二次函数复习专题讲义
二次函数复习ppt课件
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
二次函数复习全部讲义(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。
这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。
一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例1、对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，二、求抛物线的对称轴例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线 。
三、求二次函数的最值例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（ ） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4m D.有最小值4m- 四、根据图象判断系数的符号例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜0五、比较函数值的大小例5、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 六、二次函数的平移例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. 2(1)3y x =---B. 2(1)3y x =-+-C. 2(1)3y x =--+D. 2(1)3y x =-++例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）A.1)1(32---=x yB. 1)1(32-+-=x yC.1)1(32+--=x yD. 1)1(32++-=x y例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0).(1) 求该二次函数解析式;(2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.（1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式． （2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339424y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．七、求代数式的值例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007C ．2008D ．2009八、求与坐标轴的交点坐标例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为 ． 例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 。
二次函数复习讲义(整理)
二次函数复习讲义(整理)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1二次函数知识点复习知识点1.二次函数的定义1、一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数． 练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 。
2)1()2)(2(---+=x x x yC 。
xx y 12+= D 。
y=x(x —1) 练习（2）如果函数1)3(232++-=+-mx xm y m m 是二次函数，那么m 的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=练习（３）抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 练习（４）若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 （4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－2pm +练习（５）已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，练习（６）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）练习（７）二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。
二次函数复习讲义
AB F ED C二次函数复习讲义一、知识框架二、具体问题讲解（一）解析式的获取问题 1. 列取例1：正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 是CD 上一点，且AE=AF ，设⊿AEF 的面积为y ，EC 的长为x ，求y 与x 的函数关系式，写出自变量的取值范围。
例2：某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可售出20件。
现需降价处理，经过市场调查：每件服装每降价2元，每天可多售出1件。
在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，确定y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
例3：如图，在⊿ABC 中，∠B=900，AB=12cm ，BC=24cm ，动点P 从点A 开始沿着AB 向B 以2cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着BC 向C 以4cm/s 的速度移动（不与点C 重合）。
假设P 、O 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为ycm 2. ⑴求y 与x 之间的关系式，并确定自变量的取值范围；⑵四边形APQC 面积能否成为172cm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由。
练：1.在半径为4米的圆中，挖一个半径为xcm 的圆，剩下的圆环面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 2.国家决定对某种药品价格分两次降价，若设平均每次的降价率为x ，该药品的原价为18元，降价后的药价为y 元，则y 与x 的函数关系式为 。
3.如图，一矩形场地，两边长分别是80m 、60m ，先欲在场地内修两条宽为xm 的小路，剩余局部的面积为ym 2，则y 与x 之间的关系式为 。
4.某市园丁居民小区要在一块一边靠墙（墙长为15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD 。
花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成。
如下列图，若设花园BC 边的边长为xm ，花园的面积为Sm 2.则S 与x 的函数关系式为 ；自变量的取值范围为 。
二次函数阶段专题复习课件
二次函数阶段专题复习课件xx年xx月xx日•二次函数的概念与性质•二次函数的图像与变换•二次函数的应用与综合•二次函数的解析方法与技巧目•二次函数阶段测试题及解析•二次函数阶段复习总结与展望录01二次函数的概念与性质二次函数是指形如`y = ax^2 + bx + c`（其中a、b、c为常数，且a≠0）的函数。
总结词二次函数的一般形式是`y = ax^2 + bx + c`，其中a、b、c为常数，且a≠0。
a称为二次项系数，b称为一次项系数，c为常数项。
详细描述定义与表达式总结词二次函数的开口方向由a决定，顶点坐标由公式`(-b/2a, (4ac - b^2) / 4a)`获得。
详细描述a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
顶点坐标为二次函数的对称轴与y轴的交点，可以通过公式`(-b/2a, (4ac - b^2) / 4a)`获得。
开口方向与顶点坐标总结词二次函数具有轴对称性，其对称轴为x = -b/2a，且在对称轴两侧存在最值。
详细描述二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值；当a<0时，函数在x=-b/2a处取得最大值。
轴对称与最值02二次函数的图像与变换总结词了解图像形状与特征详细描述通过观察二次函数的图像，可以发现它具有一些特殊的形状和特征。
例如，开口方向、对称轴、顶点等。
这些特征可以用来判断函数的性质和解决问题。
图像的绘制与特征总结词掌握平移与伸缩变换规律详细描述通过平移和伸缩二次函数的图像，可以得到更多具有不同形状和特征的函数图像。
平移主要通过改变函数的解析式实现，而伸缩则可以通过改变函数中的系数实现。
图像的平移与伸缩变换总结词理解对称与旋转变换概念详细描述二次函数的图像具有一些对称性和旋转性质。
例如，对于一些函数，通过沿坐标轴对折或者旋转一定角度，可以得到其他函数的图像。
这些变换可以帮助我们发现函数之间的联系和规律。
二次函数复习讲义
二次函数复习讲义一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式方程所定义的函数。
其一般形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴是与抛物线对称的直线，由x = -b/2a表示。
抛物线的顶点坐标即为对称轴的交点。
二、性质与变换1. 平移变换二次函数可通过平移变换进行移动。
设二次函数为f(x)，平移的规则如下：a）水平平移：f(x + h)表示将抛物线沿x轴正方向移动h个单位；b）垂直平移：f(x) + k将抛物线沿y轴正方向移动k个单位。
2. 拉伸与压缩变换二次函数可通过拉伸或压缩变换进行缩放。
设二次函数为f(x)，变换的规则如下：a）水平拉伸或压缩：f(mx)表示将抛物线的横坐标压缩到原来的1/m倍；b）垂直拉伸或压缩：m*f(x)表示将抛物线的纵坐标拉伸到原来的m 倍。
3. 顶点形式与标准形式的转换二次函数可以通过顶点形式和标准形式之间的转换来说明抛物线的性质。
顶点形式可表示为：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。
标准形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，(h, k)为对称轴的交点。
三、特殊二次函数1. 平方函数平方函数是一种特殊的二次函数，其形式为：f(x) = x^2平方函数的图像是一条开口向上的抛物线，其顶点在(0, 0)处。
2. 平移后的二次函数对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行平移变换可以得到新的二次函数g(x) = a(x - h)^2 + k。
3. 开口向上与开口向下的二次函数当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
二次函数(复习课)课件
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
高中数学-二次函数-精华讲义
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式f(x) = ax2+bx + c f首先需要考虑d是否等于0,若∏ = 0,则函数不是二次函数.2.二次函数的三种表现形式1 ) 一般式：y = Cix2+bx+c(a≠O)2)顶点式：y = a(x-h)2+k(a ≠0)此时二次函数的顶点坐标为(h,k);3)分解式：y = ^(%-Λ-1)(Λ-x2)其中为、勺是二次函数的与兀轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线X =送卫.3.二次函数的图像与性质①开口方向：当d>0,函数开口方向向上；当d<0,函数开口方向向下；②对称轴：Ici③顶点坐标：(-2，也二)；若图象与X轴有两个交点，分别为M I U I,0), M2(X2,O),2a 4a则∣Λ∕1Λf2∣=∣x1-X2∣ = -φ.④增减性⑤最值("R):当α>0时，函数有最小值，并且当A =-^- , y n∙n = ^Ic~h-；当d<0时,2a 4a函数有最大值，并且当X=斗时，),πm=色工•；3 4a⑥与尤轴的交点个数：当厶=b' -4心>0时，函数与X轴有两个不同的交点；△〈()时，函数尤轴没有交点；△二0时，函数与兀轴有一个交点.4.二次函数根的由来 ---- 配方法b z∙对cιx2+bx+c = (Xa≠O)进行配方，变换为√+-Λ+-=0,由于完全平方是：a aa2 +2ab + b2 =(a+bY艮卩x2 +2ax+a1 =(x+a)29所以要变扌奂为x2 +-x + -^+ - = 0 ,变a4cΓ 4cΓ a换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.Λ(X+⅛=X-S=≤Ξ±^∙从而得到，2a 4tr a 4a在b2-4ac≥0时有解，Y=^±√^-4∑c;若F-4M≤0,此时无解.2a5.有关一元二次方程判别式T2-4ac ,联系韦达定理D Δ>0有两个不等实根；△二O表示有两个相等实根，△<()表示没有实数根，实际就是(x + d), = /?, P < O 的情况.2)。
二次函数复习讲义(完美)
二次函数最全面的复习讲义学习目标1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．类型一：二次函数的概念1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)．(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6；(6)．【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. B. C.D.【变式2】如果函数是二次函数，求m的值类型二、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．【答案】或．【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4，∴M(1，-4).课堂练习1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）．（2）令，得，解方程，得，．∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有解得∴抛物线解析式为．解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有，即．又，∴∴抛抛物物解析式为．课后巩固练习一、选择题1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )．A． B． C． D．2．二次函数有( )A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-63．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D.y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )A．1 B．2 C．3 D．46．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2Y -27 -13 -3 3 5 3则当x＝1时，y的值为 ( )A．5 B．-3 C．-13 D．-27二、填空题7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为______．9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x的取值范围是______________．11．已知二次函数(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：…-1 0 1 ……-2 -2 0 …则该二次函数的解析式为______________．12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为______________．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．15．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在的直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合)，过F点的反比例函数(k ＞0)的图象与AC边交于点E．(1)求证：AE×AO＝BF×BO；(2)若点E的坐标为(2，4)，求经过点O，E，F三点的抛物线的解析式．一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为(a≠0)，将A、B、C三点代入解得，，c＝0．2.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即，∵a＝1＞0，∴x＝-1时，．3.【答案】A；4.【答案】D；【解析】∵点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴点A与点B关于对称轴x＝2对称，又∵A(0，3)，∴AB＝4，y B＝y A＝3，∴点B的坐标为(4，3)．5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，∴移动的距离．6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．∴x＝1时，y＝-27．二、填空题7.【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则．8.【答案】；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可．9.【答案】(1)x＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.10.【答案】；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b＝-1，∴对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11.【答案】；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，用待定系数法求解．设二次函数解析式为(a≠0)由表知解得∴二次函数解析式为．12.【答案】【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵顶点是(1，2)，∴设(a≠0)．又∵过点(2，3)，∴，∴a＝1．∴，即．(2)设二次函数解析式为(a≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得解得故所求的函数解析式为．(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴y＝-(x-1)(x-3)，即．14.【答案与解析】过C点作CD⊥x轴于D．在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴C点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为，则有，解得，∴所求抛物线的解析式为．15.【答案与解析】(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图象上，且在第一象限，所以AE×AO＝k，BF×BO＝k，从而AE×AO＝BF×BO．(2)将点E的坐标为(2，4)代入反比例函数得k＝8，所以反比例函数的解析式为．∵OB＝6，∴当x＝6时，点F的坐标为．设过点O、E、F三点的二次函数表达式为(a≠0)，将点0(0，0)，E(2，4)，三点的坐标代入表达式得：解得∴经过O、E、F 三点的抛物线的解析式为：．要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)() 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．二次函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【解析】将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，∴【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则______．【答案】2.【变式2】不计算比较大小：函数的图象右侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a______b．答案】＞.2．已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.【答案与解析】由题意，，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=.3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又∵该抛物线过点（3，-2），∴，解得．∴所求抛物线为．4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x____时，随x的增大而减小；当x____时，函数y有最____值，其最____值是____．【答案与解析】函数与的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大；1.课堂练习一、选择题1. 关于函数y=的图象,则下列判断中正确的是()A. 若a、b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等；B. 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应；C. 对任一个实数y,有两个x和它对应；D. 对任意实数x,都有y＞0.2. 下列函数中，开口向上的是（）A. B. C. D.3. 把抛物线向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为()．A．B．C．D．4. 下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（）A. B. C. D.5. 在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（）．A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6. 晴天时，汽车的刹车距离s (m)与开始刹车时的速度v(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为2.25m，则开始刹车时的速度为( )．A. 10m/sB. 15m/sC. 20m/sD. 25m/s二、填空题7. 已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向______，对称轴为______，顶点坐标是________，当x＞0时，y随x的增大而________．8. 若函数y＝ax2过点(2，9)，则a＝________．9. 已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则△AOB的面积为________．10. 写出一个过点（1，2）的函数解析式_________________．11. 函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12. 若对于任意实数x，二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是____________．三、解答题13．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．（1）求m的值；（2）画出函数的图象．14. 已知抛物线经过A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B（-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．一、选择题1．【答案】A.2．【答案】D；【解析】开口方向由二次项系数a决定，a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下.3．【答案】A；【解析】由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为．4．【答案】B；【解析】根据抛物线的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大，所以答案为B.5. 【答案】C；【解析】y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．6. 【答案】B；【解析】当s＝2.25时，，v＝15．二、填空题7．【答案】下；y轴；(0，0)；减小；8．【答案】；【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.9．【答案】1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.10．【答案】【解析】答案不唯一.11．【答案】，，．【解析】先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y＝3x2，y＝x2，．12．【答案】a＞-1；【解析】二次函数的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0.三、解答题13. 【解析】解：（1）∵为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，∴，∴，∴m=1.（2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14. 【解析】解：（1）∵抛物线经过A（-2，-8），∴-8=4a，∴a=-2，抛物线的解析式为：.（2）当x=-1时，y=-2=-2≠-4，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即，得，∴此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标是（，-6）和（，-6）.15. 【解析】解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．（2）抛物线的解析式为y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y轴)．（3）当x＜0时，y随x的增大而增大．（4）设直线y=- 2与抛物线y=-x2相交于A、B两点，抛物线顶点为O(0，0)．由,，得∴A(，-2)，B(，-2)．∴AB=|-(-)|=2，高=|-2|=2．∴．类型二、二次函数y=a（x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】抛物线的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，所得抛物线解析式为．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵抛物线开口反向，∴．故所得抛物线解析式为．2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.3．已知与的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．(1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当时，写出自变量x的取值范围．【答案与解析】(1)∵，的图象交于A、B两点，∴且解得且∴二次函数的解析式为，直线方程为．(2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x＜0或x＞1时，．4．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-）.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-．所以二次函数的解析式为y=-（x-2）2+1；（2）∵抛物线y=-（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴S△AOB =×4×1=2；（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-（x-2）2+1上一点，∴-m=-（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.课堂巩固一、选择题1．抛物线的顶点坐标是（）A．(2，-3)B．(-2，3)C．(2，3)D．(-2，-3)2．函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（）A．y=(x－1)2+2 B．y=(x－1)2+C．y=(x－1)2－3D．y=(x+2)2－13．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A．y=(x+3)2－2B．y=(x－3)2+2C．y=(x－3)2－2 D．y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（）A． B．C．D．5．由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）二、填空题7. 抛物线y=-（•x+•3）2•-•5•的开口向_______，•对称轴是________，•顶点坐标是_______．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____.9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a，h，k的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；当________时，函数y有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？15．已知抛物线的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴正半轴于点B，且，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x为何值时，y随x增大而减小?一、选择题1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A；【解析】抛物线y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.4.【答案】B【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】C；【解析】A中的符号不吻合，B中抛物线开口不正确．D中直线与y轴交点不正确.二、填空题7.【答案】下；直线x=-3 ；（-3，-5）；【解析】由二次函数的图象性质可得结论.8.【答案】x≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，故x≥－1.9.【答案】向下，y轴；10.【答案】；【解析】设过点（1，－14）得，所以.11.【答案】；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12.【答案】1；【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴.三、解答题13.【答案与解析】∵抛物线的顶点为（-1，-2）∴设其解析式为，又图象经过点（1，10），∴，∴，∴解析式为．14.【答案与解析】（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．∴，，．（2）函数与的图象如图所示．（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；当时，函数有最大值，最大值是．（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．15.【答案与解析】（1）由题意知A(2，1)，令，则，所以．由得，所以，因此抛物线的解析式为．（2）当时，y随x增大而减小．类型三：二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质类型一、二次函数的图象与性质1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.2．如图所示，抛物线的对称轴是x＝1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(，0)，则点A的坐标是_______．类型二、二次函数的最值3．求二次函数的最小值.类型三、二次函数性质的综合应用4．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc的最大值．【答案与解析】（1）∵的图象过点P(2，1)，∴1=4+2b+c+1，∴c=-2b-4．（2）．∴当时，bc有最大值．最大值为2．课堂巩固一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（）．A．B．C．D．2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）．A．B．C．D．3．若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（）．A．0，5B．0，1 C．-4，5D．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为（）．A．b=2，c=2B．b=2，c=0C．b= -2，c= -1 D．b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值()A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7．二次函数的最小值是________．8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.12．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为__ __.三、解答题13．（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且，请比较、的大小关系．14．如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15．已知抛物线：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x 的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，所以．【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；2.【答案】D；又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，所以．3.【答案】D；【解析】因为，所以，，．4.【答案】B；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴，∴，．5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.二、填空题7.【答案】-3；【解析】∵，∴函数有最小值．当时，．8.【答案】4【解析】由对称轴，∴x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴x＝3时，y＝4.9.【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式.10.【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．11.【答案】①④，②③④；12.【答案】(-2，5)或(4，5)；【解析】先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1）．（2）略．（3）∵，∴当时，y随x增大而减小，又，∴．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．∴该二次函数的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为，即．15.【答案与解析】(1)∵，b＝-3，∴，把x＝-3代入解析式得，．∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A 是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当x ＝-3时，．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解方程没有实数解类型一、函数与方程4．已知抛物线与x 轴没有交点．①求c 的取值范围； ②试确定直线经过的象限，并说明理由．【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( )A．B．C．D．【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【答案与解析】(1)∵每件商品利润为(x-30)元．∴销售m件商品利润为m(x-30)元，又∵m＝162-3x，∴每天利润y＝(162-3x)(x-30)．即y＝-3x2+252x-4860．(2)∵y＝-3x2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，又∵a＝-3＜0，∴当x＝42时，＝432(元)．。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？ 它的对称轴、顶点坐标各是什么？
答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的二次 函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直
线x=
b 2a
,顶点坐标是（
b 2a
，
4ac b 2 4a
）。
2、二次函数的解析式有哪几种？
有三种：⑴一般式：y = ax2+bx+c(a≠0) ⑵顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k) ⑶交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交 点:(x1,0),(x2,0)
b 4ac b 2 ⑷顶点坐标是（ 2 a ， 4a
）。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。 ⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例 2 、已知函数 y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示， x= 1 3 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c的一些什么结论？ 【分析与参考答案】 y 首先观察到二次函数的图象为抛物 1 线，其对称轴为直线x= 3 ，抛物线 1 与x轴有两个交点，交点的横坐标其 3 -1 0 1 x 一大于1，另一个介于-1与0之间，抛 物线开口向上，顶点的纵坐标及抛 -1 物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于 -1 与0之间，由此可得如下结论： b 1 ⑴a＞0; ⑵-1＜c＜0; ⑶b2-4ac＞0; ⑷∵ 2a 3 ,∴2a=-3b; ⑸由⑴，(4)得b＜0; ⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0; ⑺考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0; ⑻又x = -1时y＞0，所以有a-b+c＞0; ⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜cb2 ＜-1。 4a
二次函数专题复习讲义
二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为 不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 ． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位,使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
二次函数复习专题讲义全
二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。
2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。
3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。
4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
6.对称轴：为x=-b/2a。
7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。
8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。
9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。
10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。
其中，顶点式和交点式可以相互转换。
注意，a≠0，而b和c可以为零。
1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。
当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。
3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。
当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。
4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
二次函数复习专题讲义
二次函数【知识清单】※一、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。
例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。
注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。
2、二次函数的三种解析式（表达式）①一般式：2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数②顶点式：2()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k ③交点式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。
当0a >时，开口方向向上；当0a <时，开口方向向下。
||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。
反之，也成立。
②c ：决定抛物线与y 轴交点的位置。
当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x 轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物线过原点。
反之，也成立。
③ a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。
当02b a->时，对称轴在y 轴右边；当02b a -<时，对称轴在y 轴左边；当02b a-=（即当0b =时）对称轴为y 轴。
反之，也成立。
④特别：当1x =时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。
反之也成立。
4、二次函数2()y a x h k =-+的图像可由抛物线2y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。
具体为：当0h >时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2y ax =向左平移h -个单位，得到2()y a x h =-；当0k >时，抛物线2()y a x h =-再向上平移k 个单位，当0k <时，抛物线2()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到2()y a x h k =-+的图像。
二次函数复习课课件
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像关 于某条直线进行对称。
详细描述
对称变换包括关于x轴、y轴或原点 对称。在对称变换过程中，二次函 数的开口方向、顶点和对称轴等性 质可能发生变化。
举例
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图 像关于x轴对称，得到新的函数$f(x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。 当$a > 0$时，抛物线开口向上； 当$a < 0$时，抛物线开口向下。 抛物线的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点位于该对称轴 上，坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过完全平方的形式简化了函数表达式 ，使得函数图像的顶点和对称轴更加直观。顶点式在解决与二次函数顶点相关 的问题时非常有用。
交点式
总结词
二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
详细描述
交点式是二次函数的一种特殊形式，它通过将函数表示为两个一次因式的乘积， 突出了函数与x轴的交点。交点式在解决与二次函数与x轴交点相关的问题时非常 有用。
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在 平面坐标系中沿x轴或y轴方向移
动。
详细描述
平移变换包括向左或向右移动图 像，以及向上或向下移动图像。 在平移过程中，二次函数的开口 方向、顶点和对称轴等性质保持
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
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第1-3讲 二次函数全章综合提高【知识清单】 ※一、网络框架※二、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。
例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。
注意：系数a不能为零，,b c 可以为零。
2、二次函数的三种解析式（表达式）2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即）,随的增大而增大。
增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即）,随的增大而减小。
二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
开口方向：，开口向上；，开口向下。
图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。
当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。
待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩①一般式：2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数②顶点式：2()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k③交点式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系 ①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。
当0a>时，开口方向向上；当0a <时，开口方向向下。
||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。
反之，也成立。
②c ：决定抛物线与y 轴交点的位置。
当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物线过原点。
反之，也成立。
③a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。
当02b a ->时，对称轴在y 轴右边；当02ba-<时，对称轴在y 轴左边；当02ba-=（即当0b =时）对称轴为y 轴。
反之，也成立。
④特别：当1x=时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。
反之也成立。
4、二次函数2()y a x h k =-+的图像可由抛物线2y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。
具体为：当0h >时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2y ax=向左平移h -个单位，得到2()y a x h =-；当0k>时，抛物线2()y a x h =-再向上平移k 个单位，当0k <时，抛物线2()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到2()y a x h k =-+的图像。
5、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的关系：①若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴有两个交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实根。
②若抛物线2(0)=++≠与x轴有一个交点，则一元二次方程y ax bx c a20(0)ax bx c a++=≠有两个相等的实根（即一根）。
③若抛物线2(0)=++≠与x轴无交点，则一元二次方程y ax bx c a20(0)++=≠没有实根。
ax bx c a6、二次函数2(0,,,)y ax bx c a a b c=++≠是常数的图像与性质【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.81A y x =+.81B y x =--8.C y x =23.4D y x=- 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A 中281y x =+符合2(0)y ax bx c a =++≠的形式，所以是二次函数，,B C 分别是一次函数和反比例函数，D 中右边234x-不是整式，显然不是二次函数。
【答案】A【例2】已知函数2234(2)3(1)m m y mm x mx m -+=--++是二次函数，则m =_____。
【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x 的最高次数为2”。
故有2220342m m m m ⎧-≠⎪⎨-+=⎪⎩，解得0212m m m m ≠≠⎧⎨==⎩且或，综上所述，m 取1。
【答案】1 【针对训练】 1、若函数22(2)m y m xmx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。
考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（）2.A 2.-B .C 2±2.±D【解析】因为点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，所以将点()8,a 代入二次函数2axy =中，可以得出3a 8=，则可得2=a ，【答案】.A【例2】（2011，）若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表，则当1-=x 时，y 的值为（ ）x7-6-5- 4-3- 2-y27- 13- 3-3 535.A 3.-B 13.-C 27-【解析】设二次函数的解析式为()k h x a y +-=2，因为当4-=x 或2-时，3=y ，由抛物线的对称性可知3-=h ，5=h ，所以()532++=x a y ，把()3,2-代入得，2-=a ，所以二次函数的解析式为()5322++-=x y ，当3=x 时，27-=y 。
【答案】C 【针对训练】1、(2002年XX)过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）.A ()2,12.(1,)3B ()5,1.-C 14.(2,)3D2、无论m 为何实数，二次函数2xy =()m x m +--2的图象总是过定点（ ）()3,1.A ()0,1.B ()3,1.-C ()0,1-D【例3】（2010，XX 一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点为()2,2.--A ，且过点()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（ ）.A 22+=x y .B ()222+-=x y .C ()222--=x y .D ()222-+=x y【解析】设这个二次函数的关系式为()222-+=x a y ，将()2,0B 代入得()22022-+=，解得：1=a ，故这个二次函数的关系式是()222-+=x y ，【答案】D【针对训练】考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系）【例1】（2012，）已知二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系为（ ）.A b a >.B b a <.C b a =.D 不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，所以0>a，1=-b ，1-=b ，所以b a >。
【答案】.A 【针对训练】1、二次函数1422--=x x y 的最小值是。
2、（2013，）二次函数3)1(22+--=x y 的图象的顶点坐标是（ ）.A )31(，.B )31(，-.C )31(-，.D )31(--，3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ）.A )11(--，.B )11(，-.C )11(，.D )11(-，【例2】（2012，）抛物线3)2(2-+=x y 可以由抛物线2x y =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）.A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2x y =向左平移2个单位可得到抛物线2)2(+=x y ，再向下平移3个单位可得到抛物线3)2(2-+=x y 。
【答案】.B【针对训练】1、（2012，）已知下列函数：（1）2x y =；（2）2x y -=；（3）2)1(2+-=x y 。
其中，图象通过平移可以得到函数322-+=x x y 的图象的有（填写所有正确选项的序号）。
2、（2009，）将抛物线22-=x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是。
3、将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.A 22+-=x y .B 2)2(+-=x y .C 2)2(--=x y .D 22--=x y4、将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移3个单位，在向左平移4个单位得到抛物线2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是__________。
【例3】（2013，）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）.A 0>a .B 0>c .C 042>-ac b .D 0>++c b a【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，与x 轴有两个交点，所以0>a ，0>c ，042>-ac b ，且当1=x 时，0<++=c b a y 。