初中数学专题资料-代几综合题复习

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2024中考二次函数代几综合题变式训练大全

2024中考二次函数代几综合题变式训练大全一、概述在中学数学教学中，二次函数是一个重要的数学知识点。

在中考中，二次函数常常作为考查的重点内容。

而对于学生来说，掌握二次函数的各种变式训练是非常重要的。

本文就收集整理了2024中考二次函数代几综合题变式训练大全，希望能够帮助学生更好地备战中考。

二、二次函数基础知识复习我们先来复习一下二次函数的基础知识。

二次函数一般的标准形式为：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

这是一个抛物线的标准方程，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在x轴上的位置，c决定了抛物线在y轴上的位置。

除了标准形式以外，二次函数还有其他几种重要的变式形式，比如顶点形式、交点形式等。

在解题时，需要根据具体的题目情况选择合适的形式进行运算。

三、二次函数代几综合题变式训练接下来，我们将列举一些2024中考二次函数代几综合题的变式训练。

这些题目包括了二次函数的各种形式，涵盖了中考可能会考查的各种情况。

希望同学们可以认真对待这些训练题，加强对二次函数知识的理解和应用。

1.简单题目已知二次函数f(x)=2x^2+3x-5，求f(1)的值。

2.顶点形式已知二次函数f(x)=a(x-h)^2+k的顶点为V(2,3)，且经过点P(1,4)，求a的值。

3.交点形式已知二次函数f(x)=ax^2+bx的图象与x轴交于A(-2,0)、B(3,0)，且经过点P(1,6)，求a、b的值。

4.与直线交点已知二次函数f(x)=x^2-3x+2与直线y=2x-5有交点C，求C的坐标。

5.二次函数图象已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点A(1,4)、B(2,3)、C(3,0)，求a、b、c的值。

6.利用二次函数解实际问题某商品售价为x元，销量为f(x)=200-2x，求最高售价及对应的销量，求销售收入的最大值。

以上就是一些简单的二次函数综合题的变式训练，希望同学们通过这些题目的练习，能够更熟练地掌握二次函数的相关知识。

八年级数学期末复习之代几综合(一)

如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足()25a b a ＋＋－＝0。

（1）点A 的坐标为，点B 的坐标为；（2）如图，若点C 的坐标为（﹣3，﹣2），且BE ⊥AC 于点E ，OD ⊥OC 交BE 延长线于D ，试求点D 的坐标；（3）如图，M 、N 分别为OA 、OB 边上的点，OM ＝ON ，OP ⊥AN 交AB 于点P ，过点P 作PG ⊥BM 交AN 的延长线于点G ，请写出线段AG 、OP 与PG 之间的数列关系并证明你的结论。

【例题精讲】1、如图，直角坐标系中，点A （0，a ），点B （b ，0），若a 、b 满足()28240a b a b －－＋＋－＝，C 是B 点关于y 轴的对称点。

（1）求出C 点的坐标；（2）如图1，动E 点从B 点出发，沿BA 方向向A 点匀速运动，同时，动点F 以相同的速度，从C 点出发，在AC 延长线上沿AC 方向运动，EF 与BC 交点为M ，当E 运动到A 时，两点同时停止运动，在此过程中，EM 与FM 的大小关系是否不变？请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，过M 作MN ⊥EF 交y 轴于点N ，N 点的位置是否改变？若不改变，请求出N 点的坐标，若改变，请说明理由。

2、已知A (a ，0)，B (0，b )，且a ，b 满足0)3(182222=++-b a b a （1）如图1，求证：OA ＝OB ；（2）如图2，将△AOB 沿y 轴翻折得△COB ，D 为线段BC 上一动点，OE ⊥OD 交AB 于点E ，求ODBE S 四边形；（3）如图3，在(2)的条件下，过点C 作CF ⊥OD 交y 轴于点F （F 在B 的上方），垂足为G ．点H 为y 轴负半轴上任意一点，连DH ，交x 轴于I ．当OH ＝BF 时，下列两个结论：① ∠BCF ＝∠HDO ；② ∠DOH ＝∠DIO 。

中考冲刺：代几综合问题--知识讲解(基础)

（3）①如图 1，若 OB∥AP，此时点 A 与点 P 关于直线 x=1 对称，由 A（-2，-4），得 P（4，-4），则得梯形 OAPB．
② 如图 2，若 OA∥BP，设直线 OA 的表达式为 y=kx，由 A（-2，-4）得，y=2x．设直线 BP 的表达式为 y=2x+m，由 B（2，0）得，0=4+m，即 m=-4， ∴直线 BP 的表达式为 y=2x-4. 由
解得
k 1， m 2．
∴AB 的表达式为 y=x-2． ∵AB∥OP， ∴直线 OP 的表达式为 y=x．
y x, 由得 1 y x2 x 2
x2=0，解得 x=0，（不合题意，舍去），此时点 P 不存在．
综上所述，存在两点 P（4，-4）或 P（-4，-12）,使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形．【总结升华】本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，直线 y
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（-2，-4），OB=2，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求
4
1 a , 2 解得： b 1, c 0.
1 2 x x 2 1 2 1 1 2 （2）由 y= x x = x( x 1) 可得，抛物线的对称轴为直线 x=1，且对称轴 x=1 是线段 2 2 2

七年级数学代几综合复习

【例题精讲】例1.1、已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(2，a)，点B的坐标为(b，2)，点C的坐标为(c，0)，其中a、b满足(a＋b－10)2＋|a－b＋2|＝0。

(1) 求A、B两点的坐标；(2) 当△ABC的面积为10时，求点C的坐标；(3) 当2≤S△ABC≤12时，则点C的横坐标c的取值范围是___________。

2、如图，点A的坐标为(4，3)，点B的坐标为(1，2)，点M的坐标为(m，n)，三角形ABM的面积为3 。

(1) 三角形ABM的面积为3，当m＝4时，直接写出点M的坐标；(2) 若三角形ABM的面积不超过3，当m＝3时，求n的取值范围；(3) 三角形ABM的面积为3，当1≤m≤4时,直接写出m与n的数量关系。

.3、如图：在平面直角坐标系中，A（0，a），B（0，b），C（m，b），且2a--2a-+2(1)b-+=0，S△ABC=3．（1）直接填空：a= ，b= ，m= ；（2）设AC交x轴于D，ED⊥AC交y轴于E，∠ADO、∠AED的角平分线交于F点，求∠DFE的度数；（3）点E为AC延长线上一点，EH⊥AO于H，EG平分∠AEH直线OK⊥EG于G交AE于K，KT平分∠EKO交x轴于T点，则在E点AC的延长线上运动时，求290KTOGEH∠-︒∠的值．【课堂练习】1、在直角坐标系中，已知点A(a ，0)，B （b ，c ），C （d ，0）且a 是−8的立方根；方程2x 3b−5−3y 2b−2c+5=1是关于x,y 的二元一次方程，d 为不等式组{x >b x <6的最大整数解。

（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）如图1，若D 为y 轴负半轴上的一个动点，连BD 交x 轴于点E ，问是否存在点D ，使得S △ADE =S △BCE ？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，若将线段AB 向上平移2个单位长度，点G 为x 轴上一点，点F （5，n ）为第一象限内一动点，连BF 、CF 、CA ，若△ABG 的面积等于由AB 、BF 、CF 、AC 四条线段围成图形的面积，求点G 的横坐标的取值范围(用含n 的式子表示)。

八年级数学代几综合难点题型

八年级数学代几综合难点题型一次函数综合1、已知直线 $y=kx-2k+6$ 经过定点 $Q$。

1）点 $Q$ 的坐标为 $(2k-6,-2k+6)$；2）设点 $M$ 的坐标为 $(t,t)$，则直线 $QM$ 的解析式为$y=(k+1)x-2k+6-t(k+1)$；3）设点 $E$ 的坐标为 $(m,n)$，则点 $A$ 的坐标为$(t,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,-2k+6-t)$，线段 $CE$ 的长度为$\sqrt{(m-t)^2+(n+t-2k+6)^2}$。

由 $\angle AEO=45^\circ$，可知 $\angle AEC=135^\circ$，因此 $CE$ 的最大值为$\sqrt{2}(k-1)$。

2、正方形 $AOCD$ 的顶点 $A$、$C$ 分别在 $x$、$y$ 轴上，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作$PQ\perp OP$ 交 $CD$ 边于点 $Q$。

1）设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则直线 $PQ$ 的解析式为$y=-\frac{1}{t}(x-t+4)$。

将直线 $EF$ 向上平移 $2$ 个单位，则其解析式为 $y=-x$；2）由勾股定理可知 $OQ^2=2PA^2=24$，$PC^2=2PA^2-AC^2=12$，因此 $OQ^2-PC^2=12$；3）当点 $P$ 沿 $AC$ 方向移动 $2$ 个单位时，点 $M$ 移动的路径长为 $\sqrt{2}$。

设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则$Q$ 的坐标为 $(4-t,t)$，$OQ$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2+t)$。

当四边形 $OMNB$ 为菱形时，有 $OM=MB$，因此$t=3$。

此时，$OM$ 与 $BC$ 的交点 $H$ 的坐标为 $(3,1)$，$PQ$ 的长度为 $2\sqrt{2}-2$，四边形 $OPQH$ 的周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$，点 $P$ 的坐标为 $(3-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$。

中考复习之代几综合问题知识讲解

代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1，即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5，此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值．解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。

苏教版数学中考总复习[中考冲刺：代几综合问题--知识点整理及重点题型梳理](提高)

苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C 运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=A Q；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t ＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D （4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x 2+bx+c ，得c=0，再把x=t ，y=0代入y=x 2+bx ，得t 2+bt=0， ∵t ＞0， ∴b=-t ；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x 2-tx ，且M 的横坐标为1，此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6. 设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.设M 点坐标（x ，-x ），2122311).22x x x x x -=--+--==舍 ∴M ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.x【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝3 2若直线经过点B（3，1）时，则b＝5 2若直线经过点C（0，1）时，则b＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即32＜b ＜52，如图2，此时点E （3，32b -），D （2b －2，1）. ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )＝ 3－[12(2b －1)×1＋12×(5－2b)•(52b -)＋12×3(32b -)]（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，C 1B 1与OA 相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积．由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形, 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED, 又∠MDE ＝∠NED ， ∴∠MED ＝∠MDE ，MD ＝ME ， ∴平行四边形DNEM 为菱形．过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a ，由题可知， D （2b-2，1），E （2b ，0）， ∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a ，则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：222(2)1a a =-+，∴a=5.4.∴S 四边形DNEM ＝NE ·DH ＝54． ∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD ，FB=AB ，可得四边形ABFD 是正方形，则可求点E 、F 的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E 、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去) ③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5.又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5，此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1B O A【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进n 【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值．解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之。

北师大中考实用总结代几综合题复习(10页)

代数与几何综合题代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。

经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。

第一类：与反比例函数相关1．（09北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ．当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a am ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为．3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，2(0a b -≥，0a b ∴-≥，a b ∴+≥a b =时，等号成立．A B C结论：在a b +≥a b ，均为正实数）中，若ab 为定值p，则a b +≥，只有当a b =时，a b +有最小值．根据上述内容，回答下列问题：（1）若0m >，只有当m = 时，1m m+有最小值．（2）探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12(0)y x x=>上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，轴于y PD ⊥D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．4．（08南通）已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x=于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．5．（09.5西城）已知：反比例函数2y x =和8y x= 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x =的图象上，AB ∥y 轴，与2y x=的图象交于点B ，AC 、BD 与x 轴平行，分别与2y x =、8y x=的图象交于点C 、D . （1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小；（第3题）（第4题）（3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.答案：（1）点F 的坐标为17(2,)5.（2）OBC ABC S S ∆∆>. （3）点A 的坐标为(2,4)6．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数my x=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．答案：（1）点B 的坐标为 433⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）DC AB ∴∥．（3）所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+二、与三角形相关7．（07北京）在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线 y = mx 2 + 23mx + n 经过P (3, 5), A (0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;(2) 设抛物线的顶点为B , 将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l , 直线l 与抛物线的对称轴交于C 点, 求直线l 的解析式;(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB , OC , BC 距离相等的点的坐标．答案：(1)抛物线的解析式为: y =x x 332312++ 2(2)直线 l 的解析式为 y =33x (3) 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为: M 1(-332, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3(0, -2)、M 4 (-23, 0).8． (08北京)平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 + bx + c 与x 轴交于A , B 两点(点A 在点B 的左侧), 与y 轴交于点C , 点B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B , C 两点. (1) 求直线BC 及抛物线的解析式;(2) 设抛物线的顶点为D , 点P 在抛物线的对称轴上, 且∠APD =∠ACB , 求点P 的坐标; (3) 连结CD , 求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数.答案：(1) 直线BC 的解析式为 y = -x + 3. 抛物线的解析式为 y = x 2 - 4x + 3.(2)点P 的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2).(3) ∠OCA 与∠OCD 两角和的度数为45︒. 9．（10.6密云）已知：如图，抛物线222(0)y x mx m m =-++>与x轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上一动点（点C 与点A 、B 不重合），D 是OC 中点，连结BD 并延长，交AC 于点E ．（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）求CEAE的值；（3）当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且85CEDS =时，求抛物线和直线BE 的解析式．答案：（1）A （m -，0），B （2m ，0）．（2）23CE AE =．（3）抛物线的解析式为 228y x x =-++．直线BE 的解析式为 41633y x =-+ 10．（崇文09）如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；（III ）直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值．答案：（I ）322--=∴x x y（II ）)31,0(1P )0,9(2P ，)0,0(3P（III ）︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．11. (11.6东城) 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q两点的坐标．答案：（1）224233y x x =-++．（2）由224233y x x =-++＝228(1)33x --+． CF ＝FM ＋CM＝73．（3）点P 的坐标为（1，23）三、与面积有相关12．（11.6通县）已知如图，ABC ∆中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线254y ax ax =-+经过ABC ∆的三个顶点，（1）求出该抛物线的解析式；（2）若直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式.（3）若直线b kx y +=将四边形ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定b kx y +=中k 的取值范围.13．（11.6顺义）已知，如图，抛物线24(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A B ，，点A 的坐标为(40)-，，对称轴是1x =-．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M 是线段AB 上的动点，过点M 作MN ∥AC ，分别交y 轴、BC 于点P 、N ，连接CM ．当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；（3）在（2）的条件下，求CPNABCS S ∆∆的值. 四、与最值相关14．（09石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，A 点坐标为（10，0），C 点坐标为（0，6），D 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合）．如图②,将△COD 沿OD 翻折，得到△FOD ；再在AB 边上选取适当的点E ，将△BDE 沿DE 翻折，得到△GDE ，并使直线DG ，DF 重合．（1）图①中，若△COD 翻折后点F 落在OA 边上，求直线DE 的解析式．（2）设（1）中所求直线DE 与x 轴交于点M ，请你猜想过点M 、C 且关于y 轴对称的抛物线与直线DE 的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想．（3）图②中，设E （10，b ），求b 的最小值．答案：（1）直线DE 的解析式：y =-x +12（2）直线DE :y =-x +12与抛物线:21624y x =-+只有一个公共点（3）b 2111(5)66m =-+ 115,6m b ∴==最小值当15．已知抛物线22y ax bx =++的图像经过点A 和点B ．（1）求该抛物线的解析式；(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下图① 图②平移多少个单位能使抛物线与直线AB 只有一个交点? 求出此时抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线向右平移52个单位，再向下平移t 个单位（t >0），此时，抛物线与x 轴交于M 、N 两点，直线AB 与y 轴交于点P ，当t 为何值时，过M 、N 、P 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？答案：（1）抛物线的解析式为232y x x =-+.(2) 析式为21()2y x =-（３）当5t =时，过M 、N 、P 三点的圆的面积最小，最小面积为9π16．（09海淀）如图13，在平面直角坐标系xOy 中，直线233+-=x y 分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°得到射线AN .点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1）求线段AC 的长；（2）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积；（3）求△BCD 周长的最小值；（4）当△BCD 的周长取得最小值，且BD 时,△BCD 的面积为 . 答案：（1） AC =4.（2）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，S △BCD = 23-2. （3）∴△BCD 的周长的最小值为42. （4）43.五、与四边形及圆相关17．(12.1年西城)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ；（2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式；②若点Q在直线1y=-上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．答案：（1）中的m．（2）2DOF x DE=+=（3）符合题意的点Q的坐标是1(0,0)Q，219)Q．18.（12.年1石景山）如图，矩形'''OBCA是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的．其中点CO,'在x轴负半轴上，线段OA在y轴正半轴上，B点的坐标为()3,1-．（1）如果二次函数()02≠++=acbxaxy的图象经过'OO、两点且图象顶点M的纵坐标为1-．求这个二次函数的解析式；（2）求边''AO所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得DCOMPOSS''3∆∆=,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1）xxy22+=（2）3834+=xy（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-217721731，P，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2177217-32，P．19．（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，x1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.答案：（1）抛物线为2211(4)1244y x x x =--=-+ (2) 答：l 与⊙C 相交.（3）PAC ∆的面积最大为274. 此时，P 点的坐标为（3，34-）.20．（11.6朝阳）在△ABC 中，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，以DE 为折线，将△ADE 翻折，设所得的△A’DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积为y. (1)如图(甲)，若∠C=90°，AB=10，BC=6，31=AB AD ，则y 的值为； (2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D 为AB 中点，则y 的值为； (3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x. ①求y 与x 的函数解析式；②y 是否有最大值，若有，求出y 的最大值；若没有，请说明理由.A 图(甲) 图(乙) 备用图答案：（1）38. （2）12.（3）''DA E MA Ny S S∆∆=-292010103x⎛⎫=--+⎪⎝⎭．当203x=时，y值最大，最大值是10．。

初中数学精华资料(一线名师整理)代几综合题复习(10页)

x
x
与 x 轴平行，分别与 y 2 、 y 8 的图象交于点 C、D.
x
x
（1）若点 A 的横坐标为 2，求梯形 ACBD 的对角线的交点 F 的坐标；
（2）若点 A 的横坐标为 m，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小；
（3）若△ABC 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点 A 的坐标.
过点 P 作 PC x 轴于点 C ， PD y轴于 D ．
y
求四边形 ABCD 面积的最小值，并说明此时
D
P
四边形 ABCD 的形状．
A
3 O
Cx
4 B
4．（08 南通）已知双曲线 y k 与直线 y 1 x 相交
x
4
（第 3 题）
y
于 A、B 两点．第一象限上的点 M（m，n）（在
·M
A 点左侧）是双曲线 y k 上的动点．过点 B 作 x
第 1 页共 10 页
答案：（1）点 F 的坐标为 (2,17) .
5
（2） SOBC SABC . （3）点 A 的坐标为 (2, 4)
6．（07 上海）如图，在直角坐标平面内，函数 y m（ x 0 ，m 是常数）的图象经过 A(1，4) ， x
B(a，b) ，其中 a 1．过点 A 作 x 轴垂线，垂足为 C ，过点 B 作 y 轴垂线，垂足为 D ，
8． (08 北京)平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在
点 B 的左侧), 与 y 轴交于点 C, 点 B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿 y 轴向上平移 3 个
单位长度后恰好经过 B, C 两点.

中考数学总复习之代几综合-学生版-家教版

中考数学总复习之代几综合【引入】已知：在△ABC 中∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．如图甲，当AC=BC 时，且CE=EA 时，则有EF=EG ；（1）如图乙①，当AC=2BC 时，且CE=EA 时，则线段EF 与EG 的数量关系是：EF= 1/2EG ；（2）如图乙②，当AC=2BC 时，且CE=2EA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC=mBC 时且CE=nEA 时，则线段EF 与EG 的数量关系，并直接写出你的结论（不论证明）．【问题一：动点与几何探究】1、已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点，连结AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当OA ＝OB ，且D 为OA 中点时，求PCAP的值；（2）如图2，当OA ＝OB ，且AOAD ＝41时，求tan ∠BPC 的值；（3）如图3，当AD :AO :OB =1 :n :n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．A C D P 图1A C DP图2A C DP图32、如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD 垂足为M ，EN ⊥CD 垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？（3）探究：AD 为何值时，四边形MEND 与△BDE 的面积相等？3、刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝6cm ；图②中，∠D ＝90°，∠E ＝45°，DE ＝4cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐____________．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行？问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD ＝15°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．图1 E C A B N 图2（备用图） C A B 图3（备用图） CA B （图③） D E F（图②）（图①） A C B4、如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线．．AM 上时，以CD 为一边且在CD的下方作等边△CDE ，连结BE ．（1）填空：∠ACB ＝_________度；（2）当点D 在线段．．AM 上（点D 不运动到点A ）时，试求出BEAD的值；（3）若AB ＝8，以点C 为圆心，以5为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．5、已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CA 的中点．求证：∠MPN ＝∠A ；（2）如图2，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且AB AM ＝31，AC AN ＝31，点P 1、P 2是边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且AB AM ＝20101，AC AN ＝20101，点P 1、P 2、……、P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋……＋∠MP 2009N ＝__________．E D C B M A 备用图（1） C B A 备用图（2） C B A C B APMN图1CB A MN图2P 1P 2 ……CB A M N图3…… P 1 P 2 P 2009【问题二：动点与平行四边形(梯形)问题】【板块一：动点与平行四边形问题】兵法：1．利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点2．利用全等或锐角三角函数求出点的坐标1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，－1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－1，0），B（3，0），C（0，－1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．4、如图，抛物线交x轴于点A（－2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，－4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线y＝－x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC 的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【板块二：动点与梯形问题】兵法：1．利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2．利用一次函数与二次函数联立求交点坐标 1、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝41x2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上．（1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :2时，求t 的值．2、如图，四边形ABCO 是平行四边形，AB ＝4，OB ＝2，抛物线过A 、B 、C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？。

初中数学中考一轮复习专题11 代几综合重点、考点知识、方法总结及真题练习

，1
，得直线
AB
解析式
y
2x
，
∴ 2 ．
又
2 ， 9
4
，求得
a
3， 4 3 2
∵ 1 3 1，1 3 2，
24
2
故在
AB
边上存在满足条件的点，其坐标为
3 4
，3 2
综上所述，当
M
，
在
△ABC
三条边上运动时，存在点
1，54
，
3 4
，3 2
，使
p
q
5 4
成立．
2.如图，□ ABCD 在平面直角坐标系中， AD 6 ，若 OA 、OB 的长是关于 x 的一元二次方程
所以点 F 不 B 重合，
即 F（-3，0），
②AC、AF 是邻边，点 F 在射线 BA 上时，M 应在直线 AD 上，且 FC 垂直平分 AM，
点 F（3，8）．
③AC 是对角线时，做 AC 垂直平分线 L，AC 解析式为 y=- 4 x+4，直线 L 过（ 3 ，2），
3
2
且 k 值为 3 （平面内互相垂直的两条直线 k 值乘积为-1）， 4
∴函数 y＝ ax2＋ (b－ 1)x＋ c 的图象上点的纵坐标是二次函数 y2＝ ax2＋ bx＋ c 图象上
点的纵坐标不一次函数 y1＝ x 图象上点的纵坐标之差． ∵一次函数 y1＝ x 不二次函数 y2＝ ax2＋ bx＋ c 图象相交于 P、 Q 两点，而 P、 Q 两点都在第一象限， ∴函数 y＝ ax2＋ (b－ 1)x＋ c 的图象不 x 轴相交于两点，且这两点都在 x 轴的正方向．故选 A．

中考冲刺：代几综合问题--巩固练习(提高).doc

中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A．B． C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4.（2016•梧州）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n（n为正整数）点时，则A n的坐标是．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q 分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A 点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7.条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l 的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9.如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB 的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=AP•OG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4．【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、B n在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴A n B n=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OA n=A n B n，∴点A n的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．三、解答题5．【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，1,,43PE PECD==ＡPＡC解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t ，QC=BC-BQ=5-1.25t ，∴45 1.251,1,4454PC t t CQ t tAC BC --==-==- PC CQAC BC∴=∴PQ ∥AB ；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t ，又∵EQ ∥AC ， ∴△EDQ ∽△ADC ∴EQ DQAC DC=， ∵BC=5，CD=3， ∴BD=2，∴DQ=1.25t-2， ∴4 1.252,43t t --= 解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM ⊥BC 于M ，CN ⊥AD 于N ，则EM=PC=4-t ，在Rt △ACD 中， ∵AC=4，CD=3， ∴AD=2222435AC CD +=+=， 125AC CD CN AD ∴== ∵∠CDA=∠EDQ ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ ∽△CDA ，1.2525(4),512DQ EQ t t AD CD --==∴ t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ 为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．当时，S有最小值，且．7．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴4,9123m DEDE m ==；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为：；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE=k1x+b1，则，解得：，∴y AE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P=x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=y D+y Q=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠APD=90°，∴AP 2+PD 2=AD 2，∵AP 2=[1﹣（﹣1）]2+（8a ）2=22+（8a ）2，PD 2=（4﹣1）2+（8a ﹣5a ）2=32+（3a ）2，AD 2=[4﹣（﹣1）]2+（5a ）2=52+（5a ）2，∴22+（8a ）2+32+（3a ）2=52+（5a ）2，解得a 2=，∵a ＜0，∴a=﹣，∴P 2（1，﹣4）．综上可得，P 点的坐标为P 1（1，﹣4），P 2（1，﹣）． 11.【答案与解析】解：（1）判断：EN 与MF 相等（或EN=MF ），点F 在直线NE 上.（2）成立．证明：连结DE ，DF ．∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC．又∵D，E ，F 是三边的中点，∴DE，DF ，EF 为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF 和△DNE 中，DF=DE ，DM=DN ， ∠MDF=∠NDE， ∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE ），MF 与EN 相等的结论仍然成立（或MF=NE 成立）．NEF D B C A M。

中考总复习(十一)——几何综合题、代几综合题

十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
分组分法：
运用求根公式法：ax2+bx+c=0的两根为x1,x2 ，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 3)分解因式的一般步骤：
2、分式：
1）分式的定义：
① A/B =>A、B为整式且B≠0
分式有意义：B≠0 分式无意义：B=0 分式等于零：A=0 且 B≠0
6)零指数幂、负指数幂
a-p= 1 / ap (a≠0，p为正整数)
7）科学记数法：a×10n 其中 1≤a＜10 近似数的精确度与单位有关如 8) 近似数和有效数字有效数字与单位无关，如 0.314 3.14×10 有效数字为3,1,4 3.14 亿 3.14万精确到百位 3.14×104
绝对值、算数根近似数和有效数字法则比较大小
实数大小的比较
在数轴上比较大小
实数的运算：加、减、乘、除、乘方、开方
2、重点知识
（1）数轴： ①数轴的“三要素”：原点、方向、单位长度。 ②数轴上的与实数之间是一一对应的。（2）相反数： ①实数a的相反数为-a。 ②若a与b互为相反数则 a+b=0 ③几何意义：表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。（3）倒数： ①若a与b互为倒数则 ab=1 ②零没有倒数。
②分式的约分：约去分子、分母的公因式将分子、分母分解因式，然后再约分
③最简分式：分子、分母没有公因式。运算结果必须是最简分式 ④通分及最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积 A/B=A×M/B×M(B≠0, M≠0)
2）分式的基本性质：
A/B=A÷M/B÷M (B≠0, M≠0) 变号法则：改变其中任两个符号分式值不变

【复习专题】中考数学复习：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合）知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 已知抛物线c bx axy 2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223ymxmx n 经过(35)(02)P A ，，，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y xbx c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122m mx m xm y与x 轴的交点分别为原点O和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2)点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

中考冲刺：代几综合问题--巩固练习(提高)

中考冲刺：代几综合问题—知识解说（提升）【稳固练习】一、选择题1.如图，正方形 ABCD的边长为 2, 将长为 2 的线段 QF的两头放在正方形相邻的两边上同时滑动．假如点 Q从点A 出发，沿图中所示方向按滑动到点 A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4－C．D．2.如图，夜晚，小亮从点x 的变化而变化，那么表示A 经过路灯 C 的正下方沿直线走到点y 与 x 之间函数关系的图象大概为（B，他的影长）y 随他与点 A 之间的距离二、填空题3.在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (4 ，0) ，点 B 的坐标为 (4 ， 10) ，点 C 在 y 轴上，且△ ABC是直角三角形，则知足条件的C点的坐标为 ______________．4. 如图，(n+1)个边长为 2 的等边三角形有一条边在同向来线上，设△B2D1C1的面积为S1，△ B3D2C2的面积为S2，，△ B n+1D n C n的面积为S n，则 S2=______________； S n=__________________( 用含的式子表示）．三、解答题5. 如图，在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=4cm， BC=5cm，点 D 在 BC 上，且 CD=3cm，现有两个动点 P， Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，此中点 P 以 1 厘米 / 秒的速度沿 AC向终点 C 运动；点 Q以 1.25 厘米 / 秒的速度沿BC向终点 C 运动．过点 P 作 PE∥ BC交 AD于点 E，连结 EQ．设动点运动时间为 t 秒（ t ＞ 0）．（1）连结 DP，经过 1 秒后，四边形 EQDP可以成为平行四边形吗？请说明原因；（2）连结 PQ，在运动过程中，无论 t 取何值时，总有线段 PQ与线段 AB平行．为何？（3）当 t 为何值时，△ EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形， OA∥ BC，点 A 的坐标为（ 6， 0），点 B 的坐标为（ 3，4），点 C 在 y 轴的正半轴上．动点M在 OA上运动，从O点出发到 A 点；动点 N 在 AB上运动，从A 点出发到 B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当此中一个点抵达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t （秒）．（ 1）求线段AB的长；当t 为何值时， MN∥ OC？（ 2）设△ CMN的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数分析式，并指出自变量t 的取值范围；S 能否有最小值？如有最小值，最小值是多少？7.条件：以下列图， A、 B 是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l 上确立一点P，使 PA+PB的值最小．方法：作点 A 对于直线l 的对称点A′，连结A′B交 l 于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不用证明）．模型应用：（ 1）如图 1，正方形ABCD的边长为 2，E 为 AB 的中点， P 是 AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知， B与 D 对于直线AC对称．连结ED交 AC于 P，则 PB+PE的最小值是；（ 2）如图 2，⊙O的半径为2，点 A、B、C 在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°， P 是 OB上一动点，求 PA+PC 的最小值；（3）如图 3，∠ AOB=45°， P 是∠ AOB内一点， PO=10， Q、R 分别是 OA、 OB上的动点，求△ PQR 周长的最小值．8. 如图，四边形 OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OA=15， OC=9，在 AB 上取一点 M，使得△ CBM沿 CM翻折后，点 B 落在 x 轴上，记作N 点．（ 1）求 N 点、 M点的坐标；2的分析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点 P，使得 P 点到 M、 N 两点的距离之差最大，求 P 点的坐标；②若点 D是线段 OC上的一个动点（不与 O、C 重合），过点 D 作 DE∥OA 交 CN于 E，设 CD的长为 m，△PDE的面积为 S，求 S 与 m之间的函数关系式，并说明 S 能否存在最大值？若存在，恳求出最大值；若不存在，请说明原因．9.如图，直线 y=kx ﹣ 1 与 x 轴、 y 轴分别交于 B、 C两点， tan ∠OCB= ．（ 1）求 B 点的坐标和k 的值；（ 2）若点 A（ x， y）是第一象限内的直线y=kx ﹣ 1 上的一个动点．当点 A 运动过程中，试写出△AOB 的面积 S 与 x 的函数关系式；（ 3）探究：在（2）的条件下：①当点 A 运动到什么地点时，△AOB的面积是；②在①建立的状况下，x 轴上能否存在一点P，使△ POA是等腰三角形？若存在，请写出知足条件的全部 P 点的坐标；若不存在，请说明原因．10.如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 B（ -1 ， 0）、 C（ 3， 0），交 y 轴于点 A，将线段 OB绕点 O顺时针旋转 90°，点 B 的对应点为点 M，过点 A 的直线与 x 轴交于点 D（ 4， 0）．直角梯形 EFGH的上底 EF 与线段 CD重合，∠ FEH=90°， EF∥HG， EF=EH=1．直角梯形 EFGH从点 D 开始，沿射线 DA方向匀速运动，运动的速度为 1 个长度单位 / 秒，在运动过程中腰 FG与直线 AD一直重合，设运动时间为 t 秒．（1）求此抛物线的分析式；（2）当 t 为何值时，以 M、O、 H、 E 为极点的四边形是特别的平行四边形；（3）作点 A 对于抛物线对称轴的对称点A′，直线 HG与对称轴交于点 K，当 t 为何值时，以 A、A′、G、 K 为极点的四边形为平行四边形？请直接写出切合条件的t 值．11.如图，已知等边三角形 ABC中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC的中点， M为直线 BC上一动点，△DMN为等边三角形（点 M的地点改变时，△ DMN也随之整体挪动）．（ 1）如图①，当点 M在点 B 左边时，请你判断 EN与 MF有如何的数目关系？点 F 能否在直线NE上？请直接写出结论，不用证明或说明原因；（2）如图②，当点 M在 BC上时，其余条件不变，（ 1）的结论中 EN与 MF的数目关系能否仍旧建立？若建立，请利用图 2 证明；若不建立，请说明原因；（ 3）若点 M在点 C 右边时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与 MF的数目关系能否仍旧建立？若建立，请直接写出结论，不用证明或说明原因．【答案与分析】一、选择题1.【答案】 B.2.【答案】 A.三、填空题3.【答案】（0， 0），（0， 10），（0， 2），（0， 8）4．【答案】；；【分析】因为各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的极点B1、 B2、B3向对边作垂线，垂足为 M1、M2、M3，∵△ AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1?sin60 °=2×=，∵△B1C1B2 也是等边三角形，∴C1B1 是∠AC1B2 的角均分线，∴AD1=B2D1=，故 S1 =S△B2C1A﹣ S△AC1D1= ×2×﹣×2×= ；S2=S△B3C2A﹣ S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作 AB∥B1C1，使 AB=AB1，连结 BB1，则 B2， B3， B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=?AD=，则 D n C n=2﹣ B n D n=2﹣=．△B n C n B n+1 是边长是 2 的等边三角形，因此面积是：．△B n+1D n C n 面积为S n=?=?=．即第 n 个图形的面积S n=．三、解答题5．【答案与分析】解：（ 1）能，如图1，∵点 P 以 1 厘米 / 秒的速度沿 AC向终点 C运动，点 Q以 1.25 厘米 / 秒的速度沿BC 向终点 C运动， t=1 秒，∴AP=1， BQ=1.25，∵AC=4， BC=5，点 D在 BC上， CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75 ，Ａ PPE ,1PE ,∵ PE∥ BC，Ａ C CD 43解得 PE=0.75，∵PE∥ BC，PE=QD，∴四边形 EQDP是平行四边形；（ 2）如图 2，∵点 P 以 1 厘米 / 秒的速度沿 AC向终点 C运动，点 Q以 1.25 厘米 / 秒的速度沿 BC向终点C 运动，∴PC=AC-AP=4-t， QC=BC-BQ=5-1.25t，∴ PC 4 t1 t , CQ 5 1.25t 1 t ,AC4 4 BC54PC CQAC BC∴PQ∥ AB；（ 3）分两种状况议论：①如图 3，当∠ EQD=90°时，明显有EQ=PC=4-t，又∵ EQ∥ AC，∴△ EDQ∽△ ADC∴EQ DQ，AC DC∵BC=5， CD=3，∴ BD=2，∴ DQ=1.25t-2 ，∴4t 1.25t2, 43解得 t=2.5 （秒）；②如图 4，当∠ QED=90°时，作EM⊥ BC于M， CN⊥ AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt △ ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=AC2CD 242325，AC CD12CNAD5∵∠ CDA=∠EDQ，∠ QED=∠C=90°，∴△ EDQ∽△ CDA，DQ EQ ,1.25t25(4t )AD CD512∴t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与分析】解：（1）过点B 作BD⊥OA于点D，则四边形 CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在 Rt △ ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（ 2）过点作轴于点，交的延伸线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．当时， S 有最小值，且．7．【答案与分析】解：（ 1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC 垂直均分BD，∴P B=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ ADE 中，依据勾股定理得，DE=；（ 2）作 A 对于 OB的对称点 A′，连结A′C，交 OB于 P，PA+PC的最小值即为 A′C的长，∵∠ AOC=60°∴∠ A′OC=120°作 OD⊥A′C于 D，则∠ A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（ 3）分别作点P 对于 OA、 OB的对称点 M、 N，连结 OM、 ON、MN， MN交 OA、 OB于点 Q、 R，连结PR、PQ，此时△ PQR周长的最小值等于 MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠ MOA=∠POA，∠ NOB=∠POB，∴∠ MON=2∠AOB=2×45°=90°，在 Rt△MON中， MN===10．即△ PQR周长的最小值等于10．8.【答案与分析】解：（ 1）∵ CN=CB=15， OC=9，∴ON==12，∴ N （ 12， 0）；又∵ AN=OA ﹣ ON=15﹣12=3，设 AM=x222∴3+x =（ 9﹣x ），∴ x=4， M （ 15， 4）；2（ 2）解法一：设抛物线l 为 y=（ x ﹣ a ） ﹣ 362则（ 12﹣ a ） =36∴a 1=6 或 a 2=18（舍去）2∴抛物线 l ： y=（ x ﹣ 6） ﹣ 362∵x﹣ 36=0， ∴x 1=﹣ 6，x 2=6；∴ y =x 2﹣ 36 与 x 轴的交点为（﹣ 6， 0）或（ 6， 0）由题意知，交点（ 6， 0）向右平移 6 个单位到 N 点，因此 y=x 2﹣36 向右平移 6 个单位获得抛物线 l ： y=（ x ﹣ 6） 2﹣ 36；（ 3）①由“三角形随意两边的差小于第三边”知： P 点是直线 MN 与对称轴设直线 MN 的分析式为 y=kx+b ，x=6 的交点，则，解得，∴ y = x ﹣ 16，∴P （ 6，﹣ 8）； ②∵ DE ∥OA ，∴△ CDE ∽△ CON ， ∴mDE,DE4m ；9 123∴S=∵a=﹣ ＜ 0，张口向下，又 m=﹣∴S 有最大值，且 S 最大=﹣ ．9.【答案与分析】解：（1）∵ y=kx﹣1与y轴订交于点C，∴O C=1；∵tan ∠OCB=，∴ OB=；∴B点坐标为：；把 B 点坐标为：代入y=kx ﹣ 1 得： k=2；（ 2）∵ S=， y=kx ﹣ 1，∴S=×|2x ﹣1| ；∴ S=| x﹣| ；（3）①当 S= 时， x﹣ = ，∴ x=1， y=2x﹣ 1=1；∴A点坐标为（ 1， 1）时，△ AOB的面积为；②存在．知足条件的全部P 点坐标为： P1（ 1， 0）， P2（ 2， 0）， P3（， 0），P4（， 0）．10.【答案与分析】解：（ 1）∵抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 B（﹣ 1， 0）、 C（ 3，0），∴，解得a=﹣ 1， b=2，∴抛物线的分析式为：y=﹣ x2+2x+3．（ 2）在直角梯形EFGH运动的过程中：①四边形MOHE组成矩形的情况，如图 1 所示：此时边 GH落在 x 轴上时，点G与点 D重合．MOHE组成矩形．此时直角梯形EFGH 由题意可知， EH，MO均与 x 轴垂直，且 EH=MO=1，则此时四边形平移的距离即为线段DF 的长度．过点 F 作 FN⊥x轴于点 N，则有 FN=EH=1，FN∥y轴，∴，即，解得DN=．在 Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴ t=；②四边形MOHE组成正方形的情况．由图 1 可知， OH=OD﹣ DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠MO，因此此种情况不存在；③四边形MOHE组成菱形的情况，如图 2 所示：过点 F 作 FN⊥x轴于点 N，交 GH于点 T，过点 H作 HR⊥x轴于点 R．易知 FN∥y轴， RN=EF=FT=1，HR=TN．设 HR=x，则 FN=FT+TN=FT+HR=1+x；∵FN∥y轴，∴，即，解得DN=（ 1+x）．∴OR=OD﹣RN﹣ DN=4﹣ 1﹣（1+x）﹣x．=若四边形MOHE组成菱形，则OH=EH=1，222在 Rt△ORH中，由勾股定理得：OR+HR=OH，222即：（﹣x） +x =1 ，解得 x=，∴FN=1+x= ， DN= （ 1+x） =．在 Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．因而可知，四边形MOHE组成菱形的情况存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，∴t=3 ．综上所述，当t= s 时，四边形MOHE组成矩形；当 t=3s 时，四边形MOHE组成菱形．（ 3）当t=s 或t=s 时，以A、A′、 G、 K为极点的四边形为平行四边形．简答以下：（注：此题并没有要求写出解题过程，以下仅作参照）GK=AA′=2．由题意可知， AA′=2．以 A、A′、 G、K 为极点的四边形为平行四边形，则GK∥AA′，且①当直角梯形位于△ OAD 内部时，如图 3 所示：过点 H 作 HS⊥y轴于点 S，由对称轴为x=1 可得 KS=1，∴ SG=KS+GK=3．由 SG∥x轴，得，求得AS=，∴ OS=OA﹣AS=，∴F N=FT+TN=FT+OS=，易知 DN= FN= ，在 Rt△FND中，由勾股定理求得 DF= ；②当直角梯形位于△OAD外面时，如图 4 所示：设 GK与 y 轴交于点 S，则 GS=SK=1， AS= ， OS=OA+AS= ．过点 F 作 FN⊥x轴，交 GH于点 T，则 FN=FT+NT=FT+OS= ．在 Rt△FGT中， FT=1，则 TG= ， FG= ．由 TG∥x轴，∴，解得DF=．因为在以上两种情况中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s 或t=s 时，以 A、A′、 G、 K 为极点的四边形为平行四边形．11.【答案与分析】解：（1）判断： EN与 MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）建立．证明：连结 DE， DF．∵△ ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵ D， E，F 是三边的中点，∴DE， DF，EF 为三角形的中位线．∴ DE=DF=EF，∠ FDE=60°．又∠ MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠ MDF=∠NDE．在△ DMF和△ DNE中， DF=DE， DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△ DMF≌△ DNE．∴MF=NE．（ 3）画出图形（连出线段NE），MF与 EN相等的结论仍旧建立（或MF=NE建立）．NCD EAF B M。

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。

二次函数代几综合专题

二次函数代几综合（类型一）
———求面积最大值问题
1. 某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。

(3) 若动点D在第一象限的抛物线上且抛物线的对称轴交CB于点P，
当S△DCP最大时，请求D点的坐标和△DCP的最大面积。

2、如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．
（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值并求出此时S △BDP的面积．。

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代数与几何综合题
第一类：与反比例函数相关
1．（09北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ．当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）
2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a a
m ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为．
3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，
2()0a b -Q ≥，20a ab b ∴-+≥，2a b ab ∴+≥，只有当a b =时，等号成立．
结论：在2a b ab +≥（a b ，均为正实数）中，若ab 为定值p ，则2a b p +≥，只有当a b =时，a b +有最小值2p ．根据上述内容，回答下列问题：（1）若0m >，只有当m = 时，1
m m
+
有最小值．（2）探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12
(0)y x x
=>上的任意一点，
过点P 作PC x ⊥轴于点C ，轴于y PD ⊥D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．
A B C D
y x
B
A D
P
C
O 3-
4- （第3题）
4．（08南通）已知双曲线k y x
=
与直线1
4y x =相交
于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k
y x
=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x
=
于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点
坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积
为4，求直线CM 的解析式．
（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，
求p －q 的值．
5．（09.5西城）已知：反比例函数2y x =
和8
y x
= 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x =的图象上，AB ∥y 轴，与2
y x
=的图象交于点B ，AC 、BD 与x 轴平行，分别与2y x =
、8
y x
=的图象交于点C 、D . （1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；
（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小；
（3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.
答案：（1）点F 的坐标为17
(2,)5
.
（2）OBC ABC S S ∆∆>. （3）点A 的坐标为(2,4)
6．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数m
y x
=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，
()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，
连结AD ，DC ，CB ．
（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC AB ∥；
（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．
（第4题）
y
O
·
A
D
x
B C E N
M ·
x
C
O D B
A
y。