2021届全国新高考数学专题复习解析几何

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2021年高考数学(理)解析几何突专题10圆锥曲线综合应用(2)-最值、范围、证明问题(解析版)

2021年高考数学（理）解析几何突破性讲练10圆锥曲线综合问题（2）-最值、范围、证明问题一、考点传真：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．二、知识点梳理：1.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.3.圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明. 三、例题：例1.（2020年江苏卷，18）在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F 的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB 的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求M 的坐标.【解析】（1）设椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F 的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为-4.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),1,2F F A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线:343AB x y -+. 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120143x x x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2724320x x ++=，此方程无解；由223460143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线3460l x y --=：，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212,77⎛⎫--⎪⎝⎭.例2.（2020年上海卷，20）双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩.（1）若A x =b ；（2）若b =2C 与x 轴交点记为12F F 、,P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求∠12F PF ；（3）过点2(0,2)2b S +且斜率为2b-的直线l 交曲线Γ于.M N 两点，用b 的代数式表示OM ON ⋅，并求出OM ON ⋅的取值范围.【解析】（1）若A x =A 为曲线1C 与曲线2C 的交点， 222222144A A x y bx y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得2y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 2b =（2）方法一：由题意易得12F F 、为曲线的两焦点，由双曲线定义知：212PF PF a =-，18,24PF a ==，24PF ∴=又5b =，126F F ∴=在12PF F △中由余弦定理可得：2221212121211cos 216PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅⋅ 方法二：5b =，可得2222145(3)64x y x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得P ，12(7,15),(1,PF PF ∴=--=-，12121211cos(,)16||PF PF PF PF PF PF ⋅∴==⋅ （3）设直线24:22b b l y x +=-+可得原点O 到直线l 的距离d ==所以直线l 是圆的切线，切点为M ，所以2OM k b =，并设2:OM l y x b =，与圆2224x y b +=+联立可得222244x x b b+=+，所以得,2x b y ==，即(,2)M b ，注意到直线l 与双曲线得斜率为负得渐近线平行，所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由222222144Ax y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，得422A b y a b =+，所以有4244b b<+，解得22b >+22b <-（舍）又因为OMON ⋅由ON OM 在上的投影可知：24OM ON b ⋅=+ 所以246OM ON b ⋅=+>+(625,)OM ON ⋅∈++∞.例3. （2019浙江卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记的面积为.（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G 的坐标. 【解析】（I ）由题意得，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（Ⅱ）设，重心.令，则.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G 在x 轴上，故，得. 所以，直线AC 方程为，得.(10)F ，22(0)y px p =>ABC △,AFG CQG △△12,S S 12S S 12p=()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y (),G G G x y 2,0A y t t =≠2A x t =2112t x y t-=+24y x =()222140t y y t---=24B ty =-2B y t =-212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++220c t y t-+=242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222y t t x t-=-()21,0Q t-由于Q 在焦点F 的右侧，故.从而. 令，则m >0，.当时，取得最小值，此时G （2，0）.例4．(2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.【解析】(1)证明设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.22t >4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-22m t =-1221222134342S m S mm m m m =-=--=++++m =12S S 12+所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴.(2)解由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.例5. (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0).(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差.【解析】(1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.① 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.例6. (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值.【解析】 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意.所以，k 的值为－12.四、巩固练习：1.平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程;(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值.【解析】(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 12a2+y 12b2=1,x 22a2+y 22b2=1,两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0.因为y 1-y2x 1-x 2=-1,设P(x 0,y 0),又P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12,所以y 0=12x 0,即y 1+y 2=12(x 1+x 2),解得a 2=2b 2,即a 2=2(a 2-c 2),即a 2=2c 2.又因为c=√3,所以a 2=6.所以M 的方程为x 26+y 23=1.(2)因为CD ⊥AB,直线AB 的方程为x+y-√3=0,设直线CD 的方程为y=x+m,将x+y-√3=0代入x 26+y 23=1,得2x 2-4√3x=0,解得x=0或x=4√33. 不妨令A(0,√3),B (4√33,-√33),可得|AB|=4√63.将y=x+m 代入x 26+y 23=1,得3x 2+4mx+2m 2-6=0,设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),则|CD|=√2·√(x 3+x 4)2-4x 3x 4=2√23√18−2m 2. 又因为Δ=16m 2-12(2m 2-6)>0,即-3<m<3,所以当m=0时,CD 取得最大值4,所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB|·|CD|=8√63.2.设椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且△PF 1F 2的周长是4+2√3.(1)求椭圆C 1的方程.(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A 、B,过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E,若点C 满足AB ⊥BC,AD ∥OC,连接AC 交DE 于点P,求证:PD=PE.【解析】(1)由e=√32知,c a =√32,所以c=√32a.因为△PF 1F 2的周长是4+2√3, 所以2a+2c=4+2√3,所以a=2,c=√3, 所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)得A(-2,0),B(2,0), 设D(x 0,y 0),所以E(x 0,0). 因为AB ⊥BC,设C(2,y 1),所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+2,y 0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,y 1).由AD ∥OC,得(x 0+2)y 1=2y 0,即y 1=2y 0x0+2,所以直线AC 的方程为y 2y 0x 0+2=x+24,整理得y=y 02(x 0+2)(x+2).又点P 在直线DE 上,将x=x 0代入直线AC 的方程,可得y=y 02,即点P 的坐标为(x 0,y02),所以P 为DE 的中点,所以PD=PE.3.已知椭圆C:x 2a+y 2b=1(a>b>0),圆Q:(x-2)2+(y-√2)2=2的圆心Q 在椭圆C 上,点P(0,√2)到椭圆C 的右焦点的距离为√6.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1,l 2,且l 1交椭圆C 于A,B 两点,直线l 2交圆Q 于C,D 两点,且M 为CD 的中点,求△MAB 面积的取值范围.【解析】(1)∵椭圆C 的右焦点F(c,0),|PF |=√6,∴c=2.∵点(2,√2)在椭圆C 上,∴4a2+2b2=1.由a 2-b 2=4得a 2=8,b 2=4,∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.(2)由题意可得l 1的斜率不为零,当l 1垂直x 轴时,△MAB 的面积为12×4×2=4,当l 1不垂直x 轴时,设直线l 1的方程为y=kx+√2,则直线l 2的方程为y=-1k x+√2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{x 28+y 24=1,y =kx +√2,消去y 得(1+2k 2)x 2+4√2kx-4=0, ∴x 1+x 2=-4√2k1+2k 2,x 1x 2=-41+2k 2, 则|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=4√(1+k 2)(4k 2+1)2k 2+1.由圆心Q(2,√2)到l 2的距离d 1=√1+k 2<√2得k 2>1, 又MP ⊥AB,QM ⊥CD,∴GM ∥AB,∴点M 到AB 的距离等于点Q 到AB 的距离,设为d 2,即d 2=√2+√2|√1+k 2=√1+k 2,∴△MAB 面积S=12|AB |d 2=4|k |√4k 2+12k 2+1=4√k 2(4k 2+1)(2k 2+1)2.令t=2k 2+1∈(3,+∞),则1t ∈(0,13),S=4√2t 2-3t+12t 2=4√12(1t -32)2-18∈(4√53,4),综上,△MAB 面积的取值范围为(4√53,4]. 4.如图,点M (√3,√22)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上,且点M 到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO(O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B(A,B 不重合)两点,求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围. 【解析】(1)由已知得,2a=4,∴a=2.又点M (√3,√22)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上, ∴34+12b 2=1,解得b 2=2,∴所求椭圆的方程为x 24+y 22=1.(2)∵k O M=√66,∴k A B=-√6. 设直线AB 的方程为y=-√6x+m,联立方程{x 24+y 22=1,y =−√6x +m,消去y 得13x 2-4√6mx+2m 2-4=0.∵Δ=(4√6m)2-4×13(2m 2-4)=8(12m 2-13m 2+26)>0, ∴m 2<26.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4√6m 13,x 1x 2=2m 2-413.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=7x 1x 2-√6m(x 1+x 2)+m 2=3m 2-2813. 结合0≤m 2<26,可得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-2813,5013). 5.(1)求点M 的轨迹C 的方程.(2)设C 与x 轴交于E,F 两点,P 是直线l 上一点,且点P 不在C 上,直线PE,PF 分别与C 交于另一点S,T,证明:A,S,T 三点共线.【解析】(1)设点M(x,y),依题意,|MA||MB|=√(x+4)2+y 222=2,化简得x 2+y 2=4,即轨迹C 的方程为x 2+y 2=4. (2)由(1)知曲线C 的方程为x 2+y 2=4,令y=0,得x=±2,不妨设E(-2,0),F(2,0),如图.设P(-1,y 0),S(x 1,y 1),T(x 2,y 2),则直线PE 的方程为y=y 0(x+2). 由{y =y 0(x+2),x 2+y 2=4,得(y 02+1)x 2+4y 02x+4y 02-4=0, 所以-2x 1=4y 02-4y 02+1,即x 1=2−2y 02y 02+1,y 1=4y 0y 02+1.直线PF 的方程为y=-y03(x-2).由{y =−y03(x -2),x 2+y 2=4,得(y 02+9)x 2-4y 02x+4y 02-36=0, 所以2x 2=4y 02-36y 02+9,即x 2=2y 02-18y 02+9,y 2=12y 0y 02+9.所以k A S=y 1x1+4=4y 0y 02+12−2y 02y 02+1+4=2yy 02+3, k A T=y 2x2+4=12y 0y 02+92y 02-18y 02+9+4=2yy 02+3, 所以k A S=k A T,所以A,S,T 三点共线.6.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4,左、右焦点分别为F 1、F 2,且C 1与抛物线C 2:y 2=x 的交点所在的直线经过F 2.(1)求椭圆C 1的方程.(2)分别过点F 1、F 2作平行直线m 、n,若直线m 与C 1交于A,B 两点,与抛物线C 2无公共点,直线n 与C 1交于C,D 两点,其中点A,D 在x 轴上方,求四边形AF 1F 2D 的面积的取值范围. 【解析】(1)依题意得2c=4,则左、右焦点分别为F(-2,0)、F 2(2,0).所以椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为P(2,√2), 于是2a=|PF 1|+|PF 2|=4√2,从而a=2√2. 又a 2=b 2+c 2,解得b=2,所以椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1.(2)依题意,直线m 的斜率不为0,设直线m:x=ty-2, 由{x =ty -2,y 2=x,消去x 并整理,得y 2-ty+2=0, 由Δ=(-t)2-8<0,得t 2<8.由{x =ty -2,x 2+2y 2=8,消去x 并整理,得(t 2+2)y 2-4ty-4=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4tt 2+2,y 1y 2=-4t 2+2,所以|AB|=√1+t 2|y 1-y 2| =√1+t 2√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=4√2(t 2+1)t 2+2. 因为直线m 与n 之间的距离d=√t 2+1(即点F 2到m 的距离),由椭圆的对称性知,四边形ABCD 为平行四边形,故S 四边形AF 1F 2D=12S 四边形ABCD=12·4√2(t 2+1)t 2+2·√t 2+1=8√2√t 2+1t 2+2. 令√t 2+1=s ∈[1,3),则S 四边形AF 1F 2D=8√2√t 2+1t 2+2=8√2s s 2+1=8√2s+1s∈(12√25,4√2], 所以四边形AF 1F 2D 的面积的取值范围为(12√25,4√2]. 7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为√32.(1)求椭圆C 的方程.(2)设A(0,-1),直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ(O 为坐标原点)的面积S 最大时,求直线l 的方程.【解析】(1)依题意得4a 2+1b 2=1,e=c a =√32,又a 2=b 2+c 2,解得a 2=8,b 2=2,所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1. (2)显然,直线l 的斜率k 存在.①当k=0时,可设直线l 的方程为y=y 0,P(-x 0,y 0),Q(x 0,y 0),则x 028+y 022=1. 所以S=12|2x 0|·|y 0|=|x 0|·|y 0|=2√y 02·(2-y 02)≤2·y 02+(2−y 02)2=2.当且仅当y 02=2-y 02,即|y 0|=1时取等号,此时直线l 的方程为y=±1.②当k ≠0时,可设直线l 的方程为y=kx+m,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), 联立{y =kx +m,x 28+y 22=1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-2)=0.由Δ=(8km)2-4(1+4k 2)·4(m 2-2)>0,得8k 2+2>m 2, (*)则有x 1+x 2=-8km1+4k2,x 1x 2=4(m 2-2)1+4k2,于是可得PQ 的中点坐标为(-4km 1+4k2,m 1+4k 2).因为|AP|=|AQ|,所以m1+4k 2+1-4km 1+4k 2-0=-1k ,化简得1+4k 2=3m,结合(*)可得0<m<6.又点O 到直线l 的距离d=√k 2+1,|PQ|=√1+k 2·|x 1-x 2|=4√1+k 2·√8k 2+2−m 21+4k 2,所以S=12|PQ|·d=12·√1+k2·4√1+k 2·√8k 2+2−m 21+4k 2.即S=23√6m -m 2=23√-(m -3)2+9, 所以当m=3时,S 取得最大值,此时k=±√2,直线l 的方程为y=±√2x+3. 综上所述,直线l 的方程为y=±1或y=±√2x+3.8.已知抛物线C:y 2=2px(p>0)过点M(m,2),其焦点为F,且|MF|=2.(1)求抛物线C 的方程.(2)设E 为y 轴上异于原点的任意一点,过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F:(x-1)2+y 2=1相切,切点分别为A,B,求证:A,B,F 三点共线.【解析】(1)抛物线C 的准线方程为x=-p 2,∴|MF|=m+p2=2.又∵抛物线C:y 2=2px(p>0)过点M(m,2), ∴4=2pm,即4=2p (2−p2), ∴p 2-4p+4=0,∴p=2, ∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)设点E(0,t)(t ≠0),已知切线不为y 轴.设直线EA:y=kx+t,联立{y =kx +t,y 2=4x,消去y,可得k 2x 2+(2kt-4)x+t 2=0.∵直线EA 与抛物线C 相切, ∴Δ=(2kt-4)2-4k 2t 2=0,即kt=1,代入k 2x 2+(2kt-4)x+t 2=0,得1t 2x 2-2x+t 2=0,∴x=t 2,即A(t 2,2t).设切点B(x 0,y 0),则点O,B 关于直线EF:y=-tx+t 对称,则{y 0x 0×t -00−1=−1,y2=−t ·x 02+t,解得{x 0=2t 2t 2+1,y 0=2t t 2+1, 即B (2t 2t 2+1,2tt 2+1).当t ≠±1时,直线AF 的斜率k A F=2tt 2-1,直线BF 的斜率k B F=2tt 2+1-02t2t 2+1-1=2tt 2-1,∴k A F=k B F,即A,B,F 三点共线.当t=±1时,A(1,±2),B(1,±1),此时A,B,F 三点共线. 综上可知,A,B,F 三点共线.9.以边长为4的等边△ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过B,C 两点. (1)求该椭圆的标准方程.(2)过点D 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于M,N 两点,求证:直线BM 与CN 的交点在一条直线上.【解析】(1)由题意可知两个焦点为(-√3,0)与(√3,0),且2a=6,因此椭圆的标准方程为x 29+y 26=1. (2)当MN 不与x 轴重合时,设MN 的方程为x=my+√3,且B(√3,2),C(√3,-2), 联立{2x 2+3y 2-18=0,x =my +√3,消去x,得(2m 2+3)y 2+4√3my-12=0,即y 1+y 2=-4√3m 2m 2+3,y 1y 2=-122m 2+3.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则直线BM:y-2=1x -√3(x-√3), ① 直线CN:y+2=2x -√3(x-√3). ②由②-①得4=(x-√3)(2x-√31x-√3)=(x-√3)·my 1(y 2+2)−my 2(y 1-2)m 2y 1y 2=(x-√3)2y 1+2y 2my 1y 2=(x-√3)·-8√3m2m 2+3-12m 2m 2+3=2√33(x-√3),则x-√3=2√3,即x=3√3.当MN 与x 轴重合时,即MN 的方程为x=0,即M(3,0),N(-3,0).则直线BM:y-2=3−√3(x-√3), ③直线CN:y+2=-3-3(x-√3). ④ 联立③④消去y,得x=3√3.综上可知,直线BM 与CN 的交点在直线x=3√3上.10.设直线l 与抛物线x 2=2y 交于A,B 两点,与椭圆x 24+y 23=1交于C,D 两点,直线OA,OB,OC,OD(O 为坐标原点)的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,若OA ⊥OB.(1)是否存在实数t,满足k 1+k 2=t(k 3+k 4)?并说明理由.(2)求△OCD 面积的最大值.【解析】设直线l 的方程为y=kx+b(b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).联立y=kx+b 和x 2=2y,得x 2-2kx-2b=0,则x 1+x 2=2k,x 1x 2=-2b,Δ=4k 2+8b>0.y 1y 2=(kx 1+b)(kx 2+b)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2=b 2.因为OA ⊥OB,所以x 1x 2+y 1y 2=-2b+b 2=0,得b=2.联立y=kx+2和3x 2+4y 2=12,得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0,所以x 3+x 4=-16k 3+4k 2,x 3x 4=43+4k 2.由Δ2=192k 2-48>0,得k 2>14.(1)因为k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=k,k 3+k 4=y 3x 3+y4x 4=-6k, 所以k 1+k 2k 3+k 4=-16,故存在实数t=-1b ,使得k 1+k 2=t(k 3+k 4). (2)根据弦长公式|CD|=√1+k 2|x 3-x 4|,得|CD|=4√3·√1+k 2·√4k 2-13+4k 2,根据点O 到直线CD 的距离公式,得d=√1+k 2,所以S △OCD=12|CD|·d=4√3·√4k 2-13+4k 2. 设√4k 2-1=t>0,则S △OCD=4√3t t 2+4≤√3,所以当t=2,即k=±√52时,S △OCD 有最大值,最大值为√3.11.如图,设抛物线C 1:y 2=-4mx(m>0)的准线l 与x 轴交于椭圆C 2:x 2a +y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 2,F 1为C 2的左焦点.椭圆C 2的离心率为e=12,抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P,连接PF 1并延长其交C 1于点Q,M 为C 1上一动点,且在P,Q 两点之间移动.(1)当a 2+√3b取最小值时,求C 1和C 2的方程; (2)若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数,求△MPQ 面积的最大值以及此时直线MP 的方程.【解析】(1)因为c=m,e=c a =12,则a=2m,b=√3m,所以a 2+√3b 取最小值时m=1,所以抛物线C 1的方程为y 2=-4x.此时a=2,b 2=3,所以椭圆C 2的方程为x 24+y 23=1.(2)因为c=m,e=c a =12,所以a=2m,b=√3m,设椭圆的标准方程为x 24m 2+y 23m 2=1,点P(x 0,y 0),Q(x 1,y 1), 由{x 24m 2+y 23m 2=1,y 2=−4mx,得3x 2-16mx-12m 2=0, 所以x 0=-23m 或x 0=6m(舍去).代入抛物线方程得y 0=2√63m,即P (-2m 3,2√6m 3), 所以|PF 1|=5m 3,|PF 2|=2a-|PF 1|=7m 3,|F 1F 2|=2m=6m 3.又△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数,所以m=3. 此时抛物线的方程为y 2=-12x,F 1(-3,0),P(-2,2√6), 则直线PQ 的方程为y=2√6(x+3).联立{y =2√6(x+3),y 2=−12x,得x 1=-92或x 1=-2(舍去), 于是Q (-92,-3√6). 所以|PQ|=√(-2+92)2+(2√6+3√6)2=252. 设M (-t 212,t)(t ∈(-3√6,2√6))到直线PQ 的距离为d,则d=√630×|(t +√62)2-752|,当t=-√62时,d m ax=√630×752=5√64, 所以△MPQ 面积的最大值为12×252×5√64=125√616. 此时直线MP:y=-4√63x-2√63.。

2021年最新高考数学复习-解析几何问题的题型与方法

解析几何问题的题型与方法一、知识整合高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。

选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。

解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。

1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3．理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、近几年高考试题知识点分析2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．1．选择、填空题1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查例1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________．（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查例2（04辽宁）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是（A ）26（B ）23 （C ）3 （D ）21．2 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查例3（04天津文）若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（A ）0k << （B ）0k <<（C ）0k << （D ）05k <<2．解答题解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．例4(04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M.若=，求直线l 的斜率．本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高．解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a b y a x 由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x（II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+= 当),,0(),0,(,2km M m F -=由于由定比分点坐标公式，得 ,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m km m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点0(2)()2,2,1212Q Q m km MQ QF x m y km +-⨯-=-==-==---当时.于是.0,134422222==+k m m k m m 解得故直线l 的斜率是0，62±. 例5（04全国文科Ⅰ）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B .（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① .120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率01,(2,).e a a e e e ==<<≠∴>≠+∞即离心率的取值范围为（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A .125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，2222222222172522289,.,,121121160170,.13a a a x x x a a a a a =-=--=--->=所以消去得由所以例6（04全国文科Ⅱ）给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）设l 的斜率为1，求与夹角的大小；（Ⅱ）设]9,4[,∈=λλ若，求l 在y 轴上截距的变化范围. 解：（Ⅰ）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅=OB OA 所以与夹角的大小为.41143arccos -π （Ⅱ）由题设λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-=-.1212),1(1y y x x λλ 由②得21222y y λ=， ∵ ,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1，0），得直线l 方程为),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或由 ,121212-++=-λλλλλ可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴ ,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--①②从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆．三、热点分析与2005年高考预测1．重视与向量的综合在04年高考文科12个省市新课程卷中，有6个省市的解析几何大题与向量综合，主要涉及到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在05年的高考试题中，这一现状依然会持续下去．例7（02年新课程卷）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R，且α＋β=1，则点C 的轨迹方程为（A ）（x －1）2＋（y －2）2=5（B ）3x ＋2y －11=0 （C ）2x －y =0（D ）x ＋2y －5=0 例8（04辽宁）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线 2．考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高在04年的15个省市文科试题（含新、旧课程卷）中，全都“不约而同”地考查了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大．3．与数列相综合在04年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，03年的江苏卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中依然会出现类似的问题．例9（04年浙江卷）如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n （Ⅲ）若记,,444*+∈-=N n y y b nn n 证明{}n b 是等比数列. 解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ， ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n (Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y又∵2214++++=n n n y y y ，∴.414n n y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列. 4．与导数相综合近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合．例10（04年湖南文理科试题）如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

2021年高考数学分类汇解析几何及答案详解

2021年高考数学分类汇解析几何及答案详解2021年高考数学分类汇解析几何及答案详解2022高考数学分类的解析几何1、（2021年高考全国卷1文科）4．（5分）已知椭圆c：则c的离心率为（）+=1的一个焦点为（2，0），a、不列颠哥伦比亚省。

【解答】解：椭圆c：∵c=2，+=1的一个焦点为（2，0），可得a24=4，解得a=2，∴e==故选：c．=．2、（2021年高考全国卷1文科）20．（12分）设抛物线c：y2=2x，点a（2，0），b（2，0），过点a的直线l与c交于m，n两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线bm的方程；（2）证明：∠abm=∠abn．【解】解：（1）当l垂直于x轴，x=2时，将其代入抛物线解，得到y=±2，所以m （2,2）或m（2,2），直线bm的方程：y=x+1，或：y=x1．（2）证明了直线l的方程为l:x=ty+2，m（x1，Y1），n（X2，Y2），联立直线l与抛物线方程得即y1+y2=2t，y1y2=4，，消去X，得到y22ty4=0，则有kbn+kbm=+===0，因此，直线BN和BM的倾角是互补的∠ ABM=∠ 荷兰银行3、（2021年高考全国卷1理科）8．（5分）设抛物线c：y2=4x的焦点为f，过点（2，0）且斜率为的直线与c交于m，n两点，则=（）a、 5b.6c.7d.8【解答】解：抛物线c：y2=4x的焦点为f（1，0），过点（2，0）且斜率为的直线为：3y=2x+4，同时直线和抛物线C:y2=4x，消去x得到：y26y+8=0，解为Y1=2，y2=4，m（1,2），n（4,4），然后=（0，2）? （3，4）=8．，．故选：d．4.（2022年全国高考第一卷科学）11。

（5点）已知双曲线C：y2=1，o为坐标原点，f为C的右焦点、通过F的直线的交点和C的两条渐近线是m，N△ omn是一个直角三角形，然后|Mn |=（）a.b.3c．2d、四,y2=1的渐近线方程为：y=，，渐近线的夹角为：60°，不解决方案：双曲线C：妨设过f（2，0）的直线为：y=那么：解是m（，），解得：n（），那么| Mn |=因此：B=3．5.（2022年全国高考第一卷科学）19。

2021高考数学热点题型专题03解析几何理

2021高考数学热点题型专题03解析几何理热点一圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上要紧有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 题型一利用几何性质求最值【例1】设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9，12 B ．8，11C ．8，12D ．10，12答案 C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．【对点训练】如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk2－4)＝(－4，－12)，因此⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.因此直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，因此－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，因此P (－2，－2)．现在点P 到直线l 的距离d ＝|2×－2－－2－2|22＋－12＝45＝455. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，因此|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22×－42－4×－4＝410.因此△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.题型二建立目标函数求最值【例2】已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF ＝3FM .(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.因此Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，因此AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415，由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝59.因此当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，现在k ＝±5515.因此△ABP 面积的最大值为2565135.【类题通法】(1)当题目中给出的条件有明显的几何特点，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特点不明显，则能够建立目标函数，再求那个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等．【对点训练】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解析 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.②设A (x 1，y 1)，B (x 2, y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.因此|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，因此△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝216k 2＋4－m2m 21＋4k2＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1，因此S ＝24－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ，因此△ABQ 面积的最大值为6 3. 题型三利用差不多不等式求最值【例3】已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .通过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，现在△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，现在|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，因此|S 1－S 2|的最大值为 3. 【类题通法】(1)求最值问题时，一定要注意对专门情形的讨论．如直线斜率不存在的情形，二次三项式最高次项的系数的讨论等．(2)利用差不多不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用差不多不等式求出最值．【对点训练】定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，由题意，C 在线段AB 的中垂线上，则OC 的方程为y ＝－1kx .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝41＋k21＋4k2. 将上式中的k 替换为－1k，可得|OC |2＝41＋k 2k 2＋4. ∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝41＋k21＋4k2·41＋k 2k 2＋4＝41＋k21＋4k 2k 2＋4.∵1＋4k2k 2＋4≤1＋4k2＋k 2＋42＝51＋k 22，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，现在△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，现在直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .热点二圆锥曲线中的范畴问题圆锥曲线中的范畴问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法. 题型一利用判别式构造不等关系求范畴【例4】已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC ·BC ＝0，|BC |＝2|AC |. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范畴．(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，明显－2<t <2；当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt1＋3k2， y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k2，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2，由|DP |＝|DQ |，因此DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k，因此t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②因此t >1，将②代入①得，1<t <4. 因此t 的范畴是(1,4)．综上可得t ∈(1,2)．【类题通法】圆锥曲线中取值范畴问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范畴．(2)利用已知参数的范畴，求新参数的范畴，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范畴． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范畴．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范畴．【对点训练】设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范畴．即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0，故y 1＋y 2＝2k k 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4. 又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0，又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k24＋k2＋1＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，因此k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.题型二利用函数性质求范畴【例5】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求弦长|AB |的取值范畴．(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意． ∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，由根与系数的关系可得，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2①，y 1y 2＝－1m 2＋2②，将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ，∴－λ－1λ＋2＝－4m2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0， ∴－12≤－4m2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27.|AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12， ∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 【类题通法】利用函数性质解决圆锥曲线中求范畴问题的关键是建立求解关于某个变量的函数，通过求那个函数的值域确定目标的取值范畴．在建立函数的过程中要依照题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也能够采纳多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要专门注意变量的取值范畴．【对点训练】已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C . (1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范畴．依照椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，因此a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，因此PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，现在可不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，因此PE ·QF ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32＝－3－94＝－214.②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214.③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，因此可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将上面的k 换成－1k，可得AE ·AF ＝－91＋k24＋3k2，因此PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4k 2＋14＋3k 2.令1＋k 2＝t ，则t >1，因此上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝ ⎛⎭⎪⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122.由t >1，得0<1t <1，因此－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范畴为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，－367.热点三圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多显现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 【例6】如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)．①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2.∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3x 1＋x 2x 1x 2. 若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM .∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k1＋2k 2＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依据直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过代数恒等变形和化简运算进行证明，常见的证明方法有：（1）证明三点共线，能够证明其中两段线段的斜率相等，也能够证明其中两个向量互相平行（共线）；（2）证明两直线垂直，能够证明这两条直线的斜率之积等于1-，也能够证明这两直线所在的平面向量的数量积等于零；（3）证明两共点点段相等，能够利用弦长公式证明这两线段长度相等，也能够证明公共点在线段的垂直平分线上．【对点训练】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，设D (x 0，y 0)，因此E (x 0,0)，因为AB ⊥BC ，因此可设C (2，y 1)，因此AD ＝(x 0＋2，y 0)，OC ＝(2，y 1)，由AD ∥OC 可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2. 因此直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 02x 0＋2(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，因此P 为DE 的中点，因此PD ＝PE .。

高三数学(文科2021届含答案)主干知识五：解析几何

高三数学（文科）主干知识五：解析几何考试要求（1）直线与方程理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．（2）圆与方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．（３）圆锥曲线与方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质（范围、对称性、顶点、准线、离心率）．理解直线与圆锥曲线的位置关系．复习关注关注解题方向的选择及计算方法的合理性（如“设而不求”、“整体代换”等），同时适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般的思想，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等强化训练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．双曲线221102x y -=的焦距为（） A． B． C． D．2．已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y=ax-3与线段AB 的交点P 分有向线段AB 的比为4:1，则a 的值为（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++= 引切线，则切线长的最小值为（）AB．．4．双曲线x 2－y 2=4的两条渐近线和直线x =2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+200x y x y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+200x y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+200x y x y x 5．若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为（） A ．8B ．12C ．16D ．20 6．直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是（）A ．),0[πB ．),2(]4,0[πππ⋃C ．]4,0[πD ．),2()2,4[ππππ⋃ 7．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为),1(p P ，则m n p -+的值是（）A ．24B ．20C ．0D ．－48．圆心在抛物线22x y =()0x >上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．041222=+--+y x y x B ．01222=+--+y x y x C ．041222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x9．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )A ．23 B C ．49D 10．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是（）A ．]23,35[B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[ 11．已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：（）A ．12B ．13C ．23D ．1412．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（）A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 上的点的最近距离是．14．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若121212||||PF PF PF PF ⋅=⋅，则△F 1PF 2的面积为． 15．已知抛物线214y x =，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A,B 两个点, 则坐标原点O 与A ，B 两点构成的三角形的面积为．。

专题08 解析几何-2021年高考数学(理)二轮专项复习

专题0本资料分享自千人教师QQ 群323031380 期待你的加入与分享8 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )，则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0．【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0．当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ，由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1，所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意；当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直；当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝，若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．解法一：解方程组，得交点由题意，得，解得解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为由题意，得【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为则△ABO 的面积所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______．三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程．43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______．解：(1)将直线化为由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)．略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品．例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得此时f (－2)取到最小值所以5≤f (－2)≤10．【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交；＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含．【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即，因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ．在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系．解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0．整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2，故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3，验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)，设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或，所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，，此时AC ⊥l 1，因为所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)，所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，且点A 到圆C 的圆心的距离等于所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ，所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)．则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25．将点D 的坐标代入W 的方程，适合．所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立．即当时，△OPQ 的面积有最小值25．练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。

知识05 平面解析几何(含真题)-【新高考】2021年高考数学考前必备知识速记

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|＝ .
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝ .
6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
斜率与倾斜角的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．
(2)当直线l的倾斜角α∈ 时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈ 时，α越大，直线l的斜率越大．
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tanα的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在 ∪ 上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．
三、圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)❶
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)❷

专题五解析几何直线与圆教学课件2021届新高考数学二轮复习

故|MA|·|MB|≤225(当且仅当|MA|＝|MB|＝5 2 2时取“＝”).
答案
(1)A
25 (2) 2
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【例 2】 (1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中
提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且
不等于 1 的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭
建三座 5G 信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现 5G 商用，已知甲、
解析 (1)由题意知m(1＋m)－2×1＝0，解得m＝1或－2，当m＝－2时，两直线重合，舍去；当m＝1时，满足两直线平行，所以m＝1.
(2)由题意可知，直线 l1：kx－y＋4＝0 经过定点 A(0，4)，直线 l2：x＋ky－3＝0 经过定点 B(3，0)，注意到直线 l1：kx－y＋4＝0 和直线 l2：x＋ky－3＝0 始终垂直，点 M 又是两条直线的交点，则有 MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
热点三直线(圆)与圆的位置关系
角度 1 圆的切线问题
【例 3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线 l 与曲线 y＝ x和圆 x2＋y2＝15都相切，则 l 的方程
为( ) A.y＝2x＋1
B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1
D.y＝12x＋12
(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)

2021高考汇编解析几何

= 1(a > 0,b > 0)，离心率 e = 2，则双曲线 C
的渐近线
方程为
.
答案 y = ± 3x.
解析
双曲线 C
的离心率 e =
c a
=
1+
b2 a2
= 2，所以
b a
=
3，
所以双曲线
C
的渐近线方程为
y
=
±
b a
x
=
±
3 x.
10. (2021 年新高考Ⅰ卷，14) 已知 O 为坐标原点，抛物线 C : y2 = 2px( p > 0) 的焦点为 F ，P 为 C 上一点，PF
因为 |BC| = 52 + (5 - 2)2 = 34 ，半径 r = 4，所以 |PB| = |BC|2 - r2 = 34 - 16 = 3 2 ，C 项，D 正确 .
8.
(2021 年全国乙卷 ( 理 )，13) 已知双曲线 C
:
x2 m
-
y2 = 1(m > 0) 的一条渐近线为
3x + my = 0，则 C 的焦
B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离 D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切
答案 ABD.
解析
圆心 (0,0) 到直线 ax + by - r2 = 0 的距离 d =
r2 a2 +
b2
，若点
A
在圆上，则
a2
+
b2
=
r2，
则d =
r2 a2 + b2
=
r2 |r|
∼ △PQF ，所以
PF FQ

2021年高三数学知识点汇总专题解析几何

2021年高三数学知识点汇总专题解析几何一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。

注意：规定当直线和轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范围是；（2）直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的。

②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

③斜率计算公式：设经过和两点的直线的斜率为，则当时，；当时，；斜率不存在；二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点，且斜率为的直线方程：；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；②表示：直线上除去的图形。

（2）斜截式：若已知直线在轴上的截距为，斜率为，则直线方程：；注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

（3）两点式：若已知直线经过和两点，且（），则直线的方程：；注意：①不能表示与轴和轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式时，方程可以适应在于任何一条直线。

（4）截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：；注意：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使用。

（5）参数式：（为参数）其中方向向量为，；；；点对应的参数为，则；（为参数）其中方向向量为，的几何意义为；斜率为；倾斜角为。

（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：；（不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。

2021年高考数学新一轮复习专题七平面解析几何(文、理)

2021年高考数学新一轮复习专题七平面解析几何（文、理）1.设F1、F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A.12B.23C.34D.452.已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A．x2＝833y B．x2＝1633yC．x2＝8y D．x2＝16y3.直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．2 5 B．2 3C. 3 D．14.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A．3 B．2C. 3D. 25.已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－86.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8.过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a5，22a 在椭圆上．(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．10.(xx·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120·(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．11.如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．12.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1.(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若|MF |＝22，求点M 的坐标； (2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |<2)的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .14.如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．专题七平面解析几何1.C 由题意可知∠PF 2x ＝60°，|PF 2|＝（3a2－c ）cos60°＝3a －2c ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，得3a －2c ＝2c ，∴e ＝34，故选C.2.D ⎩⎨⎧c a＝2a ·p2a 2＋b 2＝2，可得p ＝8，故选D. 3.B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a 1，2a 2，则易得a 1＝2a 2，又∵焦距相等， ∴e 2∶e 1＝2.5.C PA 方程为：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8，同理QA 为：y ＝－2x －2，解得x ＝1，∴y ＝－4.6.B 如图|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，∴4c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝55.7.43根据题意，x 2＋y 2－8x ＋15＝0，将此化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，得到该圆的圆心为M (4，0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1＝2即可，所以有d ：|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值为43.8.(2，2) 设P (x 0，y 0)如图|PO |＝2.∴⎩⎨⎧x 20＋y 20＝4x 0＋y 0－22＝0. 则x 20＋(x 0－22)2＝4， ∴x 20－22x 0＋2＝0.∴(x 0－2)2＝0，∴x 0＝2，y 0＝ 2.9.解：(Ⅰ)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(Ⅱ)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b2＋4.由(Ⅰ)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.10.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(Ⅱ)法一：因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，所以b c＝3，直线AB 的方程可为：y ＝－3(x －c )，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得， t ＝85a ，由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)．其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .13.解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0. 设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62. 所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)由(1)知，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b 2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k2，x 1x 2＝－1－b 22－k2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k2. 由(*)知，OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .14.解：(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1(－2，0)、B 2(2，0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16（m 2＋1）m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.31826 7C52 籒 30402 76C2 盂28701 701D 瀝!26746 687A 桺>25853 64FD 擽28254 6E5E 湞26022 65A6 斦26830 68CE 棎38355 95D3 闓]q4。

2021届新高考数学二轮复习多选题专训：平面解析几何

2021届新高考数学二轮复习多选题专训：平面解析几何1.过点(3,1)A 且与圆22(2)1x y -+=相切的直线方程可能为( ) A.1y =B.3x =C.3x =-D.1y =-2.下列说法正确的是( ) A.截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示 B.方程2()0x my m +-=∈R 能表示平行于y 轴的直线 C.经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-D.经过两点()()111222,,,P x y P x y 的直线方程为()()()()2112110y y x x x x y y -----= 3.51-.已知椭圆22121222:1(0),,,,x y C a b A A B B a b+=>>分别为左、右、上、下顶点，12,F F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A.2112212A F F A F F ⋅=B.11290F B A ∠=︒C.1PF x ⊥轴，且21POA BD.四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F4.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过M 点且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列结论中正确的是( ) A.k 的取值范围是()1,1- B.12128y y x x =C.存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD.若ABF △的面积为162AB 的倾斜角为π6或5π65.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>23A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，则有( ) A.渐近线方程为3y x =±B.渐近线方程为3y x = C.60MAN ∠=︒D.120MAN ∠=︒6.若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下列说法正确的是( )A.若15t <<，则C 为椭圆B.若1t <，则C 为双曲线C.若C 为双曲线，则焦距为4D.若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则35t <<7.已知12,F F 分别是双曲线221:C x y -=的左、右焦点，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，且120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是( ) A.双曲线C 的渐近线方程为y x =± B.以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C.点1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D.12PF F △的面积为18.椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，则以下说法正确的是( )A.过点2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则1ABF △的周长为8B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.椭圆C 的离心率为12D.P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 的最大距离为3答案以及解析1.答案：AB解析：由题意知，点A 在圆外，故过点A 的切线应有两条.当所求直线斜率存在时，设直线方程为1(3)y k x -=-，即130kx y k -+-=.因为直线与圆相切，所以211d k ==+，解得0k =，所以切线方程为1y =.当所求直线斜率不存在时，3x =，也符合条件.综上，所求切线方程为3x =或1y =.选AB. 2.答案：BD解析：对于A ，若直线过原点，横、纵截距都为零，则不能用方程1x ya a+=表示，所以A 不正确；对于B ，当0m =时，直线方程为2x =，平行于y 轴，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用1tan (1)y x θ-=-表示，所以C 不正确；对于D ，设点(,)P x y 是经过两点()()111222,,,P x y P x y 的直线上的任意一点，根据121PP PP 可得()()()()2112110y y x x x x y y -----=，所以D 正确.故选BD. 3.答案：BD解析：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，121212(,0),(,0),(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b F c F c ∴---.对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2),2a c c a c c -=∴-=，13e ∴=，不符合题意，故A 错误；对于B ，若11290F B A ∠=︒，则222211112A F B F B A =+，2222()a c a a b ∴+=++，2220,10c ac a e e ∴+-=∴+-=，解得51e -51e --=(舍去)，符合题意，故B 正确；对于C ，若1PF x ⊥轴，且21PO A B ，2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，21PO A B k k =，2b bc a ∴=--，解得b c =，又2222,2c a b c e a c=+∴===，不符合题意，故C 错误；对于D ，若四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F ，即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，则224224,30ab c a b c a c a =+-+=，42310e e ∴-+=，解得235e +=舍去)或23551e e --∴=，故D 正确.故选BD. 4.答案：CD解析：依题意得，(2,0),(2,0)F M -，直线 l 的方程为(2)y k x =+，联立得28,(2),y x y k x ⎧=⎨=+⎩消去y 得()22224840k x k x k +-+=，因为直线l 与抛物线相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，所以()22240,48160,k k k ⎧≠⎪⎨-->⎪⎩解得11k -<<且0k ≠，故A 选项错误；因为212244k x x k ==，所以22121288644256y y x x =⨯=⋅=，易知12,y y 同号，所以1216y y =，于是12124y y x x =，故B 选项错误；由于()()11222,,2,FA x y FB x y =-=-，所以()2121212228416244241632k FA FB x x x x y y k k -⋅=-+++=-⋅++=-，显然当212k =时，0FA FB ⋅=，此时AFB ∠为直角，即以AB 为直径的圆经过点F ，故C 选项正确；AFB 的面积()21212121||2||24MFAMFBS SSMF y y y y y y =-=⋅⋅-=+-，而()()()121212128224,16y y k x k x k x x y y k+=+++=++==，所以23281416161S k k ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭令162S =得3k =，所以直线AB 的倾斜角为π6或5π6，故选项D 正确.故选CD. 5.答案：BC解析：双曲线2222:1x y C a b -=的渐近线方程为by x a=±，离心率为23c a =，所以2222222413c a b b a a a +==+=，所以2213b a =，3b a=3y =.取MN 的中点P ，连接AP ，利用点到直线的距离公式，可得||abAP c =，则||cos ||AP ab a PAN AN b c ∠===，所以221cos cos2212a MAN PAN c ∠=∠=⨯-=，所以60MAN ∠=︒，故选BC.6.答案：BD解析：对于A ，若方程22151x y t t +=--表示椭圆，则需满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得15t <<且3t ≠，所以A 不正确；对于D ，若方程22151x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则需满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 正确；对于B ，当1t <时，510,10t ->-<，此时C 为焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确；对于C ，当0t =时，方程2215x y -=表示双曲线，此时双曲线的焦距为26C 不正确.故选BD. 7.答案：ACD解析：对于A ，由双曲线22:1C x y -=，可知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，故A 正确.对于B ，由题意得12(2,0),(2,0)F F ，则以12F F 为直径的圆的方程为222x y +=，故B 错误.对于C ，1(2,0)F -到渐近线y x =-的距离为1，故C 正确.对于D ，设()00,P x y ，则22120020PF PF x y ⋅=+-=.又22001x y -=，所以解得0062x y ==，所以12PF F 的面积为1222122⨯，故D 正确.故选ACD. 8.答案：ABD解析：对于选项A ，由椭圆定义，可得121224AF AF BF BF a +=+==，因此1ABF 的周长为11112248AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++==，故A 正确.对于选项B ，设(,)P m n ，则2214m n +=，且22m -≤≤.又12(3,0),(3,0)F F ，所以12(3,),(3,)PF m n PF m n =---=--，因此22212(3)(3)134m PF PF m m n m ⋅=-+=+--=23204m -=，解得26[2,2]m =-，故B 正确.对于选项C ，因为24a =，21b =，所以2413c =-=，即3c =，所以离心率3c e a ==C 错误.对于选项D ，设()11,P x y ，则点 P 到圆221x y +=的圆心的距离为2222211111||4443PO x y y y y =+=-+-因为111y -≤≤，所以max max ||||14013PQ PO =+=-=，故D 正确.故选ABD.。

2021年高考数学专练新高考重难点04解析几何解析版

重难点 04 解析几何【高考考试趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式。

即两道选择，一道填空，一道解答题。

高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等。

填空题目也是综合题目，难度中等。

大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等。

双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中。

复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。

本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用。

【知识点分析及满分技巧】1、定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点。

算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤。

2、定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式。

先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可。

注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可。

3、关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式。

对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内。

知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。

一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算。

【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·江西新余市·新余一中高三其他模拟（文））已知Q 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点，M 为双曲线右支上一点，若点M 关于双曲线中心O 的对称点为N ，设直线QM ，QN 的倾斜角分别为α，β且1tan tan 4αβ=，则双曲线的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】B 【分析】设()00,M x y ，()00,N x y --，以及()222022a ay b x =-，代入1tan tan 4αβ=整理可得答案．【详解】设()00,M x y ，()00,N x y --. 因为1tan tan 4αβ=，(),0Q a 则14QM QNk k ⋅=，所以20002200000y y y x a x a x a ---⋅=----. 又2200221x y a b-=，所以()2220220a ay b x =-.所以()222222014b x a a x a -=-. 所以2214b a =.所以12b a =. 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：B .2．（2020·全国高三专题练习（理））设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ＝2PA ，且OQ ·AB ＝1，则点P 的轨迹方程是（）A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) 【答案】A 【分析】设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，由2BP PA =,得a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0，再由1QA AB ⋅=，ax ＋by ＝1，两式联立求解即可. 【详解】设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由2BP PA =,得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0. 又点Q 与点P 关于y 轴对称，则点Q (－x ，y )，由1QA AB ⋅=，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．故选：A3．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线221(0)x y m m-=>的离心率与椭圆2213x y m m +=的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．2y x =±C ．3y x =±D ．y x = 【答案】B 【分析】先求出双曲线的离心率e=e =1=，解出m 的值，再求出双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线221(0)x y m m -=>的离心率为e =在椭圆2213x y m m +=中，由于0m >，则30m m >>，所以焦点在y 轴上所以椭圆2213x y m m+=的离心率为e =1=解得：2m =所以双曲线2212x y -=的渐近线方程为：y x =4．（2020·全国高三专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（） A．9+B．9+C．7112D．8312【答案】B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244B B y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，BM ==所以ABM的周长为：2511944AB AM BM ++=++=【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 5．（2020·太原市·山西大附中高二其他模拟（理））设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是C 上的点，圆2229a x y +=与直线PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则C 的离心率为（）A ．3B ．3C ．4D 【答案】D 【分析】取AB 中点H ，椭圆另一个焦点为E ，连结PE 根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得5a d =，【详解】如图，取AB 中点H ，椭圆另一个焦点为E ，连结PE .A 、B 三等分线段PF ，H ∴也是AB 中点，即OH AB ⊥设OH d =，则2PE d =，22PF a d =-，3a dAH -=，在Rt OHA 中，222OA OH AH =+，解得5a d =. 在Rt OHF 中，45FH a =，5aOH =，OF c =，由222OF OH FH =+化简得221725a c =，5c a =.即C . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a ，b ，c 的关系式，最后化归为a ，c （或)e 的关系式，利用方程求解，属于中档题.6．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ．若1F A =，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．(B ．32⎫⎪⎭C ．D ．32⎛⎝ 【答案】B 【分析】根据题中的条件求出OA a =，根据三角形两边之和大于第三边得到312e <<，再根据22OAF π∠>，得到e >.【详解】解：如图所示：1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，延长2F A 交1PF 于点Q ，PA 是12F PF ∠的角平分线，2PQ PF ∴=，又点P 在双曲线上，122PF PF a ∴-=，112PF PQ QF a -==，又O 是的12F F 中点，A 是2F Q 的中点，OA ∴是12F F Q △的中位线，122QF a OA ∴==，即OA a =，在1F OA △中，OA a =，1F A =，1OFc =，由三角形两边之和大于第三边得：a c +>，两边平方得：()225a c b +>，即()222225a c ac c a++>-，两边同除以2a 并化简得：2230e e --<，解得：312e -<<，又1e >，312e ∴<<，在1F OA △中，由余弦定理可知，22222111112cos 2AF FO AO AF AF FO O +-∠==⋅，在12F AF中，22211221112cos 2AF F F AF AF AF F F O +-==∠⋅，222=又222b c a =-，解得：222273AF a c =-，又22OAF π∠>，2222OA AF OC ∴+<,即222273a a c c +-<，∴e >综上所述：32e ⎫∈⎪⎭. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、多选题7．（2020·全国高三其他模拟）已知点()2,2M -在拋物线()220x py p =>的准线上，F 是拋物线的焦点.过点M 的两条直线分别与抛物线相切于点A ，B ，直线MF 交直线AB 于点E ，则下列结论正确的是（）A ．拋物线方程为24x y =B ．直线AB 的方程为240x y -+=C ．0AM BM ⋅=D ．2ME AE BE =⋅【答案】BCD 【分析】首先根据点M 的坐标，可知准线方程，从而确定抛物线方程，再判断A 选项，求出在点,A B 处的切线方程，切线都过点()2,2M -,从而确定直线AB 的方程，判断B 选项；再根据根与系数的关系求AM BM ⋅是否为0，判断C 选项；确定ME AB ⊥，再判断D 选项. 【详解】因为点()2,2M -在抛物线()220x py p =>的准线上，所以22p=，4p =，抛物线的方程为28x y =，故A 错误.设()11,A x y ，()22,B x y ，则抛物线在A ，B 两点处的切线方程分别为()1114x y y x x -=-，根据2118x y =，化简可得()114x x y y =+，同理可得()224x x y y =+，因为两直线均过点()2,2M -，所以()1122x y =-，()2222x y =-，则点()11,A x y ，()22,B x y 均在直线()22x y =-上，所以直线AB 的方程为()22x y =-，即240x y -+=，故B 正确.联立直线AB 与拋物线的方程得2240,8,x y x y -+=⎧⎨=⎩得24160x x --=，所以1216x x =-，所以121614416AM BM x x k k -=⋅==-，所以AM BM ⊥，0AM BM ⋅=，故C 正确. 又22220MF k --==--，12AB k =，所以1212MF AB k k ⋅=-⨯=-，所以ME AB ⊥，所以2ME AE BE =⋅.故选：BCD. 【点睛】本题是综合性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究请境.关键点点睛：本题以直线与抛物线相切为载体,考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系，本题的关键利用在点,A B 处的切线方程都过点()2,2M -,求出直线AB 的方程.8．（2020·山东高三专题练习）抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（） A ．|PM | +|PF |的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．【详解】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥ ，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF + 最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，PH ===，1y =时，min PH ==，B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ， B 两点关于30x y +-= 对称，设l 方程为0x y m -+= ，由 240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --= ，所以16160m ∆=+>， 1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=， AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +== ，002y x m m =+=+ ，Q 必在直线30x y +-= 上，所以2230m ++-=， 1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误； D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '= ，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=- ，即2111124y x x x =- ，同理BT 方程是2221124y x x x =- ，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =- 上，所以12114x x =- ，124x x =-，所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++ ，所以120x x +=时， 122y y +=为最小值．D 正确．故选：AD ．【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．三、填空题9．（2020·上海长宁区·高三一模）设F 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P ､Q是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点.若PQ OF =，则b =___________. 【答案】1 【分析】由已知得出点p 坐标，代入渐近线方程即可．【详解】由已知PQ OF =可得(,)22c c p ，又点p 在渐近线b y x a =上，22c b ca b a ∴=⋅⇒=又1a = ，1b ∴=10．（2020·江西高三其他模拟（理））平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆C ：22(1)(1)2x y -+-=的一条弦，且AC BC ⊥，M 是AB 的中点.当弦AB 在圆C 上运动时，直线l ：3490x y --=上总存在P ，Q 两点，使得2PMQ π∠≥恒成立，则线段PQ 长度的取值范围是_____.【答案】[6,)+∞【分析】由点M 所在圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=，要使得2PMQ π∠≥恒成立，则点M 所在的圆在以PQ 为直径的圆的内部，结合点到直线的距离公式，进而得到圆的半径的最小值. 【详解】由圆C ：22(1)(1)2x y -+-=可知圆心C ()1,1，因为M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥，又因为AC BC ⊥，所以三角形ABC 为等腰直角三角形，所以1CM =，即点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，点M 所在圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=，要使得2PMQ π∠≥恒成立，则点M 所在的圆在以PQ 为直径的圆的内部，而P ，Q 在直线l ：3490x y --=上，点C 到直线l ：3490x y --=的距离2d ==，所以以PQ 为直径的圆的半径的最小值为213r =+=，所以PQ 的最小值为26r =.故答案为：[6,)+∞.11．（2020·全国高三其他模拟）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作斜率为2的直线l ，与该抛物线交于A ，B 两点，若OAB 的面积等于5(O 为坐标原点)，则p =______．【答案】2 【分析】先由抛物线方程写出焦点F 的坐标，然后可得直线l 的方程，把直线方程代入抛物线方程，得到点A ，B 的纵坐标的关系式，结合已知并利用三角形的面积公式列出方程，可求得p 的值. 【详解】由题意可得抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，从而直线l 的方程为122p x y =+，代入抛物线方程，得220y py p --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12y y p +=，212y y p =-，OAB 的面积为212122p y y p ⨯-===2p =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于，利用联立方程和韦达定理，得到OAB 2p =难度属于基础题12．（2020·广西柳州市·高三二模（理））已知椭圆C ：2214x y +=，()0,P m 是y 轴正半轴上一动点，若以P 为圆心任意长为半径的圆与椭圆C 至多有两个交点，则m 的取值范围是_____. 【答案】[)3,+∞【分析】联立椭圆方程与圆的方程，消去x 得到关于y 的一元二次方程，把圆与椭圆至多有两个交点转化为关于y 的一元二次方程在[1,1]y ∈-至多有一个根，再根据根的分布得到m 的取值范围. 【详解】联立方程222)221,4(,y m x y x r -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去x 得：2223240y my m r +-+-=，因为以P 为圆心任意长为半径的圆与椭圆C 至多有两个交点，由于圆和椭圆的对称性，所以关于y 的方程对任意0r >，在[1,1]y ∈-至多有一个根. 令222()324f y y my m r =+-+-，对称轴3m y =-，因为()0,P m 在y 轴正半轴，所以0m >.当13m-≤-时，即3m ≥，方程()0f y =在[1,1]y ∈-至多有一根，符合题意；当103m-<-<，即03m <<，方程()0f y =在[1,1]y ∈-至多有一根，则必有 22222412(4)1648120m m r m r ∆=--+-=+-≤或(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩，对任意0r >恒成立，即22443m r ≥+或22(1)r m <-对任意的0r >恒成立，其中03m <<，因为244(412)3m +∈，，2(1)[0,4)m -∈，所以两个不等式对任意的0r >都不会恒成立，所以03m <<不符合题意. 故填：3m ≥. 【点睛】本题以椭圆与圆的交点个数的几何问题，转化成一元二次方程在闭区间上根的个数问题，体现解析几何坐标化思想的运用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，是一道综合性较强的试题.四、解答题13．（2020·上海闵行区·高三一模）已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0).【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =-+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x xx x λλ==--，，得到121212112x x x x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；（3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222x m x λ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =，设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c += 又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，，设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，，从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，，可得(0,)(,0)P km Q m -，，由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，，所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.14．（2020·上海青浦区·高三一模）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解；（3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=，即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=，即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -，则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=，即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---，所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.15．（2020·河南开封市·高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k .【答案】（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）由题意可得2222211122a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2））设直线PA的方程为()11y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立消元可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1x ，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得2x ，再利用1212y y k x x -=-即可求得直线l 的斜率k . 【详解】（1）因为1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=，又c e a ==，222a b c =+，由上述方程联立可得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设直线PA的方程为()112y k x -=-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由122(1)212y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得：())222111111222210k xk k x k +++--=，所以111x ⨯=，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得211x ⋅=，因为2112214212k x x k -+=+，1122112x x k --=+，所以()111121112112121212222k x k k x k k x x k y y k x x x x x x ⎛-+--++ +--⎝⎭===---221111422122k k k k --+===【点睛】关键点点睛：第二问关键点是设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212y y k x x -=-，设直线PA 的方程为()112y k x -=-与2212x y +=联立，利用韦达定理可以求出1x ，将1x 中的1k 替换为1k -可得2x ，代入直线方程可求12,y y ，再代入1212y y k x x -=-可计算出k 的值.16．（2020·广东广州市·高二期末）如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，(4)6y x =-或4)6y x =--．【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同. 【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=．则21223234k x x k +=+， ① 2122641234k x x k -=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<．因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得6k =±，满足1122k -<<．所以直线2l的方程为：4)y x =-或4)y x =-．方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =-此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=．由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >，则1222434ty y t +=-+， ①1223634y y t =+， ②因为2DN DM =，所以212y y =． ③把③代入①得12834t y t =-+，221634ty t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =2t <-或2t >．所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-．【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.17．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））已知双曲线C 的方程为：22186x y -=，其左右顶点分别为：1A ，2A ，一条垂直于x 轴的直线交双曲线C 于1P ，2P 两点，直线11A P 与直线22A P 相交于点P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点)Q的直线，与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，试探讨ABMQ是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由. 【答案】（1）22186x y +；（2）为定值，4.【分析】（1）设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y ，=，=，两式相乘化简得22022088y y x x =---，再利用点1P 在双曲线上代入整理即可得到答案；（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，易证4ABMQ=，②当0k ≠时，利用点斜式设出直线l 方程，联立直线l 与椭圆的方程消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB ，求出AB 的中点坐标，利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线的方程，求出点M 的坐标，利用两点间的距离公式求解MQ ，即可得出答案.【详解】（1）由题意知：()1A -，()2A ，设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y ，由11,,A P P 三点以及22,,A P P 三点共线，则==，两式相乘化简得：22022088y y x x =---，又2200186x y -=，代入上式得轨迹E 的方程：22186x y +.（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，直线l 的方程为：0y =，线段AB 为椭圆的长轴，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，则AB =，()0,0M,MQ =所以4ABMQ=； ②当0k ≠时，设方程为：(y k x =，联立方程得(22186y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，化简整理得：()2222348240kxx k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，212221223482434x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，)2122143k AB x k +=-==+，线段AB的中点的坐标为P ⎝⎭，线段AB的垂直平分线的方程为：22213434y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭，令0y =，则M ⎫⎪⎪⎝⎭，)22134k MQ k +==+， ∴4AB MQ=. 综上：4AB MQ=. 【点睛】本题主要考查了求椭圆的轨迹问题，考查了两条线段的比值是否为定值的问题，解题时要认真审题，考查了学生的运算求解能力.属于中档题.。

2021届高三总复习——专题13 解析几何(新高考地区专用)

专题13解析几何姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·和平·天津一中期中）已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（）A ．12B C ．13D 【答案】C【解析】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选：C.2．（2020·和平·天津一中期中）已知椭圆x 2+4y 2=12的左、右焦点分别为F 1､F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则∣PF 1∣是∣PF 2∣的（） A ．3倍 B ．4倍 C ．5倍 D ．7倍【答案】D【解析】由椭圆x 2+4y 2=12得，221123x y+= ，2222212,3,9a b c a b ===-=，所以1(3,0)F F （-3,0),，设(,)P x y ，则线段1PF 的中点坐标为3,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以302x -=，所以3x =，所以2231123y +=，解得2y =±，当3,2P ⎛ ⎝⎭，1||PF ==2||PF ==12||7||PF PF =，当3,P ⎛ ⎝⎭，1||PF ==2||2PF ==12||7||PF PF =，故选：D. 3．（2020·和平·天津一中期中）过椭圆9x 2+25y 2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB 的长为（） A ．5 B ．6 C ．9017D ．7【答案】C【解析】由9x 2+25y 2=225得，221259x y+=，2225,9a b ==，所以216c =，右焦点坐标为(4,0)，直线AB 的方程为4y x =-，所以2241259y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2342001750x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以1212100175,1734x x x x +==，||AB ==9017==.故选：C. 4．（2020·湖南长沙一中高三月考）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF 的周长p 与面积S 满足p = ）A BC D 【答案】C【解析】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF += 联立解得14p AF a =+，24pAF a =-，又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即e =.故选：C. 5．（2020·湖南高三月考）已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M ，N 两点.若点M 是线段2F N 的中点，且12NF NF ⊥，则b =（）A ．1 BC ．2D 【答案】D【解析】因为OM 是12NF F △的中位线，所以1//OM NF ，又由12NF NF ⊥，得2OM NF ⊥，从而2ONF △是等腰三角形，而21MOF NOF ∠=∠，所以2160MOF MON NOF ∠=∠=∠=︒，即渐近线y bx =的倾斜角为60︒，因此tan 60b =︒=故选：D6．（2020·广西其他（理））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 的右支上一点．以O 为圆心a 为半径的圆与1PF 相切于点M ，且1PM FM =，则该双曲线的渐近线为（） A ．2y x =± B ．y x =±C ．y =D ．3y x =±【答案】A【解析】如图，连接2PF 、OM ，∵M 是PF 的中点，∴OM 是12PF F △的中位线，∴2OM //PF ，且22||2PF OM a ==，根据双曲线的定义，得122PF PF a -=，∴1224PF PF a a =+=，∵1PF 与以原点为圆心a 为半径的圆相切， ∴1OM PF ⊥，可得21PF PF ⊥，12PF F △中，2221212PF PF F F +=，即得22212(4)(2)a a F F +=，22212(2)20c F F a ∴==，解得225c a =，即22224b c a a =-=，得2b a =.由此得双曲线的渐近线方程为2y x =±.故选：A.7．（2020·福建厦门一中月考）如图，椭圆22:14x C y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，动直线l 交椭圆C 于两点，且始终满足OM ON ⊥，作OH MN ⊥交MN 于点H ，则HA HB ⋅的取值范围是( )A．3⎡-+⎣B．4455⎡-+⎢⎣⎦C ．614,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．515,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设直线y kx b =+，与椭圆方程联立得()222148440kxkbx b +++-=，得122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+，因为()()121212120x x y y x x kx b kx b +=+++= ，代入整理得22544b k =+，原点到直线的距离2222415b OH k ===+所以点H 在圆224:5O x y +=上运动，记线段AB 的中点为D ，直线AB 与圆224:5O x y +=相切，则22254HD AD HD HA HB =--⋅=[,][,[,25251010HD d r d r ∈-+=-+=，25614[,]455HD -∈-故选：C8．（2020·云南昆明一中月考（文））已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y ++=【答案】A【解析】设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意. 所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=. 故选：A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·江苏南京·期中）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 【答案】BCD【解析】由题意可得，点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，即等价于“点P 到点M 的距离等于到直线'l ：1x =-的距离”故P 点轨迹是以()10M ，为焦点，直线'l ：1x =-为准线的抛物线，其方程是24y x =，故A 错误;点P 的轨迹方程是抛物线24y x =，它与直线'l 没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B 正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24y x =有交点，把26y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得2590x x ++=因为25419110∆=-⨯⨯=-<，无解，所以26y x =+不是“最远距离直线”，故C 正确；把112y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得21240x x -+=，因为()2124141280∆=--⨯⨯=>，有解，所以112y x =+是“最远距离直线”，故D 正确．故选：BCD ． 10．（2020·江苏南京·期中）（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a < 【答案】BC【解析】由题图可得12121122,,>>∴+>+a a c c a c a c ，故A 不正确；11221122||,||,=-=-∴-=-PF a c PF a c a c a c ，故B 正确；由1122a c a c -=-得()()221221a c a c +=+，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即22121122211221121222,,,+=+>∴>∴>c c b a c b a c b b a c a c a a ，故C 正确，D 不正确．故选：BC11．（2020·广东月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左､右端点分别为12,A A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1234PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有（）A ．椭圆C 的离心率不确定B ．椭圆C 的离心率为12C ．11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D ．12cos A PA ∠的最小值为17-【答案】BD【解析】设(),P x y ，则22221x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1,0A a -，()2,0A a ，故1222222222221PA PA x b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，依题意有2234b a -=-，即2234b a =，所以离心率12e ==，故A 不正确，B 正确；因为点P ，Q 关于原点对称，所以四边形12A PA Q 为平行四边形，即有12A Q A P k k =，代入题干条件可得；111234A P A Q A P A P k k k k ⋅=⋅=-，不受点P ，Q 的位置的影响，故C 不正确；设12PA A ∠为α，21PA A ∠为β，由题意可得3tan tan 4αβ⋅=，则有12A PA παβ∠=--，从而有()()12tan tan tan tan tan 1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--⋅当αβ=，即当点P 为短轴端点时12A PA ∠最大，此时12cos A PA ∠最小，计算得17-，故D 正确. 故选：BD.12．（2020·江苏南通·期中）设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB的距离1d =，即C 正确；A.||||OA OB =．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以211==126x x ∴±，，不妨取6x =.所以11k -==AB的方程为134y x =-+，所以14b =.由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++=1114++=3223. 所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：A CD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·和平·天津一中期中）椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若Rt F 1PF 2，则点P 到x 轴的距离为_____. 【答案】165或163【解析】【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组，再用等面积法求y. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得29y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165．（2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，121211||||||||22PF PF F F y =， 6|1|3y ∴=，由（1）（2）知：P 到x 轴的距离为165或163，故答案为：165或163．【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件14．（2020·海南期中）已知1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P 是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______. 【解析】【分析】由题意可计算出2c =，3c =，由12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，可得2PF 、1PF 的值，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，可得PD ，2DF 的值，可得12PF F △的面积. 【详解】解：由题意知24c =，则2c =，又23c e a ==，∴3a =，由椭圆的定义得1226PF PF a +==，又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，∴24PF =，12=PF ，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则1PD =，2DF =∴12PF F △的面积为122⨯=【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单的几何性质、三角形面积的计算，考查学生的逻辑推理能力、数学计算能力，属于中档题.15．（2020·福建厦门一中月考）已知1B 、2B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中，其中正确的是___.①直线1PB 与2PB 的斜率之积为定值22a b-；②12·0PB PB >；③△12PB B 的外接圆半径的最大值为222a b a+；④直线1PB 与2QB 的交点M 的轨迹为双曲线. 【答案】②③.【解析】①设0(P x ，0)y ，2200221x y a b +=，则1222200022000··PB PB y b y b y b b k k x x x a +--===-，因此①不正确；②点P 在圆222x y b +=外，∴222000x y b +->，所以()()22212000000·,,0PB PB x b y x b y x y b =-----=+->，②正确； ③当点P 在长轴的顶点上时，12B PB ∠最小且为锐角，设△12PB B 的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：221212222222222sin sin sin 2bb bb a b r ab B PB B AB OAB a a b +====∠∠∠+. ∴222a b r a +，∴△12PB B 的外接圆半径的最大值为222a b a+，③正确； ④直线1PB 的方程为：00y b y b x x ++=，直线2QB 的方程为：00y by b x x --=-，两式相乘可得：22222020y b y b x x --=-，化为22221y x b a-=，由于点P 不与1B ，2B 重合， M ∴的轨迹为双曲线的一部分，∴④不正确.故答案为：②③.16．（2020·江苏南京·期中）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.1【解析】∵sin 2sin C A =，∴sin 2sin AB CCB A==为非零常数，故点B 的轨迹是圆. 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()30A -,，()3,0C ，设(),B x y ，∵2AB CB ==，221090x y x +-+=，整理得()22516x y -+=，因此，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4.此时BC ==，AB =设内切圆的半径为r ，则()1164622r ⨯⨯=⨯，解得1r ==.1四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·江西零模（理））已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，圆222:O x y c +=()122F F c =与椭圆有且仅有两个交点，点33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ，若PA AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）圆222:O x y c+=()122F Fc =与椭圆有且仅有两个交点，b c ∴=，a ∴==，则椭圆方程为222212x y b b +=，将点33⎛ ⎝⎭代入，解得1b =，则a =所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由题可知直线l 的斜率存在，设斜率为k ，(0,)(1)P m m >，则直线方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 与圆O 相切，1=，即221m k =+①，联立直线与椭圆方程可得()222124220k xkmx m +++-=，则()()222216412220k m km∆=-+->，则0k ≠，2212122224222,121212km m k x x x x k k k -+=-==+++， PA AB =，212x x ∴=，()2211224,12312km k x x k k ∴=-=++，则()22161912m k =+②，联立①②解得272k =，即k m ==所以所求直线方程为22y x =±+18．（2020·贵州遵义·其他（理））已知椭圆()3222:10x y E a b a b+=>>，以抛物线2y =的焦点为椭圆E 的一个顶点，且离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点，且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）3,02T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12OP TP ⋅=.【解析】（1）抛物线2y =的焦点即为椭圆E 的顶点，即a =∵离心率为2 ，2c e a ∴==1c ∴=，1b ∴==∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则直线方程代入椭圆方程，可得()222124220kxkmx m +++-=122412km x x k -∴+=+，21222212m x x k -=+ 122212m y y k +=+ 2242,1212km m P k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程可得222242121212km m k k -⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭ 22421m k ∴=+设T （t ，0），Q （﹣4，m ﹣4k ），()4,4TQ t m k ∴=---，2242,1212kmm OP k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭∴()()22224226444121212km m m km kmtOP TQ t m k k k k -++∴⋅=⨯--+⨯-=+++ 22421m k =+()32122k t OP TQ m+∴⋅=+ ∴要使OP TP ⋅为定值，只需320t +=32t ∴=-∴在x 轴上存在一点T （32-，0），使得12OP TP ⋅=．19．（2020·北京二模）已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>，椭圆M 与y 轴交于A ，B 两点（A 在下方），且 4.AB =过点()0,1G 直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点（不与A 重合）.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值.【答案】（Ⅰ）22154x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）解：由题意得22224c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆M 的方程为22154x y +=；（Ⅱ）证明：由题意，直线l 的斜率存在，当0k =时，直线l 的方程为1y =，代入椭圆方程有x =，则2C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,12D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2)A - ，(0,2)B ，AC k ==AD k ==∴125AC AD k k ⋅==-，当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+.由221154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224510150k x kx ++-=.设()11,C x y ，()22,D x y ，则1221045k x x k +=-+，1221545x x k =-+，又()0,2A -，121222AC AD y y k k x x ++==，， ()()()()2121212122121212121233393922AC ADkx kx k x x k x x k x x y y k k k x x x x x x x x +++++++++⋅=⋅===+222222103930364512451515545k k k k k k k k⎛⎫-+ ⎪-+++⎝⎭=+=+=---+，即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值. 20．（2020·重庆月考）已知圆(22:16C x y +=，点()G ，P 是圆C 上一动点，若线段PG 的垂直平分线和CP 相交于点M . （1）求点M 的轨迹方程E .（2）已知直线():0l y kx m m =+≠交曲线E 于A ，B 两点.①若射线BO 交椭圆221164x y +=于点Q ，求ABQ △面积的最大值；②若OA OB ⊥，OD 垂直AB 于点D ，求点D 的轨迹方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）①ABQ ∆面积的最大值为3；②22455x y x ⎛⎫+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由圆(22:16C x y -+=，可得圆心C ，半径4r =，因为4GC =<，所以点G 在圆C 内，又由点M 在线段PG 的垂直平分线上，所以GM PM =，所以4GM MC PM MC GC +=+=>，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以G ，C 为焦点的椭圆，其中2a =，c =2431b =-=，所以点M 的轨迹方程为2214x y +=.（2）①当BO 所在直线斜率存在时，设BO 所在直线方程为y nx =，由2214y nxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22414B x n =+，同理221614Q x n =+，21Q B x x =，所以2OQ OB =，即Q 到直线l 的距离是点O 到直线l 距离的3倍，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222418410k x kmx m +++-=. 由>0∆得22410k m +->，且122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，则AB == 又由O 到直线l的距离d =∴222214141212 OABm mk kS⎛⎫+-⎪++⎝⎭==≤=△.当且仅当222214141m mk k=-++，即22241m k=+时等号成立.故ABQ△面积的最大值为33OABS=△.当BO所在直线斜率不存在时，假设()0,1B，则()0,2Q-，l的方程为1y kx=+（其中0k>）.联立22114y kxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224180k x kx++=，则2841Akxk-=+.∴2112121231241224ABQ AkS BQ xk kk=⋅==≤=+⨯+△，综上可得，ABQ∆面积的最大值为3.②由①知122841kmx xk+=-+，()21224141mx xk-=+，又因为OA OB⊥，所以0OA OB⋅=，即12120x x y y+=，即()()2212121212(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m+++=++++=，代入解得()22415k m+=，又OD==所以点D的轨迹是以O的圆（去掉x轴上的两个点），故点D的轨迹方程为2245x y x⎛+=≠⎝⎭.21．（2020·山西大附中其他（文））在平面xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(2,1)P，且离心率e=.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 方程为12y x m =+，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求PAB ∆面积的最大值. 【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)P，且离心率e =所以2224112a a c c a⎧+=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a =c =b = 所以椭圆方程为：22182x y +=. （2）设直线方程为12y x m =+，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，联立方程组2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得：222240x mx m ++-=，所以122x x m +=-，21224x x m =-，由弦长公式得：AB =，点P 到l的距离为d =所以221(4)·222m m S AB d +-====. 当且仅当22m =，即m =时取到最大值，最大值为：2.22．（2019·甘肃天水·高考模拟（文））已知椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>焦距为（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．【答案】(1) 2214x y +=.(2)见解析. 【解析】（1）由题意可得2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2{a c == 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=. （2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y , 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m ∆=--=->，且1220x x m +=>，()212210x x m =-> 故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212122121212111424OP OQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++==== 即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列.。

2021新高考第第8章解析几何第8讲

第八章解析几何
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题组一走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( × ) (2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(× ) (3)y＝kx与x＝1ky表示同一直线．( × ) (4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × )
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5．(2019·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长 |CD|＝3.则顶点A的轨迹方程为_______(_x_－__1_0_)_2＋__y_2_＝__3_6_(_y≠__0_) ____.
[解析] 设A(x，y)，由题意可知D(2x，2y)．又∵|CD|＝3，∴(2x－5)2＋(2y)2＝9，即 (x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点 A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
轨迹方程是( A )
A．x92＋y42＝1
B．3x62 ＋3y12 ＝1
C．x92－y42＝1
D．3x62 －3y12 ＝1
时与(圆3)C(21及01圆9·大C2庆相模外拟切)，已则知动圆圆C1圆：心(x＋M的3)2轨＋迹y2＝方1程和为圆_C_x_22：_－_(_yx8_2－＝__31_)(_2x＋_≤_y_－2_＝_1_9)_，__动__圆_.M同
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题组二走进教材
2．(必修2P37T3)已知点F(
1 4
，0)，直线l：x＝－

2021年高考数学解析几何汇总

1．（2021乙（文）设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（）A ．52BCD ．22．（2021乙（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2021甲（文））点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（） A ．95 B ．85 C ．65 D ．454．（2021新高考Ⅰ卷）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6二、多选题5．（2021年新高考Ⅰ卷）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（） A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =三、填空题6．（2021乙（文）试题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．7．（2021乙（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．8．（2021甲（理））已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．9．（2021新高考Ⅰ卷）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.四、解答题10．（2021年乙（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.11．（2021乙（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 12．（2021甲（理））抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．13．（2021新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.。