§2.9曲线的曲率

§2.9曲线的曲率
2.9.1 曲率概念
曲线弧 M⌒N 两端切线的夹角 ，可以看作是点 M 沿
曲线移动到点 N 时，切线 MT 随着转动到NT 所转过的角，
故 又称为转角。
N
决定曲线弯曲程度的两个因素：
（1）曲线的弧长；
（2）弧两端切线的转角。
M
N
N1
1 M
⌒⌒ MN MN1 ,
1 , 弧长若相等， 角大弯度大。
o
M
L
M M s
x
k lim 0 ，即直线上各点处的曲率都是零。 s0 s
例 2．求半径为R 的圆上各点处的曲率。
解：在点 M 、M 处圆的切线所夹的角 等于
MDM ，而 MDM s ， R
s
y
∴ R 1 ， s s R
k lim 1 。 s0 s R
o
DR M
s
M
由①和②得：
(
y
)
2
2 1 y2
(1 y2 y2
)
2
，
∵当 y 0 时曲线为凹弧， y 0 ；
当 y 0 时曲线为凸弧， y 0 ；
总之y 与 y 异号，故 y 1 y2 ， y
又 x y( y ) y(1 y2 ) ，
y
∴曲线在点 M (x, y) 的曲率中心 D(, ) 的坐标为
∴K
d dS
y (1 y2 )3/2
。
当 y 《1 时，∵1 y2 1 ，∴K y y 。 (1 y2 )3/2
例 3．求等边双曲线xy 1 在点（1，1）处的曲率。
解：∵
y
1 x
， y
1 x2
，y 2 x3
，
y x1 1 ， y x1 2 ，
∴
K
2 [1 (1)2 ]3/ 2
1 2
∵ x y(1 y2 ) 1 2 3 ，
y
1
y1 y2 0 2 2 ，
y
1
∴曲率中心为 (3, 2) ，
故曲率圆的方程为(x 3)2 (y 2)2 8 。
作业
习 题 2.4 （P138）
18(1)(3)；20(1)；21(1)(3)； 22(3)；23(1)
解： y ax2 bxc ， y 2axb ，y 2a ，
K
2a [1 (2ax b)2 ]3/ 2
，
∵k 的分子是常数2a ，∴ 只要分母最小，k 就最大，
∵ 而当 x b 时， y 4acb2 ，
2a
4a
∴抛物线在点（ b ，4acb2 ）即顶点处的曲率最大。
2a
4a
2.9.2 曲率圆与曲率中心
M
s
的起点，取定曲线的一个 走向作为弧长增加的方向。
o
M
sM
x
当弧长 M M 确定之后，
点 M 的位置就随之确定（规定切线的正向与弧长增大
的方向一致），于是 是s 的函数。对于任何s ，由弧
长
⌒
MM
s
s
所确定的点M
处的切线正向与x
轴正
向的夹角为 ，称比值 为弧段M⌒M 的平均曲
s
率，
⌒
称为弧段MM
]
y
f
(t)1( f (t)) 2 f (t)
例 7．求曲线 y ln x 在与x 轴交点M 处的曲率及 曲率圆的方程。
解：交点为 M (1, 0) ，
曲率圆方程为(x)2 (y)2 2 ，
∵
y
1 x
，
y
1 x2
，
y x11 ，y x11 ，
∴ K 1 1 ， 2 2 。 1 12 3/ 2 2 2
x
y(1 y2 y
)
y
1 y2 y
.
当点 (x, f(x))沿曲线L 移动时，相应的曲率中心D 的 轨迹曲线G 称为曲线L 的渐屈线，而曲线L 称为曲线 G 的渐伸线。
将上式中的x 看作参数并用L 的方程y f (x) 代入， 便得曲线 y f (x) 的渐屈线的参数方程：
x
t
f
(t)[1( f (t)) 2 f (t)
1．曲率圆的定义
定义：设曲线 y f (x) 在点M (x, y) 处的曲率 为 k （ k 0 ），在点 M 处的曲线的法线上， 在凹的一侧取一点D ，使 DM 1 。以
k D 为圆心， 为半径的圆称为曲线在点 M 的 曲率圆，圆心D 称为曲线在点 M 的曲率中心， 半径 称为曲线在点 M 的曲率半径。
y
y f (x)
D
M
o
x
例 6．设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x 2 ，现在 要用砂轮磨削其内表面，应用直径多大的砂轮比较合适？ 解： y 0.4x2 ， y0.8x ， y0.8 ，
y x0 0， y x0 0.8 ，
R 102 3/2 1.25 。 0.8
（抛物线在其顶点处的曲率最大，即抛物线在顶点 处的曲率半径最小。）
x
结 论：
（1）圆上各点处的曲率都相等，且K 1 。 R
（2）半径越小，曲率越大，圆弧弯曲得越厉害；
半径越大，曲率越小，圆弧弯曲得越平缓。
2．曲率的计算公式
设曲线 y f (x) ， f (x) 具有二阶导数，
∵tg y ， ∴arctg y ，d 1yy2 dx ，
而 dS 1 y2 dx ，
的平均绝对曲率记作
s
k M⌒M
s
。
当s 0 时， d lim 称为曲l 线 在M 点处的曲率， ds s0 s
K d lim 称为曲线L 在M 点处的绝对曲率 ds s0 s
（常简称为曲率）。
y
例 1．求直线L 上各点处的曲率。
解：对直线来说，切线与直线本
身重合，当点沿直线移动时，切 线的倾角 不变 0 ，从而
N
Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M M1
⌒⌒ MN MN1 ,
转角若相等，
弧大弯度小。
1．曲综率 上分的析定可义知：弧的弯曲程度可用弧两端切线的转角
定与义弧：长在之具比有⌒长 度来和描连述续，比值愈大y ，弧的弯y曲 程f (度x) 就愈
转大动，切比线值的愈曲小M线，N L弧上的取弯定曲程度就愈小。
一点 M ，作为弧长计算
2。 2
例
4．求椭圆xy34csoinstt
在t
4
处的曲率。
解：
y 4cost
4 cott
， y
4 csc2 t 3
4
csc3 t
，
3sint 3
3sint 32
y t
4
4 3
，
y
t
4
8 2 32
，
K
82 32
82
3
32 125
24 2 125
。
1( 4)2 2 27
3
例 5．抛物线 y ax2 bxc 上哪一点处的曲率最大？
2．曲率中心的计算公式、渐屈线与渐伸线
设已知曲线的方程为 y f (x) ，且其二阶导数y 在
点 x 不为零，则曲线在点M (x, y) 的曲率圆的方程为
(x)2 ( y )2 2 ，
①
曲率中心为(, ) ， ∵法线斜率为 y 1 ，
x y
∴ x y( y) ，(x)2 y2 (y)2 0 ②