悬链线计算
等截面悬链线圬工拱桥上部构造计算1
等截面悬链线圬工拱桥上部构造计算一 设计资料1.1总体布置上部构造采用石砌板拱，净跨径0l =30m,净矢高0f =6m,净失跨比0015f l =。
桥面净空：净720.75+⨯人行道，桥梁全宽9m,主拱圈宽度8.5m.1.2拱上建筑拱顶侧墙为浆砌片石，填料为沙砾夹石灰炉渣黄土，平均重力密度为3120/KN m γ=。
桥面系按此重力密度和主拱圈宽度折算的厚度为24q h cm =。
腹拱圈护拱为浆砌片石，重力密度为3223/KN m γ=。
腹拱圈为10砂浆砌30号粗料石，腹拱墩为7.5号砂浆砌30号块石，两者重力密度均为3324/KN m γ=。
1.3主拱圈材料为M10砂浆砌MU50块石，重力密度为3424/KN m γ=。
主拱圈设计温度差为15±℃；岩石地基，不考虑基础的非均匀沉降。
主拱圈轴心抗压强度设计值 3.85cd f MPa =，直接抗剪强度设计值0.073vd f MPa =，弹性模量7300m E MPa =。
1.4设计荷载汽车荷载：公路-Ⅱ级； 人群荷载：23/KN m 。
1.5采用规范中华人民共和国行业标准《公路桥涵设计通用规范》JTG D60-2004 中华人民共和国行业标准《公路圬工桥涵设计规范》JTG D61-2005二 共轴系数确定2.1五点重合法拱轴系数采用“五点重合法”确定，步骤如下：（1） 假定一个拱轴系数m 值，定出拱轴线，拟定上部构造尺寸； （2） 恒载统计，计算悬臂半拱恒载对脚拱和1/4截面的弯矩fM∑和1/4M∑（3） 计算1/41/4f M y f M =∑∑（4） 计算，若与假定的1421212fm y ⎛⎫⎪=-- ⎪⎝⎭值不符，则以求得的m 值重定拱轴线，修改上部构造相关尺寸，重复上述计算，直至两者接近为止。
拱轴系数试算过程中的假定以及最后的确定均应按1/4y f的档位5‰取值。
2.2 拟定上部构造尺寸 2.2.1 主拱圈截面特性主拱圈截面高度d=k*β*，取d=0.85m 。
等截面悬链线无铰拱的计算
拱桥中内力符号的规定：轴力压力为正，剪力逆时针转为正，弯矩拱圈内缘受拉为正；
必须考虑温度、混凝土收缩徐变、拱脚变位、弹性压缩等引起的附加内力
*
2-2 无铰拱简化计算图式的基本结构及弹性中心
引入弹性中心ys,使赘余力作用在弹性中心上，使方程中的副变位等于零，方便求解方程；弹性中心离拱顶的距离：
*
1
*
【属于1-1-2】 空腹拱－确定 m的方法
根据拱轴线上“重合五点”与其三铰拱恒载压力线重合（五点弯矩为零）的条件确定m值；根据拱脚、拱跨1/4截面得：
添加标题
先假定m值，定出拱轴线，利用 y ¼ /f 计算查表求m值，多次计算，使m值接近；
添加标题
*
【属于1-1-2】 空腹拱悬链线拱轴的特点
采用“五点法”确定的拱轴线与相应的三铰拱恒载压力线偏离类似于一个正弦波，从拱顶到1/4点，压力线在拱轴线之上，从1/4点到拱脚，压力线大多在拱轴线之下； 与无铰拱的恒载压力线实际上并不存在五点重合关系，拱顶产生负弯矩、拱脚产生正弯矩的偏离；偏离弯矩与截面的控制弯矩符号相反，因此用悬链线比用恒载压力线更合理；
*
2-3-1、不考虑弹性压缩时的恒载内力
实腹拱～拱轴线与恒载压力线重合，仅产生轴向力； 竖直反力： 水平推力:
其中：
其中：
各截面的轴向力：
（可查表）
*
【属于2-3-1】
空腹式拱～根据“五点重合法”
添加标题
各截面的轴向力：
添加标题
一、悬链线拱轴线方程及拱轴系数的确定
设拱轴线即为恒载压力线～即各截面只有轴力。对拱脚取矩，因拱顶截面处M=0,Q=0, 推力Hg；故有： 计算矢高 半跨恒载对拱脚截面的弯矩 1-1 悬链线拱轴方程
l=40m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算
对于空腹式悬链线无铰拱石拱桥的计算，需要使用专业的桥梁工程软件，如midas civil、ansys等。
以下是一个基本的计算步骤：
1.建立模型：在软件中创建桥梁的模型，包括桥面、拱圈、墩台等部分。
2.定义材料属性：为模型中的各个部分定义材料属性，如弹性模量、泊松比、密
度等。
3.施加荷载：根据桥梁的设计要求，施加恒载、活载等荷载。
4.进行静力分析：对模型进行静力分析，求出各个部分的应力、应变等结果。
5.进行动力分析：对模型进行动力分析，求出桥梁的固有频率、振型等动力学特
性。
6.进行疲劳分析：对模型进行疲劳分析，求出桥梁的疲劳寿命。
7.进行稳定性分析：对模型进行稳定性分析，求出桥梁的稳定系数。
根据具体的情况，可能需要调整计算参数和模型设置。
需要注意的是，这只是一个基本的计算步骤，具体的计算过程需要根据实际情况进行调整和优化。
等截面悬链线圬工拱桥计算程序
1.0500
0.9058
(E)半拱恒载对拱脚和1/4拱跨截面的弯距
shκ ξ
1.2538 1.0349
分块号
P0-12 P13 P14 P15 P16 P'16 P17 P'17 合计
恒重（KN）
387.770 126.036 100.240 42.045 120.818 104.234 107.414 68.012 884.324
系数 1.2 1.4
0.7
主拱圈荷载效应不利
拱顶
M
N
36.39
945.64
105.564 26.624
(27.281) 44.660
4.167
5.930
(2.468)
4.903
(35.251) 16.425
21.151 (9.855)
M1
N1
161.001 1193.952
(31.486) 1218.196
9.4000
8.1097
ξ =X/L
0.9002 0.7399 0.5888
0.5796
0.5000
κξ =Ln(m+SQRT(m2-
1)*ξ
y1=f/(m-1)*(ch κ ξ -1)
tgφ =2*f*k/(m1)/l*shκ ξ
1.6308
5.0071
0.8316
1.3404
3.1559
0.6025
Hg'=Σ Mj/f=
962.60 (KN)
(2）计入弹性压缩的恒载内力计算表
项目 y=ys-y1 cosφ Hg=(1-μ 1/（1+μ ）)*Hg' Ng=Hg'/cosφ -Hg'*μ 1/（1+μ ）*cosφ
悬链线方程的推导过程
悬链线方程的推导过程悬链线是一种曲线，其形状类似于悬链。
悬链线最早由德国数学家焦若贝利在1725年所提出，也被称为Catenary（猫enary）曲线。
这条曲线具有许多独特的性质和应用领域，因此悬链线的推导过程也非常有趣。
悬链线的推导涉及到一些微积分和几何的知识。
在这里，我将尽量简明扼要地介绍悬链线方程的推导过程。
第一步：设定问题和坐标系我们假设有一根不可伸长、重力平均作用于其上的悬链线。
我们希望找到这条悬链线的方程。
为此，我们首先将悬链线放在一个笛卡尔坐标系中。
设悬链线的轴线为x轴，y轴垂直于轴线。
第二步：表示悬链线的参数方程为了表示悬链线，我们引入参数t，表示悬链线上任意一点的位置。
我们假设悬链线的最低点为原点O(0, 0)，则悬链线的参数方程可以表示为：x = at， y = bch(a)，其中a和b是任意的正数，c是一个常数，表示悬链线的形状。
第三步：应用欧拉－积分方程为了求解悬链线的参数方程，我们需要应用欧拉－积分方程。
欧拉－积分方程是描述弹性形体的自平衡状态的一个重要方程。
我们令L表示悬链线的弧长，则有：L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx将悬链线的参数方程带入上式，可以得到：L = ∫√(1 + (a² + b²ch²(a)²)dt第四步：求解悬链线弧长的积分通过对上式中的积分进行变量替换和一些微积分的技巧可以求得L的积分形式。
最终我们得到：L = ∫csch(a)da，其中csch(a)是双曲正弦函数的倒数，定义为csch(a) = 1/sinh(a) = (2e^a)/(e^2a - 1)第五步：应用数值积分方法由于上述积分无法通过标准的解析方法求解，我们可以应用数值积分方法来计算L。
一种常用的数值积分方法是龙格－库塔法则，它可以在较高精度下计算复杂的积分。
第六步：求解悬链线方程通过数值积分得到L后，我们可以尝试通过方程L=c来求解a。
悬链线方程
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【属于1-1-2】
【模块编号】MU-06-03
y h
f
1
(chk 1) 1
0
2
s
2 k d
s m 1
h 1 1
2
s
2 k d
0
f
1
弹性中心坐标系数，与拱轴系数m有关 1
～可根据拱轴系数，查设计手册； ～对变截面悬链线，还与拱厚系数n有关；
【模块编号】MU-06-03
◎确定m的原则
恒载压力线不是一条平滑的曲线，拱轴线采用悬链 线，应尽可能使拱轴线与恒载压力线偏离较小， 采用“五点重合法”使悬链线拱轴与恒载压力线 重合。
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【属于1-1-2】 空腹拱－确定 m的方法
1）根据拱轴线上“重合五点” 与其三铰拱恒载压力线重 合（五点弯矩为零）的条 件确定m值；根据拱脚、拱 跨1/4截面得：
3）当m=1,曲线即为二次抛物线；
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【属于1-1】
• 任意截面的拱轴线水平倾角：
【模块编号】MU-06-03
tg
d
y 1
2k
f
shk
dx l(m 1)
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1-2 拱轴系数m的确定 1-2-1、实腹拱拱轴系数m的确定
【模块编号】MU-06-03
g h
d
d
1d
2
g
j
【模块编号】MU-06-03
◎将拱圈换算为相当长度的压杆，按平均轴向力计算； 验算公式：
◎当主拱的长细比大于规范规定的数值时，按临界力
控制稳定；
临界平均轴向力
K1
NL Nj
4
「悬链线混凝土空腹式箱形拱桥设计与计算」
「悬链线混凝土空腹式箱形拱桥设计与计算」悬链线混凝土空腹式箱形拱桥是一种结构简洁、承载能力较高的桥梁形式。
它由一系列采用悬链线原理分布在桥面上的箱形拱构成。
该桥型配合预应力混凝土技术，在桥梁工程中得到广泛应用。
本文将详细介绍悬链线混凝土空腹式箱形拱桥的设计与计算。
首先，需要进行桥梁的设计。
桥梁的设计分为静力分析和动力分析两部分。
静力分析主要考虑桥梁在静止荷载下的受力情况，例如自重、活载和温度等。
动力分析主要考虑桥梁在振动荷载下的受力情况，例如车辆行驶时的荷载。
在设计过程中，需要根据桥梁跨度、荷载情况和工程要求等，选取适当的拱形曲线。
接下来，进行桥梁的计算。
计算包括了弯矩、剪力和轴力等。
根据荷载以及桥梁几何形状等因素，可以求得桥梁的最大弯矩、最大剪力和最大轴力等。
这些参数将用于后续的材料选取和构造设计。
另外，需要进行悬链线的设计。
悬链线是桥梁设计的核心，采用了悬链线的原理可以降低桥梁的荷载，提高桥梁的承载能力。
悬链线的设计需要考虑最大荷载、拱形曲线和预应力混凝土等因素。
悬链线的形状和预应力混凝土的预应力力度需要通过计算确定。
最后，进行材料选取和结构构造设计。
根据计算结果，选择合适的混凝土强度等级和钢筋配筋率。
在结构构造设计中考虑桥梁的施工和维护等因素，确保悬链线混凝土空腹式箱形拱桥的可持续性和安全性。
总结起来，悬链线混凝土空腹式箱形拱桥设计与计算需要考虑静力和动力分析、弯矩、剪力和轴力计算、悬链线设计、材料选取和结构构造设计等方面。
通过科学的计算和合理的设计，可以保证桥梁的可靠性和安全性，同时减少材料和施工成本，提高桥梁的承载能力。
悬链线
悬链线科技名词定义中文名称：悬链线英文名称：catenary定义：两端悬挂的理想柔性软索的曲线。
工程计算中，可近似用抛物线计算。
应用学科：电力（一级学科）；输电线路（二级学科）以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布目录悬链线等高悬链线数学表达式的证明工程中的应用悬链线悬链线(Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。
适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：y = a*cosh(x/a) 其中a 是一个常数。
等高悬链线数学表达式的证明注释如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T 和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m,受力分析有：Tsinθ=mg；Tcosθ=H，tanθ=dy/dx=mg/H，mg=ρs，，其中s是右段AB 绳子的长度，ρ是绳子线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx; 所以把s 带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1) 对于(1)设p=dy/dx微分处理得p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2) p'=dp/dx; 对（2）分离常量求积分∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx 得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲正弦）=ρx/H+C 当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0；整理得asinhp=ρx/H 另祥解：（ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H）；p=sh(ρx/H) （1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2）；(p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx)；y=ch (ρx/H)* H / ρ（y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ）；令a=H/ρ：y=a*cosh (x/a) (y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。
悬链线方程——数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？
悬链线方程——数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，并只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。
1690年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中创造了这个名字。
悬链线与抛物线相似。
意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人，并错误地将其形状认定为抛物线。
1691年，莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的形状。
他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利（约翰的哥哥）提出的一项挑战，即得到“悬链线”方程。
•图1：从左到右分别是雅各布·伯努利，戈特弗里德·莱布尼茨，克里斯蒂安·惠更斯和约翰·伯努利莱布尼茨和惠更斯发给雅各布·伯努利的图如下所示。
他们发表在《博学学报》上，这是欧洲德语国家的第一份科学期刊。
•图1：莱布尼茨和惠更斯提交给雅各布·伯努利的答案。
约翰·伯努利很高兴，他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。
27年后，他在一封信中写道：我哥哥的努力没有成功。
就我而言，我更幸运，因为我发现了这个问题的答案。
对于我当时的年龄和经验来说，这是一个巨大的成就。
……我满心欢喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地与这个难题作斗争，却没有任何进展，总是像伽利略一样认为这个链线是一个抛物线。
我对他说，不要再折磨自己了，不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了，因为那是完全错误的。
——约翰·伯努利求悬链线方程为求悬链线方程，作以下假设：•悬链悬挂在两点之间，靠自身重量悬挂。
•悬链是灵活的，有一个统一的线性重量密度（等于w_0）。
为了简化代数上的繁琐，我们让y轴通过曲线的最小值。
悬链线方程
通常任何材料包括导线在内,都具有一定得刚性,但由于悬挂在杆塔上得一档导线相对较长,因此导线材料得刚性对其几何形状得影响很小,故在计算中假定:ﻫ(１)导线为理想得柔索。
因此,导线只承受轴向张力(或拉力),任意一点得弯矩为ﻫ零。
这样导线力学计算可应用理论力学中得柔索理论进行计算。
ﻫ(2)作用在导线上得荷载均指同一方向,且沿导线均匀分布。
一、悬链线方程及曲线弧长1。
悬链线方程为了分析方便,我们先从悬挂点等高,即相邻杆塔导线悬挂点无高差得情况讨论导线得应力及几何关系。
实际上,导线悬在空中得曲线形态,从数学角度用什么方程来描述就是进行导线力学分析得前题、由于假定视导线为柔索,则可按照理论力学中得悬链线关系来进行分析,即将导线架设在空中得几何形态视为悬链形态,而由此导出得方程式为悬链线方程。
如图2－5所示,给出了悬挂于A、B两点间得一档导线,假定为悬挂点等高得孤立档,设以导线得最低点Ｏ点为原点建立直角坐标系。
ﻫ图２—5导线悬链线及坐标系同时假定导线固定在导线所在得平面,可随导线一起摆动,显然这就是一个平面力系。
根据这个坐标进行导线得受力分析,可建立导线得悬链线方程、ﻫ我们先从局部受力分析开始,再找出其一般规律、首先在导线上任取一点D(x,y),然后分析ＯD段导线得受力关系,由图2—5所示,此OD段导线受三个力而保持平衡,其中D点承受拉力为T x=σｘS,它与导线曲线相切,与x轴夹角为α; O点承受拉力为Ｔ０=σ0Ｓ,T0为导线O点得切线方向,恰与x轴平行,故又称水平张力;此外还有OD段导线自身得荷载为G＝gSL x, 其中L x为OＤ段导线得弧长。
ﻫ将OD段导线得受力关系画为一个三角形表示,如图2－6所示,ﻫﻫ图2-６导线受力情况ﻫ由静力学平衡条件可知,在平面坐标系中,其水平分力,垂直分力得代数与分别等于零。
或沿x 轴或y轴上分力代数与分别等于零。
垂直方向分力G＝T x siｎα=gSLｘ;水平方向分为Ｔ0=T xｃosα=σ0Ｓ、其中σ0、T0为导线最低点得应力与张力,σx、T x为导线任一点得应力与张力,S、g为导线截面与比载。
40米等截面悬链线拱桥计算
等截面悬链线空腹式石砌拱桥【目录】目录目录 (1)算例一：等截面悬链线空腹式石砌拱桥 (1)第1章基本资料 (1)1.1设计标准 (1)1.2材料及其数据 (1)1.3设计依据 (2)第2章确定拱轴线m (2)2.1拟定上部结构尺寸 (2)2.1.1主拱圈几何尺寸拟定 (2)2.1.2拱上构造尺寸 (4)2.2恒载计算 (6)2.2.1主拱圈恒载 (6)2.2.2拱上空腹段荷载 (6)2.2.3拱上实腹段的恒载 (8)2.2.4各部分恒载对拱脚及拱跨1/4截面的力矩 (10)2.3验算拱轴线m (10)第3章作用效用计算 (10)3.1自重作用效应 (10)3.1.1弹性中重心位置和弹性压缩系数 (10)3.1.2不计弹性压缩的自重水平推力 (11)3.1.3计入弹性压缩的主拱圈截面内力 (11)3.2活载作用效应 (13)3.2.1公路—Ⅱ级汽车荷载效应 (13)3.2.2人群荷载效应 (18)3.2.3温度作用效应 (18)叙府路车行道拓宽及人行道改造项目工程可行性研究报告【目录】3.3主拱圈作用效应组合........................................... 错误!未定义书签。
第4章拱圈截面强度验算.. (20)第5章桥台计算 (24)算例一：40米等截面悬链线空腹式石砌拱桥第1章 基本资料1.1设计标准（1）设计荷载：公路—Ⅱ级汽车荷载，人群荷载3kN/㎡（2）桥面宽度：〔净7.0m 行车道+2×(0.75m 人行道+0.25m 护栏)〕=9.0m （3）环境类别：Ⅱ类环境（4）地震动加速度峰值: 水平向地震动加速度峰值为0.2g ，地震烈度8度 （5）设计洪水频率：1/1001.2材料及其数据（1）主拱圈① 净 跨 径：l 0=40m ，净失高: f 0=8m ，净失跨比：f 0/l 0=1/5 ② 拱圈宽度：B=8.5m③ 拱圈材料：M10砂浆砌MU60块石，重力密度γ1=24 kN/m 3轴心抗压强度设计值：MPa MPa f cd 06.522.42.1=⨯= 抗剪强度设计值：MPa f vd 073.0= 弹性模量：MPa E m 7300=④ 设计温差：±15℃（2）拱上建筑① 主(腹)拱顶填料厚度：h c =0.5m② 腹拱、腹拱墩：均采用M10砂浆砌MU30块石，重力密度γ1=24 kN/m 3；腹拱净跨径：l ’0=3m ，净失高: f ’0=0.6m ，净失跨比：f ’0/l ’0=1/5；腹拱墩宽b=0.9m③ 侧墙、护拱：侧墙采用M7.5砂浆砌MU30块石，护拱为M7.5砂浆砌MU30片石；其平均重力密度γ2=24 kN/m 3④ 路面及拱腔填料(炉渣)：平均重力密度γ3=22 kN/m 3；路面结构层为6cm 沥青混凝土+8cm C40混凝土+36cm 水泥稳定碎石1.3设计依据（1）《公路桥涵设计通用规范》（JTG D60-2004），简称《通规》 （2）《公路圬工桥涵设计规范》（JTG D61-2005），简称《圬规》（3）《公路桥涵地基与基础设计规范》（JTG D63-2007），简称《公桥基规》 （4）《公路圬工桥涵设计规范应用算例》 （人民交通出版社） 2005（5）《公路桥涵设计手册——拱桥(上)册)》 （人民交通出版社） 1994，简称《94拱桥手册(上)》第2章 确定拱轴线M拱轴系数m 值的确定，一般采用“五点重合法”，先假定一个m 值，定出拱轴线，拟定上部结构各种几何尺寸，计算出半拱恒载对拱脚截面形心的弯矩∑s M 和拱顶至1/4跨的恒载对1/4跨截面形心的弯矩4/1∑M 。
三重积分的摆线面积计算问题
三重积分的摆线面积计算问题摆线，也称悬链线，是一个古老而有趣的几何学问题。
在数学中，摆线是一个曲线，其定义是一个固定点在直线上运动时，另一端点所绕的轨迹。
我们现在所要研究的是，通过三重积分来计算摆线所围成的面积。
一、摆线的定义摆线最初是由罗马时期的骑士作为战斗利器而设计的，它是一个弧长非常长的曲线，几何学中的摆线是指一个“重力悬挂”的针尖，悬挂于一根不可弯曲的细线，针尖沿着不同的轨迹向下滑动而形成的曲线。
在数学中，摆线的标准形式为：y = a - b cos(θ)其中，a和b都是常数，θ是角度。
二、摆线面积的计算我们可以通过三重积分，来计算摆线所围成的面积。
让我们首先看一下如何描述摆线的空间曲线。
假设点P在空间曲线L上，则点P可以被参数化为：P = (x(θ), y(θ), z(θ))其中，θ是沿着曲线L的特定路径的参数，x(θ)、y(θ)和z(θ)都是点P的三个坐标分量。
因此，我们可以用下面的公式来计算L 的长度：L = ∫√(dx/dθ)² + (dy/dθ)² + (dz/dθ)² dθ类似的，我们可以计算摆线所围成的面积。
假设曲线L的截面是一个单位宽度的平面，那么它的面积可以表示为：S = ∫y(x) √(1 + y'(x)²) dx其中y(x)是摆线的方程式，y'(x)是导数。
这个式子并不能直接用于三维积分，因为表面不是一个平面。
因此，我们需要找到描述曲面的方程。
假设摆线在xy平面上的参数方程为：x = a(θ - sin θ)y = a(1 - cos θ)那么，曲面可以由以下参数方程给出：x = a(θ - sin θ)y = a(1 - cos θ)z = y sin φ其中，φ是类似于θ的参数，不过这个角度控制着曲面绕y轴旋转的程度。
要计算曲面的面积，我们需要用到以下的公式：A = ∫√(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dxdy其中∂z/∂x和∂z/∂y可以通过求解偏导数得到：∂z/∂x = y cos φ∂z/∂y = sin φ因此，可以得出曲面的面积为：A = ∫[1 + y² cos² φ]^½ dx dy这个积分是相当棘手的，但是可以通过三重积分来解决这个问题。
悬链线方程
通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相对较长,因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定：(1）导线为理想的柔索。
因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为零。
这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算.（2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布.一、悬链线方程及曲线弧长1。
悬链线方程为了分析方便,我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。
实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题.由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。
如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。
图2-5导线悬链线及坐标系同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系.根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程.我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。
首先在导线上任取一点D（x，y），然后分析OD 段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡,其中D点承受拉力为T x=σx S，它与导线曲线相切,与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向,恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x, 其中L x为OD段导线的弧长.将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示,图2—6导线受力情况由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零.或沿x轴或y 轴上分力代数和分别等于零。
垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。
悬链线法计算弧垂观测角
悬链线法计算弧垂观测角用悬链线法求弧垂观测参数用角度法观测弧垂时的一般情况如图6-4所示。
经纬仪置于导线竖直下方的Z 点，望远镜中心至悬挂点的水平距离为l 1(m)，高差为a 1(m)，l 为观测档距(m)，h 为其悬挂点高差(m)，f A 为导线的小平视弧垂(m)，f B 为导线的大平视弧垂(m)。
望远镜视中轴线与导线悬挂点A 的垂线相交于A 1，与悬挂点B 的垂线相交于B 1，与导线轴心弧线相切于C (x,y )点。
线段AA 1的长度为a ，BB 1的长度为b ，显然，图中的a 和b 就是用异长法观测弧垂时从观测档两端的导线悬挂点分别向下量的高度，θ为弧垂观测角。
图6-4经过分析得出下列关系即令（6-3）（6-4）得（6-5）（6-6）θ = tan -1sh2kx（6-7）a =a 1 - l 1 sh2kx （6-8）b =a+h - l sh2kx （6-9）超越方程式（6-5）不是单值的，在计算出x 值后如发现切点不在观测档距内，应重新在式（6-6）中（6-10）式中 lh —悬挂点高差，m ，仪器在低悬挂点侧观测时，h 取正值，仪器在高悬挂点侧观测时，h 取负值；从式（6-5）求x 的牛顿公式为取x 0=0，用式（6-6）叠代求得x 精确至mm 的值后，由下列公式求得弧垂观测角和a 、b 值输入适当的初值进行计算，以求得正确结果。
当仪器架于中线下，偏转观测边线弧垂时，如导线为水平排列，按下式计算观测角：1 1122l kh A l sh k shkl -=+-21()122chkl kh h B a k shkl =+()2202x A sh kx ch kx B k +--=1111111()2222()2n n n n n n n x A sh kx ch kx B kx x k x A ch kx ------+--=-+122'tan ()A x D θ-=++12111111()2()122222222l kh chkl kh h l sh x sh kx a ch kx k shkl k shkl k k k-+-+=+++-1211112()22[()1]022222l kh chkl kh h xsh kx l sh sh kx ch kx a k shkl k k shkl -++---+=l1—仪器至悬挂点水平距离，m，档端观测时，取l1=0，档内观测时l1取负号；a1—仪器至悬挂点的高差，m；k—计算因数，k=p/2T，1/m；p—架空线的单位荷载，N/m；T—架空线水平张力，N；θ—观测角，计算结果为正值时表示仰角，为负值时表示俯角；D—中线和被测边线在切点的水平距离，m；x—切点至弧垂最低点的水平距离，m。