线性代数__69 正定矩阵_
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f(x1,x2,x3) x1 2 3x2 3x3 2 2tx1x2 2x1x3 4x2x3.
解 二次型 f 的矩阵为
1t 1 A t 3 2.
1 23
根据定理9, A为正定矩阵的充分必要条件是
1 a11 1 0,
1t 2 det
t3
3 t2 t (0, 3, 3)
1t 1 t3 2
10 2 10 2
是正定二次型.于是Mt 是正定矩阵. 根据定理8的推论, Mt的行列式 t 0. 充分性. 设A是n阶实对称矩阵, 并且A的n个顺序主子 式都大于零.
我们对A的阶数n用数学归纳法证明A是正定矩阵. 如果A的阶数n1, 则显然A是正定矩阵. 假设n 2, 并且当A的阶数为n 1时,结论成立.现在证明当A的阶 数为n时, 结论也成立. 将A按如下方法分块
a11
A a(n 1)1 a
n1
a1(n 1)
a1n
a(n 1)(n 1)
an(n 1)
ann
Mn 1
a(n a 1)n nn .
T
根据归纳假设,Mn 1是正定的.根据定理8,存在(n 1)阶
T
根据条件,| Mn1 | 0,所以Mn 1是可逆的. 因此根据 定理2.7中的第3个等式, 我们得到
In1
6.9 正定矩阵
定理8 设A是n阶实对称矩阵.下列论断彼此等价:
(1) A是正定矩阵;
(2) A与n阶单位矩阵In合同, 即A的正惯性指数为n;
(3)
,n T
(4) A的特征值都大于零.
B 存在
证明
T
所以X TAX的规范形为 y1 y22 2 yn 2. 因此A与单位矩 阵In是合同的. (2) (3) 设A与单位矩阵In合同. 根据矩阵合同的定义,
d | Mn 1 |, 并且
令P
B0 01
, 则| P | 1
| B| 0, 并且 d
d
P THP P
TMn1 0
0 dP
B
0
0 T
B 0
1 Mn1 0
1
0 d 0
d
d
T
0
1
因此, A与n阶单位矩阵是合同的, 即A是正定矩阵. 证毕
例13 确定实数t的取值范围, 使得下列二次型是正定的:
a11 a12
a1t
a a22
a2t
Mt
21
a t1
at2
att
的行列式 t | Mt | 称为A的第t个顺序主子式,
t 1,2, ,n.
定理9 n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件
是A的n个顺序主子式都大于零, 即
1
a11
0,
a11 a12
2
a21 a22
0, , n | A| 0.
证明 设A (aij)是n阶实对称矩阵,
0Mn1 In1 (Mn1)1
T(Mn1 )1 1 Tann 0
1
L Mn1
0
U
0
ann (M
T
n1)
Mn1 LA0 U
d0.
LAU H
H
因为L UT, 并且|U |1, 所以A与H是合同的.
因为 | A| | H | det Mn 1 0 0d
| A| 0, | Mn 1 | 0,所以d 0.
3
3
因此, ,
10 2 10 2
, t
3
3
时 当
T T
T
设 是A的特征值, 是A的属于特征值 的特征向量,
即A
. 于是
TA
T(A )
T( T )
((1) ).
T
T
. A 设 的特征值都大于零 (4) (1) , n 的正惯性指数为 T
矩阵. 证毕
推论 正定矩阵的行列式大于零. ▌
T
. X AX 即
定义 设A (aij)是n阶矩阵, A的子矩阵
f(x1,x2, ,xn) X T AX 是以x1,x2, ,xn为未知数, A为矩阵的实二次型.
必要性. 对任意的t {1,2, ,n}, 记Xt (x1,x2, ,xt) T.
因为A是正定矩阵, 所以 f(x1,xwk.baidu.com, ,xn)是正定二次型.
因此,
f(x1,x2,
,xt,0, ,0) XtTMXt t
解 二次型 f 的矩阵为
1t 1 A t 3 2.
1 23
根据定理9, A为正定矩阵的充分必要条件是
1 a11 1 0,
1t 2 det
t3
3 t2 t (0, 3, 3)
1t 1 t3 2
10 2 10 2
是正定二次型.于是Mt 是正定矩阵. 根据定理8的推论, Mt的行列式 t 0. 充分性. 设A是n阶实对称矩阵, 并且A的n个顺序主子 式都大于零.
我们对A的阶数n用数学归纳法证明A是正定矩阵. 如果A的阶数n1, 则显然A是正定矩阵. 假设n 2, 并且当A的阶数为n 1时,结论成立.现在证明当A的阶 数为n时, 结论也成立. 将A按如下方法分块
a11
A a(n 1)1 a
n1
a1(n 1)
a1n
a(n 1)(n 1)
an(n 1)
ann
Mn 1
a(n a 1)n nn .
T
根据归纳假设,Mn 1是正定的.根据定理8,存在(n 1)阶
T
根据条件,| Mn1 | 0,所以Mn 1是可逆的. 因此根据 定理2.7中的第3个等式, 我们得到
In1
6.9 正定矩阵
定理8 设A是n阶实对称矩阵.下列论断彼此等价:
(1) A是正定矩阵;
(2) A与n阶单位矩阵In合同, 即A的正惯性指数为n;
(3)
,n T
(4) A的特征值都大于零.
B 存在
证明
T
所以X TAX的规范形为 y1 y22 2 yn 2. 因此A与单位矩 阵In是合同的. (2) (3) 设A与单位矩阵In合同. 根据矩阵合同的定义,
d | Mn 1 |, 并且
令P
B0 01
, 则| P | 1
| B| 0, 并且 d
d
P THP P
TMn1 0
0 dP
B
0
0 T
B 0
1 Mn1 0
1
0 d 0
d
d
T
0
1
因此, A与n阶单位矩阵是合同的, 即A是正定矩阵. 证毕
例13 确定实数t的取值范围, 使得下列二次型是正定的:
a11 a12
a1t
a a22
a2t
Mt
21
a t1
at2
att
的行列式 t | Mt | 称为A的第t个顺序主子式,
t 1,2, ,n.
定理9 n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件
是A的n个顺序主子式都大于零, 即
1
a11
0,
a11 a12
2
a21 a22
0, , n | A| 0.
证明 设A (aij)是n阶实对称矩阵,
0Mn1 In1 (Mn1)1
T(Mn1 )1 1 Tann 0
1
L Mn1
0
U
0
ann (M
T
n1)
Mn1 LA0 U
d0.
LAU H
H
因为L UT, 并且|U |1, 所以A与H是合同的.
因为 | A| | H | det Mn 1 0 0d
| A| 0, | Mn 1 | 0,所以d 0.
3
3
因此, ,
10 2 10 2
, t
3
3
时 当
T T
T
设 是A的特征值, 是A的属于特征值 的特征向量,
即A
. 于是
TA
T(A )
T( T )
((1) ).
T
T
. A 设 的特征值都大于零 (4) (1) , n 的正惯性指数为 T
矩阵. 证毕
推论 正定矩阵的行列式大于零. ▌
T
. X AX 即
定义 设A (aij)是n阶矩阵, A的子矩阵
f(x1,x2, ,xn) X T AX 是以x1,x2, ,xn为未知数, A为矩阵的实二次型.
必要性. 对任意的t {1,2, ,n}, 记Xt (x1,x2, ,xt) T.
因为A是正定矩阵, 所以 f(x1,xwk.baidu.com, ,xn)是正定二次型.
因此,
f(x1,x2,
,xt,0, ,0) XtTMXt t