工程图学基础第二章2
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β AB
|yA-yB|
|yA-yB|
3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角
角
b
B b
a
b a
A
a
△x
例10.已知线段AB的正面投影a'b'和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。
25
b
例11.已知线段AB的正面投影a'b' 和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，求它的水平投影。
a'
A
b' b
B
C
小结
重点掌握：
直线的投影特性。 一般位置线段投影、实长、夹角的关系。
两直线的相对位置的判断方法及投影特性。
直线上的点，定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
一、各种位置直线的投影特性 ⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
c
定比定理
例2.已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1 两段，求分点C的投影c、c' 。
c'
c
例3.判断点K是否在线段AB上。
b" k"
a"
因k"不在a"b"上， 故点K不在AB上。 另一判断法?
四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 1.平行两直线 b' d'
d'
f
2.平面上的点
e'
侧平面
a'b'
A
a" b"
B C
c'd'
D
d" c"
ad
bc
投影特性 （1）abcd 、 a'b'c'd' ’积聚为一条线，具有积聚性
（2）侧面投影 a"b"c"d"反映ABCD的实形
三、属于平面的点和直线
1.平面上的直线
e' F E D d' f'
d e 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
a a A b
Z
a
AB实长 b
AB实长 a
b X O a
a
b
YW
B b
b YH
投影特性： 1． ab⊥OX轴 ; ab ⊥OX轴 2． ab =AB 与投影轴倾斜 3．侧面投影反映 、 角的真实大小
总结:投影面平行线的投影特性
一斜二正，斜为实长，反映倾角。
a'
c'
Ⅱ Ⅰ
2
a 2 c 1 b d
1
例4.过C点作水平线CD与AB相交。
k'
d'
d k
先作正面投影
例5.判断两直线的相对位置
平行
Z
d" b" c" a" YW
相交
相交
a" d" c" b"
交叉
YH
交叉
例6.过点A作直线AB与直线CD相交，交点距H面距 离为20mm。
b'
b'
b' 20
b b
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
二、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 三、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。
(2) c
d Z YH c a
O
b b
b
d
YW
c dБайду номын сангаасa
YH
2.相交两直线
d' k' a' c'
K
交点是两直 线的共有点
b'
c a k d
b
当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交， 且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
⒊两直线交叉
两直线相交吗？
1'(2') 3' 4'
为什么？
投影特性：
2
1 3(4 )
同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空 间一个点的投影规律。
“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可 帮助判断两直线的空间位 置。
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
交叉两直线的投影及重影点可见性的判断
d' 1'(2') 1'(2') b'
判断下列直线对投影面的相对位置
a 一般位置
正平
铅垂
侧垂
侧平
三、直线上的点
若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名投 影上。 并将线段的同名投影 分割成与空间相同的比例 。即： AC/CB=ac/cb= a'c'/ c'b'
若点的投影有一个不在直 线的同名投影上， 则该点必 不在此直线上。
c'
C
c' d' a' b' b d a c 不在同一直 线上的三个 点 直线及线 外一点 两平行直 线 两相交 直线 平面 图形 a c a' b' b c'
2.平面的迹线表示法
PV P PH
Pw
QH
二、各种位置平面的投影特性
平面的投影特性
平行 实形性
垂直 积聚性
倾斜 类似性
平面对于三投影面的位置可分为三类 投影面平行面 一般位置平面 投影面垂直面
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
直角定理
2.4 平面的投影
一、平面的表示法 1.用几何元素表示平面
（否）
（相交垂直）
（否）
（交叉垂直）
（相交垂直）
（否）
六、用直角三角形法求一般位置线段实长及 与投影面的夹角
1.求直线的实长及对水平投影面的夹角α角
|zA-zB| |zA-zB| α
C
α
AB
AB α ab
|zA-zB|
2.求直线的实长及对正面投影面的夹角β角
AB β
C
β
|yA-yB| a'b'
b
a
a
B
a
b
a
O
A
X
YW
a
b
a
b YH
投影特性： 1． ab ⊥OYH轴; a b⊥OYW轴, a b与投影轴倾斜 2． a b=AB, ab<AB, a b <AB 3． 正面投影反映、角的真实大小
（3）侧平线——平行于侧立投影面的直线（X相等）
2.3
直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
三、直线上的点
四、两直线的相对位置
五、垂直两直线(一边平行于投影面)
六、用直角三角形法求一般位置线段实长
及与投影面的夹角
一、直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线 连接，就得到直线的同名投影。
2.3.1 直线的投影特性
1、直线对一个投影面的投影特性
其投影特性取决于直线与三个投影 面间的相对位置。直线对投影面的 相对位置有三种情况:一般位置直线, 投影面平行线,投影面垂直线.
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 水平线（平行于Ｈ面) 侧平线（平行于W面）
b c a
例8.过C点作直线与AB垂直相交。 AB为正平线, 正面 投影反映直角。
d'
d
例9.作线段AB、CD的公垂线EF。
f'
e'
e
f
2.3.6 直角投影定理
定理二：
且有一条直线平行于该投影面，则空间两 直线垂直。
两直线在某一投影面上的投影为直角，
例：判断两直线是否垂直（相交垂直、交叉垂直）
总结：投影面垂直线的投影特性
一点两线，线垂直于轴，等于实长。
在所垂直的投影面上的投影积聚 为一点； 其它两投影垂直于相应的投影轴， （平行于同一条轴）并反映实长。
3.一般位置直线
b'
B b"
a'
βγ
α
A a 投影特性
b
a"
（1） ab、 a' b' 、 a"b"均小于实长 （2） ab、 a' b' 、 a"b"均倾斜于投影轴 （3）不反映α、β、γ角的真实大小
β α
b
b
例12.已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的 点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。
L
AB
c'
zA-zB
ab
c
例13.作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN上，且 BC:AB=2:3
b'c'=BC a'b' b' c'
AB
c
b
|yA-yB|
例14.完成等腰直角三角形ABC的两面投影。已知 AC为斜边，顶点B在直线NC上。
b
c'd' c'b'
例7.作直线AB与直线PQ平行，与直线ED、HG相交。
b' a'
a
b
五、垂直两直线(一边平行于投影面)
若直角有一边平行于投影 面，则它在该投影面上的 投影仍为直角。 直角投影定理
证明： 设 直角边BC∥H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面 又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面 因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
正垂线— 垂直于正面投影面的直线。
a'b'
A B
a" b"
a b 投影特性 （1） a' b'积聚成一点
（2） a b ⊥OX; a"b" ⊥OZ （3）a'b'＝a"b" ＝ AB
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线。
a' b'
A
B a"b"
a 投影特性
b
（1） a"b" 积聚成一点
（2） ab ⊥OYH; a' b' ⊥OZ （3）ab＝ a' b' ＝AB
（2） a'b'c'd' 、 a"b"c"d"均为ABCD的类似形
（3）abcd与OX、OY的夹角反映β 、γ角的真实大小
正垂面
b'c'
a'd' α
A D
γ
b"
B
C
c" a"
d" c
a d
b
投影特性 （1） a'b'c'd' 积聚为一条线 （2） abcd 、 a"b"c"d"均为ABCD的类似形 （3）a'b'c'd'与OX、OZ的夹角反映α 、γ角的真实大小
在所平行的投影面上的投影反映 实长；并反映直线与另两投影面倾角。
其它两投影平行于相应的投影轴，
且小于实长。
例1.过点B作水平线AB的三面投影,长20mm,β＝30°， A点从点B向右、向后。
a' a"
30°
a
2.投影面垂直线
a'
A
铅垂线 正垂线 侧垂线
a"
b' b"
B
a(b)
投影特性 （1） a b积聚成一点 （2） a' b'⊥OX; a"b" ⊥OYW （3）a' b' ＝a"b" ＝ AB
b' c' a' a' c' o
X
b
a
b c b
d c
a 若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反 之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一 定相互平行。
例：判断图中两条直线是否平行。
(1)
a
X
Z
b d a c
O
b d c
YW
a
c b a d
X
AB与CD平行。 对于一般位置直 线，只要有两组同面 投影互相平行，空间 两直线就平行。 AB与CD不平行。 对于特殊位置直 线，只有两组同面投 影互相平行，空间直 线不一定平行,要根据 第三投影判断。
3.投影面的平行面
水平面 正平面 侧平面
a'd'
b'c' a"b" c"d"
a d
b c
投影特性 （1） a'b'c'd' 、 a"b"c"d" 积聚为一条线，具有积聚性 （2）水平投影 abcd 反映ABCD的实形
正平面
a' d'
A D
b' c'
B C
a"b"
c"d" ad bc
投影特性 （1） abcd 、 a"b"c"d" 积聚为一条线，具有积聚性 （2）正面投影 a'b'c'd'反映ABCD的实形
1.一般位置平面
b'
a'
B
b"
A C c"
a" b c
a
投影特性 （1） △abc、 △a'b'c' 、 △a"b"c"均为ABC的类似形
（2） 不反映α、β、γ角的真实大小
2.投影面垂直面
a' d'
A D β B C d"
铅垂面 正垂面 侧垂面
b'
a" b"
c"
ad
γ
bc
投影特性 （1）abcd积聚为一条线
●
B
A● M● B●
(m )
●
●
B
A●
A●
●
a (b)
b a●
●
a●
直线平行于投影面
b
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
投影反映线段实长
ab=AB
|yA-yB|
|yA-yB|
3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角
角
b
B b
a
b a
A
a
△x
例10.已知线段AB的正面投影a'b'和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。
25
b
例11.已知线段AB的正面投影a'b' 和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，求它的水平投影。
a'
A
b' b
B
C
小结
重点掌握：
直线的投影特性。 一般位置线段投影、实长、夹角的关系。
两直线的相对位置的判断方法及投影特性。
直线上的点，定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
一、各种位置直线的投影特性 ⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
c
定比定理
例2.已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1 两段，求分点C的投影c、c' 。
c'
c
例3.判断点K是否在线段AB上。
b" k"
a"
因k"不在a"b"上， 故点K不在AB上。 另一判断法?
四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 1.平行两直线 b' d'
d'
f
2.平面上的点
e'
侧平面
a'b'
A
a" b"
B C
c'd'
D
d" c"
ad
bc
投影特性 （1）abcd 、 a'b'c'd' ’积聚为一条线，具有积聚性
（2）侧面投影 a"b"c"d"反映ABCD的实形
三、属于平面的点和直线
1.平面上的直线
e' F E D d' f'
d e 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
a a A b
Z
a
AB实长 b
AB实长 a
b X O a
a
b
YW
B b
b YH
投影特性： 1． ab⊥OX轴 ; ab ⊥OX轴 2． ab =AB 与投影轴倾斜 3．侧面投影反映 、 角的真实大小
总结:投影面平行线的投影特性
一斜二正，斜为实长，反映倾角。
a'
c'
Ⅱ Ⅰ
2
a 2 c 1 b d
1
例4.过C点作水平线CD与AB相交。
k'
d'
d k
先作正面投影
例5.判断两直线的相对位置
平行
Z
d" b" c" a" YW
相交
相交
a" d" c" b"
交叉
YH
交叉
例6.过点A作直线AB与直线CD相交，交点距H面距 离为20mm。
b'
b'
b' 20
b b
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
二、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 三、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。
(2) c
d Z YH c a
O
b b
b
d
YW
c dБайду номын сангаасa
YH
2.相交两直线
d' k' a' c'
K
交点是两直 线的共有点
b'
c a k d
b
当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交， 且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
⒊两直线交叉
两直线相交吗？
1'(2') 3' 4'
为什么？
投影特性：
2
1 3(4 )
同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空 间一个点的投影规律。
“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可 帮助判断两直线的空间位 置。
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
交叉两直线的投影及重影点可见性的判断
d' 1'(2') 1'(2') b'
判断下列直线对投影面的相对位置
a 一般位置
正平
铅垂
侧垂
侧平
三、直线上的点
若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名投 影上。 并将线段的同名投影 分割成与空间相同的比例 。即： AC/CB=ac/cb= a'c'/ c'b'
若点的投影有一个不在直 线的同名投影上， 则该点必 不在此直线上。
c'
C
c' d' a' b' b d a c 不在同一直 线上的三个 点 直线及线 外一点 两平行直 线 两相交 直线 平面 图形 a c a' b' b c'
2.平面的迹线表示法
PV P PH
Pw
QH
二、各种位置平面的投影特性
平面的投影特性
平行 实形性
垂直 积聚性
倾斜 类似性
平面对于三投影面的位置可分为三类 投影面平行面 一般位置平面 投影面垂直面
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
直角定理
2.4 平面的投影
一、平面的表示法 1.用几何元素表示平面
（否）
（相交垂直）
（否）
（交叉垂直）
（相交垂直）
（否）
六、用直角三角形法求一般位置线段实长及 与投影面的夹角
1.求直线的实长及对水平投影面的夹角α角
|zA-zB| |zA-zB| α
C
α
AB
AB α ab
|zA-zB|
2.求直线的实长及对正面投影面的夹角β角
AB β
C
β
|yA-yB| a'b'
b
a
a
B
a
b
a
O
A
X
YW
a
b
a
b YH
投影特性： 1． ab ⊥OYH轴; a b⊥OYW轴, a b与投影轴倾斜 2． a b=AB, ab<AB, a b <AB 3． 正面投影反映、角的真实大小
（3）侧平线——平行于侧立投影面的直线（X相等）
2.3
直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
三、直线上的点
四、两直线的相对位置
五、垂直两直线(一边平行于投影面)
六、用直角三角形法求一般位置线段实长
及与投影面的夹角
一、直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线 连接，就得到直线的同名投影。
2.3.1 直线的投影特性
1、直线对一个投影面的投影特性
其投影特性取决于直线与三个投影 面间的相对位置。直线对投影面的 相对位置有三种情况:一般位置直线, 投影面平行线,投影面垂直线.
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 水平线（平行于Ｈ面) 侧平线（平行于W面）
b c a
例8.过C点作直线与AB垂直相交。 AB为正平线, 正面 投影反映直角。
d'
d
例9.作线段AB、CD的公垂线EF。
f'
e'
e
f
2.3.6 直角投影定理
定理二：
且有一条直线平行于该投影面，则空间两 直线垂直。
两直线在某一投影面上的投影为直角，
例：判断两直线是否垂直（相交垂直、交叉垂直）
总结：投影面垂直线的投影特性
一点两线，线垂直于轴，等于实长。
在所垂直的投影面上的投影积聚 为一点； 其它两投影垂直于相应的投影轴， （平行于同一条轴）并反映实长。
3.一般位置直线
b'
B b"
a'
βγ
α
A a 投影特性
b
a"
（1） ab、 a' b' 、 a"b"均小于实长 （2） ab、 a' b' 、 a"b"均倾斜于投影轴 （3）不反映α、β、γ角的真实大小
β α
b
b
例12.已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的 点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。
L
AB
c'
zA-zB
ab
c
例13.作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN上，且 BC:AB=2:3
b'c'=BC a'b' b' c'
AB
c
b
|yA-yB|
例14.完成等腰直角三角形ABC的两面投影。已知 AC为斜边，顶点B在直线NC上。
b
c'd' c'b'
例7.作直线AB与直线PQ平行，与直线ED、HG相交。
b' a'
a
b
五、垂直两直线(一边平行于投影面)
若直角有一边平行于投影 面，则它在该投影面上的 投影仍为直角。 直角投影定理
证明： 设 直角边BC∥H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面 又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面 因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
正垂线— 垂直于正面投影面的直线。
a'b'
A B
a" b"
a b 投影特性 （1） a' b'积聚成一点
（2） a b ⊥OX; a"b" ⊥OZ （3）a'b'＝a"b" ＝ AB
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线。
a' b'
A
B a"b"
a 投影特性
b
（1） a"b" 积聚成一点
（2） ab ⊥OYH; a' b' ⊥OZ （3）ab＝ a' b' ＝AB
（2） a'b'c'd' 、 a"b"c"d"均为ABCD的类似形
（3）abcd与OX、OY的夹角反映β 、γ角的真实大小
正垂面
b'c'
a'd' α
A D
γ
b"
B
C
c" a"
d" c
a d
b
投影特性 （1） a'b'c'd' 积聚为一条线 （2） abcd 、 a"b"c"d"均为ABCD的类似形 （3）a'b'c'd'与OX、OZ的夹角反映α 、γ角的真实大小
在所平行的投影面上的投影反映 实长；并反映直线与另两投影面倾角。
其它两投影平行于相应的投影轴，
且小于实长。
例1.过点B作水平线AB的三面投影,长20mm,β＝30°， A点从点B向右、向后。
a' a"
30°
a
2.投影面垂直线
a'
A
铅垂线 正垂线 侧垂线
a"
b' b"
B
a(b)
投影特性 （1） a b积聚成一点 （2） a' b'⊥OX; a"b" ⊥OYW （3）a' b' ＝a"b" ＝ AB
b' c' a' a' c' o
X
b
a
b c b
d c
a 若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反 之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一 定相互平行。
例：判断图中两条直线是否平行。
(1)
a
X
Z
b d a c
O
b d c
YW
a
c b a d
X
AB与CD平行。 对于一般位置直 线，只要有两组同面 投影互相平行，空间 两直线就平行。 AB与CD不平行。 对于特殊位置直 线，只有两组同面投 影互相平行，空间直 线不一定平行,要根据 第三投影判断。
3.投影面的平行面
水平面 正平面 侧平面
a'd'
b'c' a"b" c"d"
a d
b c
投影特性 （1） a'b'c'd' 、 a"b"c"d" 积聚为一条线，具有积聚性 （2）水平投影 abcd 反映ABCD的实形
正平面
a' d'
A D
b' c'
B C
a"b"
c"d" ad bc
投影特性 （1） abcd 、 a"b"c"d" 积聚为一条线，具有积聚性 （2）正面投影 a'b'c'd'反映ABCD的实形
1.一般位置平面
b'
a'
B
b"
A C c"
a" b c
a
投影特性 （1） △abc、 △a'b'c' 、 △a"b"c"均为ABC的类似形
（2） 不反映α、β、γ角的真实大小
2.投影面垂直面
a' d'
A D β B C d"
铅垂面 正垂面 侧垂面
b'
a" b"
c"
ad
γ
bc
投影特性 （1）abcd积聚为一条线
●
B
A● M● B●
(m )
●
●
B
A●
A●
●
a (b)
b a●
●
a●
直线平行于投影面
b
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
投影反映线段实长
ab=AB