沪教版九年级上册 24.4 平面向量的运算 讲义

,a b作图

++=)()()

a a a

+-+-=？

a a a

即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。

-；

,3

a a

=++，又由于OC与a方向相同且3 OA AB BC a

===，此时OC a a a

=

OC a

++=同理：()()()3

a a a a

OC a

=，∴3

3

-+-+-=-

a a a a

13

OC OA =

根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na 表示n 个a 相加．又当a 表示与a 同向且长度为|n

a m

的向量. 在此基础上规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：

为实数，a 为向量；如果0,0k a ≠≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >a 同方向；当0时，ka 与a 反方向。

如果或0a =，那么0ka =；

根据实数与向量相乘的意义：ka a

、DC 的三等分点，,AB a DA b ==试用向量,a b 表示向量1

,3

AE a AD b =

=-；

,a b ，求作（a a + （2）3

2

a （3）2()a

b + （4）2a b + （5）2(3a 。观察、比较（）与（2），（3）与（），（5）与（6）的结果，你有什么发现？ 参考答案：图略；

3

2

a a a +=；2()22a

b a b +=+；2(3)6a a = 讨论：通过前面的发现，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一般规律。

注意引导实数变成一般字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证,a b 为向量，则）实数与向量相乘的结合律：)()na mn a =；

）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma ma +=+；

）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma nb +=+． ,a b 恒有：)m a b ma mb -=-

和向量a ，恒有()m n a ma na -=-

a ，若(0)ma na a =≠，则m 11322)8()63443

a b c a b c -++-+⨯. ,,a b x 满足关系式)5()a b b x +=-，试用向量,a b 表示向量x .

．C ．5710a b c -+ 3．3

255

x a b =-+ a 是非零向量，(0)b ma m =≠，那么向量a 与b 有什么位置关系？m 为正数，则a 与b 同向，a b ；

m 为负数，则a 与b 反向，a b ．

ABCD 中，AD BC ，EF 是梯形中位线，AD a =,能将向量a 表示出来吗？参考答案：∵AD BC EF ∴AD CB EF 且EF CB 与a 同向，EF 与a 反向；又2,4,3,a CB EF ===

3

2,

2

CB EF a

a

==

∴32,2CB a EF a =-=

备注：老师适当给出规范过程供学生模仿；

讨论：已知a 是非零向量，如果a b ，那么b 能用a 表示出来吗？b 是非零向量，那么由a b 可知a 与b 同向或反向；设

b k a

=，得b k a =；当a 与b 同向时，

b ka =；当a 与b 反向时，b ka =-，

如果0b =，那么0b a =；

平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一实数m ，使b ma =. a ，b ，满足2()a b a b -=+，判断向量a ，b 是否平行？

1

5,3

a c

b

c ==-，其中c 是非零向量，判断向量a ，b 是否平行？参考答案：1．平行； 2．平行 e 表示，模长表示为：1e =，则下列说法e 有无数个不同的单位向量，它们的方向不同 设a 是非零向量，且a e ，则a a e = D a 是非零向量，且a e ，则a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念；

试一试：若向量b 与单位向量e 的方向相同，且1

||||2

b e =

，则b ＝________．

（用e 表示） 参考答案：12

e

例题2： 如图，已知两个不平行的向量,a b ．

先化简，再求作：．

（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

解： 如图：,2OA a AB b =-=则2OB a b =-+为所求

备注：老师注意总结引出以下概念：

1．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2．如果,a b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做,a b 线性组合.

例题3：如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，E 、F 是AD 、BC 的中点，若AB a =，CD b =，那么用a 、

b 的线性组合表示向量EF = ．

解：∵AB CD EF ∵2

AB CD

EF +=

13(3)()22

a b a b +-+13(3)()22a b a b +-+13

322

a b a b =

+--2a b =-+