完全信息动态博弈习题(一)

完全信息动态博弈习题（一）

1、在一个由三个寡头垄断者操纵的市场上，反需求函数由()Q a Q P -=给出，此处321q q q Q ++=，i q 表示企业i 生产的产量。每一企业生产的边际成本函数为常数c ，并且没有固定成本。企业按以下顺序进行产出决策：（1）企业1选择01≥q ；（2）企业2和3观测到1q ，并同时分别选择2q 和3q 。试求出此博弈的子博弈精炼解。

解：采用逆向归纳法。

（1）在第二阶段企业2和企业3决策：

()[]

2232120

0222cq q q q q a Max Max q q ----≥≥=ππ

()[]3332130

0333cq q q q q a Max Max q q ----≥≥=ππ 求出反应函数为：⎪⎪⎭

⎪

⎪

⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=331312q c a q q c a

q

（2）第一阶段企业1的决策：

()[]113211cq q q q q a Max ----π 一阶条件：023211

1

=----=∂∂c q q q a q π， 将3

3

1

31

2q c a q q c a q --=--=

带入可求得：

21c

a q -=，632c

a q q -==

2、假设家长和孩子进行一个博弈：令收入为p I （家长的收入）和c I （孩子的收入）是外生给定的，第一，孩子决定收入c I 中的多少用于储蓄S 以备将来，并消费掉其余部分B I c -；第二，家长观测到孩子的选择S 并决定给予一个赠与额B 。孩子的收益（支付）为当期和未来的效用之和：()()B S U S I U c ++-21；家长的收益（支付）为()()()[]B S U S I U k B I V c p ++-+-21（其中k>0反映出家长关心孩子的福利）。假定效用函数1U 、2U 和V 递增并且严格凹，试证明：在逆向归纳解中，孩子的储蓄非常少，从而可诱使家长给予更高的赠与（即如果S 增加，并使B 相应减少，家长和孩子的福利都会提高）。

解：采用逆向归纳法，先最大化家长的收益（支付）：给定的孩子的行动S ，来选择自己的行动B,

Max ()()()[]B S U S I U k B I V c p ++-+-21

一阶条件： ()()B S kU B I V p +'=-'2

反应函数满足： 0//122*<⎪⎭

⎫ ⎝⎛''-"-"=<-V kU kU dS dB ， 即，孩子储蓄减少，家长给予更高的赠与。

接着最大化孩子的收益：给定反应函数B*，来选S ：

Max ()()B S U S I U c ++-21

一阶条件：()()()

dS dB B S U S I U c /1**21++'=-' 由此可得：()()()

1/1/0**21<+=+'-'+dS B S d ，所以（S+B ）

会增加，从而()B S U +2也会增加；同时，因为()B S U +2增加的幅度比()S I U c -1减小的幅度大，所以孩子的收益（支付）效用增大了，同时家长的收益（支付）效用也增大了。

3、请将下列扩展式博弈转化为战略式博弈，并求出纳什均衡。

解：该博弈转化为战略式博弈为

1

L R

2 l 1,

3 0,0

r 0,0 3,1

其纳什均衡为(L,l)，(R, r)。