函数的幂级数的求法
幂级数的运算
Calculus Ⅱ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念 §10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数的运算
一 四则运算
设幂级数 an xn , bn xn 收敛半径分别为 R1, R2
n0 n!
例
求幂级数 ( n 1 ) x n 的和函数。
n1
解:
设 s(x) (n 1)xn , | x | 1
n1
两边积分得
x
s(x)dx
x
(n 1)xndx
xn1
x2
0
n1 0
n1
1 x
两边求导得
s(x)
x2
1 x
n1 (n 1)! n0 n!
即
s(x) s(x), s(x) 1
s(x)
积分得
x s(x) dx
x
dx
0 s(x)
0
ln s(x) ln s(0) x
因为
s(0) 1,
所以 因此得
s(x) ex
x n e x , x ( , )
n0
n0
记 r min{R1, R2 }, 则当 x (r, r )时，有
1) an xn bn xn (an bn )xn
n0
n0
n0
2) an xn bn xn cn xn
n0
n0
n0
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
幂级数和函数的计算方法
幂级数和函数的计算方法幂级数是一种重要的数学概念，它可以被表示为各项式系数和幂次的乘积，而幂级数函数则表示为各项式系数和自变量幂次的乘积。
计算幂级数和幂级数函数的方法可以分为以下几类。
一、按公式计算法若给出幂级数或幂级数函数的通项公式，则可以通过代入相关值计算出对应的函数值。
例如，当我们给出幂级数$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ 前 $n$ 项和 $x$ 的值时，用公式可以直接计算 $e^x$ 的近似值。
二、按递推关系计算法递推公式是指通过前项计算后项的公式，例如$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ 就是斐波那契数列的递推公式。
在计算幂级数和幂级数函数时，有些级数和函数也可以通过递推关系求解。
例如，许多常见的初等函数如正弦、余弦和指数函数都可以通过递推公式计算。
三、按微积分计算法微积分方法是计算幂级数和幂级数函数的常见方法之一。
该方法适用于通过对幂级数进行求导和积分来求解幂级数函数。
例如，通过对幂级数 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 求导，可以得到它的导函数$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n x^{n-1}$。
四、按解析方法计算法解析方法是求解幂级数和幂级数函数的一种重要方法。
它通过将幂级数或幂级数函数展开为复数函数的形式，然后利用复函数的各种解析方法来求解幂级数或幂级数函数。
广义柯西公式是解析方法中的一个重要概念，它描述了对于一个幂级数，我们可以通过沿着一个简单闭曲线的路径来计算它的积分。
五、按迭代方法计算法迭代方法在计算幂级数和幂级数函数时也是一种可行的方法。
该方法通过逐步改变幂级数的项数来得到逼近幂级数函数的近似值。
在应用迭代方法时，应注重要选择合适的迭代策略，并采用精度控制方法，以使接近幂级数函数的误差控制在一定范围内。
以上是常见的计算幂级数和幂级数函数的方法，每种方法均有其适用范围和优势。
第十四章 幂级数
∞
∞
（14.2）
∫
x
0
f (t )dt = ∫
x ∞
0
∑ ant n dt = ∑
n =0
an n +1 x 。 n=0 n + 1
∞
（14.3）
证明： ∀x ∈ (− R, R ) ，取实数 r ，使 x < r < R ，由于式（14.1） ， （14.2） ， （14.3）右 边的幂级数都以 ( − R, R ) 为收敛区间，故都在 [ − r , r ] 一致收敛，据函数级数逐项求导和逐项 积分定理立证式（14.2） ， （14.3）成立。 推论 设幂级数
∑ax
1
收敛， 当 ρ x > 1 时，
∑ax
n
n
发散，
∑ax
n
n
的收敛半径是
ρ
，从而幂级数
∑a x
n
n
的收敛半径是
1
ρ
。
注 3.若幂级数的奇项或偶项系数全为 0，即形如
∑ a2 n x 2 n ，或 ∑ a2n−1 x 2 n−1 ，
n=0 n =1
∞
∞
那么收敛半径 R 的确定，应该象定理 14.2 那样用正项级数的根式判别法和比式判别法来判 定；也可用下面的方法求 ρ ：
评注：由于和函数在收敛域连续.故 S ( ±1) 的值可利用 lim S ( x ) 求出。
x →±1
补例 2（P24 题 5（1） ）求乘积级数
(∑ nx n −1 )[∑ ( −1) n −1 ⋅ nx n −1 ] 。
n =1 n =1
∞
∞
解：
∑ nx n−1 = (∑ ∫ nt n−1dt ) '
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
第四节 函数展开成幂级数
二、函数展开成幂级数
( 1 ) 将 f ( x ) 展开成 ( x x 0 ) 的幂级数 , 即
f (x)
n0
an ( x x0 )
n
f
(n)
( x0 )
n0
n!
( x x0 ) .
n
在点 x 0 的泰勒级数
( 2 ) 将 f ( x ) 展开成 x 的幂级数 , 即
n2
f
( n)
( x ) n ! an ( n 1) ! an1 ( x x0 ) ;
令 x x0 a n
1 n!
f
( n)
( x0 )
∵ 系数是唯一的, ∴ f (x)的展开式是唯一的.
定义:
则称 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
例1. 将 f ( x ) e x 展开成 x 的幂级数. 解:
f
(n)
(x) e ,
x
f
(n)
(0) 1
( n 0 ,1 , 2 , ) ,
写出级数: 1 + x
lim
a n1 an
1 2!
x
2
0,
1 n!
x
n
，
n
lim
1 n1
( n 0, 1, 2, ),
泰勒系数
且展开式是唯一的 .
证明: f ( x ) 在 U ( x 0 ) 内能展开成 ( x x 0 ) 的幂级数
即 f ( x ) a 0 a1 ( x x 0 ) a n ( x x 0 )n
( x U ( x 0 ))
幂级数
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
n!
( x x0 ) lim S n1 ( x )
n n
x ( x0 ) x ( x0 )
n
S n1 ( x) f ( x) Rn ( x) lim S n1 ( x) f ( x)
S ( x) C e
x x
e
x
S ( x) 0
由S (0) 1 得 S ( x) e ,
故得
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n n 1 n 1
x x 1 x
f (0) f (0) x
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
内具有 定理1 设 f (x) 在 x0 的某一邻域 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
e
3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
注:据此定理
的收敛半径为 R lim
an an 1
n
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim
an an 1
n
lim
n
n 1 n 1
函数展开为幂级数的公式
函数展开为幂级数的公式
函数展开成幂级数公式为：1/(1-x)=∑x^n(-1），幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)
每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n 是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如sin2x的展开式就可以通过将sinx的展开式里的x全部换成2x 而得到。
3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将1/(1+x)展开成x−1的幂级数，我们就可以将函数写成x −1 的函数，然后利用1/(1+x)的幂级数展开式。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx的展开式逐项求导得到。
需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。
确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
5，利用级数的四则运算
例如sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x和e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
幂级数的运算
( −1 < x ≤ 1)
1 n −1 例 3：求 ∑ n x 的收敛域，并求其和函 数。 1 n2 1 1 解： R = lim = lim =2 n→ ∞ n→ ∞ n a 1 n n n n2 ∞ ( −1)n −1 ∞ 1 x = −2, ∑ 收敛， x = 2, ∑ 发散， 2n 1 1 2n
n ′ 即 s ( x ) = ( ∑ a n x )′ n= 0 ∞
= ∑ (a n x n )′ = ∑ nan x n−1 .
n= 0
n =1
∞
∞
(收敛半径不变)
例 2 求级数
n −1 ( − 1 ) ∑ n =1
∞
∞
xn 的和函数. n
xn , 显然 s(0) = 0, n
n −1 Q s ( x ) = ( − 1 ) 解 ∑ n =1
( ∑ a n x n ) ⋅ ( ∑ bn x n )= ∑ cn x n . x ∈ (− R, R )
n= 0 n= 0
n= 0
∞
∞
∞
(其中 cn = a0 ⋅ bn + a1 ⋅ bn−1 + L + an ⋅ b0 )
柯 西 乘 积
1 a0 b0 a1b0 a 2 b0 a 3 b0
L
x a0 b1 a1b1
1 ]x n n+1
2 + x 1 − x2 = + ln(1 − x ) ( x < 1, x ≠ 0) 4 2x ∞ 1 1 5 3 = s( ) = − ln 2. ∑ 2 n 2 8 4 2 ( n − 1)2
x 1 = [− ln(1 − x )] − [− ln(1 − x ) − x − x 2 ] 2 2x
第三讲_幂级数
§8.3 幂级数一、幂级数的概念1.定义 定义1 形如n n n nn x a x a x a x a a ∑∞==++++02210的级数，称为关于x 的幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数． 形如+-+-+-+n n x x a x x a x x a a )()()(0202010的级数，称为关于0x x -的幂级数．将0x x -换成x ，这个级数就变为n n nx a∑∞=0．下面将主要研究形如nn nx a∑∞=0的幂级数． 2. 收敛域 幂级数n n nx a∑∞=0当x 取某个数值0x 后，就变成一个相应的常数项级数，可利用常数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛．若n n nx a∑∞=0在点0x 处收敛，称0x 为它的一个收敛点；若nn nx a∑∞=0在点0x 处发散，称0x 为它的一个发散点；n n n x a ∑∞=0的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的集合称为它的发散域．例1 判断幂级数 +++++nx x x 21的敛散性．解 由第一节例3可知，当1<x 时，该级数收敛于和x-11，当1≥x 时，该级数发散．因此，其收敛域是开区间)1,1(-，发散域是(]1,-∞-及[)+∞,1．二、幂级数的收敛性定理1 （阿贝尔定理）若幂级数nn nx a∑∞=0当)0(00≠=x x x 时收敛，则对 0x x <的x ，幂级数nn nx a∑∞=0绝对收敛．反之，若幂级数n n n x a ∑∞=0当)0(00≠=x x x 时发散，则对一切适合不等式0x x >的x ，幂级数nn n x a ∑∞=0都发散． 证 若n n nx a∑∞=0在0x x =处收敛，则0lim 0=+∞→nn n x a ，于是，nn x a 0是有界变量．故存在0>M ，使对一切的n 都有M x a nn ≤≤00成立．从而有nnnn n n n n n n x xM x x x a x x x a x a 00000≤⋅=⋅=，当0x x <时，10<x x ．故等比级数nn x x ∑∞=00收敛．由正项级数的比较判别法知，级数∑∞=0n nnx a 收敛；即级数nn n x a ∑∞=0绝对收敛． 用反证法证明后半部分结论．若存在点x ，使得0x x >时，n n nx a∑∞=0收敛．由前半部分证明的结论知，n n nx a∑∞=0绝对收敛；这与已知矛盾．故对一切适合0x x >的x ，幂级数n n nx a∑∞=0发散．推论 若幂级数n n nx a∑∞=0不是仅在0=x 处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当R x <时，幂级数绝对收敛； 当R x >时，幂级数发散；当R x =与R x -=时，幂级数可能收敛也可能发散．R 称为幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径．再由R x ±=处的收敛性，便可确定该幂级数的收敛区间．若只在0=x 处收敛，我们规定它的收敛半径0=R ；若对任何实数x ，幂级数n n nx a∑∞=0皆收敛，则规定其收敛半径+∞=R ，这时收敛区间是),(+∞-∞．关于幂级数的收敛半径有如下定理．定理2 设幂级数n n n x a ∑∞=0，若 ρ=++∞→nn n a a 1lim；则幂级数的收敛半径为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=ρρρρ,00,0,1R ． 例1 试求下列幂级数的收敛区间：（1） +++++n nx x x 24212； （2） +-+-+-+-nn nxx x x x )1(432432；（3）nx n n n∑∞=-1)1(；（4）∑∞=⋅-12)1(n nnn x ． 解 （1）因为 212121lim 1==++∞→nn n ρ，所以收敛半径2=R ．当2-=x 时，+-+-=-∑∞=11112)2(0n nn 发散；当2=x 时，∑∑∞=∞==01122n n n n发散；因此，其收敛区间是)2,2(-．（2）因为11lim 1)1(11)1(lim lim11=+=-+-==+∞→++∞→++∞→n n nn a a n nn n nn n ρ．所以收敛半径1=R ．当1-=x 时，∑∑∞=∞==-1121)1(n n n nn 发散；当1=x 时，由莱布尼兹判别法知，条件收敛；因此其收敛区间为(]1,1-．（3）因为11lim 111lim lim1=+=+==+∞→+∞→++∞→n n nn a a n n nn n ρ，所以收敛半径1=R ．当1-=x 时，∑∑∞=∞==-1121)1(n n nnn)1(<p 发散；当1=x 时，∑∞=-1)1(n nn条件收敛，因而其收敛区间为(]1,1-．（4）因为,211lim 21212)1(1lim lim11=+=⋅⋅+==+∞→++∞→++∞→n n nn n a a n n n nn n ρ所以收敛半径2=R ．当21-=-x 时，∑∞=-1)1(n n n 收敛；当21=-x ，∑∞=11n n 发散，因此收敛区间为[)3,1-． 三、幂级数的运算设有两个幂级数+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100与+++++=∑∞=n n nn n x b x b x b b xb 22100分别在区间),(11R R -及),(22R R -内收敛，且其和函数为)(1x s 与),(2x s 设{}21,min R R R =，则在),(R R -内有如下运算法则：1．加法)()()(210x s x s x b a x b x an n n n nn n nn n±=±=±∑∑∑∞=∞=∞=．2．数乘幂级数 设n n nx a∑∞=0在区间),(R R -内收敛于s ，则对非零常数k ，有)()(0x ks x ka x a k n n n nn n ==∑∑∞=∞=．3．乘法运算)()(10100++++⋅++++=⋅∑∑∞=∞=n n n n n n n nn nx b x b b x a x a a x b x a++++++++=-∞=∑n k n k k x b a x b a b a b a x b a b a b a )()()(02021*********)()(21x s x s ⋅=在),(R R -内收敛，且和函数为 )()(21x s x s ⋅．4．逐项微分 设)(0x s x an n n=∑∞=，收敛半径为R ，则对一切),(R R x -∈，都有10)()(-∞=∞=∑∑='='n n n nn n x na x a x s ．5．逐项积分 设)(0x s x an n n=∑∞=，收敛半径为R ，则对一切),(R R x -∈，都有100001)()(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n nn xn xnn n x x n a dx x a dx x a x s ．性质4、5表明：收敛的幂级数逐项求导或逐项积分得到的新幂级数，其收敛半径不变．例2 求)232(0∑∞=-+n n nn x x 的收敛区间． 解 因为313232lim 321321lim lim111=++=++=++∞→++∞→++∞→n n n nn n nn n a a ．所以，幂级数∑∞=+032n n n x 的收敛半径 31=R ；类似地，可求得幂级数∑∞=02n nx 的收敛半径为12=R ． 又∑∑∞=∞==00212n n n n x x 在1±=x 处都发散，因此)232(0∑∞=-+n nnn x x 的收敛区间为)1,1(-． 例3 求幂级数∑∞=++012n n n x 在区间 )1,1(-内的和函数．解 设和函数为)(x s ，则 ∑∞=++=012)(n n n x x s ，显然0)0(=s ．于是∑∞=++=022)(n n n x x xs 逐项求导,得 .10,1])([01<<-==='∑∑∞=∞=+x xxx x xx xs n n n n 对上式从0到x 积分,得 x x dt t tx xs x---=-=⎰)1ln(1)(0，于是,有 1)1ln()(---=xx x s ， 从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<---=.0,0,10,1)1ln(1)(x x x xx s小结1.函数项级数的收敛域、和函数的概念;2.幂级数的收敛半径、收敛区间求法;3.幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,及和函数的求法。
幂级数的运算
x
=
2
1 −
x
∫0x[ xs(
x)]′dx
=
∫0x
2
1 −
dx x
2
xs( x) = [− ln(2 − x)]0x = ln 2 − ln(2 − x)
∞
∑
1
1 n2n
x n−1
=
1 2
+
2
x ⋅ 22
+
L
x = 0时，s( x) = 1 . 2
s(
x)
=
−1 x 1
ln(1
−
x ), 2
=
x
∞
∑
2
x n
n−1
−1
=
xg( x)
g′(
x)
=
∞
∑
x n−2
2
=
1
1 −
x
( x < 1)
g(
x)
−
g(0)
=
∫0x
1
1 −
dx x
=
−
ln(1
−
x)
g( x) = − ln(1 − x)
h( x)
=
∞
∑
2
xn n+1
=
1 x
∞
∑
2
x n
n+1
+1
g(
x)
=
∞
∑
2
x n−1 n−1
=
− ln(1
4 2x
∞
∑
2
(
n2
1 − 1)2n
=
s(1) 2
=
5 8
−
浅谈求幂级数的和函数的方法
浅谈求幂级数的和函数的方法以《浅谈求幂级数的和函数的方法》为标题，写一篇3000字的中文文章一、什么是幂级数幂级数（power series）是一类函数序列，它表示由多个单项式组成的函数，可以有效地表示很多常见的数学函数，如正弦函数、余弦函数、指数函数和对数函数等。
公式：$f(x)=sum_{n=0}^infty a_n x^n$其中，$a_n$是幂级数的系数，$n$是整数，并且$x$是一个变量，表示函数值的自变量。
二、什么是求幂级数的和函数求幂级数的和函数（power series summation function）是一种求幂级数的和的函数，它的定义如下：$F(x)=sum_{n=0}^N a_n x^n$其中，$a_n$是幂级数的系数，$N$是一个正整数，表示求和的最大项数，$x$是一个变量，表示函数值的自变量。
这里的$N$是一个有限的正整数，它有助于确定求和函数的形式。
三、求幂级数的和函数的方法（1）泰勒展开法泰勒展开法是求幂级数的和函数的基本方法，它是根据泰勒展开式指数函数的多项式展开来求解幂级数和函数的一种方法，它可以有效地求解某些简单的幂级数和函数。
它的基本公式为：$F(x)=sum_{n=0}^N a_n x^n = sum_{n=0}^N frac{f^{(n)}(x)}{n!} x^n$其中，$f^{(n)}$表示函数$f$的$n$阶导数。
（2）几何级数和函数的求和方法几何级数函数是求幂级数和函数的重要方法，它是根据几何级数求和公式求解幂级数和函数的一种方法，它可以有效地求解某些复杂的幂级数和函数，并且可以计算出任意项数的求和结果。
它的基本公式为：$F(x)=sum_{n=0}^N a_n x^n = frac{a_0}{1-x} + sum_{n=1}^N frac{(a_n-a_{n-1}) x^n}{1-x}$其中，$a_n$是任意项的系数，$x$是函数的自变量，$N$是求和的最大项数，$a_0$是求和的最小项的系数。
幂级数
∑
∞
n=0
1 22n = n4n
∑
∞
n =1
1 n
级数发散，故原级数的收敛区间为(-2, 2)。
1 n 4. ∑ x n =0 n !
∞
an +1 1 1 1 = lim = 0, lim / = lim n →∞ a n →∞ ( n + 1)! n ! n →∞ n + 1 n
∑
∞
n=0
a n x n ,由正项级数的比值法，
= a n +1 an x
a n +1 x n +1 an x
n
并设极限
a n +1 lim = ρ n→ ∞ an
有意义，则 (1)若ρπ0且ρπ∞，则由比值判别法，当ρ|x|<1时，级数 绝对收敛；当ρ|x|>1时，级数发散。即收敛半径为
R=
1
ρ
∞ ∞ ∞ ∞ n n n
n=0
比较系数，得关系
a0 = b0c0 , a1 = b1c0 + b0c1 , a2 = b2c0 + b1c1 + b0c2 ,
从中解出ci。
an xn 的收敛半径为R，则其和函数 连续性 设幂级数 ∑
n =0
∞
s(x)在区间(-R, R)内连续；若幂级数在端点收敛，则和 函数在端点连续。 可积性 设幂级数 ∑ an x 的收敛半径为R，则其和函数
例5 求幂级数 解
nxn 的和函数。 ∑
n=1
∞
显然该幂级数的收敛半径R=1，收敛区间(-1, 1)。
当|x|<1时，令
s ( x) = ∑ nx n ,
第十一章 第3节 幂级数
∑x
n =0
∞
2n
1 = 1− x2
21
例7. 求级数
∑nx
n=1
∞
n
的和函数 S(x) .
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 故当 x ∈(−1 , 1) 时
S(x) = ∑n x
n=1 =1 ∞
∞
n= x
n=1 =1
n xn−1 ∑
∞
∞
= x ∑(xn )′= x( ∑xn )′
(x ≠ 0) ,当 x = 1 时 收敛 ,
但当 0 < x ≠ 1时 , lim un (x) = ∞ , 级数发散 ;
n→∞
所以级数的收敛域仅为 x = 1
4
二. 幂级数及其收敛性质 形如
∑a (x − x )
n=0 n 0
∞
n
= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) +L+ an (x − x0 ) +L
[ 2(n +1) ] ! 2(n+1) x 2 [ (n +1) ! ] [ 2 n ] ! 2n x 2 [n [ n! ]
16
(−1)n 1 n ( ) 的收敛域. 例 6 求 数∑ 级 n 1+ x n=1 由达朗贝尔判别法 解
∞
un+1 ( x ) n 1 1 + = ⋅ (n → ∞) → un ( x ) n + 1 1 + x 1+ x
1 (1) 当 < 1, ⇒ 1 + x > 1, 1+ x
即 x > 0或x < −2时,
6.4 函数的幂级数展开
1 3 1 5 x n 1 sinx x x x (1) 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
用直接法还可得到,对任意实数
a
2 n 1
a,有
a(a 1) 2 a(a 1)(a 2) 3 (1 x ) 1 ax x x 2! 3! a(a 1)(a n 1) n x n! ( 1 x 1)
例题6-23
将函数 f ( x ) cos x 展开为x的幂级数.
x ) cosx , 解 因为(sin
2 n 1 1 3 1 5 x sinx x x x (1)n1 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
而
所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
中的余项 rn ( x) 0(n ) 时,函数f(x)能
够在x0点的邻域内展开为 ( x x0 ) 的幂级数
式(6.8),即有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) n ( x x0 ) (6.9) n!
在x 1点处展开式是否成立,要视 a值而定，
1 1 对应于 a 1, a , a , 有 2 2 1 1 x x 2 x 3 ( 1 x 1) 1 x 1 1 2 1 3 3 1 3 5 4 1 x 1 x x x x 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( 1 x 1)
例 6-21 试将函数 f(x) = ex 展开成 x
的幂级数.
( n) x 由 f ( x ) e (n 1 , 2 , 3 ,) , 可以 解
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
幂级数
当x0 0时,
2.收敛性
n a x n , 其中a n 为幂级数系数. n 0
（公比为x的几何级数） n 2 例如级数 x 1 x x ,
n 0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散; 收敛域( 1,1); 发散域( ,1] [1, ).
n
n
解 s( x ) ( 1)
an 1 则 lim x x ( 0) n a n
an 1 lim x x ( 0) n a n
（1）由比值审敛法, 当 x 1时,即 | x |
n 0
1
n n | an x | 收敛, 从而级数 an x 绝对收敛.
时,
n 1
n 1
x 的收敛域为( 1， 1]。 n
n
17
x 例3 求幂级数 n 的收敛区间. n 1 2 3 5 缺少偶次幂的项 x x x 解 级数为 2 3 不可直接用公式 2 2 2
2 n 1
由比值审敛法， 2 n1 x n 1 un1 ( x ) 1 2 2 lim lim 2 n1 x , n x n u ( x ) 2 n n 2 1 2 当 x 1, 即 x 2时, 级数收敛， 2 1 2 当 x 1, 即 x 2时, 级数发散, 2 故收敛区间( 2, 2 ).
n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0
n n
n
n
n
x n 等比级数 M 收敛, an x 收敛, x0 n 0 n 0
即当 x x0 时， an x 绝对收敛;
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现在我开始回答你的问题：
首先先肯定的说我们在中学遇到的数列就两种1、等差数列2、等比数列这个你是知道的。
当时解决N项数列和的公式你一定是记得的！
1、等差数列
Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d
转换过程：
Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1 )d]/2
2、等比数列
Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
(n为比值，a为项数）
你知道这两个就证明幂级数你学是一点问题都没有了（高数上你高懂的情况下）
那现在问题是你不知道为什么要逐项求导和逐项积分了！
听好了，以前初等数学就是用一些初等变换去对式子变形——比如把原式变成两个等比或者等差数列，然后用等比等差数列求和公式求出原式的N项和。
现在高等数学就不好搞了，就不能用一些初等变换（比如分母有理化，比如分子加一减一等等）的方式去分成几项有规律的数列了，那么，我们现在怎么办？要回到高中我们就只有求神了。
但是，当我
们现在学了高等数学后，我们就可以通过求导或者积分的方式把他变成我们所了解的等比和等差数列了，那多爽，是吧！通过求导就回到高中！
不要去想什么逐项求导和逐项积分乱七八糟的，其实就是对通项求导或者积分。
先说求导：目的就是把我们不论用初等数学怎么变化都不能变成等比数列的式子变成等比数列！
注意观察：例如：S（X）=∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1} 这个式子你用高中的方法去分成几项等比数列嘛，你一定会很悲剧的。
通过观察：求一次导x^(n-1)的导数不就是（n-1）[x^(n-2)],分子的n-1不是可以和分母的n-1约掉啊！（注意了哈：逐项求导说的十分猥琐，其实就是对∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1} 求导）求导你要这样想n是常数，X是变量，对X求导（其实N就是常数，我怕你搞错了，我现在没有办法知道你的基础，所以当高中生在教）。
求导以后的数列变成∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-2)]，求了导之后你展开：把N=2带进去等于1 把N等于3带进去等于（-X）把N等于4带进去等于（X^2）把5带进去等于（-x^3）.......发现没有，求导之后的通项居然是个q=(-x) a1=1 的等比数列！那我们的目的达到了！这个等比数列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 得：
1/(1+x) |x|<1才收敛哈！不然考试不写|x|<1要扣粉的哈！求导之后的通项的和我们求到了1/(1+x) |x|<1 那是不是我们要积分一次才
是原来的题目啊！求导和积分是逆运算的嘛！S（X）=S（0）+ 1/(1+T)求积分（从0到X）=ln(1+x) |x|<1
其实求导的目的就是把式子变成我们可以处理的等比数列，再求和，最后把和积分回来就对了，说的这样深邃！
再说为什么要积分：目的还是把式子变成我们可以处理的等比数列！什么逐项积分！说的太猥琐了，其实就是对通项积分，把式子能展开成等比数列就对了！NND不说猥琐点难道就体现不出编教材的人的水平吗？
看着啊，我现在就按照同济教材的立体为例子：给你玩一下：∑（1~无穷) n(x^n-1)
解：S（x)=∑（1~无穷) n(x^n-1) 的和函数
仔细观察：(x^n-1)积分是不是分母出现了n ,正好和分子的n越掉。
直接对)∑（1~无穷) n(x^n-1) 积分哈~~~不要考虑什么逐项积分，从此你就当没有听过逐项积分这种说法。
积分后就变成∑（x^n），原式是没有办法处理的，但是有了这个式子之后，展开把N=（1、2、3、4。
）带入就发现是个很标准的q=x的等比数列了。
这个等比数列求和为：x/(1-x)。
x/(1-x)是积分后的和哈，那要求原来的和简单嘛，求一次导就对了：1/[1-x)^2]
总结：原式我不能处理怎么办，求导或者积分后变成等比数列，我求和，求完了积分或者求导回去就对了！
注意：不光是处理成等比数列！那是在高中！现在给你增加几个数列！说白了，你只要通过求导或者积分后变成这些数列都是可以求和的，记得再变回去！
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
求导或者积分后你要展开观察是什么数列，只要是等号右边的东西，你就直接得到他的和是等号左边了，再记得变回去！
什么逐项求导和逐项积分，太恶心了！以后等你搞傅里级数的时候还有一些书上写的多深邃，其实简单的初中生都能搞的明白的东西。
书上写的巨恶心，其实就是三角变换一次，一次不行就两次。
lim(n->无穷) [a1(1-q^n)/(1-q) =lim(n->无穷) {[a1/(1-q)]-a1(q^n)/(1-q)} 因为当|q|<1时lim(n->无穷)(q^n)=0 所以lim(n->无穷)
[a1(1-q^n)/(1-q)=a1/(1-q)。