线性代数__69 正定矩阵_
正定矩阵与性质
27
X Rn , X T AAT X ( AT X )T AT X
AT X
2
0,
故AT X
Q r( AT ) m n,
AT 的列向量组线性相关，存在n维列向量 X o,
使得AT X o ,于是
X T AAT X X T Ao 0,
故 AAT 不是正定矩阵。
28
3.若A为 n m矩阵,且r( A) r min(n,m),则 AT A 和 AAT 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
阵G,使得
GT An1G En1 .
令 则
G O
C1
O
1
,|
C1
||
G
|
0.
C1T
AC1
GT
O
O An1
1
T
G
ann
O
O
1
G
A T n1
T
GT G
ann
O
O 1
G
T An1G
TG
G T
ann
En1
TG
GT
ann
.
再令
15
C2
En1 O
GT
24 3 71
99 6
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.【图片】中【图片】的系数等于（）.参考答案:-12.设【图片】是【图片】阶正定矩阵，则下列结论正确的是参考答案:__也是正定矩阵_3.任意一个对称的可逆实矩阵一定与同阶的单位矩阵（）.参考答案:(相抵)等价4.设【图片】的三个特征值为【图片】下列结论正确的是 ( )参考答案:如果则__如果的三个特征值互不相同, 则一定可以对角化.5.设E+A可逆，E-A不可逆，则下列正确的是( ).参考答案:1是A的一个特征值_-1不是A的一个特征值6.已知【图片】为一线性方程组的通解. 则下述陈述中正确的是:参考答案:该方程组系数矩阵的秩是2._该方程组至少含有两个方程.7.设有向量【图片】, 下列哪个向量【图片】可以与【图片】组成【图片】的基?参考答案:_8.关于向量线性关系说法正确的是参考答案:若向量组的秩小于向量个数, 则向量组线性相关._若向量组由一个可逆矩阵的列向量组成, 则向量组线性无关.9.已知向量组【图片】和【图片】,下列结论正确的是( ).参考答案:若存在不全为零的数，使得，则向量组线性相关10.下列各项中，是【图片】元向量组【图片】【图片】线性相关的充要条件的是 ( ).参考答案:中至少有一个部分组线性相关11.空间中过下列哪两个点的直线是平行的?【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】参考答案:(d),(a)12.矩阵【图片】其中【图片】为待定常数, 则 ( ).参考答案:当时, 秩为 1_当且时, 秩为 3_当时, 秩为 213.假设【图片】是【图片】矩阵,【图片】是【图片】元非零列向量,【图片】是【图片】元零列向量, 下列说法正确的是 ( )参考答案:若有唯一解, 则仅有零解_若有无穷多解, 则有非零解_若仅有零解,则有唯一解14.下列结论正确的是( ).参考答案:任意一个方阵一定可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和._与任意n阶方阵均乘法可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵._秩为r(r>1)的矩阵中，一定存在不为零的r-1阶子式.15.设非零方阵【图片】满足【图片】,则下列结论不正确的是（）.参考答案:不可逆16.已知【图片】, 其中【图片】为【图片】阶可逆矩阵，【图片】为【图片】阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是 ( ).参考答案:_G不可逆_17.以下结论正确的是( ).参考答案:若或不可逆，则必有不可逆_若均可逆，则必有可逆18.下列矩阵方程解正确的是( ).参考答案:的解是_的解是_的解是_的解是19.设P是数域，【图片】是【图片】的一个特征值．记【图片】，则下列结论正确的是( ).参考答案:_是空间的线性子空间20.设【图片】为实对称矩阵，则下列成立的是（）。
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。
At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。
The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。
线性代数中的合同关系、正定矩阵
什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照它可以对n阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?不对，反例： 1 22 1只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即：A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
线性代数 二次型与正定矩阵
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
也可以做以下表示
0 x1 1 2 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
即形如
只含变量的平方项，不含交叉项，
2 1 1 2 2 2 2 n n
b y b y b y
的二次型，称为二次型的标准形。
下面要论如何将一般的二次形化为标准形
一般地，二次型可写成
f X X T AX
6.2.1
定义6.2.2 设 x1 , x2 , , xn y1 , y2 ,, yn 是两 与 组变量，称下组公式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn 为 x1 , x2 ,, xn到 y1 , y2 ,, yn 的线性替换。 令
x1 x 2 X xn
y1 y 2 Y yn
C [ci j ]nn
则上组公式可表为
X CY
若 | C | 0 ，则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非 退化的)。若 C 为复(实)方阵，则称此线性替换是复 (实)线性替换
第六章
二次型与正定矩阵
§6.1 二次型的定义和矩阵表示
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn
正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积的关系
正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积的关系
矩阵是数学中一个非常重要的概念，通常指二维数组，其中的每个元素都可以表示一个数。
矩阵在计算机科学、物理学、经济学、统计学等领域都有广泛应用，是一种重要的工具。
在矩阵的应用中，正定矩阵和半正定矩阵是比较常见的两种类型。
正定矩阵：
在数学中，一个$n \times n$矩阵$A$被称为正定矩阵，当且仅当：
1. 它是一个对称矩阵；
2. 对于任意的$n$维非零向量$x$，都有$x^{T}Ax>0$，其中$x^{T}$是$x$的转置。
克罗内克积：
在数学中，两个向量$a$和$b$的克罗内克积$a \otimes b$是一个矩阵，其元素由以下公式计算得到：
$(a \otimes b)_{i,j} = a_{i}b_{j}$。
正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积可以写成以下形式：
$(A \otimes B)(x \otimes y) = Ax \otimes By$。
其中，$x$和$y$是向量，$A$和$B$是正定矩阵或半正定矩阵，$\otimes$表示克罗内克积。
总结：
通过以上公式可以得出，正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积也是正定矩阵和半正定矩阵。
这个结论在矩阵计算中是非常重要的，可以用于降低计算的复杂度。
比如，在人脸识别中，使用正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积可以大大降低人脸识别的时间复杂度，提高计算速度。
因此，正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积有着很广泛的应用前景。
线性代数__69 正定矩阵_
6.9 正定矩阵.A n 设是阶实对称矩阵:下列论断彼此等价8定理(1);A 是正定矩阵(2),n A n I 与阶单位矩阵合同(3),nB 存在阶可逆的实矩阵(4).A 的特征值都大于零T;A B B 使得;A n 即的正惯性指数为证明(1)(2)⇒.A 设是正定矩阵T,X AX 因为实二次型是正定的TX AX 所以的规范形为A 因此与单位矩(2)(3)⇒.n A I 设与单位矩阵合同,根据矩阵合同的定义,n P 存在阶可逆的实矩阵T.n P AP I =使得1,B P -=令T 11T()().n A P I P B B --==则有22212.ny y y +++.n I 阵是合同的,n B 设存在阶可逆的实矩阵T.A B B =使得(3)(4)⇒,A λ设是的特征值,A ξλ是的属于特征值的特征向量.A ξλξ=即因为TA ξξT0,ξξ>于是(1)0.λ>所以由等式得到T()()B B ξξ=0,>TT()()B B ξξ=T A ξξT ()ξλξ=T ()A ξξ=T().λξξ=(1)并且.正定矩阵的行列式大于零推论▌证毕.A 设的特征值都大于零(4)(1) T X AX这时实二次型,n 的正惯性指数为T.X AX 即是正定二次型A 因此是正定.矩阵定义(),i j A a n =设是阶矩阵,t A 第个称的顺序主子式为111212122212t t t t t t t a a a a a a M a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的子矩阵1,2,,.t n =的行列式||t t M ∆=9定理n A 阶实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件,A n 是的个顺序主子式都大于零即1110,a ∆=>1112221220,a a a a ∆=>,||0.n A ∆=>(),i j a n A =设是阶实对称矩阵证明T12(,,,)n f x x x X AX=.A 为矩阵的实二次型12,,,,n x x x 是以为未知数12(,,,,0,,0)t f x x x .是正定二次型8,根据定理的推论0.t t M ∆>的行列式,A n 设是阶实对称矩阵T12(,,,).t t X x x x =记{1,2,,},t n ∈对任意的.必要性,A 因为是正定矩阵12(,,,).n f x x x 所以是正定二次型,因此.充分性A n 并且的个顺序主子.式都大于零T tt tX M X =.t M 于是是正定矩阵1,A n =如果的阶数.A 则显然是正定矩阵1,A n -并且当的阶数为时.结论成立A 现在证明当的阶2,n ≥假设,n 数为时.结论也成立111(1)1(1)1(1)(1)(1)1(1)n nn n n n n n n n nn a a a A a a a a a a ------⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 将按如下方法分块1T.n nn M a αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭.A n A 我们对的阶数用数学归纳法证明是正定矩阵。
正定矩阵常见运算公式
正定矩阵常见运算公式
正定矩阵是指所有特征值均为正数的矩阵。
在线性代数中，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，其在许多领域中都有广泛的应用。
下面是一些正定矩阵常见的运算公式。
1. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其逆矩阵的特征值也都是正数。
2. 正定矩阵的行列式也是正数。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其行列式等于特征值的乘积，也是正数。
3. 正定矩阵的转置矩阵也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值与其转置矩阵的特征值相同。
4. 正定矩阵的乘积也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其乘积的特征值也都是正数。
5. 正定矩阵的平方根也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其平方根的特征值也都是正数。
6. 正定矩阵可以通过Cholesky分解来得到。
Cholesky分解是将正定矩阵分解
为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T，其中L是下三角矩阵。
这个分解方法可以用来解线性方程组和计算矩阵的行列式和逆矩阵等。
7. 正定矩阵可以用来定义内积。
设A是一个正定矩阵，x和y是两个向量，则它们的内积可以定义为x^TAy。
这个内积满足对称性、线性性和正定性等性质，因此可以用来定义向量空间的内积结构。
总之，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，其具有许多重要的性质和应用。
以上是一些正定矩阵常见的运算公式，可以帮助我们更好地理解和应用正定矩阵。
各种矩阵 三角矩阵 正定矩阵 正交矩阵 伴随矩阵
三对角矩阵在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。
准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。
例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是海森堡矩阵。
尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。
进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足a k,k+1 a k+1,k > 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。
后一个推论如果我们将条件a k,k+1 a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥ 0，结论仍然成立。
所有n×n三对角矩阵的集合组成一个3n-2维向量空间。
许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。
譬如，一个 n 阶三对角矩阵A的行列式能用continuant（Continuant）的递归公式计算：这里是第k个主子式，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。
用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。
计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。
从而，许多特征值算法运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。
一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。
例如，LAPACK Fortran包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长n包含对角元素，其它两个长为n− 1 包含下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。
正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
线性代数复习提纲
1．什么叫排列的逆序数？什么叫奇排列？什么叫偶排列？2．行列式的定义3．行列式的性质4．行列式按行（列）展开5．计算行列式的思想6．克拉默法则7．对矩阵定义了哪些运算、每种运算都有哪些运算法则？8．什么叫矩阵可逆？可逆矩阵有哪些运算性质？你有哪些方法判别一个矩阵是否可逆？如何求逆矩阵？9．什么叫初等行变换、什么叫初等列变换？什么叫初等矩阵？如何用初等矩阵表示初等变换？10．什么叫矩阵的K 阶子式？什么叫矩阵的秩？矩阵的秩有哪些性质？你有哪些方法可以计算矩阵的秩？为什么可以用初等行变换把矩阵化成行阶梯形来计算矩阵的秩？11．你有哪些方法可以判别一个齐次线性方程组0=Ax 是否有非零解？12．你有哪些方法可以判别一个非齐次线性方程组b Ax =是否有解？有唯一解、有无穷多解？13．什么叫向量组m ααα,,,21 的线性组合？14．什么叫向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示？你有哪些方法判别向量β能否由向量组m ααα,,,21 线性表示？15．什么叫两个向量组等价？你有哪些方法判别两个向量组是否等价？16．什么叫向量组m ααα,,,21 线性相关？你有哪些方法判别向量组m ααα,,,21 是否线性相关？17．什么叫向量组m ααα,,,21 线性无关？你有哪些方法判别向量组m ααα,,,21 是否线性无关？18．什么叫向量组的极大无关组？你有哪些方法判别一个向量组的线性无关部分组是否为该向量组的极大无关组？19．什么叫向量组的秩？如何求一个向量组的秩？如何求向量组的一个极大无关组？如何把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示？20．齐次线性方程组0=Ax 的解有哪些性质？21．什么叫齐次线性方程组0=Ax 的基础解系？齐次线性方程组0=Ax 的基础解系包含的向量个数与系数矩阵的秩有什么关系？如何求出齐次线性方程组0=Ax 的基础解系及通解？22．非齐次线性方程组b Ax =的解有哪些性质？23．非齐次线性方程组b Ax =的解与其对应的齐次线性方程组0=Ax 的解有什么关系？24．什么叫向量的内积？向量的内积有哪些运算性质？25．什么叫正交向量组？如何把一组线性无关的向量组化为正交向量组？26．什么叫正交矩阵？正交矩阵有哪些性质？27．什么叫矩阵的特征值？什么叫矩阵的特征向量？矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？28．如何求矩阵的特征值及特征向量？29．什么叫两个矩阵相似？相似矩阵有哪些性质？30．矩阵与对角矩阵相似的条件是什么（或者说，什么样的矩阵能相似对角化）？如何将一个矩阵相似对角化？31．实对称矩阵有什么重要的性质？如何将一个实对称矩阵对角化？32．什么叫二次型？二次型的矩阵有什么特点？什么叫二次型的秩？33．什么叫二次型的标准形？如何将一个二次型化为标准形（有哪几种方法）？34．什么叫矩阵合同？35．什么叫二次型的规范形？什么叫正惯性指数？什么叫负惯性指数？36．什么叫正定二次型？什么叫正定矩阵？如何判别一个矩阵是否为正定矩阵？着重申明：以下题目仅供复习自测参考，绝无任何暗示意义判断正误：1．逆序数为奇数的排列称为奇排列。
正定矩阵的性质研究
正定矩阵的性质研究正定矩阵是矩阵理论中一种重要的特殊矩阵，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍正定矩阵的定义、性质、判断方法以及相关应用，并对其进行研究和讨论。
1.正定矩阵的定义正定矩阵是指所有特征值均为正实数的矩阵。
对于n阶实方阵A，若对于任意非零n维实向量x，都有x^T*A*x>0成立，则称A为正定矩阵。
2.正定矩阵的性质(1)正定矩阵是对称矩阵，即A=A^T。
(2)正定矩阵的特征值都大于0。
(3)正定矩阵的主子矩阵也是正定的。
(4)正定矩阵的行列式大于0。
(5)正定矩阵是非奇异的，其逆矩阵也是正定的。
(6)正定矩阵与正交矩阵的乘积仍为正定矩阵。
3.正定矩阵的判断方法(1)对称矩阵的主子式全为正。
(2)所有特征值均大于0。
(3)利用矩阵的行列式、特征值等性质进行判断。
4.正定矩阵的应用(1)优化问题：正定矩阵在最优化问题中有广泛应用，如线性规划、二次规划等。
正定矩阵可以保证目标函数存在唯一的最小值。
(2)特征值问题：正定矩阵对应的特征值都大于0，可用于求解特征值和特征向量的问题。
(3)插值问题：在插值问题中，正定矩阵可用于构造插值函数，使得插值结果具有平滑性和稳定性。
(4) 矩阵分解：正定矩阵可进行Cholesky分解，用于求解线性方程组、正态分布等问题。
5.正定矩阵的研究和讨论(1)构造和求解算法：研究正定矩阵构造和求解算法，在数值计算、优化问题等领域具有广泛应用。
(2)正定矩阵的判定：对于大规模矩阵，判定其是否为正定矩阵是一个重要课题，需要设计高效的算法和方法。
(3)正定矩阵的扩展：研究正定矩阵概念的扩展，如半正定矩阵、严格正定矩阵等，进一步拓宽正定矩阵的应用范围和理论研究。
总之，正定矩阵在数学和工程中具有重要的地位和应用价值。
对正定矩阵的性质研究和应用展开讨论，可以促进矩阵理论的发展和应用的深入研究，并为解决相关问题提供有力的数学工具。
正定矩阵的判定和应用
正定矩阵的判定和应用太原师范学院张彤【内容摘要】正定矩阵是线性代数中的一种重要理论,自有其独特的地位,同时,正定矩阵在高等数学等领域乃至实际生活中都具有十分重要的应用,因此,针对正定矩阵的研究也是许多学者共同关注的问题。
其中,针对正定矩阵的性质、特征,以及其判定方法,历来收到了诸多讨论,本文在前人的基础上,对正定矩阵的性质等进行了一定的总结和讨论,同时,从不同角度介绍正定矩阵的一些初步应用。
正定矩阵,也可简称为正定阵,其在线性代数中占据十分重要的地位,同时,无论是在矩阵理论的讨论方面,还是在数学的其它分支方面,甚至在实际的应用层面,正定矩阵都具有特殊的作用以及独特的重要性。
【关键词】正定矩阵判定特征值正定二次型引言二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题,正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位,在计算数学,数学物理以及优化控制理论中都得到了广泛的应用。
本文分别在第二部分总结了正定矩阵的判定方法,第三部分从不同角度介绍了正定矩阵一些应用。
一、定义n阶实对称矩阵称A为正定矩阵,如果对于任意n的维实非零列向量X,都有X T AX>0。
正定的实对称矩阵A简称为正定矩阵,记作A>0。
二、判定1.定义判定定义1对于实对称矩阵A=(a y),(其中a y∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X T AX>0,则称A是正定矩阵.定义2对于复对称矩阵A=(a y),(其中a y∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X*AX>0,则称A是正定矩阵.2.定理判定定理1n阶实对称矩阵A正定,当且仅当实二次f(x1,x2,…x n)=X T AX的正惯性指数为n.定理2实对角d1d2d n⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐···矩阵正定的充分必要条件是d1>0,(i=1,2,…,n).定理3实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n.定理4实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…x n,)=X T AX的系数矩阵A的所有特征值都是正数,即大于零.定理5实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A=C T C.定理6实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零.定理7A是正定矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵Q,使A=Q T Q.定理8A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组a1,a2,……a n使A=a1a1T+a2a2T+…a n a n T.推论1正定矩阵的和仍是正定矩阵.推论2实正定矩阵的行列式大于零.推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4正定矩阵A的逆矩阵A-1一定是正定矩阵.推论5正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.推论6设A,B均为n阶正定矩阵,且AB=BA,则AB正定.推论7若A是正定矩阵,则A*也是正定的(其中A*表示A 的伴随矩阵).推论8若A,B都是n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,则存在-n阶实可逆矩阵P使P T AP与P T BP同时为对角形.推论9若A是实对称的正定矩阵,则存在a>0,b>0,c>0,使aE+A,E+bA.cE-A均是正定矩阵.推论10已知A是n阶正定矩阵,则A k(k是正整数)也是正定矩阵.推论11若A是n阶实对称正定矩阵,则必有a11>0,a22>0,…,a nn>0.小结:正定矩阵的判定在矩阵理论中占有重要的地位,因此,对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面,或是实际应用方面都有重要的意义。
正定矩阵性质
正定矩阵性质正定矩阵的性质：正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；若a是正定矩阵，则a的逆矩阵也是正定矩阵等等。
在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
（1）正定矩阵的行列式恒为也已；（2）实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；（3）若a就是正定矩阵，则a的逆矩阵也就是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积就是正定矩阵。
判定的方法：根据正定矩阵的定义及性质，辨别等距矩阵a的也已定性存有两种方法：1、求出a的所有特征值。
若a的特征值均为正数，则a是正定的；若a的特征值均为负数，则a为负定的。
2、排序a的各阶主子式。
若a的各阶主子式均大于零，则a就是正定的；若a的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则a为奇函数的。
对于n阶实对称矩阵a，下列条件是等价的：（1）a就是正定矩阵；（2）a的一切顺序主子式均为正；（3）a的一切主子式均为也已；（4）a的特征值均为正；（5）存有实对称矩阵c，并使a=c′c；（6）存在秩为n的m×n实矩阵b，使a=b′b；（7）存有主对角线元素全为正的实三角矩阵r，并使a=r′r矩阵是数学中一个重要的基本概念是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要是通过特征值单位矩阵。
线性代数知识点总结(1)
线性代数知识点总结1、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12sA A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 2、行列式6. n 阶行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；7. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 8. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-9. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值； 10. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m nE OF OO ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简阶梯形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C CCC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a aa xb Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；4. ()()T r A A r A =；5. n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==7. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 8. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 9. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）10. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解； ②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；11. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；12. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 13. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；14. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 15. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A ～B ,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数试题及答案
第一部分选择题单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（D）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（B）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（B）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（D ）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（C）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（D）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（C ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（A）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（B）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（A ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（B ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（D ） A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（C ） A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二部分 非选择题（共72分）二、填空题15.11135692536= 6 .16.设A =111111--⎛⎝⎫⎭⎪，B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.则A +2B =337137--⎛⎝ ⎫⎭⎪17.设A =(a ij )3×3，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= –10 .19.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数.20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为n -r .21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=–5. 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为–2.23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为1.24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为z z z z 12223242++-.三、计算题25.设A=120340121-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B=22341--⎛⎝⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A|.解（1）AB T=120340121223410 -⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=1203401212 -=-.所以|4A|=64·（-2）=-12826.试计算行列式3112 5134 2011 1533------.解311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040 ---=---=+=.27.设矩阵A=423110123-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=(A-2E)-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值
正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值
正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值是一个数学问题，它与矩阵论和
线性代数息息相关。
在此，我将介绍正定矩阵和正定矩阵的乘积及其
特征值。
首先，我们来定义正定矩阵。
正定矩阵是指所有特征值都大于零的矩阵。
特征值是矩阵线性变换后的特殊数字，它描述了线性变换的特性
和性质。
正定矩阵在工程、科学和数学中有着广泛的应用，尤其在优
化问题和控制理论中经常被用到。
接下来，让我们来介绍正定矩阵的乘积。
两个正定矩阵的乘积也是一
个正定矩阵。
这个结论可以通过证明乘积矩阵的特征值大于零得出。
具体证明可以参考线性代数相关的教材或者学术论文。
最后，让我们来讨论正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值。
根据矩阵
特征值的性质，我们知道一个矩阵与它的伴随矩阵的特征值是相等的。
因此，正定矩阵的伴随矩阵依然是一个正定矩阵，它的特征值也是大
于零的。
正定矩阵的乘积矩阵的伴随矩阵等于它的因式矩阵的伴随矩
阵的乘积，因此，它的特征值也是大于零的。
综上所述，正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值是大于零的，这个结
论可以通过证明乘积矩阵的伴随矩阵的特征值大于零得出。
正定矩阵与正定矩阵的乘积在优化问题和控制理论中有着广泛的应用。
深入理解正定矩阵和正定矩阵的乘积的特征值，可以帮助我们更好地应用和理解它们在实际问题中的作用和优势。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍正定矩阵的定义、性质和判定方法，并且讨论一些应用领域。
1.正定矩阵的定义在矩阵理论中，一个n×n实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于任何非零向量x∈R^n，都有x^TAx>0，即x的转置乘以A再乘以x的结果大于零。
2.正定矩阵的性质（1）正定矩阵的所有特征值都大于零。
这是因为对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。
设v是A的特征向量，对应的特征值是λ，则有Av=λv，可以计算x^TAx=x^T(λv)=λx^Tv。
由于x和v都是非零向量，所以λ必须大于零。
（2）正定矩阵的特征值分解不存在负值。
根据性质（1），正定矩阵的特征值都大于零，因此没有负值。
（3）正定矩阵的行列式大于零。
由特征值的性质可以得到，一个正定矩阵的行列式是它的特征值的乘积，因此行列式大于零。
（4）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
设A是正定矩阵，对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。
我们可以将这个不等式两边同时乘以x^TA^-1，得到x^Tx=x^TAA^-1x，即A^-1是正定矩阵。
3.正定矩阵的判定方法（1）主元顺序准则：一个n×n矩阵A是正定矩阵，当且仅当A的所有n阶主子式均大于零。
主子式是从A的每一行和每一列中选择相同编号的元素，并且这些元素所构成的矩阵的行列式。
（2）Sylvester准则：一个n×n 实对称矩阵 A 是正定矩阵，当且仅当 A 的所有顺序主子式大于零。
顺序主子式是从 A 的前 k 行和前 k列中选择相同编号的元素，并且这些元素所构成的矩阵的行列式。
（3）特征值判定法：一个n×n实对称矩阵A是正定矩阵，当且仅当A的所有特征值都大于零。
4.正定矩阵的应用正定矩阵在数学和工程领域都有广泛的应用，如下所示：（1）最优化问题：正定矩阵是最有用的约束条件，用于定义凸优化问题的约束集合。
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d | Mn 1 |, 并且
令P
B0 01
, 则| P | 1
| B| 0, 并且 d
d
P THP P
TMn1 0
0 dP
B
0
0 T
B 0
1 Mn1 0
1
0 d 0
d
d
T
0
1
因此, A与n阶单位矩阵是合同的, 即A是正定矩阵. 证毕
例13 确定实数t的取值范围, 使得下列二次型是正定的:
T T
T
设 是A的特征值, 是A的属于特征值 的特征向量,
即A
. 于是
TA
T(A )
T( T )
((1) ).
T
T
. A 设 的特征值都大于零 (4) (1) , n 的正惯性指数为 T
矩阵. 证毕
推论 正定矩阵的行列式大于零. ▌
T
. X AX 即
定义 设A (aij)是n阶矩阵, A的子矩阵
f(x1,x2, ,xn) X T AX 是以x1,x2, ,xn为未知数, A为矩阵的实二次型.
必要性. 对任意的t {1,2, ,n}, 记Xt (x1,x2, ,xt) T.
因为A是正定矩阵, 所以 f(x1,x2, ,xn)是正定二次型.
因此,
f(x1,x2,
,xt,0, ,0) XtTMXt t
f(x1,x2,x3) x1 2 3x2 3x3 2 2tx1x2 2x1x3 4x2x3.
解 二次型 f 的矩阵为
1t 1 A t 3 2.
1 23
根据定理9, A为正定矩阵的充分必要条件是
1 a11 1 0,
1t 2 det
t3
3 t2 t (0, 3, 3)
1t 1 t3 2
10 2 10 2
3
3
因此, ,
10 2 10 2
, t
3
3
时 当
a11
A a(n 1)1 a
n1
a1(n 1)
a1n
a(n 1)(n 1)
an(n 1)
ann
Mn 1
a(n a 1)n nn .
T
根据归纳假设,Mn 1是正定的.根据定理8,存在(n 1)阶
T
根据条件,| Mn1 | 0,所以Mn 1是可逆的. 因此根据 定理2.7中的第3个等式, 我们得到
In1
是正定二次型.于是Mt 是正定矩阵. 根据定理8的推论, Mt的行列式 t 0. 充分性. 设A是n阶实对称矩阵, 并且A的n个顺序主子 式都大于零.
我们对A的阶数n用数学归纳法证明A是正定矩阵. 如果A的阶数n1, 则显然A是正定矩阵. 假设n 2, 并且当A的阶数为n 1时,结论成立.现在证明当A的阶 数为n时, 结论也成立. 将A按如下方法分块
0Mn1 In1 (Mn1)1
T(Mn1 )1 1 Tann 0
1
L Mn1
0
U
0
ann (M
T
n1)
Mn1 LA0 U
d0.
LAU H
H
因为L UT, 并且|U |1, 所以A与H是合同的.
因为 | A| | H | det Mn 1 0 0d
| A| 0, | Mn 1 | 0,所以d 0.
6.9 正定矩阵
定理8 设A是n阶实对称矩阵.下列论断彼此等价:
(1) A是正定矩阵;
(2) A与n阶单位矩阵In合同, 即A的正惯性指数为n;
(3)
,n T
(4) A的特征值都大于零.
B 存在
证明
T
所以X TAX的规范形为 y1 y22 2 yn 2. 因此A与单位矩 阵In是合同的. (2) (3) 设A与单位矩阵In合同. 根据矩阵合同的定义,
a11 a12
a1t
a a22
a2t
Mt
21
a t1
at2
att
的行列式 t | Mt | 称为A的第t个顺序主子式,
t 1,2, ,n.
定理9 n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件
是A的n个顺序主子式都大于零, 即
1
a11
0,
a11 a12
2
a21 a22
0, , n | A| 0.
证明 设A (aij)是n阶实对称矩阵,