)(D）【答案】A【解析】，,则在方向上的射影为,故选A．(7）【2013年湖北,理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度(的单位：，的单位:m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m）是（）(A）（B）（C）(D）【答案】C【解析】令=0,解得或（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为，故选C．（8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为,，，,上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（)(A）(B）（C）(D）【答案】C【解析】显然,所以B不正确．又，,，，从而，故选C．（9）【2013年湖北，理9，5分】如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为，则的均值（）(A）（B）（C）(D）【答案】B【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为,则它的涂漆面数为的均值,故选B．(10）【2013年湖北，理10，5分】已知为常数，函数有两个极值点，，则（）（A），(B),（C），（D)，【答案】D【解析】，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点．过点作的切线，设切点为，则切线的斜率，切线方程为．切点在切线上,则，又切点在曲线上,则,即切点为,切线方程为．再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率满足:,解得．则这函数的两个极点满足，所以，而，即，所以,故选D．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．答．．．．．．．的位置上错位置，书写不清，模棱两可均不得分．(一）必考题（11-14题）(11)【2013年湖北，理11,5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示（1）直方图中的值为_________；（2）在这些用户中,用电量落在区间内的户数为．【答案】（1）0.0044 （2)70【解析】（1)．（2）用电量落在区间内的户数为．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的结果．【答案】5【解析】已知初始值，∵，则执行程序,得；因为,则执行程序，得；,则第三次执行程序，得;∵，则第四次执行程序，得；∵,执行输出，．（13）【2013年湖北，理13,5分】设，且满足：,,则．【答案】【解析】由柯西不等式得当且仅当时等号成立，此时,．∵，，∴,,．∴．(14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，，第个三角形数为．记第个边形数为，以下列出了部分k边形数中第个数的表达式:三角形数,正方形数,五边形数，六边形数,…………可以推测的表达式，由此计算________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含项的系数为首项是，公差是的等差数列,含项的系数为首项是,公差是的等差数列，因此．故．(一)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2013年湖北，理15，5分】(选修4—1：几何证明选讲）如图，圆上一点在直径上的射影为,点在半径上的射影为．若，则的值为_______．【答案】8【解析】根据题设，易知，,∴，即，在中，，在中，，即，∴．（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数，)．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（m为非零常数）与．若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】椭圆的方程可以化为,圆的方程可化为,直线的方程可化为，因为直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则,，，所以椭圆的离心率．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖北，理17,11分】在△中，角，,对应的边分别是，,．已知．(1）求角A的大小；（2）若△的面积，，求的值．解:（1)由，得，即，解得或(舍因为，所以．（2）由得．又，知．由余弦定理故．又由正弦定理得．（18）【2013年湖北,理18，12分】已知等比数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等比数列的公比为q，则由已知可得，解得，或．故,或．（2)若,则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若,则，故是首项为，公比为的等比数列,从而，故．综上，对任何正整数，总有．故不存在正整数，使得成立．（19)【2013年湖北，理19,12分】如图,是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面,，分别是，的中点．（1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆的另一个交点为，且点Q满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．解:（1）直线∥平面,证明如下：连接，因为，分别是，的中点，所以∥．又平面，且平面，所以∥平面．而平面,且平面平面，所以∥．因为平面,平面，所以直线∥平面．(2)解法一：（综合法）如图，连接,由(1）可知交线即为直线，且∥．因为是的直径,所以，于是．已知平面，而平面，所以．而，所以平面．连接，，因为平面，所以．故就是二面角的平面角，即．由，作∥，且．连接，，因为是的中点,，所以，从而四边形是平行四边形，∥．连接，因为平面，所以是在平面内的射影,故就是直线与平面所成的角,即．又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即,于是在△，△，△中，分别可得，，，从而，即．解法二：（向量法)如图,由，作∥，且．连接,，，，，由（1）可知交线即为直线．以点为原点,向量所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，．于是,，，所以，从而．又取平面的一个法向量为,可得,设平面的一个法向量为，所以由，可得．取．于是,从而．故，即．（20）【2013年湖北，理20,12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为．(1）求的值；（参考数据：若~，有，）；(2）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次．、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆．若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆?解：（1)由于随机变量服从正态分布，故有，，．由正态分布的对称性，得．（2)设型、型车辆的数量分别为辆，则相应的营运成本为．依题意, 还需满足:．由（1）知，，故等价于．于是问题等价于求满足约束条件，且使目标函数达到最小的．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为．由图可知，当直线经过可行域的点P时，直线在y轴上截距最小,即z取得最小值．故应配备型车5辆、型车12辆．（21）【2013年湖北,理21，14分】如图,已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C，D．记，△和△的面积分别为和．（1）当直线与轴重合时,若，求的值；（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．解：依题意可设椭圆和的方程分别为:，：．其中，（1）解法一：如图，若直线与轴重合，即直线的方程为,则,，所以．在C1和C2的方程中分别令,可得，，，于是．若，则，化简得．由,可解得．故当直线与轴重合时,若，则．解法二：如图，若直线与轴重合，则,;，．所以．若，则,化简得．由，可解得．故当直线与轴重合时,若，则．(2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l,使得．根据对称性，不妨设直线:，点，到直线的距离分别为，,则因为,,所以．又，，所以,即．由对称性可知,所以，，于是．①将的方程分别与C1，C2的方程联立,可求得，．根据对称性可知，，于是．②从而由①和②式可得．③令，则由,可得，于是由③可解得．因为,所以．于是③式关于有解,当且仅当,等价于．由，可解得,即，由,解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l,使得；当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得．解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l,使得．根据对称性,不妨设直线：,点，到直线的距离分别为，，则,,所以．又,，所以．因为，所以．由点，分别在C1,C2上，可得，，两式相减可得，依题意，所以．所以由上式解得．因为，所以由，可解得．从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得（22）【2013年湖北，理22，14分】设是正整数，为正有理数．(1）求函数的最小值；（2）证明：；（3）设，记为不小于．．．的最小整数，例如，，．令,求的值．（参考数据：，,,）解：（1）因为，令，解得．当时，，所以在内是减函数；当时，，所以在内是增函数．故函数在处取得最小值．（2）由(1），当时，有,，且等号当且仅当时成立，故当且时,．①在①中,令(且），．上式两边同乘，得，即②当时，在①中令（这时且），类似可得③且当时，③也成立．综合②，③得．④(3）在④中,令,分别取值81,82，83，…，125，得，，,………．将以上各式相加，并整理得．代入数据计算,可得，．由的定义，得．。

高考数学试卷理科答案普通高等学校招生全国统一考试湖北A卷数学理工类2

高考数学试卷理科答案普通高等学校招生全国统一考试湖北A卷数学理工类1

高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】D【解析】2ii(1i)1i 1iz ==-=++，则1i z =-，其对应点()1,1Z -位于第四象限，故选D ．（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ð（）（A ）{0}x x ≤ （B ）{24}x x ≤≤ （C ）{024}x x x ≤<>或（D ）{024}x x x <≤≥或【答案】C【解析】∵26802,4x x x x -+>⇔<>，1102xx ⎛⎫≤⇔≥ ⎪⎝⎭，∴A B =R ð{024}x x x ≤<>或，故选C ．（3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）（A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x +∈R 可化为()2cos()6y x x R π=-∈，将它向左平移6π个单位得2cos ()2cos 66y x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，其图像关于y 轴对称，故选B ．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的（）（A ）实轴长相等（B ）虚轴长相等（C ）焦距相等（D ）离心率相等【答案】D【解析】对于双曲线1C ，有1sin cos 222=+=θθc ，θcos 1==a c e ．对于双曲线2C ，有θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ，θθθcos 1sin tan ===a c e ．即这两双曲线的离心率相等，故选D ．（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）（A （B （C ）（D ）【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则AB 在CD 方向上的射影为cos AB CD AB CD θ⋅==故选A ．（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（）（A ）125ln5+ （B ）11825ln 3+ （C ）425ln5+ （D ）450ln 2+【答案】C【解析】令25()731v t t t =-++=0，解得4t =或83t =-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为4442000253()d (73)d 725ln(1)425ln 512v t t t t t t t t ⎛⎫=-+==-++=+ ⎪+⎝⎭⎰⎰，故选C ．（8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）（A ）1243V V V V <<< （B ）1324V V V V <<<（C ）2134V V V V <<< （D ）2314V V V V <<< 【答案】C【解析】显然23V V <，所以B 不正确．又2217(2121)33V ππ=++⨯=，22122V ππ=⋅⋅=，3328V ==，224128(4242)33V =++⨯=，从而2134V V V V <<<，故选C ．（9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值 ()E X =（）（A ）126125 （B ）65（C ）168125 （D ）75【答案】B【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为15017505=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =16655⨯=，故选B ．（10）【2013年湖北，理10，5分】已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（）（A ）1()0f x >，21()2f x >- （B ）1()0f x <，21()2f x <-（C ）1()0f x >，21()2f x <- （D ）1()0f x <，21()2f x >-【答案】D【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点．过点()0,1-作ln y x =的切线，设切点为()00,x y ，则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-．切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为()1,0，切线方程为1y x =-．再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<．则这函数的两个极点12,x x 满足1201x x <<<，所以12()(1)()f x f f x <<，而1(1)(,0)2f a =-∈-，即12()()f x a f x <-<，所以121()0,()2f x f x <>-，故选D ．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中x 的值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为．【答案】（1）0.0044 （2）70【解析】（1）1[150(0.00600.003620.00240.0012)]0.004450x =-++⨯+=．（2）用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.00360.00600.0044)5010070++⨯⨯=．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = ．【答案】5 【解析】已知初始值10,1a i ==，∵104a =≠，则执行程序，得5,2a i ==；因为54a =≠，则执行程序，得16,3a i ==；164a =≠，则第三次执行程序，得8,4a i ==；∵84a =≠，则第四次执行程序，得4,5a i ==；∵4a =，执行输出i ，5i =．（13）【2013年湖北，理13，5分】设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=则x y z ++= ．【解析】由柯西不等式得2222222()()1(23)32x y z x y z ≥＋＋＋＋＋＋当且仅当1x y z==时等号成立，此时2y x =，3z x =．∵2221x y z ＋＋=，23x y z =++∴x =，y =，z =∴x y z ++= （14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n nn =-，…………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含2n 项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此22111124()33222222N n k k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫=+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，．故()2210,241110111010101000N n n =-=⨯-⨯=．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_______．【答案】8【解析】根据题设，易知3OC AO DO ==，Rt Rt Rt ODE DCE OCD ∆∆∆∽∽，∴31OD CD OC OE DE OD ===，即39CO OD OE ==，在Rt ODE ∆中，22222298DE DO OE OE OE OE =-=-=，在Rt CDE ∆中，2222229864C E C D D E D E D E D E O E =-=-==，即2264CE EO =，∴8CE EO=．（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为．【解析】椭圆C 的方程可以化为22221x y a b+=，圆O 的方程可化为222x y b +=，直线l 的方程可化为x y m +=，因为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则c m =，b =，a ==，所以椭圆的离心率c e a ==三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖北，理17，11分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ．已知cos23cos()1A B C -+=．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =．又5b =，知4c =．由余弦定理故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得121111m a a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125||10a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1533a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或151a q =-⎧⎨=-⎩．故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-．（2）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑．若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21()1502()mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑,N N ，故111m n n a =<∑．综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立．（19）【2013年湖北，理19，12分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =．记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．解：（1）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ．又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l ．因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ．（2）解法一：（综合法）如图，连接BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ．因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥．已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥．而PC BC C =，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=．由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12D Q C P =．连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =，从而四边形DQPF 是平行四边形， PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=．又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=，从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=．解法二：（向量法）如图，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12D Q C P =．连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ．以点C 为原点，向量,,CA CB CP 所在直线分别为 ,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ．于是1(,0,0)2FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-，所以||cos||||FE QP FE QP a α⋅==⋅，从而2sin a α==+又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得||sin ||||QP QP a θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由00FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得1020ax by cz⎧=⎪⎨⎪-+=⎩．取(0,,)c b =n ．于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n sin β．故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=．（20）【2013年湖北，理20，12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ．（1）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）；（2）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?解：（1）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=，(700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=．（2）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +．依题意， , x y 还需满足：021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（1）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件2173660900, 0, x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩，N，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y ．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．（21）【2013年湖北，理21，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =．在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=．由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+．解法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=．由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+．（2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A xB x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A Bx AD BC x ==1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >．于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<．由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则1d ==2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A Bx x >>，所以22A B x x >．所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A Bx x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=（22）【2013年湖北，理22，14分】设n 是正整数，r 为正有理数．（1）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（2）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（3）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥．令3125S +，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）解：（1）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =．当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =．（2）由（1），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，1(1)1(1)r x r x ++>++．①在①中，令1x n =（1x >-且0x ≠），111(1)1r r n n +++>+．上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+②当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+③且当1n =时，③也成立．综合②，③得1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++． ④（3）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44-<-（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<-（）， (4444)333333125124(126125)44-<<-（）．将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）．代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥．。

2021年高考真题——理科数学(湖北卷) Word版含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，607i =（） A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估量总体.3.已知(1)n x +的开放式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（） A.122B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和. 4.设211(,)XN μσ，222(,)YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点：正态分布密度曲线. 5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当0≠n a 时，依据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：由于()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，由于1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为大事“12x y +≥”的概率，2p 为大事“1||2x y -≤”的概率，3p 为大事“12xy ≤”的概率，则（） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B（1）（2）（3）考点：几何概型.8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关学问，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】 B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB •=. 【答案】9 【解析】试题分析：由于OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB •=93||||)(222===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面对量的加法法则，2.向量垂直， 3.向量的模与数量积. 12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的大路上向正西行驶，处处A 时测得大路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC ∆中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，由于600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，由于30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m. 考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理. 14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），。