沪教版九年级上册 24.4 平面向量的运算 讲义
向量的线性运算 讲义-2024-2025学年沪教版(上海)九年级数学第一学期
《24.7向量的线性运算》讲义同学们好，咱们现在已经到了九年级啦，在沪教版（上海）的数学教材里，今天咱们要一起学习第二十四章相似三角形里的第四节内容，也就是向量的线性运算。
这部分知识呀，就像打开数学世界里一个新的小宝藏箱，里面有很多有趣的东西等着咱们去发现呢。
那什么是向量呢？我给大家讲个事儿啊。
有一次我去公园遛弯儿，看到一个小朋友在放风筝。
那风筝线就好像是一个向量。
风筝线有长度吧，这就相当于向量的大小；风筝线还有方向，是朝着天上风筝的方向，这就是向量的方向。
所以说向量这个东西啊，就是既有大小又有方向的量。
咱们再来说说向量的表示方法。
通常呢，我们可以用有向线段来表示向量。
就像刚刚说的风筝线，我们可以把它看成是一条有方向的线段。
在纸上画的时候，我们用一个箭头来表示方向，线段的长度就表示向量的大小。
比如说，我们画一个小箭头从点A指向点B，这个就可以表示一个向量，我们可以写成向量AB，这个箭头可不能丢哦，丢了就不知道方向啦。
一、向量的加法运算1、三角形法则咱们先来讲向量加法的三角形法则。
还是拿刚刚放风筝的事儿来说，假如这个小朋友先往东走了一段距离，这可以看成是一个向量，我们就叫向量a吧。
然后呢，他又往北走了一段距离，这就是另一个向量，叫向量b。
那他从最开始的位置到最后的位置这个总的位移呢，就是向量a和向量b的和。
咱们在图上画的时候，就把向量a的终点和向量b的起点连起来，然后从向量a的起点指向向量b的终点的这个向量，就是向量a加向量b。
这就像你要去一个地方，先走了一段路，接着又走了另一段路，总的路程就是这两段路的合成。
2、平行四边形法则除了三角形法则，向量加法还有平行四边形法则呢。
想象一下，你和你的小伙伴一起推一个箱子。
你从箱子的左边往右边用力，这是一个向量，你的小伙伴从箱子的前面往后面用力，这是另一个向量。
那箱子最终移动的方向和距离呢，就是这两个向量的和。
在图上怎么画呢？我们把这两个向量的起点放在一起，然后以这两个向量为邻边作一个平行四边形，那从这两个向量共同的起点指向平行四边形对角顶点的这个向量，就是这两个向量的和。
平面向量(沪教版)
专题：平面向量的概念知识梳理1．向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量。
例如：力，速度。
2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向。
用小写字母a ，b…或用AB ，BC ,…表示。
注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段。
3．模:向量的长度叫向量的模，记作a.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。
4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定。
注意：0和0是不同，0是一个数字,0 代表一个向量，不要弄混. 5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.aaa =0注意：单位向量不是只有一个，有无数多个,如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。
6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线。
注意:由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量对于两个非零向量b a,,若存在非零常数λ使b a λ=是b a ∥的充要条件.7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量。
练习:★判断下列命题的真假1、平行向量的方向一定相同的。
( × ) 解：有可能方向相反.2、与零向量相等的向量必定是零向量. ( √ )3、零向量与任意的向量方向都相同。
( √ ）4、向量就是一条有向的线段。
( × ）5、若m n =,n k =，则m k =。
（ √ )6、若,b a =，则.0=-b a(× ）解：注意区分0和零向量。
典例精讲例1（★)下列说法正确的是（D )A 、数量可以比较大小,向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小。
解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2（★★）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同,终点相同； ②若||||a b =，则a b =；③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中,一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =;⑥若b c b a ∥∥,，则.c a ∥正确的是____④⑤______解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A ，B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b可能是零向量例3。
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
平面向量的应用ppt-沪教版PPT教学课件
2021/01/21
4
2.向量应用的分类概述
(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等 式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本 运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数” ､“形”两重性解决问题.
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(2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的 一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题转 化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体.
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解法二:如图建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则 D(2,1),E(1,2).
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ODOE21124. |OD||OE| 5. 故cosDOE ODoOE 4 4.
|OD||OE| ( 5)2 5
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[反思感悟]利用向量解几何题,关键是将有关线段设为向量, 不同的设法可出现不同的解法;或者建立平面直角坐标系, 用坐标法解之.利用向量解平面几何有时特别方便,但要注 意一点,不宜搞得过难,因为高考在这方面要求不高.
答案:A
2021/01/21
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4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,O若B O Aa2
+a200O9 C ,且A､B､C三点共线(该直线不过点O),则
S2010等于( )
A.1005
B.1010
C.2010
D.2015
解析:由题2意01知0(Aa1､Ba､2C010三) 点共线,则a2+a2009=1.
答案:D
2021/01/21
12
3.将y
2cos
x 3
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
沪教版(上海)九年级上册数学 24.7 向量的线性运算 课件(共17张ppt)
分析： 向量加法在实际生活中的应用，本例应解
决的问题是向量模的大小及向量的方向
解：如图，设 AB表示水流的
速度，AD表示渡船的速度，
AC表示渡船实际过
江的速度.(由平行四边形 法则可以得到)
D
C
5
≈5.4
A2 B
答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流
速间的夹角约为680
向量加法运算及其几何意义
流方向，所以∠DAC即为所 求
课堂练习：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
（2）已知
|
r a
|
8,|
r b
|
6, 则
|
r a
r b
|
的最大值是
__1_4__
下面我们学习向量的线性运算。
❖ 向量加法的定义：我们把求两个向量 a, b
和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 a, b
的和.
两个向量的和仍然是一个向量.
向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
首尾相接，首尾连
a
b
a+b=AB+BC=AC
C
B A
向量加法的平行四边形法则
a
当向量 a、b不共线时，和向量的长度| a b | 与向量 a、b的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
a
三角形的两边之和大于第三边
当向量a、b不共线时有 | a b || a | | b |
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册24.7节的内容，本节课的主要内容是向量的加法、减法和数乘运算。
这部分内容是向量学习的重点和难点，也是学生进一步学习几何、代数等数学分支的基础。
教材通过实例和练习引导学生理解和掌握向量线性运算的定义和性质，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，对数学概念和运算有一定的理解。
但是，向量的概念和运算相对抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。
此外，由于向量是初高中数学的衔接内容，学生需要在学习过程中建立良好的学习习惯和方法，为高中数学学习打下基础。
三. 教学目标1.理解向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
2.掌握向量线性运算的基本方法，能够熟练进行向量的加法、减法和数乘运算。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高运算能力。
4.通过对向量线性运算的学习，激发学生对数学的兴趣和好奇心。
四. 教学重难点1.向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
2.向量线性运算的实质和运算规律。
3.学生对向量线性运算的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和实例，引导学生理解和掌握向量线性运算的概念和性质。
2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生建立空间想象，直观理解向量线性运算。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在讨论中思考和解决问题，培养学生的团队协作能力。
4.通过练习和总结，巩固学生对向量线性运算的理解和应用。
六. 教学准备1.多媒体课件和教学素材。
2.向量模型和实物模型。
3.练习题和测试题。
4.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习前置知识，如初中阶段的代数和几何知识，引导学生进入学习状态。
利用实例引入向量的概念，引导学生回顾向量的定义和性质。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
平面向量讲义
平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算一、基础知识1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ―→，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量AB ―→的大小即向量AB ―→的长度(模)，记为|AB ―→|. 2．几种特殊向量单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a |a |和－a|a |.3．向量的线性运算❷多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 只有a ≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.二、常用结论(1)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 考点一 平面向量的有关概念[典例] 给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．[解析] ①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2 D ．3解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考点二 平面向量的线性运算[典例] (1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→ (2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→， 且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. (2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[解题技法] 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[题组训练]1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( )A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→ B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→ D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析： 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→.2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则实数λ＋μ＝________. 解析：如图，∵AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝DC ―→＋12BC ―→，①AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝BC ―→＋12DC ―→，②由①②得BC ―→＝43AN ―→－23AM ―→，DC ―→＝43AM ―→－23AN ―→，∴AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝DC ―→＋BC ―→＝43AM ―→－23AN ―→＋43AN ―→－23AM ―→＝23AM ―→＋23AN ―→，∵AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，∴λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.考点三 共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．[解] (1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→，∴AB ―→，BD ―→共线． 又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1， 又∵λ>0，∴k ＝1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．[题组训练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形 D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：选D 因为向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，又因为向量a 和b 共线，存在实数k ，使得a ＝k b ，所以e 1＋λe 2＝2k e 1，所以λe 2＝(2k －1)e 1，所以e 1∥e 2或λ＝0.3．已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 设E 是BC 边的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意得AO ―→＝OE ―→，所以AO ―→＝12AE ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋14t AD ―→，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13，故选B.4．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB―→|AB ―→|，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上解析：由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|·AB ―→，∴点P 在射线AB 上，故选D.第二节 平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→. [解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ，BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ，∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→＝23OD ―→＝23a ＋23b ，∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13b 解析：由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b .2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→ (0<λ<1)，由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知，m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)．考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________.解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.2．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分． 考点三 平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→，∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13 B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→. 设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 第三节 平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b | cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律(1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a||b|. 特别地，a ·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a |＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一 平面向量的数量积的运算[典例] (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m ·n ＝( ) A ．0 B ．4C ．－92D ．－172(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172. (2)法一：如图，连接MN .∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，∴AM AB ＝AN AC ＝13.∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)．∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0.故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解． [题组训练]1．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1C.6D ．2 2 解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a ·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b )·(－b )＝－a ·b －b 2＝－1.2．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.55 B ．－55C ．－255 D ．－355解析：由a ＝(1,2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2， ∴a ·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－355.3．在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0，∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14.考点二 平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( )A ．6B ．32C ．2 2D ．3(2)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12C.34 D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a |＝3，∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a ||a ＋b |cos π4，∴|a ＋b |＝32，将|a ＋b |＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b |＝3，(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________． [解析] (1)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝ 3.又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋(3)2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋(－33)2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3.考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝223|b |，(a －b )⊥(3a ＋2b )， 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3C ．－2 D ．－1解析： ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B. 2．已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B ．1C. 2 D ．2 解析： ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，∵|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，∴4|a |2－2|a |＝0，∴|a |＝12，故选A.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则t a n θ＝________. 解析：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cosθ＝a ·b|a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴t a n θ＝sin θc os θ＝－15. 第四节 平面向量的综合应用 考点一 平面向量与平面几何[典例] 在平行四边形ABCD 中，|AB ―→|＝12，|AD ―→|＝8.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 法一：由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝AD ―→＋23AB ―→，所以NM ―→＝AM ―→－AN ―→＝AB ―→＋34AD ―→－⎝⎛⎭⎫AD ―→＋23AB ―→＝13AB ―→－ 14AD ―→，所以AM ―→·NM ―→＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝⎛⎭⎫13AB ―→－14AD ―→＝13⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝⎛⎭⎫AB ―→－34AD ―→＝ 13⎝⎛⎭⎫AB ―→2－916AD ―→2＝13⎝⎛⎭⎫144－916×64＝36，故选C.法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM ―→＝(12,6)，NM ―→＝(4，－2)，所以AM ―→·NM ―→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.[题组训练]1．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．正三角形 D ．等腰直角三角形解析：选A 由(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，得CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→， ∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形．2．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，|AB ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→|＝2，则△ABC 的面积等于( )A. 3 B ．23C ．3 3 D ．4 3解析：由|PB ―→|＝|PC ―→|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD (图略)，则PD ⊥BC ，又AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，所以AB ―→＝－(PB ―→＋PC ―→)＝－2PD ―→，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB ―→|＝2，|PD ―→|＝1可得|BD ―→|＝3，则|BC ―→|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.3.如图，在扇形OAB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，M 是OA 的中点，点P 在弧AB 上，则PM ―→·PB ―→的最小值为________．解析：如图，以O 为坐标原点，OA ―→为x 轴的正半轴，OB ―→为y 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M (1,0)，B (0,2)，设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以PM ―→·PB ―→＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－ 4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－25sin(θ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，c os φ＝255，所以PM ―→·PB ―→的最小值为4－2 5.答案：4－2 5考点二 平面向量与解析几何[典例] 已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x ．则t a n x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.[题组训练]1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(6，k －5)，且AB ―→∥BC ―→，∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0，可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为________．解析：由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，因为FP ―→＝(x 0＋1，y 0)，OP ―→＝(x 0，y 0)，所以OP ―→·FP ―→＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP ―→·FP ―→取得最大值224＋2＋3＝6.考点三 平面向量与三角函数[典例] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A ―→＋PC ―→＝2PO ―→＝(－4,0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB ―→＝(a －2，b )，所以P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(a －6，b )．故|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|＝－12a ＋37，所以当a ＝－1时，|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|取得最大值49＝7.[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．[题组训练]1．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α，若a ·b ＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2k π±π2(k ∈Z)，解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B.2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝ (cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，由题意得cos A ≠0，∴t a n A ＝3，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，所以c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.。
沪教版（上海）初中数学九年级第一学期24课件
B1C1，垂足分别为点D，D1，且
AB A1B1
AD A1D1
求证：△A B C ∽△A1B1C1
课堂小结
直角三角形相似的判定方法：
预备定理
（判定定理1）两角对应相等
有一锐角相等的两Rt△相似
（判定定理2）两边对应成比例且夹角相等 （判定定理3）三边对应成比例 （特殊）斜边和直角边对应成比例
布置作业
• 必做题：习题册24.4（4） • 选做题：作业单
拓展
1.已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是BC 上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC
， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线
(2) AB•AF＝AC•AE
2. 已知：在RtΔABC中， ∠C=90°，CD是AB边上的高 求证： (1) CD2 AD • BD; (2) BC2 AB • BD, AC2 AB • AD;
B
3
D
15
F
12
E
（3）
A
5 C 4B
D
15
F
12
E
已知：如图，在四边形ABCD中，
求证：
A
D
B
C
练习：在 ABC 中，A 900, AC CE CD BC 求证： ED BC
B
D
A
E
C
已知：在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，BAC B1A1C1 90，AD BC，
A1D1
( 2 ) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
AC BC C C △ABC ∽△ABC AC BC
( 3 ) AC=3，AB＝5，A'C'＝6，A'B'＝10
九年级数学上册24-7平面向量的分解(第1课时)教案沪教版五四制
教学过程设计 一、新课导入
我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道，向量的减法可以转化 为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以 组合起来，如果没有括号， 那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.
九年级数学上册 24-7 平面向量的分解（第 1 课时）教案沪教版五四制
教学目标设计
1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果. 2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线 性组合． 教学重点及难点 线性运算的意义， 线性组合的概念； 线性组合的简单应用. 教学内容分析
二、探 索新知
例题 1 已知两个不平行的向量
求 作： 解:略
，
.
_D
_B _O
_A
_E _C
四、课堂小结
五、作业布置 练习册 24.7（1）
沪教版数学九年级上册24.7《平面向量的分解》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《平面向量的分解》（第1课时）教学设计一. 教材分析《平面向量的分解》是沪教版数学九年级上册第24章第7节的内容，本节课主要介绍了平面向量的分解概念和方法。
通过本节课的学习，学生能够理解平面向量分解的意义，掌握平面向量分解的基本方法，并能够运用分解后的向量进行问题的求解。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面向量的基本概念和运算，具备一定的数学基础。
但学生在学习过程中，可能对向量分解的理解和运用存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理解向量分解的本质，并通过适量练习，提高学生运用向量分解解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解平面向量分解的概念，掌握平面向量分解的基本方法；2.过程与方法：通过实例分析，引导学生掌握平面向量分解的步骤，培养学生的动手操作能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在解决问题的过程中，体验到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：平面向量分解的概念及其方法；2.难点：平面向量分解的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究平面向量分解的方法；2.利用多媒体辅助教学，直观展示平面向量分解的过程；3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的团队协作能力；4.通过适量练习，巩固所学知识，提高学生的实践能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作平面向量分解的教学课件，包括向量分解的定义、方法及实例分析；2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生所学知识；3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一个实际问题，引导学生思考如何将问题中的向量进行分解。
例如，展示一个平面直角坐标系中的向量，让学生思考如何将该向量分解为两个互相垂直的向量。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍平面向量分解的定义和方法。
沪教版初三上册实数与向量相乘及向量的线性运算(提高)知识讲解
沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习实数与向量相乘及向量的线性运算（提高）知识讲解【学习目标】1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；3．认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系.【要点梳理】要点一、实数与向量相乘1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.要点诠释：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2．向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3. 实数与向量的相乘的运算律：设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）（向量的数乘对于向量加法的分配律）要点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.要点诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使.（5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使.要点三、向量的线性运算1．向量的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．向量的分解：平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3．用向量方法解决平面几何问题：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.【典型例题】类型一、实数与向量相乘1．当时，求证： (+)=+【答案与解析】证明：当=0时，左边=0•(+)=，右边=0•+0•= ，等式成立；当为正整数时，令=, 则有：(+)=(+)+(+)+…+(+)=++…+++++…+=+即为正整数时，等式成立；当为负整数时，令=-（为正整数），则有：- (+)= [-(+)]= [(-)+(-)]= (-)+ (-)=-+(-)=--,等式成立；综上所述，当为整数时， (+)=+恒成立【总结升华】本题是“向量的数乘对于向量加法的分配律”的求证过程，用到了数乘的意义及向量加法的交换律.2. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB 与AC上，DE∥BC，，试用向量表示向量【答案与解析】∵DE∥BC∴,得：∵且与同向，∴【总结升华】用已知向量表示未知向量，既要看未知向量与已知向量之间的大小关系又要看方向关系.举一反三：【变式】如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量 ( )A. B.C. D.【答案】A 提示：.类型二、向量的线性运算3. 如果向量满足关系式，试用向量表示向量.【答案与解析】解：去括号得：移项，系数化为1得：【总结升华】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质.举一反三：【变式】设为未知向量，、为已知向量，解方程：2-(5+3-4)+-3=0【答案】解：原方程可化为：(2-3)+(-5+)+(4-3)=0，∴=+.4．（2016•普陀区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，点M是边BC的中点=，=（1）填空：=，=（结果用、表示）（2）直接在图中画出向量2+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【思路点拨】（1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，可求得，然后由点M是边BC的中点，求得，再利用三角形法则求解即可求得；（2）首先过点A作AE∥CD，交BC于点E，易得四边形AECD是平行四边形，即可求得=2，即可知=2+．【答案与解析】解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，=，∴=3=3，∵点M是边BC的中点，∴==；∴=﹣=﹣（+）=﹣﹣；故答案为：，﹣﹣；（2）过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴==，∴=﹣=2，∴=+=2+．【总结升华】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．5.（2015•闸北区一模）如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AD上，AE=3ED，延长CE到点F，使得EF=CE，设=，=，试用、分别表示向量和．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴==，==，∵AE=3ED，∴==，==，∴=﹣=﹣；∵EF=CE，∴==﹣，∴=+=+﹣=+．【总结升华】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．类型三、平面向量（基本）定理的应用6.设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.【答案与解析】(1)证明：共线，又有公共点，∴三点共线.(2)解：∵和共线，∴存在，使，则由于和不共线，只能有则.【总结升华】当两向量共线且有公共点时，可得三点共线；当两向量共线且没有公共点时，可得两直线平行.举一反三：【变式】用向量的方法证明三角形中位线定理.【答案】证明：如右图，由E，F分别是边AB，AC的中点，得：∵∴根据，且点E不在直线BC上，可得：，且7.下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是．①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．【答案】②、③【解析】解：根据平面向量基本定理知：①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基底；故错误；②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基底；故正确；③平面向量的基向量只要不共线，也可能互相垂直；故正确；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合．如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，故错误．故答案为：②、③．【总结升华】本题考查平面向量基本定理，解题的关键是理解定理，明确概念，可作为基底的两个向量必不共线．类型四、综合应用8. 在中，分别为三边上的动点，且在时，分别从A，B，C出发，各以一定的速度沿各边向B，C，A移动，当t=1时，分别到达B，C，A，求证：在的任何一时刻t，的重心不变.【答案与解析】解：设的重心为G.由已知点D，E，F在边AB，BC，CA上的速度分别是在任意时刻时，有又为一确定向量.的重心不变.【总结升华】熟练地进行向量的线性运算是解决本题的关键，另外中设重心为G，则应该熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式】如图，已知点分别是三边的中点，求证：.【答案】证明：连结.因为分别是三边的中点，所以四边形为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得(1)，同理在平行四边形中，(2)，在平行四边形在中， (3)将(1)(2)(3)相加，得:.。
上海教育版数学九上24.7《向量的线性运算》(第2课时)word教案
第二十四章24.7（2）向量的线性运算
一、【教学目标】教学目标与要求的双向细目表
说明：
1、学习目标的排列与教学过程中目标的呈现顺序相一致。
2、学习要求分为A、B、C、D四个等级：
A：识记、了解、感知；
B：理解、领会、解释；
C：掌握、应用；
D：探究、评价。
二、新知应用
（一）课内检测题
1．如图六，已知平行四边形ABCD，点 M、N是边DC、BC 的中点，设AB a
=，AD b
=分别求向量MN、BN关于a、b的分解式.
图六
2．如图七，已知平行四边形ABCD的对角线AC 与BD相交于点 O，设,
OA a
=OB b
=，分别求向量OC、OD、AB、BC关于a、b的分解式.
C
A
图七
检测题达成度﹪（二）课后检测题：
1．如图，已知四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC 的中点，设AB a
=，AD b
=，分别求向量AM、AN、MN关于a、b的分解式．
A B
C
D M
N
2．如图，已知四边形ABCD ，点E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，AE 、CF 与对角线BD 分别交于点G 、H ，设BH a =，AG b =．
（1）试用a 、b 的线性组合表示向量CH 、CB ；
（2）作出向量CD 分别在a 、b 方向上的分向量．
G
H
F
A
B
C
D
E
检测题达成度 ﹪
三、教学效果检测
（检测题双向细目表）。
246-247 平面向量的线性运算(课件)-2021-2022学年九年级数学上册列(沪教版)
首尾相接首尾连
多边形法则
F
AB + BC+ CD+ DE+ EF
= AF
A
2.向量的减法运算
1）减法法则：OA－OB = BA
共起点，连终点，指向被减向量
3.加法减法运算律
O
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
E D C
B
B
A
二、探究新知:
a是实数 a+a+a+a
（4）相反向量：长度相等且方向相反的向量. （5）向量的模： 向量的长度。
模可以比较大小但向量不可以
1.向量的加法运算 三角形法则
AB+BC= AC
A
C BO
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
A
首尾相接首尾连
1.向量的加法运算 三角形法则
AB+BC= AC
A
C BO
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
图中与OE相等的向量．
A
E
D
OE 1 b 2
F
O
H
B G
C
OF 1 a 2
与OE相等的向量有：BF、FA、GO、CH、HD.
例3. 如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上， DE∥BC，AD=4DB，试用向量BC表示向量DE．
A
解: ∵DE∥BC，AD=4DB
DE AD 4 BC AB 5
A 解:设 AB a，BC b，CA c
D B
G E
F AE AB BE a+ 1 b
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
初三数学知识点归纳平面向量与向量的运算
初三数学知识点归纳平面向量与向量的运算初三数学知识点归纳：平面向量与向量的运算数学作为一门学科，包含了许多重要的知识点。
在初三数学学习中，平面向量与向量的运算是一个非常重要且常见的内容。
本文将对初三平面向量与向量的运算进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。
一、平面向量的定义和表示方式在数学中，平面向量可定义为具有大小和方向的几何对象，用于描述平面中的位移、力、速度等量。
平面向量常用字母小写字母表示，如 `a` 或 `b`。
平面向量也可以用一个带箭头的线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的加法和减法1. 平面向量的加法平面向量加法的定义：设有两个平面向量 `a` 和 `b`，则其加法运算记作 `a + b`。
加法运算的几何意义：将向量 `b` 的起点放在向量 `a` 的终点上，然后连接向量 `a` 的起点和向量 `b`的终点，所得线段的起点为向量 `a`的起点，终点为向量 `b` 的终点，所得线段即为向量 `a + b`。
2. 平面向量的减法平面向量减法的定义：设有两个平面向量 `a` 和 `b`，则其减法运算记作 `a - b`。
减法运算的几何意义：将向量 `b` 的起点放在向量 `a` 的终点上，然后连接向量 `a` 的起点和向量 `b`的起点，所得线段的起点为向量 `a` 的起点，终点为向量 `b` 的终点，所得线段即为向量 `a - b`。
三、平面向量的数量积和夹角1. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义：设有两个平面向量 `a` 和 `b`，则其数量积（又称点积、内积）的定义为`a·b = |a| |b| cosθ`，其中 `|a|` 和 `|b|` 分别表示向量 `a` 和 `b` 的模长，`θ` 表示向量 `a` 和 `b` 之间的夹角。
2. 平面向量的夹角平面向量的夹角定义：设有两个非零平面向量 `a` 和 `b`，则其夹角`θ` 的定义为`cosθ = a·b / (|a| |b|)`，其中 `|a|` 和 `|b|` 分别表示向量 `a` 和 `b` 的模长。
九年级数学上沪教版平面向量的线性运算
平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．1、平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．平面向量的线性运算内容分析知识结构模块一：实数与向量相乘知识精讲2、 平面向量的加减法则（1） 几个向量相加的多边形法则； （2） 向量减法的三角形法则； （3） 向量加法的平行四边形法则． 3、 实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka ． （1） 如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当k > 0时ka 与a 同方向；当k < 0时ka 与a 反方向．（2） 如果k = 0或0a =，那么0ka =． 4、 实数与向量相乘的运算律设m 、n 为实数，则 （1） ()()m na mn a =； （2） ()m n a ma na +=+； （3） ()m a b ma mb +=+． 5、 平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =． 6、 单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e 为单位向量，则1e =． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a ． 由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =．例题解析【例1】下列命题中的假命题是（）（A）向量AB与BA的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等【难度】★【答案】D【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量．【总结】此题主要考查向量的相关概念．【例2】填空：++=；+=；AB BC CAAB BC++=；AB BC BA++=；AE FC EFAB AC BC+-=．-+=；OA BC OC【难度】★【答案】AC；0；BC；AC；0；BA．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如AB AC CB-=是利用减法法则，箭头指向被减数，同时AB AC AB CA CA AB CB-=+=+=，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．ABDOA BCDEF G H O【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ．设OA a =，OB b =，试用a 、b 表示下列向量：OC ，OD ，AB ，BC ，CD ，DA ．【难度】★【答案】OC a OD b AB b a BC b a CD a b DA a b =-=-=-=--=-=+；；；；；． 【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:OC OA a =-=-；OD OB b =-=-；AB OB OA b a =-=-；BC OC OB a b =-=--；CD AB a b =-=-；DA BC a b =-=+．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例4】 已知非零向量a ，求作75a ，3a -．【难度】★【答案】略【解析】75a 与a 方向相同，长度是a 的75倍；3a -方向与a 相反，长度是a 的3倍，作图略．【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量．【例5】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AB a =，AD b =，试用向量a 或b 表示向量OE 、OF ，并写出图中与OG 相等的向量． 【难度】★【答案】11;22OE a OF b =-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；．【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以1111;2222OE AB a OF AD b ==-=-=-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；五个．【例6】 计算：()35a -⨯=；()()743a b a b a +--+= ；()()1123a b a b +--=．【难度】★【答案】151561166a ab a b -++；；．【解析】（1）()3515a a -⨯=-；（2）()()74377443611a b a b a a b a b a a b +--+=+-++=+； （3）()()1111111523223366a b a b a b a b a b +--=+-+=+． 【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．【例7】 用单位向量e 表示下列向量：（1）a 与e 方向相同，且长度为9； （2）b 与e 方向相反，且长度为5； （3）c 与e 方向相反，且长度为35．【难度】★【答案】3955a eb ec e ==-=-；；．【解析】此题主要考查用单位向量e 来表示已知向量,3955a eb ec e ==-=-；；．【例8】 已知非零向量a ，求作（1）22+3a a ；（2）4-25a a ．【难度】★★ 【答案】略【解析】28233a a a +=方向与a 相同，长度是a 的83倍；46255a a a -=-方向与a 相反，长度是a 的65倍，作图略．ABCDE【例9】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE //BC ，AD = 4，BD = 7，试用向量BC 表示向量DE ． 【难度】★★ 【答案】411DE BC =． 【解析】∵47AD BD ==，，∴411AD AB =， 又∵//DE BC ， ∴DE ADBC AB=．∴411DE BC =． 【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注意方向是否相同．【例10】下列说法中，正确的是（ ）A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【难度】★★ 【答案】D【解析】A 选项向量与零相乘，结果是零向量；B 选项向量可以与任何实数相乘；C 选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定． 【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则． 【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，且AF a =，AE b =，用a 、b 表示DB ，其结果是．【难度】★★【答案】22DB b a =-．【解析】222222DB DA AB FA AE AE AF b a =+=+=-=-． 【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则．【例12】 如果5OA =，3OB =，那么AB 的取值范围是 ．【难度】★★ 【答案】28AB ≤≤．【解析】AB OA OB =-,当O 、A 、B 三点共线时，OA OB -分别取最大值与最小值，,OA OB 同向时取最小值2，方向相反时取最大值8，所以28AB ≤≤． 【总结】此题主要考查向量的模的概念． 【例13】计算：（1）3322a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）()()32523a b a b +--； （3）()1123322a b c b c ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）1322a b --；（2）17b ；（3）32a b c -+．【解析】（1）333313222222a b a a b a a b ⎛⎫--=--=-- ⎪⎝⎭；（2）()()325236156217a b a b a b a b b +--=+-+=；（3）()1113332333222222a b c b c a b c b c a b c ⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪⎝⎭． 【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例14】设a 、b 是已知向量，解关于向量c 的方程42307c a b +-=．【难度】★★【答案】2372c b a =-．【解析】解：∵42307c a b +-=，∴4237c b a =-，∴2372c b a =-．【总结】此题主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量．a【例15】 已知向量a 、b 满足()3132525a b a b a b +--=+，求证：向量a 和b 平行． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】()3132525a b a b a b +--=+ 去分母：2(3)5()2(32)a b a b a b +--=+ 去括号：265564a b a b a b +-+=+ 移项合并得：79b a = 系数化1：97b a =所以，向量a 和b 平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行． 【例16】已知324a b c +=，25a b c -=，其中0c ≠，那么向量a 与b 是否平行？【难度】★★ 【答案】平行．【解析】联立方程组：32425a b c a b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a cb c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以，向量a 与b 平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行． 【例17】如图，已知a ，求作13a -【难度】★★★ 【答案】略【解析】AD a =作，过点D 作线段BC ，使得D 是BC 中点，联结、AC ．取AC 中点，则AD 、BE 分别是三角形ABC 心的性质可知：13DG a =-为所求作向量.【总结】此题主要是利用重心的性质定理来求作一个向量．CA【例18】 已知梯形ABCD 中，AD //BC ，且AD = 2AB = 2CD ，60B ∠=︒． （1）若AD kBC =，求实数k 的值；（2）若0xAB BC yDC ++=，求实数x 、y 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）23k =；（2）3,3x y ==-. 【解析】（1）如图，过点A 、D 分别作梯形的高AE 、DF ，设AB ＝CD ＝a ，则2AD EF a ==，∵∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴2a BE =，同理2aCF =，可得3BC a =，∵AD BC ，∴22,33AD BC k ==即.（2）延长BA 、CD 相交于点G ，易得BCG 、ADG 是等边三角形，所以3GB GC a ==，根据三角形法则，0GB BC CG ++=，又∵3,3GB AB CG DC ==-，∴33033AB BC DC x y +-===-，即，.【例19】a 、b 是已知向量，且a 、b 不平行，c 是未知向量，且1230a b c -+=，表示13a 、4b -、c 的有向线段能构成三角形吗？ 【难度】★★★ 【答案】能构成三角形.【解析】因为1230a b c -+=,两边同时除以3,得1403a b c -+=,因为a 、b 不平行，所以13a 、4b -、c 不共线，即13a 、4b -、c 能构成三角形.【总结】在三角形ABC 中，0,AB BC CA ++=同理若0a b c a b c ++=，，不共线，且，则表示a b c ，，的三条有向线段能构成三角形.【例20】 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--． 求证：四边形ABCD 为梯形．【难度】★★★ 【答案】略【解析】∵245382AD AB BC CD a b a b a b a b =++=+----=--，4BC a b =--，∴2(4)2AD a b BC =--=， ∴//AD BC ．∴四边形ABCD 是梯形．【总结】本题主要考查平行向量与两条直线平行的关系．1、 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如25a b +、3a b -、()23a b +、3553a a b ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等，都是向量的线性运算．一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成c xa yb =+的形式，其中x 、y 是实数． 2、 向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【例21】 如图，已知非零向量a 、b ，以点O 为起点，求作向量322a b -+．【难度】★ 【答案】略【解析】作法（作图过程略）：以O 为起点，作2OA a =-，以A 为起点，作32AB b =，联结OB ．则322OB a b =-+，为所求作图形．【总结】本题主要是通过向量的线性运算表示出向量之后，再利用向量的加减运算法则来作图．模块二：向量的线性运算知识精讲例题解析ab O【例22】 计算：（1）111252324a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12513362a b a b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）28134a b --；（2）1726a b --． 【解析】（1）11125281252103243434a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12511251173362336226a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--+=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例23】 已知向量a 、b 不平行，x 、y 是实数，且()31xa yb ya x b +=-+，求x 、y 的值． 【难度】★【答案】∵()31xa yb ya x b +=-+，∴3(1)x yy x =⎧⎨=-+⎩．解得：3414x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法．【例24】如图，已知向量OA 、OB 和a 、b ，求作： （1）向量a 分别在OA 、OB 方向上的分向量； （2）向量b 分别在OA 、OB 方向上的分向量．【难度】★★ 【答案】略【解析】作法（作图略）：（1）以a 的起点，分别作OB 、OA 的平行线OC 、OD ，以a 的终点分别作OC 、OD 的平行线，交于E 、F 两点，则OE OF a OA OB ，是在，方向上的分向量． （2）作法同（1）．【总结】本题主要考查求一个向量的分向量的方法．ABCD EO【例25】若()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，其中a 、b 、c 为已知向量，求未知向量x ． 【难度】★★【答案】4112177x a b c =-+．【解析】∵()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，∴321122322x x a b c +=-+．∴4112177x a b c =-+． 【总结】本题考查解向量方程，思想类比普通方程的解法：去分母→去括号→移项→合并化简→系数化1. 【例26】已知O 为ABC ∆内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且12AD DB =，DE //BC ．设OB b =，OC c =，试用b 、c 表示DE ．【难度】★★【答案】1133DE b c =-+.【解析】∵BC BO OC b c =+=-+，又∵DE //BC ，12AD DB =， ∴13DE BC =，即13DE BC =． ∴1133DE b c =-+．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助三角形一边平行线的性质定理求解向量．A BC DNMABCDE【例27】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM m =，AN n =，试用m 、n 表示AB 和AD ．【难度】★★【答案】42334233AB n m AD m n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.【解析】由题意得，AB BN AN AD DM AM⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 即1212AB AD n AD AB m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解方程组，得42334233AB n m AD m n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助平行四边形的性质以及向量的加减法则来表示向量．【例28】如图，在ABC ∆中，D 是AB 边的中点，E 是BC 延长线上一点，且BE = 2BC ． （1）用BA 、BC 表示向量DE ； （2）用CA 、CB 表示向量DB ．【难度】★★【答案】（1）12;2DE BA BC =-+（2）1122DB CB CA =-.【解析】（1）∵DE DB BE =+，D 是AB 边的中点，且BE ＝2BC∴122DE BA BC =-+；（2）∵12DB AB =， ∴111()222DB AC CB CB CA =+=-． 【总结】平面向量的分解，关键点是将已知向量用向量的加减法则改写成分解式，再乘以相关的系数来完成各个方向的分解.FA B CE GHABCDNM【例29】 如图，平行四边形ABCD 中，点M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a =，AD b =，分别求向量MN 、BN 关于a 、b 的分解式． 【难度】★★【答案】111;222MN a b BN b =-=.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AD BC AB DC ==．又∵M 、N 是边DC 、BC 的中点， ∴11()22MN MC CN AB AD =+=+-． 即1122MN a b =-， 11=22BN BC b =．【总结】本题一方面考查向量在某个方向上的分向量的概念，另一方面与几何图形结合，利用相关性质完成求解过程．【例30】已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，分别求向量OC 、OD 、AB 、BC 关于a 、b 的分解式． 【难度】★★【答案】OC a OD b AB a b BC b a =-=-=-+=--；；；. 【解析】本题考查平面向量的分解，结合平行四边形性质应用.【例31】如图，在ABC ∆中，G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，CA a =，BC b =，写出AB 、EF 、GH 关于a 、b 的线性组合，并通过向量证明EF 、GH 、AB 之间的位置关系．【难度】★★★ 【答案】EF GH AB .【解析】∵AB AC CB a b =+=--，又∵G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，∴2233GH GC CH a b =+=--，1133EF EC CF a b =+=--，∴21,33GH AB EF AB ==．即EF GH AB ．【总结】本题主要是考查如何在几何图形中借助几何图形的性质来表示未知向量．ABCDE F ONM【例32】 已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点D 、E 、F 在射线ON 上，1OB OEk OA OD==，2OC OFk OA OD==．设OA a =，OD b =． （1）分别求向量AD 、BE 、CF 关于a 、b 的分解式； （2）判断直线AD 、BE 、CF 是否平行．【难度】★★★【答案】（1）12()()AD a b BE k b a CF k b a =-+=-=-；；； （2）直线AD 、BE 、CF 两两平行． 【解析】（1）AD AO OD a b =+=-+；∵1OB OE k OA OD ==，2OC OFk OA OD==， ∴1122OB k OA OE k OD OC k OA OF k OD ====，，，． ∴111()BE BO OE k OA k OD k b a =+=-+=-．同理2()CF k b a =-；（2）∵12;BE k AD CF k AD ==，∴直线AD BE CF 、、两两平行．【总结】本题考查利用向量证明直线平行位置关系．【习题1】以非零向量a为参照，分别说出向量3a、53a-、()5a--的方向和长度．【难度】★【答案】3a与a方向相同，长度是a的3倍；5 3 a-与a方向相反，长度是a的53；5()5a a--=方向与a相同，长度是a的5倍.【解析】本题主要考查共线向量的方向和大小问题．【习题2】已知非零向量k，2a k=-，5b k=，用a表示b，其结果是．【难度】★【答案】52b a =-.【解析】∵2a k=-，5b k=，∴52ba=．又∵b a与方向相反，∴52b a =-．【总结】本题一方面考查向量的线性运算，一方面考查了相反向量的概念，注意两个向量互为相反向量时的符号关系．【习题3】已知不平行的两个向量a、b，求作向量2a b-+．【难度】★【答案】略【解析】作法:以O为起点,作OA b=,以O为起点,作2OB a=,则=2OA OB BA b a-=-.所以BA为所求作图形.【总结】本题主要考查如何根据已知向量求作未知向量．随堂检测【习题4】 下列命题中，错误的个数是（）○1若a 、b 都是单位向量，则a b =； ○2若m = 0或0a =，则0ma =； ○3设m 、n 为实数，则()m n a ma na +=+； ○4任意非零向量a ，与a 同方向的单位向量是0a ，则0a a =． （A ）1个（B ）2个 （C ）3个 （D ）4个【难度】★★ 【答案】C【解析】选项①：单位向量的方向是任意的；选项②：零与向量相乘的结果是零向量，而不是零；选项④：只能判断方向，大小不确定，所以错误的个数有3个. 【总结】本题主要是考查与向量有关的概念，解题时要注意认真辨析．【习题5】 已知，在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB AD =，那么四边形ABCD 是．【难度】★★ 【答案】菱形． 【解析】∵AB DC =，∴AB CD AB CD =且． ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵AB AD =，∴AB ＝AD ．∴四边形ABCD 是菱形．【总结】本题主要是根据向量之间的关系判断出向量所对应的线段的位置及数量关系，从而得到几何图形的具体特征．【习题6】 设a 、b 、c 是向量，m 、n 是实数，化简：（1）()()()()m na b c n ma b c n m b c +--+-+--； （2）()()2222mna mb nc m na b nc +--++．【难度】★★【答案】（1）0；（2）0．【解析】（1）去括号：()()mna mb mc mna nb nc n m b m n c =+---++-+-化简合并：000a b +=；（2）方法同上．【总结】本题考查向量的化简合并，在去括号时要注意变号问题．【习题7】 M 、N 是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点，若AB a =，AC b =，用a ，b 表示MN ． 【难度】★★【答案】当M 点靠近B 点时，1133MN b a =-；当M 点靠近C 点时，1133MN a b =-.【解析】本题考查向量的分解，此题容易漏解,M 、N 是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点，有两种位置关系，当M 点靠近B 点时，1133MN b a =-；当M 点靠近C 点时，1133MN a b =-.【习题8】 已知ABC ∆的边BC 的中点为O ，设OA a =，OB b =，分别求向量AB 、AC 、BC 关于a 、b 的分解式．【难度】★★【答案】2AB b a AC a b BC b =-=--=-；；. 【解析】AB OB OA b a =-=-；因为O 为边BC 的中点，所以OC OB =-，即AC OC OA b a =-=--；2BC b =-．【总结】本题主要考查向量分向量的相关作图及概念．ABCD E F G【习题9】 已知向量a 、b 不平行，点A 、B 、C 共线，且2AB a kb =+，4AC a b =-，求实数k 的值． 【难度】★★★ 【答案】8k =-．【解析】∵点A 、B 、C 共线，∴()AB AC λλ=为实数．∵122()2AB a kb a kb =+=+ ，4AC a b =-，∴2142k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴8k =-．【总结】本题主要考查向量的线性运算以及当两个向量共线时所具有的性质．【习题10】 如图，已知平行四边形ABCD ，点E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，G 为交点，若AB a =，AD b =，试以a 、b 表示DE 、BF 、CG ． 【难度】★★★【答案】11112233DE a b BF b a CG a b =-=-=--；；．【解析】（1）11()22DE DC CE AB AD a b =+=+-=-；（2）11()22BF BC CF AD AB b a =+=+-=-；（3）联结BD ．∵E 、F 分别是边BC 、DC 的中点， ∴G 是三角形BCD 的重心，∴12FG GB =． ∵1111111()()()()2323232CG CF FG a FB a BF a b a =+=-+=--=---，∴1133CG a b =--．【总结】本题主要考查平行四边形背景中平面向量的线性运算,其中第三问重心的应用非常巧妙．【作业1】 已知，向量AB 的方向是东南方向，且5AB =，那么向量2AB -的方向是；2BA -=．【难度】★【答案】西北方向；10．【解析】本题考查共线向量的方向和大小．【作业2】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设CG a =，CH b =，试用a 、b 表示向量DC 、FH 和BD ．【难度】★【答案】2222DC b FH a BD b a =-=-=-；；． 【解析】∵H 是CD 中点，∴22DC CH b =-=-．∵E 、F 、G 、H 分别为平行四边形各边的中点， ∴利用平行四边形的性质，可得：22FH CG a =-=-；22BD CD CB b a =-=-．【总结】本题主要是在平行四边形的背景下，利用平行四边形的相关性质用已知向量来表示未知向量．【作业3】 下列说法正确的有（）个（1）零向量是没有方向的向量； （2）零向量的方向是任意的； （3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B【解析】本题考查零向量的概念，零向量的方向是任意的，与任何向量共线．课后作业A BCDEFGH O【作业4】 已知不平行的两个向量a 、b ，求作向量()51222a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．【难度】★★【答案】化简结果得3522a b -+，作图略．【解析】本题考查向量的合成，利用三角形法则或者平行四边形法则完成作图即可．【作业5】 下列结论中，正确的是（）（A ）2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量 （B ）若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量（C ）若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量（D ）计算向量的模与单位长度无关 【难度】★★ 【答案】C【解析】选项A 是错误的，因为单位向量是相对向量，1个单位长度不代表就是1厘米或者1米，如果把2004厘米长的有向线段作为基准的话，它本身就是单位向量．【作业6】 若31122202245p q m q p m ⎛⎫⎛⎫---++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中p 、q 为已知向量，求未知向量m ． 【难度】★★ 【答案】4157m p q =-+. 【解析】去括号：3311120244210p q m q p m --+-+=； 去分母：30155102400p q m q p m --+-+=；（可以不去分母） 移项合并：35285m p q =-+； 系数化1：4157m p q =-+． 【总结】本题考查解方程的步骤，需要熟练的计算能力．ABCDPQR【作业7】 如图，四边形ABCD 中，点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点．设AD a =，BC b =，试用a 、b 表示向量PQ ．【难度】★★【答案】1122PQ a b =-．【解析】∵点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点，∴RQ PR BAD ABC 、分别是和的中位线． ∴12RQ AD RQ AD =，；12RP BC RP BC =，． ∴1122RQ AD RP BC ==；． 又∵PQ RQ RP =-， ∴1122PQ a b =-．【总结】本题主要结合三角形中位线考查向量的分解．【作业8】 已知ABC ∆中，点M 在A B 上，点N 在AC 上，13AM AB =，13AN AC =． 求证：13MN BC =．【难度】★★ 【答案】略【解析】∵MN MA AN =+，13AM AB =，13AN AC =， ∴1133MN AB AC =-+1()3AC AB =- 13BC =． 【总结】本题主要考查向量的线性运算．aABCDEFM【作业9】 如图，点M 是的重心，则MA MB MC +-为（）（A ）0（B ）4ME（C ）4MD（D ）4MF【难度】★★★ 【答案】D【解析】延长MF 到点G ，使得MF ＝FG ，联结AG ，易证MFB GFA ≅．∴,MB AG MB AG =，∴2MA MB MA AG MG MF +=+==． 又∵点M 是三角形的重心， ∴2CM MF =，即2CM FM =．∴MA MB MC +-=4MF ．【总结】本题结合三角形重心考查向量的线性运算，另外我们可证+0MA MB MC +=．【作业10】 如图，已知a ，求作3a （提示：利用勾股定理）． 【难度】★★★ 【答案】略 【解析】作法：（1）作OA a =，过点O 作OA 的垂线，截取OB ＝OA ；（2）以点B 为顶角，作∠OBD ＝60°，交OA 的延长线于点D ；（3）设a 的模长为m ，根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理，得3OD m =； （4）3OD a a 与方向相同，长度是 的倍； （5）所以，=3OD a ，为所求作向量．【总结】本题主要是借助几何图形的性质来求作向量．。
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,a b作图++=)()()a a a+-+-=？a a a即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。
-；,3a a=++，又由于OC与a方向相同且3 OA AB BC a===，此时OC a a a=OC a++=同理：()()()3a a a aOC a=，∴33-+-+-=-a a a a13OC OA =根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na 表示n 个a 相加．又当a 表示与a 同向且长度为|na m的向量. 在此基础上规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：为实数，a 为向量；如果0,0k a ≠≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >a 同方向；当0时，ka 与a 反方向。
如果或0a =，那么0ka =；根据实数与向量相乘的意义：ka a、DC 的三等分点，,AB a DA b ==试用向量,a b 表示向量1,3AE a AD b ==-；,a b ，求作（a a + （2）32a （3）2()ab + （4）2a b + （5）2(3a 。
观察、比较（）与（2），（3）与（），（5）与（6）的结果，你有什么发现？ 参考答案：图略；32a a a +=；2()22ab a b +=+；2(3)6a a = 讨论：通过前面的发现，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一般规律。
注意引导实数变成一般字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证,a b 为向量，则）实数与向量相乘的结合律：)()na mn a =；）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma ma +=+；）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma nb +=+． ,a b 恒有：)m a b ma mb -=-和向量a ，恒有()m n a ma na -=-a ，若(0)ma na a =≠，则m 11322)8()63443a b c a b c -++-+⨯. ,,a b x 满足关系式)5()a b b x +=-，试用向量,a b 表示向量x .．C ．5710a b c -+ 3．3255x a b =-+ a 是非零向量，(0)b ma m =≠，那么向量a 与b 有什么位置关系？m 为正数，则a 与b 同向，a b ；m 为负数，则a 与b 反向，a b ．ABCD 中，AD BC ，EF 是梯形中位线，AD a =,能将向量a 表示出来吗？参考答案：∵AD BC EF ∴AD CB EF 且EF CB 与a 同向，EF 与a 反向；又2,4,3,a CB EF ===32,2CB EF aa==∴32,2CB a EF a =-=备注：老师适当给出规范过程供学生模仿；讨论：已知a 是非零向量，如果a b ，那么b 能用a 表示出来吗？b 是非零向量，那么由a b 可知a 与b 同向或反向；设b k a=，得b k a =；当a 与b 同向时，b ka =；当a 与b 反向时，b ka =-，如果0b =，那么0b a =；平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一实数m ，使b ma =. a ，b ，满足2()a b a b -=+，判断向量a ，b 是否平行？15,3a cbc ==-，其中c 是非零向量，判断向量a ，b 是否平行？参考答案：1．平行； 2．平行 e 表示，模长表示为：1e =，则下列说法e 有无数个不同的单位向量，它们的方向不同 设a 是非零向量，且a e ，则a a e = D a 是非零向量，且a e ，则a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念；试一试：若向量b 与单位向量e 的方向相同，且1||||2b e =，则b ＝________．（用e 表示） 参考答案：12e例题2： 如图，已知两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）解： 如图：,2OA a AB b =-=则2OB a b =-+为所求备注：老师注意总结引出以下概念：1．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2．如果,a b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做,a b 线性组合.例题3：如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，E 、F 是AD 、BC 的中点，若AB a =，CD b =，那么用a 、b 的线性组合表示向量EF = ．解：∵AB CD EF ∵2AB CDEF +=13(3)()22a b a b +-+13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+--2a b =-+)AB EF a b =-． 备注：注意已知向量和所求向量的方向，要求学生习惯性在图中标出。
AB a =, BC b = ，那DA = 13a b -．讨论：如图，给定两个不平行的向量,a b ，对于平面内任意一个向量c ，都可以确定它关于,a b 的分解式吗？ ，作 OA a =，OB b =，OC c =；再作直线OB .上，过点C 分别作直线 OA 、OB 的平行线，由于向量,.a b 不平行，可知所有唯一的交点，记为N 、M. 作向量OM 、ON .//OM a ，所以存在唯一的实数OM xa = ；//ON b ，所以存在唯一的实数ON yb = .而四边形OMCN 是平行四边形，因此OC OM ON xa yb =+=+c xa yb =+如果点 C 在直线OA 或 OB //,c a 或//c b .这时得0c xa xa b ==+ 或0c yb a yb ==+所以c 关于a 、b 的分解式总是确定的.备注：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解AB a =，AD b =．BN 、MN 、DN 关于a 、b 的分解式；DN 分别在a 、b 方向上的分向量．（画出图形，写出结论，不要求写作法）102BN a b =+； 1122MN a b =- ；12DN a b =- ； 课堂达标训练：此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）．已知两个不平行的向量,a b ，化简并求作：7()(2).2a b a b +-- 75)(2)322a b a b a b +--=-+ ；图略2．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1,已知向量a 和b 的起点、终点都是小正方形的顶点.请完成下列问题：（1）设1113()4()324m a b a b =---，225()3(6)33n a b a b =+-+，判断向量,m n 是否平行，说明理由； （2）在正方形网格中画出向量：342b a -，并写出342b a -的模．（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）．解：(1) ∵m a = 13n a =- ∵13n m =- ∵ n m(2) 图略 3452b a -=. 3．如图，已知12//l l ，点A 、G 、B 、C 分别在1l 和2l 上，25AF AB =． （1）求AGBC的值； （2）若AB a =，AC b =，用向量a 与b 表示AG ．解：（1）∵12//l l ∵AF AGBF BC=l 1l 2FABCG∵25AF AB =∵23AF BF = ∵23AG BC = (2) ∵AB a =，AC b = ∵BC b a =-∵23AG BC = ∵AG =2222()3333BC b a a b -=--=-4．如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 的中点，2AB AC =，4BC =.（1）求CD 的长； （2）设AB a =，AC b =，求向量CD （用向量a 、b 表示）.解：（1）∵点D 是边AB 的中点，2AB AC =，∵1222AD AB AC == ∵22AD AC =，1222AC AB ==∵AD ACAC AB=，又A ∠公共．∵ADC ∆∵ACB ∆ ∵CD ACBC AB=，即242CD =，∵22CD = （2）∵点D 是边AB 的中点，∵1122AD AB a == ∵ 12CD AD AC a b =-=-GDBCA课堂回顾：（此环节设计时间在5－10分钟内）让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾课后作业：【巩固练习】1．如图，在ABC ∆中，点G 是重心， 设向量AB a =，GD b =，那么向量BC = （结果用a 、b 表示）．2．已知G 是∵ABC 的重心，设AB a =，AC b =，那么AG = （用a 、b 表示）．3．如图，梯形ABCD 中，AB ∵CD ，2AB CD =，AD a = ，AB b =，请用向量a b 、表示向量AC = ．4．在△ABC 中，点D在边BC 上，2CD BD =, AB a =, BC b = ，则DA = ． 5．如图，点E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，且:2:1BE ED =，点F 是边CD 的中点，AE 与BF 交于点O ，（1）设,AB a AD b ==，试用a 、b 表示AE ；（2）求:BO OF 的值。
参考答案：1. 26a b -+． 2. 1()3a b +． 3. 12a b +． 4. 13a b --． 5.（1）23AE a b =+；（2）:BO OF 的值为1 【预习思考】 画30°、45°、60°的直角三角形，完成下列表格AtanA cotA sinA cosA 30°45°60°。