大庆实验中学高三二模数学试题(理科)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份) (含答案解析)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x2−2x≤0}，B={x|y=lgx}，则A∪B=()A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.复数Z=i1+i(其中i为虚数单位)的虚部是()A. −12B. 12i C. 12D. −12i3.已知回归方程y^=1.5x−15，则()A. y=1.5x−15B. 15是回归系数aC. 1.5是回归系数aD. x=10时，y=04.函数f(x)=lg(|x|+x2)(|x|−1)x的图象大致为()A. B.C. D.5.如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A. 8−π4B. 8−πC. 83−π4D. 83−π6.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于()A. 4B. 8C. 12D. 167. 圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，则a +2b 的最小值为( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 148. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c =2，C =π3，且a +b =3，则△ABC 的面积为 ( )A. 13√312 B. 5√34 C. 512 D. 5√3129. 下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )A. 买票→候车→检票→上车B. 候车→买票→检票→上车C. 买票→候车→上车→检票D. 候车→买票→上车→检票 10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与圆x 2+y 2=a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A 、B ，若|AB|=|BF 2|，则C 的离心率为( )A. √5+2√3B. 5+2√3C. √3D. √5 11. 已知图象经过点(7π12,0)的函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则φ=( )A. −π3B. π6C. π3D. −π6 12. 函数f(x)=x 2−ax +1在区间(12,3)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,103)D. [2,52) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(ax 2√x )5展开式中的常数项为5，则实数a = ______ ．14. 已知向量a⃗ =(3,1)，b ⃗ =(−2,4)，求a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 已知在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB =AC =PA =2，且在△ABC 中，∠BAC =120°，则三棱锥P −ABC 的外接球的体积为______ ．16. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1a n −1+1，则a 2014= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知：△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos2B −cos(A +C)=0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若sinA =3sinC ，△ABC 的面积为3√34，求b 边的长．18.如图，底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA=AC．(1)当E为PC中点时，求证：PA//平面BDE；(2)当AE⊥平面PBD时，求二面角P−BD−E的余弦值．19.为了精准备考，某市组织高三年级进行摸底考试，已知全体考生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)(满分为150分，不低于120分为成绩优秀)．(1)若参加考试的人数为30000，求P(X⩾120)及成绩优秀的学生人数；(2)从全体考生中随机抽取3人，ξ表示数学成绩为(90,110]的人数，求ξ的分布列与期望．附：若X ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈23；P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈1920．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=e x −ae −x −(a +1)x(a ∈R).(其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的极值点；(2)若对于任意0<a <1，关于x 的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a −1,+∞)上存在实数解，求实数λ的取值范围．22.直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+√3cosα，其中α为参数，直线l的方程y=√3sinα为x+√3y−2=0，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OA:θ=π与曲线C和直线l分别交于M，N两点，求线段MN的长．323.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+3|，∀a，b∈[1,+∞)，|a+b|≤m|ab+1|．2(1)解不等式f(x)≤2；(2)证明：∀x∈R，f(x)≥−1−m．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lgx}={x|x>0}，则A∪B={x|x≥0}=[0,+∞)．故选：C．化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：复数Z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，则虚部为12，故选：C．先化简复数，由虚部的定义可得答案．本题考查复数的基本概念，属基础题．3.答案：A解析：解：回归直线必要样本中心点(x,y)点，故y=1.5x−15，即A正确；回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，故−15是回归系数a，故B错误；1.5是回归系数b，故C错误；x=10时，y的预报值为0，但y值不一定为0，故D错误故选A根据回归直线必要样本中心点(x,y)点，代入可判断A的真假；根据回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，可判断B，C的真假；根据回归直线的意义，可判断D的真假．本题考查的知识点是线性回归方程，熟练掌握线性回归方程的基本概念是解答的关键．解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x =−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查了三视图，棱锥的体积公式，圆柱的体积公式，属于较易题.该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，利用体积公式可得结果．解：该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，正四棱锥的底面边长为2，高为2，其体积为13×22×2=83，圆柱的底面半径为12，高为1，其体积为π×(12)2×1=π4， 则该几何体的体积为V =83−π4，故选C ． 6.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．由题意可得a 4的值，进而由等比数列的通项公式可得．解：∵数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 3a 4a 5=8，∴a 43=8，解得a 4=2，∴a 6=a 4×22=8，故选：B解析：本题考查直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，涉及点到直线的距离公式的用法，属中档题．根据圆M 与直线相切，即圆心到直线的距离等于半径解得a =2b−2b−2，则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6，根据基本不等式求解即可．解：圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0化为(x −1)2+(y −1)2=1，因为圆M 与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，直线x a +y b =1(a >2,b >2)化为bx +ay −ab =0，则点M 到直线bx +ay −ab =0的距离为1， 即22=1化简得ab −2a −2b +2=0，则a =2b−2b−2， 则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6⩾4+6=10，当且仅当2b−2=2(b −2)时取等号，所以a +2b 的最小值为10．8.答案：D解析：解：∵c =2，C =π3，a +b =3，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得：4=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab =9−3ab ，∴解得ab =53，∴S △ABC =12absinC =12×53×√32=5√312． 故选：D ．由已知及余弦定理可解得ab 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．解析：本题考查流程图的作用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，可得结论．解：旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，故选A．10.答案：A解析：解：由双曲线的定义可得|BF1|−|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，cos∠BF1F2=√c2−a2c=|AF1|2+|F1F2|2−|AF2|22|AF1|⋅|F1F2|=4a2+4c2−16a22⋅2a⋅2c，化简可得c4−10a2c2+13a4=0，由e=ca可得e4−10e2+13=0，解得e2=5+2√3，可得e=√5+2√3，故选：A．由双曲线的定义可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用锐角三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.答案：D解析： 本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题． 由周期求出ω，再利用点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，可求φ的值．解：∵T =2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x +φ)． 又∵点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，∴sin (2×7π12+φ)=0，∴φ=−7π6+kπ(k ∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故选D ． 12.答案：C解析：由题意可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解，利用函数有一个零点或者两个零点，列出关系式，即可求得实数a 的取值范围．解：由f(x)=x 2−ax +1在区间(12， 3)内有零点，可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解． 函数f(x)=x 2−ax +1过(0,1)，∴{a 2>0f(12)f(3)<0或{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0， 解{a 2>0f(12)f(3)<0得52<a <103， 解{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0得2≤a ≤52， 综上a ∈[2,103).故选C ． 13.答案：1解析：解：二项式(ax2√x )5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅a5−r ⋅ x10−2r ⋅ x −r2=C5r⋅a5−r ⋅ x10−52r，令10−5r2=0，解得r=4，故展开式中的常数项为C51⋅a1=5，∴a=1，故答案为1．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．再由常数项为5，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.答案：−√55解析：解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,4)，可得a⃗⋅b⃗ =3×(−2)+1×4=−2，|a⃗|=√9+1=√10，|b⃗ |=√4+16=2√5，可得a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=2√5=−√55．故答案为：−√55．运用向量数量积的坐标表示和模的公式，可得a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，再由a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的坐标表示和模的公式以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．15.答案：20√5π3解析：本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=2√3，∴2r=√3√32=4，∴r=2，∵PA ⊥面ABC ，PA =2，∴该三棱锥的外接球的半径为√22+12=√5，∴该三棱锥的外接球的体积43π⋅(√5)3=20√5π3． 故答案为：20√5π3． 16.答案：32解析：解：∵a n+1−1=1a n −1=a n−1−1，∴{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，∴a 2014−1=a 2−1=1a1−1=12， ∴a 2014=32． 故答案为：32．由题意可知{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，即可求出答案本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cos2B +cosB =0，可得2cos 2B +cosB −1=0，即(2cosB −1)(cosB +1)=0，解得cosB =12或cosB =−1．因为0<B <π，故cosB =12，所以，B =π3．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，而△ABC 的面积为12acsinB =3√34， 将a =3c 和B =π3代入上式，得出c =1，且a =3，再由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，解得b =√7．解析：(Ⅰ)由条件可得2cos 2B +cosB −1=0，求得cos B 的值，可得B 的值．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，再根据△ABC 的面积为12acsinB =3√34求得a 、c 的值，再由余弦定理求得b 的值．本题主要考查二倍角公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．18.答案：解：(1)连接AC ，BD 设其交点为O ，连接OE ，则O 为中点，故OE//PA ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，故PA//平面BDE ；(2)以O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过O 做AP 的平行线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，如图示：设AB =2，则A(√2,0,0), C(−√2,0,0)，B(0,√2,0)，D(0,−√2,0)，P(√2,0,2√2)，设PE PC =λ>0，E(√2−2√2λ,0,2√2−2√2λ), AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2λ,0,2√2−2√2λ)， AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得λ=23，因为AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PBD 的一个法向量，E(−√23,0,2√23)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√23,0,2√23)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√23,−√2,2√23), BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√2,0)，设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y,z )，则有{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0, 即{−√23x −√2y +2√23z =0−2√2y =0，令x =2，得n⃗ =(2,0,1)， 设二面角P −BD −E 为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=35，由图知，二面角为锐角， 故二面角P −BD −E 的余弦值为35．解析：本题主要考查线面平行的证明，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE//PA ，由此能证明PA//平面BDE ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面PBD 的法向量和平面BDC 的法向量，利用向量法能求出二面角P −BD −C 的余弦值．19.答案：解：(1)∵X ∼N(100,100)，∴μ=100，σ=10，P (X ≥120)=1−P (80<X ≤120)2 =1−19202 =140， 成绩优秀的人数为30000×140=750(人)；(2)根据题意，P (90<X ≤110)≈23，ξ的取值有0，1，2，3，ξ∼B(3,23)，P(ξ=0)=(13)3=127； P(ξ=1)=C 31(13)2×23=627=29；P(ξ=2)=C 32×13×(23)2=1227=49； P(ξ=3)=(23)3=827．ξ的分布列为：E(ξ)=3×23=2．解析：本题考查正态分布及离散型随机变量的分布列与期望，属于一般题．(1)利用正态分布解决问题；(2)离散型随机变量求分布列，期望问题．20.答案：解：(1)直线l ：y =bx +2，坐标原点到直线l 的距离为√2． ∴√b 2+1=√2 ∴b =1∵椭圆的离心率e =√63， ∴a 2−1a 2=(√63)2 ∴a 2=3∴所求椭圆的方程是x 23+y 2=1；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0∴△=36k 2−36>0，∴k >1或k <−1设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−12k 1+3k 2，x 1x 2=91+3k 2∵EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0∴(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0∴(1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k 1+3k 2)+5=0 解得k =76>1，∴当k =76时，以CD 为直径的圆过定点E解析：(1)利用直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD 为圆心的圆过点E ，利用数量积为0，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．21.答案：解：(1)易知f′(x)=e x+ae−x−(a+1)=(e x−1)(e x−a)，e x①当a≤0时，∴函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；②当0<a<1时，∴函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2⩾0，e x∴函数f(x)单调递增，即f(x)无极值点；④当a>1时，∴函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna；综上所述，当a≤0时，函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；当0<a<1时，函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；当a=1时，函数f(x)无极值点；当a>1时，函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna．(2)以下需多次引用到如下不等式：e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，证明略．注意到当0<a<1时，有lna<a−1<0．−1，当0<a<1时，gˈ(a)=0，令g(a)=lna−a+1，则g′(a)=1a∴g(a)<g(1)=0，即a−1>lna，显然a−1<0，∴lna<a−1<0，∴由(1)可知当0<a<1时，f(x)在区间(a−1,0)上递减，在区间(0,+∞)上递增，∴f(x)在区间(a−1,+∞)上的最小值为f(0)=1−a，∵关于x的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a−1,+∞)上存在实数解，∴只需当0<a<1时，关于a的不等式(1−a)2<λ(e a−1−a)恒成立，由上易知当0<a<1时，e a−1−a>0，∴只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x ，0≤x<1，则F′(x)=(x−1)(3e x−1−xe x−1−x−1)(e x−1−x)2，(法一)令函数G(x)=3e x−1−xe x−1−x−1，0≤x<1，则Gˈ(x)=(2−x)e x−1−1，当0<x<1时，∵e1−x>2−x，∴(2−x)e x−1<1，∴Gˈ(x)<0，∴G(x)>G(1)=0，即G(x)>0，∴当0<x<1时，Fˈ(x)<0，∴F(x)<F(0)=e，即F(x)<e，∴当0<a<1时，不等式λ=(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e，综上，实数λ的取值范围为[e,+∞)．解析：本题考查利用导数研究函数的极值，最值问题，难度较大．(1)求导，讨论a，即可求导函数的单调区间，从而求得极值．(2)依题意，只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x，利用导数求解即可．22.答案：解：(1)由{x=1+√3cosα,y=√3sinα(α为参数)得曲线C的普通方程为(x−1)2+y2=3．由直线l的方程为：x+√3y−2=0，得极坐标方程为√3ρsinθ+ρcosθ−2=0，即ρsin(θ+π6)=1．(2)曲线C的极坐标方程是ρ2−2ρcosθ−2=0，把θ=π3代入曲线C的极坐标方程得ρ2−ρ−2=0，解之得ρM=2或ρM=−1(舍)．把θ=π3代入直线l的极坐标方程得ρN=1，所以MN =|ρM −ρN |=|2−1|=1．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．(1)消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；(2)先求出曲线C 的极坐标方程，把θ=π3代入曲线C 的极坐标方程，解得ρ的值， 把θ=π3代入直线l 的极坐标方程解得ρ的值，从而得出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12， 根据题意，{x <−3252−x ≤2或{−32≤x ≤12−3x −12≤2或{x >12x −52≤2， 解之得−56≤x ≤92，故解集为[−56,92]．(2)当x ∈(−∞,12)时，函数f(x)单调递减，当x ∈(12,+∞)时，函数f(x)单调递增．∴当x =12时，函数f(x)min =−2．由题知|a+b||ab+1|≤m ，即a+b ab+1≤m ，∵(a +b)−(ab +1)=(a −1)(1−b)≤0，则a +b ≤ab +1，∴a+b ab+1≤1．∴m ≥1，∴−m −1≤−2，∴f(x)≥−1−m ．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12，然后分段解不等式f(x)≤2；(2)求出f(x)的最小值，证明f(x)min≥−1−m，即可．。
2024届黑龙江省大庆实验中学高三上学期阶段考试(二)数学试题及答案
大庆实验中学实验三部2021级高三阶段考试（二）数学试题第I 卷（选择题，共60分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合{{Z 33},A x x B x y =∈-<<==∣∣，则A B = （ ）A. {}1,0,1,2-B. ()1,3- C. {}0,1,2 D. ()1,-+∞2. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2，则下列结论正确的是（ ）A. i 2i z ⋅=- B. 复数z 的共轭复数是12i -C. 2z 的实部为5D. 5z =3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线2218x y -=的一个焦点，则p =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 84. 设m n ､是两条不同的直线，αβγ､､是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ）A. 若α ,,m n βαβ⊥⊥，则m n B. 若,αγβγ⊥⊥，则α βC. 若m,αα β，则m βD 若m ,n nα，则m α5. 数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，则“3k >-”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件6. 若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.23B.13C.89D.797. 设0.24a =，0.32b =，ln1.32c =，则（ ）A c b a<< B. b<c<aC. a c b <<D. a b c<<..8. 已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别是12,F FM P ､是椭圆E 上的点，1MF 的中点为1,2N ON NF +=，过P 作圆22:(4)1Q x y +-=的一条切线，切点为B ，则PB 的最大值为（ ）A. B. 4C.D. 二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分.9. 已知()(),2,4,a t b t =-=-，则（ ）A 若//a b，则t =±B. 若ab ⊥，则0=t C. a b -的最小值为2D. 若向量a与向量b的夹角为钝角，则t 的取值范围为()0,+∞10. 已知函数()()21,f x x g x x =+=.记{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，则下列关于函数()()(){}()max ,0F x f x g x x =≠ ）A. 当()0,1x ∈时，()2F x x=B. 函数()F x 的最小值为-1C. 函数()F x 在()2,0-上单调递减D. 若关于x 方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则10m -<<或m>211. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且该直线与y 轴的交点为Q ，若FP OQ ≥（O 为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（ ）A. 2B.95C.D.12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（ ）.的A. 存在点P ，使得1C P ⊥平面11B CDB. 三棱锥111B A D P -的体积为定值C. 当点P 在棱CD 上时，1PA PB +的最小值为2D. 若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE 第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题：本题共4小题，每空5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13. 直线l 与直线230x y -+=垂直，且被圆22(2)(3)6x y -+-=截得的弦长为2，则直线l 的一个方程为__________（写出一个方程即可）14. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1,,AA AB M N =分别是1BB 和11B C 的中点，则直线AM 与CN 所成的角余弦值为__________.15. 已知数列{}n a 满足：3121231-+++++=- n n a a a a a n n n ，设数列()12n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈，不等式2n T λλ<-恒成立，则实数λ的取值范围为__________.16. 设函数()e e (0)xxf x ax ax a a =-+->，若不等式()0f x <有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置.17. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中π0,0,2A ωϕ>><）的部分图像如图所示，将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求()f x 与()g x 的解析式；（2）令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的单调递增区间.18. 如图所示，在三棱锥S ABC -中，ABC 为等腰直角三角形，点S 在以AB 为直径的半圆上，CA CB SC ===．（1）证明：平面SAB ⊥平面ABC ；（2）若sin SAB ∠=，求直线SA 与平面SBC 所成角的正弦值．19. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos ,332c BC b ==.（1）求B ；（2）求ABC 的AC 边中线BD 的最大值.20. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，23a =且()21n n S n a =+()N n *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()11 sinsin 22n n n n n b S S ππ++=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求50T ．21. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，E 的准线交x 轴于点K ，过K 的直线l 与拋物线E 相切于点A ，且交y 轴正半轴于点P .已知AKF 的面积为2.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点P 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段OA 交于点T ，点H 满足MT TH =.证明：直线HN 过定点.22. 已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R .（1）若()f x 是定义域内单调递减函数，求a 的取值范围；（2）当1a ≥时，求证：对任意(0,)x ∈+∞，恒有()cos 1f x x <-成立.的大庆实验中学实验三部2021级高三阶段考试（二）数学试题第I 卷（选择题，共60分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1. 已知集合{{Z 33},A x x B x y =∈-<<==∣∣，则A B = （ ）A. {}1,0,1,2-B. ()1,3- C. {}0,1,2 D. ()1,-+∞【答案】A 【解析】【分析】利用整数集的定义与具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{Z 33}2,1,0,1,2A x x =∈-<<=--∣，{{}1B x y x x ===≥-∣，所以A B = {}1,0,1,2-.故选：A.2. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2，则下列结论正确的是（ ）A. i 2i z ⋅=- B. 复数z 的共轭复数是12i -C. 2z 的实部为 D.55z =【答案】B 【解析】【分析】由复平面内对应的点，得复数z ，通过复数的乘法，复数模的计算，共轭复数和复数实部的定义，验证各选项的结论.【详解】复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2，则12z i =+，()i 12i i 2i z ⋅=+⋅=-+，A 选项错误；12i z =-，B 选项正确；()2212i 14i 434i z =+=+-=-+，2z 的实部为-3，C 选项错误；z ==，D 选项错误.故选：B3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线2218x y -=的一个焦点，则p =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解p 即可【详解】双曲线2218x y -=的焦点坐标()3,0±，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线2218x y -=的一个焦点，所以32p=，可得6p =．故选：C ．4. 设m n ､是两条不同的直线，αβγ､､是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ）A. 若α ,,m n βαβ⊥⊥，则m n B. 若,αγβγ⊥⊥，则α βC. 若m,αα β，则m βD. 若m ,n n α，则m α【答案】A 【解析】【分析】分析每个选项中的直线与平面的位置关系，判断正误.【详解】对于A 项，若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m n ，A 项正确；对于B 项，若αγ⊥，βγ⊥，可能α和β相交，B 项错误；对于C 项，若//m α，//αβ，直线m 可能在平面β内，C 项错误；对于D 项，若//m n ，//n α，直线m 可能在平面α内，D 项错误.故选：A.5. 数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，则“3k >-”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】D 【解析】【分析】{}n a 为递增数列，则10n n a a +->对于任意*N n ∈恒成立，由不等式求k 的取值范围即可.【详解】数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，{}n a 为递增数列，则()()()22111210n n a a n k n n kn n k +-=+++-+=++>对于任意*N n ∈恒成立，即21>--k n 对于任意*N n ∈恒成立，故()max 213k n >--=-，则“3k >-”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：D 6. 若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.23B.13C.89D.79【答案】D 【解析】【分析】切化弦，结合22sin cos 1α+=得出1sin 3α=，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．7. 设0.24a =，0.32b =，ln1.32c =，则（ ）A. c b a << B. b<c<aC. a c b<< D. a b c<<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()1ln f x x x =--，应用导数得其单调性，可判断0.3ln1.3>，再结合指数函数2x y =的单调性即可判断.【详解】根据题意，构造函数()1ln f x x x =--，则()1x f x x-'=，当1x ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，因此可得()()1.310f f >=，即()1.3 1.31ln1.30.3ln1.30f =--=->，所以0.3ln1.3>，又指数函数2x y =为单调递增，可得0.3ln1.322>，即b c >.因为0.20.40.3422a b ==>=，所以c b a <<，故选：A.8. 已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别是12,F F M P ､是椭圆E 上的点，1MF 的中点为1,2N ON NF +=，过P 作圆22:(4)1Q x y +-=的一条切线，切点为B ，则PB 的最大值为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义和几何性质，求得椭圆E 的方程为2214x y +=，设00(,)P x y ，再由圆=，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，连接2MF ，因为1MF 的中点为N ，所以212ON MF =，所以11211()2222ON NF MF MF a a +=+=⨯==，又因为c e a ==c =E 的方程为2214x y +=，设00(,)P x y ，则220014x y +=，所以220044x y =-，其中011y -≤≤，连接,QB PQ ，因为圆22:(4)1Q x y +-=，可得圆心(0,4)Q ，半径为1r =，又因为PB 为圆Q 的切线，切点为B ，所以QB PB ⊥，且1QB =，====，因为011y -≤≤，所以当01y =-时，PB 取得最大值，最大值为max PB =.故选：B.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分.9. 已知()(),2,4,a t b t =-=-，则（ ）A. 若//a b，则t =±B. 若ab ⊥，则0=t C. a b -的最小值为2D. 若向量a与向量b 的夹角为钝角，则t 的取值范围为()0,+∞【答案】AB 【解析】【分析】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.【详解】已知()(),2,4,a t b t =-=-，若//a b，则()2248t =-⨯-=，解得t =±A 选项正确；若ab ⊥，则420a b t t ⋅=--= ，解得0=t ，B 选项正确；()4,2a b t t -=+-- ，a b -==当3t =-时，a b -有最小值，C 选项错误；当t =时，()(2,4,a b =-=-，b = ，向量a与向量b 的夹角为180 ，D 选项错误.故选：AB10. 已知函数()()21,f x x g x x =+=.记{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则下列关于函数()()(){}()max ,0F x f x g x x =≠的说法正确的是（ ）A. 当()0,1x ∈时，()2F x x=B. 函数()F x 的最小值为-1C. 函数()F x 在()2,0-上单调递减D. 若关于x 的方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则10m -<<或m>2【答案】ABD 【解析】【分析】由定义作出函数()F x 的图像，结合图像验证选项中的结论.【详解】在同一直角坐标系下作出函数()1f x x =+和()2g x x=的图像，由函数()F x 定义，得()F x 的图像如图所示，结合图像可知，当()0,1x ∈时，21x x >+，()2F x x=， A 选项正确；函数()F x 的最小值为-1，B 选项正确；函数()F x 在()2,0-上单调递增，C 选项错误；若关于x 的方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则10m -<<或m>2，D 选项正确.的故选：ABD11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且该直线与y 轴的交点为Q ，若FP OQ ≥（O 为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（ ）B.A. 295C.D.【答案】ABC 【解析】【分析】由题意画出图形，首先得出渐近线方程，由点到直线的距离公式表示出FP ，再进一步表示出过由焦点且与渐近线垂直的直线，令0x =可得OQ ，结合离心率公式化为齐次不等式求解即可.【详解】由题意不妨设渐近线OP 的方程为by x a=，点(),0F c ，其中222,0a b c c +=>，所以过点(),0F c 且和渐近线OP 垂直的方程为()ay x c b =--，令0x =，得Q ac OQ y b==，由点到直线的距离公式可知FP b ==，由题意ac FP b OQ b=≥=，即222b c a ac =-≥，而1ce a =>，所以210e e --≥，解得e ≥，对比各个选项可知该双曲线的离心率的可能取值是2，95故选：ABC.12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（ ）A. 存在点P ，使得1C P ⊥平面11B CDB. 三棱锥111B A D P -的体积为定值C. 当点P 在棱CD 上时，1PA PB +最小值为2+D. 若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，当点P 与A 重合时，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于B 选项，由P 到上底面的距离是定值即可判断；对于C 选项，将平面ABCD 沿CD 旋转至平面11A B CD 共面，即可得到1PA PB +的最小值，从而得以判断；对于D 选项，先得到点P 的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点到直线的最小距离，从而得解.【详解】对于A 选项，如图，连接1AC ，11A C ，的因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111⊥B D AA ，因为1111D C B A 为正方形，所以1111B D A C ⊥，又因为1111A C AA A = ，1AA ，11AC ⊂平面11AAC ，所以11B D ⊥平面11AAC ，因为1AC ⊂平面11AAC ，所以1AC ⊥11B D ，同理可得1AC ⊥1B C ，因为1111B D B C B ⋂=，11B D ，1B C ⊂平面11B D C ，所以1C A ⊥平面11B D C ，所以当点P 与A 重合时，1C P ⊥平面11B D C ，故A 正确；对于B 选项，三棱锥111B A D P -的体积就是三棱锥111P B A D -的体积，而P 到上底面的距离是定值，所以三棱锥111B A D P -的体积是定值，故B 正确；对于C 选项，当点P 在棱CD 上时，把平面ABCD 沿CD 旋转，使得旋转面与平面11A B CD 共面，连接1A B '，如图，此时1PA PB +取得最小值1A B '，在11Rt A B A ' 中，112A B =，12A A '=，则12A B '=≠+，故C 错误；对于D ，由点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，可知P 在以AD 为准线，B 为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系，则()10B ,，P 的轨迹是抛物线，其方程为24(01)y x x =≤≤，因为CD 的中点为E ，()1,0A -、()0,2E，所以AE 方程:22y x =+，与AE 平行的抛物线的切线方程设为2y x b =+，联立224y x by x=+⎧⎨=⎩，可得224(44)0x b x b +-+=，则由22(44)160b b ∆=--=，解得12b =，可得切线方程为122y x =+，则点P 到直线AED 正确；故选：ABD.【点睛】本题D 选项的结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点P 的轨迹方程，从而将问题转化为抛物线上的点到直线AE 的距离的最值，从而得解.第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题：本题共4小题，每空5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13. 直线l 与直线230x y -+=垂直，且被圆22(2)(3)6x y -+-=截得的弦长为2，则直线l 的一个方程为__________（写出一个方程即可）【答案】220x y +-=（或2120x y +-=）【解析】【分析】根据直线垂直的斜率关系得l 的斜率，设出直线方程，然后根据弦长公式和点到直线的距离公式可得.【详解】因为直线l 与直线230x y -+=垂直，所以，直线l 斜率为2-，设直线l 的方程为2y x b =-+，即20x y b +-=，圆22(2)(3)6x y -+-=的圆心为()2,3.圆心到直线l的距离d则有21=，解得2b =或12b =，故直线l 的方程为220x y +-=或2120x y +-=.的的故答案为：220x y +-=（或2120x y +-=）14. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1,,AA AB M N =分别是1BB 和11B C 的中点，则直线AM 与CN 所成的角余弦值为__________.【答案】35【解析】【分析】分别取1,AA BC 中点,P Q ，易证得四边形1APB M 和1B NCQ 均为平行四边形，根据平行关系可知所求角为1PB Q ∠或其补角，利用余弦定理可求得结果【详解】分别取1,AA BC 中点,P Q ，连接11,,,B P B Q AQ PQ ，因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC 为等边三角形，设12AA AB ==，,1111//,1,//,1B M AP B M AP B N CQ B N CQ ==== ，所以四边形1APB M 和1B NCQ 均为平行四边形，111//,//,B P AM CN B Q PB Q ∴∴∠（或其补角）即为直线AM 与CN所成角；2AQ ==又11B P B Q ===，222111113cos 25B P B Q PQPB Q B P B Q+-∴∠===⋅,所以直线AM 与CN 所成的角余弦值为35,故答案为：35.,15. 已知数列{}n a 满足：3121231-+++++=- n n a a a a a n n n ，设数列()12n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈，不等式2n T λλ<-恒成立，则实数λ的取值范围为__________.【答案】13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】已知条件求出n a n =，裂项相消求出n T ，由不等式2n T λλ<-恒成立，列不等式求实数λ的取值范围.【详解】数列{}n a 满足：3121231-+++++=- n n a a a a a n n n，1n =时11a =，2n ≥时，()3131221111231231n n n a a a a a a a a a n n n n n --⎛⎫⎛⎫+++++-++++=--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，得1na n=，即n a n =，1n =时也满足n a n =，则有n a n =.()()111112222n n a n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，111111111111123243546112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111113312212224n n ⎛⎫=+--<⨯= ⎪++⎝⎭，不等式2n T λλ<-恒成立，即234λλ≤-，解得12λ≤-或32λ≥.即实数λ的取值范围为13,,22∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：13,,22∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭16. 设函数()e e (0)xxf x ax ax a a =-+->，若不等式()0f x <有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是__________.【答案】221e ,2e 12e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭【解析】【分析】根据题意，把不等式转化为11e x x x a ->-，令()1e x x h x x -=-，求得()e 2e x xx h x +-'=，令()e 2x x x ϕ=+-，得到()e 10x x ϕ'=+>，结合()()00,10ϕϕ<>，得到存在唯一的()00,1x ∈使得()00x ϕ=，得出函数()h x 的单调性，结合()()()()0,1,1,2h h h h -的值和题设条件，得出21112e e 2a-<-≤，即可求解.【详解】由函数()e e (0)xxf x ax ax a a =-+->，若不等式()0f x <，即e e 0x x ax ax a -+-<，因为0a >，可化为11e x x x a ->-，令()1e x x h x x -=-，可得()e 2ex xx h x +-'=，令()e 2xx x ϕ=+-，可得()e 10xx ϕ'=+>，所以()x ϕ在R 上单调递增，又由()()00,10ϕϕ<>，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00x ϕ=，当0x x <时，()0x ϕ<，可得()0h x '<，所以()h x 单调递减，当0x x >时，()0x ϕ>，可得()0h x '>，所以()h x 单调递增，且()00,1x ∈，又因为()()()()2101,11,12e 1,22e h h h h ==-=-=-，所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有21112e e 2a-<-≤，解得221e 2e 12e 1a ≤<--，即实数的取值范围是221e ,2e 12e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭.故答案为：221e ,2e 12e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四､解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置.17. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中π0,0,2A ωϕ>><）的部分图像如图所示，将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求()f x 与()g x 的解析式；（2）令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的单调递增区间.【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；()π2sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期T 和A 的值，可求出ω，再将点7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭代入函数解析式，结合π2ϕ<可求得π3ϕ=，写出()f x ；再由()f x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象；（2）用辅助角公式和诱导公式得出()π212F x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的递增区间得出x 的取值范围.【小问1详解】由图像可知7ππππ,241234T T A =-=⇒==，所以2π2π2πT ω===，又图像过点7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，所以7π522sin 22ππ,123k k ϕϕ⎛⎫-=⨯+⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，所以()πππ2sin 22sin 2436g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【小问2详解】因为()()()F x f x g x =+，所以()πππππππ2sin 22sin 22sin 22cos 22236333412F x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+-+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以πππ2π22π,2122k x k k -≤+≤+Z ，解得7π5πππ,2424k x k k -≤≤+∈Z ，单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 18. 如图所示，在三棱锥S ABC -中，ABC 为等腰直角三角形，点S 在以AB 为直径的半圆上，CA CB SC ===．（1）证明：平面SAB ⊥平面ABC ；（2）若sin SAB ∠=，求直线SA 与平面SBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，CO ⊥平面SAB ，根据平面与平面垂直的判定可证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用线面角的公式求解.【小问1详解】设AB 的中点为O ，连接CO ，SO ．因为ABC 为等腰直角三角形，且CA CB ==，所以2AB =，1CO =，且CO AB ⊥．因为S 在以AB 为直径的圆上，所以112SO AB ==．故2222SO CO SC +==，故CO SO ⊥．又因为AB SO O = ，直线,AB SO ⊂平面SAB ，所以CO ⊥平面SAB ，因为CO ⊂平面ABC ，所以平面SAB ⊥平面ABC ．【小问2详解】以O 为坐标原点，OC ，OB 所在直线分别为x ，y 轴，过点O 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A -，()1,0,0C ，()0,1,0B ．由sin SAB ∠=得cos SAB ∠=，所以sin sin 22sin cos SOB SAB SAB SAB ∠=∠=∠∠=，从而得1cos 3SOB ∠=，所以10,3S ⎛ ⎝．所以40,,3SA ⎛=- ⎝，20,,3SB ⎛= ⎝ ，()1,1,0BC =- ，设平面SBC 的法向量为(),,n x y z =r ，则00BC n SB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，0203x y y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，不妨取y =，则)n =．因为cos ,SA n SA n SA n⋅===，故直线SA 与平面SBC．19. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos ,332c BC b ==.（1）求B ；（2）求ABC 的AC 边中线BD 的最大值.【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）直接由二倍角公式，正弦定理边化角即可得解.（2）首先利用向量模的公式，再结合余弦定理以及基本不等式即可得解，注意取得条件是否满足.【小问1详解】由题意sin02B >，结合已知有2sin sin 2sin cos sin 23223B c B B cC B =⨯⋅=，所以2sin23B cc b ⋅=⋅，而3b =，所以1sin22B =，而π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26B =，解得π3B =.【小问2详解】由题意()12BD BA BC =+，所以12BD BA BC =+=== 而由余弦定理有22222π92cos3b ac ac a c ac ==+-=+-，所以BD = 由基本不等式可得2292a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当3a c ==时，等号成立，即()max9ac =，所以maxBD==即ABC 的AC 边中线BD 20. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，23a =且()21n n S n a =+()N n *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()11 sinsin22n n n n n b S S ππ++=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求50T ．【答案】（1）21n a n =-()N n *∈（2）104-【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可得()()()11211n n n n a n a a -+-=-+，再利用等差数列的定义及条件即求；（2）由题可得()()221sin 1sin 22n n n b n n ππ+=++，再分组求和即得.【小问1详解】当1n =时，1121S a =+，又11a S =，所以11a =；当2n ≥时，()()11211n n S n a --=-+，所以()1211n n n a na n a -=--+，即()()1121n n n a n a --=-+，所以()111n n na n a +=-+，所以()()()11112n n n n na n a n a n a -+--=---，化简，得()()()11211n n n n a n a a -+-=-+，即当2n ≥时，112n n n a a a -+=+，所以{}n a 为等差数列，又11a =，23a =，所以公差2d =，所以21n a n =-()N n *∈．【小问2详解】由（1）知{}n a 为以1为首项，2为公差的等差数列，所以()21122n n n S n n -=⨯+⨯=，所以()()221sin1sin 22n n n b n n ππ+=++，所以22222222222222501335577991111134951T =--++--++--++⋅⋅⋅+-()()()()()()()222222222222221335577991111134951=---+---+---+⋅⋅⋅+-24282122162202962100=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯()()()24281221620296100=-⨯+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-8812104=--⨯=-．21. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，E 的准线交x 轴于点K ，过K 的直线l 与拋物线E 相切于点A ，且交y 轴正半轴于点P .已知AKF 的面积为2.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点P 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段OA 交于点T ，点H 满足MT TH =.证明：直线HN 过定点.【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意假设得直线l ：2p x my =-，联立抛物线方程求得，,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，再利用三角形面积即可求得2p =，由此得解；（2）根据题意设得MN ：1y kx =+，联立抛物线方程求得12124y y y y k+==，再依次求得T ，H 的坐标，从而求得直线HN 的方程，化简可得HN 为121214y y x y x x +-=-，由此得证.【小问1详解】由题可知，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线2px =-，,02p K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线l 的斜率存在且不为0，所以设l ：2px my =-，联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x ，得2220y pmy p -+=，因为l 与E 相切，所以()22410pm∆=-=，所以1m =或1m =-，因为交y 轴正半轴于点P ，所以1m =,因此2220y py p -+=，解得y p =，所以,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，故AF KF ⊥，所以2122AKF S p == ，所以2p =（负值舍去），所以抛物线E 的方程为24y x =.【小问2详解】由（1）知()1,2A ，又l ：1y x =+，所以()0,1P ，如图所示：因为过点P 的直线交E 于M ，N 两点，所以MN 斜率存在且不为零，所以设MN ：()10y kx k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立241y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得()24400ky y k -+=≠，则()1610k ∆=->，所以1k <且0k ≠，12124y y y y k+==.又直线OA ：2y x =，令1x x =，得12y x =，所以()11,2T x x ，因为MT TH =，所以()111,4H x x y -，所以121214NHy y x K x x +-=-，所以直线NH 的方程为()12122214y y x y y x x x x +--=--，所以1211211212212212121444y y x y y x x x x y x y y x y x x x x x x x +-+---=+-=+---，因为()222212121212122121121244044444y y y y y yx x x y x y y y y y y y --=⨯⨯-⨯-=-+=⎡⎤⎣⎦，所以直线NH 为121214y y x y x x x +-=-，所以NH 恒过定点()0,0.【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R .（1）若()f x 是定义域内的单调递减函数，求a 的取值范围；（2）当1a ≥时，求证：对任意(0,)x ∈+∞，恒有()cos 1f x x <-成立.【答案】（1）1a e≥；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据题中条件，得到ln 1x x a e +≥在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()(0)xx G x x e+=>，对其求导，利用导数的方法判定其单调性，求出最大值，即可得出结果；（2）当1a ≥时，()ln 1xf x x x e ≤-+，将问题转化为证明1ln cos 1x x x e x <+--，分别讨论01x <<，1x ≥两种情况，利用导数的方法证明都成立，即可得出结论成立.【详解】（1）因为()ln xf x x x ae a =-+，所以()ln 1xf x x ae '=+-，因为()f x 在定义域内是单调递减函数，则()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立.即ln 1xx a e +≥在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()(0)x x G x x e+=>，得1ln 1()xx x G x e --'=，易知()10G '=，且函数11y x x=--在()0,∞+上单调递减，当0x >时，e 1x >，所以在区间()0,1上，()0G x '>；在()1,+∞上，()0G x '<，所以()ln 1xx G x e+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，此时()G x 的最大值为()11G e=；所以当1a e≥时，()f x 在定义域上单调递减；（2）当1a ≥时，()ln ln (1)ln 1xxxf x x x ae a x x a e x x e =-+=--≤-+，要证()cos 1f x x <-，即可证1ln cos 1x x x e x <+--，①当01x <<时，欲证明1ln cos 1x x x e x <+--，即证明ln cos 2x x x e x <+-，令()cos 2xg x e x =+-，01x <<，则()sin 0x g x e x '=->在()0,1上恒成立，所以()g x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0g x g >=，即cos 20x e x +->；又因为01x <<，ln 0x x <，所以ln cos 2x x x e x <+-在(0,1)上成立；②当1x ≥时，欲证明1ln cos 1x x x e x <+--，即证明ln cos 20x x x e x -+<-，令()()ln cos 21xh x x x e x x =--+≥，则()ln 1sin xh x x e x '=+-+，()1cos xh x e x x ''=-+，当1x ≥时，1cos 2x x e x+<<，所以1cos 0x x e x+-<，即()0h x '<在[1,)+∞上成立，所以()h x '在[1,)+∞上单调递减，又因为()11sin10h e '=-+<，所以()0h x '<在[1,)+∞上成立，所以()h x 在[1,)+∞上单调递减，()(1)cos120h x h e ≤=--+<，即1x ≥时，ln cos 20x x x e x -+<-成立.综合①②可得，对任意()0,x ∈+∞，恒有()cos 1f x x <-成立.【点睛】方法点睛：利用导数的方法证明不等式恒成立的常用方法：一般需要构造函数（作差构造函数，或作商构造函数，或构造两不同函数），对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性及最值，即可求解.。
2020届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市高三年级第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{}2|0B x x x =->，则下列结论正确的是（ ） A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A【解析】先计算{}10B x x x =><或，计算{|0}AB x x =<，{|11}A B x x x =><或对比选项得到答案.【详解】{}{}2010B x x x x x x =-=><或，则{|0}A B x x =<，{|11}A B x x x =><或对比选项知：A 正确 故选：A 【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题.2．若复数z 满足()12i z i -=，则z z ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C【解析】计算得到211iz i i==-+-，再计算z z ⋅得到答案. 【详解】()()()()212121111i i i i z i z i i i i +-=∴===-+--+，故()()112z z i i ⋅=-+--= 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数，意在考查学生的计算能力. 3．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-” ③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥” ④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】依次判断每个选项的正误得到：p ，q 均为假命题或一真一假，①错误；根据否命题和命题否定的定义知②③正确；根据大角对大边知④正确，得到答案. 【详解】①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题或一真一假，①错误；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”， ②正确； ③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”， ③正确； ④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件A B >，则a b >故sin sin A B >；sin sin A B >，则a b >故A B >，④正确故选：C 【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及且命题，否命题，命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.4．已知||2a =，向量a 在向量b 上的投影为，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】根据投影定义得到cos a α=cos 2α=-，计算得到答案. 【详解】设夹角为α，则a 在向量b 上的投影为5cos 2cos cos 26a παααα===-=故选：D 【点睛】本题考查了向量的投影和向量夹角，意在考查学生对于向量知识的掌握情况.5．函数的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由可得f(x)为奇函数，再由，＞0，可判断出函数图像，可得答案. 【详解】 解：由题意得：，故f(x)为奇函数，故B 、C 项不符合题意，又，＞0，故D 项不符合题意， 故选A. 【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，根据函数的性质来判读图像是解题的关键.6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m αββ⊥⊥，则//m α； B ．若//,m n m α⊥，则n α⊥； C ．若,//,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥；D ．若//,,m m n βααβ⊂⋂=，则//m n【答案】D【解析】在A 中，则//m α或m α⊂；在B 中，则n 与α相交、平行或n α⊂；在C 中，则α与β相交或平行；由线面平行的性质定理得//m n ． 【详解】由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若αβ⊥，m β⊥，则//m α或m α⊂，故A 错误；在B 中，若//m α，n m ⊥，则n 与α相交、平行或n α⊂，故B 错误； 在C 中，若m α⊥，//n β，m n ⊥，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若//m β，m α⊂，n αβ⋂=，则由线面平行的性质定理得//m n ，故D 正确． 故选D 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7．已知各项均不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】A【解析】化简得到27704a a =-，计算得到74a =，再利用等比数列的性质得到21137b b a ⋅=得到答案.【详解】各项均不为0的等差数列{}n a ，223711777240204a a a a a a -+=∴=∴-=221137716b b b a ⋅===故选：A 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对于数列性质的综合应用. 8．某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为2的正方形，三视图中的曲线均为14圆周，则该组合体的体积为（ ）A ．283π-B ．483π-C ．246π-D ．242π-【答案】B【解析】根据题意知：几何体为边长为2的正方体除去八个四八分之一半径为1的球形成的几何体，计算体积得到答案.【详解】 根据三视图知：几何体为边长为2的正方体除去八个八分之一半径为1的球形成的几何体 故3442833V ππ=-=-故选：B 【点睛】本题考查了三视图和几何体体积，判断几何体的形状是解题的关键. 9．函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =-对称 D ．关于直线7π12x =对称 【答案】C【解析】根据函数()f x 的最小正周期为π，求出ω，向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，求出ϕ，可得出()f x 的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案. 【详解】根据三角函数的图象与性质2||Tπω=，可得||2ω=，因为0>ω，所以2ω= 所以()sin(2)f x x ϕ=+ 设()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的函数为()g x 则()sin 2sin 2263g x x x ϕππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 若()g x 为奇函数，则(0)0g =,故3k πϕπ+=(k Z ∈)，即(),3k k Z πϕπ=-+∈因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23x k ππ-=,(k Z ∈)解得62k x ππ=+,所以()f x 关于点,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,(k Z ∈)对称 A 项，不存在整数k ，使得76212k πππ+=，故A 项错误；B 项，不存在整数k ，使得6212k πππ+=-，故B 项错误；由232x k πππ-=+(k Z ∈)解得5122k x ππ=+,所以()f x 关于直线5122k x ππ=+(k Z ∈)对称 C 项，当1k =-时，12x π=-，故()f x 关于直线12x π=-对称，故C 项正确；D 项，不存在整数k ，使得5712212k πππ+=，故D 项错误.故选:C. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足：6(3)3,7,7n n a n n a an ---≤⎧=⎨>⎩*()n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9(,3)4B ．9[,3)4C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】D【解析】根据题意，a n ＝f (n )＝()633,7,7n a n x a n -⎧--≤⎨>⎩，n ∈N ，要使{a n }是递增数列，必有()86301373a a a a -⎧->⎪>⎨⎪-⨯-<⎩，据此有：3129a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或，综上可得2<a <3.本题选择D 选项.11．已知点,O F 分别为抛物线21:4C y x =的顶点和焦点，直线314y x =+与抛物线交于,A B 两点，连接AO ,BO 并延长，分别交抛物线的准线于点,P Q ，则||||BP AQ +=（ ） A ．254B ．174C ．253D ．193【答案】A【解析】联立方程得到11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,4B ，则1:4AO y x =-，:BO y x =，计算得到()4,1P -，()1,1Q --，计算||||BP AQ +得到答案.联立方程得到214314y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得4x =或1x =-，则11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,4B 则1:4AO y x =-，取1y =-得到4x =，故()4,1P -； 则:BO y x =，取1y =-得到1x =-，故()1,1Q --； 故525||||544BP AQ +=+= 故选：A 【点睛】本题考查了直线和抛物线相交问题，意在考查学生的计算能力.12．设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用正弦定理2sin ar A=得到r =max 6h R ==，再利用余弦定理和均值不等式得到36bc ≤，代入体积公式得到答案. 【详解】ABC 中，6BC =,60BAC ∠=︒，则62sin sin 60a r r A ===∴=︒max 6h R ==222222cos 36a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥∴≤，1sin 2S bc A =≤当6a b c ===时等号成立，此时13V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积问题，综合了正弦定理，余弦定理，面积公式，综合性强，意在考查学生的空间想象能力和综合应用能力.二、填空题 13．1211e dx x +=-⎰______．【解析】直接利用定积分计算公式得到答案. 【详解】()1211ln 1ln ln1121e e dx x e x ++=-=-=-⎰故答案为：1 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.14．已知定义域为R 的函数()f x ，满足()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x x =，则()2020f =____．【答案】-1【解析】代换得到()()6f x f x +=得到函数周期为6，故()()()202041f f f ==-，代入函数计算得到答案. 【详解】()()()()()()3636f x f x f x f x f x f x +=-∴+=-+∴+=，函数周期为6 ()()()2020411f f f ==-=-故答案为：1- 【点睛】本题考查了求函数值，代换求出函数周期是解题的关键.15．已知O 是ABC 的外心，45C ∠=︒,2,(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则2214m n +的最小值为____． 【答案】16【解析】根据45C ∠=︒得到0OA OB ⋅=，平方2OC mOA nOB =+得到2241m n +=，变换()22222214414m n m n m n ⎛⎫+=+⎪⎭+ ⎝利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2222222244OC mOA nOB OC mOA nOBm OA n OB mnOA OB =+∴=+=++⋅90045C AOB OA OB ∠=︒∴∠=︒∴⋅=故2241m n +=()2222222222414141644816m n n m m n m n m n⎛⎫+=+=+++≥= ⎪⎭+⎝ 当222216n m m n =即2211,28n m ==时等号成立 故答案为：16 【点睛】本题考查了向量的运算，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ,且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________．【答案】2⎤⎥⎣⎦【解析】如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D，,22b AD ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，点(),0A a 到渐进线的距离为,22ab b d c ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦即11,22e ⎡∈⎢⎣⎦得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D，则cos cos22BAC b AD AC DAC b ⎡∠=∠=∈⎢⎣⎦一条渐近线方程为：by x a=，点(),0A a到直线的距离为2ab b d c ⎡==∈⎢⎣⎦即11,2223e e ⎡⎡⎤∈∴∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为：23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了双曲线的离心率，计算得到,22b AD ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是解题的关键.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2na n nb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案.（2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=.∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-= 即数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）1222nna n n nb a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，12n n T b b b =+++211221122nn ⎛⎫⎛⎫⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭，()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 故(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．已知函数21()cos sin 22f x x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且212f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，26f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值；（2）在ABC 中，角,,A B C的对边分别为,,a bc ，满足c =()1f C =,求+a b的取值范围. 【答案】（1）2（2） 【解析】（1）化简得到()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入数据计算得到sin α，cos 5α=， cos 10β=，sin 10β=，再利用和差公式展开得到答案.（2）根据()1f C =得到3C π=，利用余弦定理得到()233a b ab =+-，再利用均值不等式得到答案. 【详解】（1）1cos(2)1()2222x f x x π-+=-+1cos 21122cos 222222x x x x +=-+=-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵212f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴sin α=.∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴cos α=.∵2610f βπ⎛⎫-=-⎪⎝⎭,∴sin 210πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴cos β=∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴sin 10β=.∴sin()sin cos cos sin 5105102αβαβαβ+=+=⨯+⨯=（2）∵()sin 26f C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭,∴sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵(0,)C π∈,∴112,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,∴262C ππ-=,即3C π=. ∵2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-,∴()233a b ab =+-∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取“=”. ∴2222313()3()()()44a b ab a b a b a b =+-≥+-+=+∴()212a b ≥+，即a b +≤a b =时取“=”.又∵a b c +>=∴+a b 的取值范围是. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 19．如图，已知在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 折起到1A DE △（1A ∉平面ABCD ）的位置，M 为线段1A C 的中点.（1）求证：BM ∥平面1A DE ；（2）已知2AB AD ==1A DE ⊥平面ABCD 时，求直线BM 与平面1A DC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P ，根据中位线证明1BM A P ，得到证明.（2）证明1A O ON ⊥，以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，计算平面1A DC 的一个法向量为()1,1,1m =，根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P , ∵E 为AB 边的中点，四边形ABCD 为矩形， ∴BE CD ∥,12BE CD =,∴BE 为PCD 的中位线，∴B 为线段CP 的中点， ∵M 为线段1A C 的中点，∴1BM A P ∵BM ⊄平面1A DE ，1A P ⊆平面1A DE ,∴BM ∥平面1A DE .（2）∵2AB AD =,E 为边AB 的中点，∴AD AE =,即11A D A E =,取线段DE 的中点O ,连接1A O ,ON ,则由平面几何知识可得1AO DE ⊥,ON CE ,又∵四边形ABCD 为矩形，2AB AD =,E 为边AB 的中点， ∴DE CE ⊥,DE ON ⊥,∵平面1A DE ⊥平面ABCD ，平面1A DE 平面ABCD DE =,1AO DE ⊥, ∴1A O ⊥平面ABCD ，∵ON ⊆平面ABCD ，∴1A O ON ⊥,∴以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,2,0B -,()2,1,0C -,1(0,0,1)A ,111,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(0,1,0)D ,310,,22BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1(2,1,1)AC =--,()2,2,0DC =-, 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则100m AC m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220x y z x y --=⎧⎨-=⎩，不妨取1x =，则1y =，1z =，即()1,1,1m =， 设直线BM 与平面1A DC 所成角为θ，则sin |cos ,|||||10m BM m BM m BM θ⋅====⋅，∴直线BM 与平面1A DC所成角的正弦值为15.【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．平面内有两定点()0,1A -,()0,1B ,曲线C 上任意一点(),M x y 都满足直线AM 与直线BM 的斜率之积为12-，过点()1,0F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与y 轴交于点P ,直线AC 与BD 交于点Q .（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）当点P 异于,A B 两点时，求证：OP OQ ⋅为定值.【答案】（1）221(0)2x y x +=≠（2）证明见解析【解析】（1）根据题意得到1112AM BM y y k k x x +-⋅=⋅=-，化简得到答案. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-，则()0,OP k =-，联立方程根据韦达定理得到212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩将韦达定理代入1111y k y k +-=--+计算得到答案. 【详解】（1）由已知可得1112AM BM y y k k x x +-⋅=⋅=-， 化简得()22210x y +-=，即曲线C 的轨迹方程为：221(0)2x y x +=≠.（2）由已知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为()1y k x =-（0k ≠，且1k ≠，且1k ≠-），所以P 点的坐标为()0,k -，即()0,OP k =-，设()11,C x y ，()22,D x y ，则22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 联立削去y 得，()2222124220kxk x k +-+-=，所以212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，122212221212k y y k ky y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩ 直线AC 的方程为1111y y x x ++=，直线BD 的方程为2211y y x x --= 将两方程联立消去x 得()()21121111x y y y x y ++=--，解得()()()()21121212111111x y y x y y x y x y +++==⨯--- 由题意可知()()22221112AD BD y y k k x x +-⋅=⨯=-，所以()()2222211y x y x +=--，所以，()()()()21121212111111x y y x y y x y x y +++==⨯--- ()()()()12121212121211y y y y x x x x +-+-++=⨯==()12121221y y y y x x ⎡⎤-⋅+++⎣⎦将韦达定理代入得1111y k y k +-=--+，解得1y k =-，所以Q 点的坐标为01,x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以01(0,),1OP OQ k x k ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭，OP OQ ⋅为定值. 【点睛】本题考查了轨迹方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21．（1）已知()xf x xe =，x ∈R ,求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥（其中e 为自然对数的底数）对任意的实数1x >恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()1,-+∞.极小值1e-，无极大值.（2）[,0)e -【解析】（1）求导得到()()1xf x x e '=+根据导数的正负得到函数的单调区间，再计算极值得到答案.（2）变换得到()ln ln axx a xe x e --≥⋅，设()x f x xe =，等价于()()ln a f x f x -≥即minln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()ln x g x x =，根据函数的单调性得到最值得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为R ,()()1xf x x e '=+，由()0f x '=得，1x =-，所以当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 的单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()1,-+∞. 所以当1x =-时，()f x 取得极小值()11f e-=-，无极大值. （2）由1ln 0a x x e a x +⋅+≥得，()ln xaxe x a x -≥⋅-，即()()ln ln ln ax x a a a xe x x x e----≥⋅=⋅，设()x f x xe =，1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对于任意的实数1x >恒成立，等价于()()ln af x f x -≥，由（1）知，函数()f x 在区间()1,-+∞上为增函数， 所以ln a x x -≥，即ln x a x ≥-对任意的实数1x >恒成立， 因为1x >，所以ln 0x >，即ln xa x-≤对任意的实数1x >恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭.令()ln x g x x=，则2ln 1()(ln )x g x x '-=，由()0g x '=得，x e =， 所以当()1,x e ∈时，()0g x '<，函数()g x 在区间()1,e 上为减函数， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 在区间(),e +∞上为增函数， 所以当x e =时，()g x 取得最小值()g e e =. 所以a e -≤，即a e ≥-.又由已知得0a <，所以，实数a 的取值范围是[,0)e -. 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22．已知直线l 过点()1,0，倾斜角为60︒，在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2262sin ρθ=+.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设点()1,0F ,求11||||FA FB +的值. 【答案】（1）直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为22132x y +=.（2【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案.（2）将参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理得到12128111611t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，再计算1216||||11FA FB t t ⋅=⋅=，12||||FA FB t t +=+=. 【详解】（1）∵直线l 过点()1,0，倾斜角为60︒∴可设直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∵曲线C 的方程为2262sin ρθ=+ ∴2222sin 6ρρθ+=,∴()22226x yy++=,∴22236x y +=,∴曲线C 的直角坐标方程为22132x y +=.（2）由（1）知，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），,A B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入到曲线C 的直角坐标方程为22132x y +=中，化简得2118160t t +-=∴12128111611t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩, ∵1216011t t ⋅=-<,∴1216||||11FA FB t t ⋅=⋅=, 1212||||FA FB t t t t +=+=-===,∴11||||||||||||FA FB FA FB FA FB ++==⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，韦达定理，意在考查学生的计算能力，利用直线的参数方程可以简化运算，是解题的关键. 23．已知函数()|||21|f x x a x =+++，a R ∈. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）设关于x 的不等式()|21|f x x ≤-的解集为M ,若11,2M ⎡⎤--⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）51|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()|1||21|f x x x =+++，讨论1x ≤-，112x -<≤-和12x >-计算得到答案.（2）原题等价于当11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，不等式()|21|f x x ≤-恒成立，化简得到22x a x --≤≤-+，代入数据计算得到答案.【详解】（1）当1a =时，()|1||21|f x x x =+++，则所求不等式可化为11213x x x ≤-⎧⎨----≤⎩，或1121213x x x ⎧-<≤-⎪⎨⎪+--≤⎩，或121213x x x ⎧>-⎪⎨⎪+++≤⎩， 解得153x x ≤-⎧⎪⎨≥-⎪⎩，或1123x x ⎧-<≤-⎪⎨⎪≥-⎩，或1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， ∴513x -≤≤-，或112x -<≤-，或1123x -<≤， ∴原不等式的解集为51|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）∵()|21|f x x ≤-的解集包含11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∴当11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，不等式()|21|f x x ≤-恒成立，∴|||21||21|x a x x +++≤-在11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴||2112x a x x ---≤-,即||2x a +≤，∴22x a -≤+≤，∴22x a x --≤≤-+在11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴max min (2)(2)x a x --≤≤-+,∴512a -≤≤，所以实数a 的取值范围51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，根据解集求参数，解不等式转化为恒成立问题是解题的关键.。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三综合模拟训练(二)数学(理)试题(含解析)
第 II 卷（非选择题 共 90 分)
二、填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在大题卡相应位置上．
5
13．二项式 x6
1
展开式中的常数项是 __________ ．
xx
r
r
rr
r
r
r
14．已知向量 a (1,2) ， b ( k,1) ，且 2a b 与向量 a 的夹角为 90°，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为
《论小于某
值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究
过这个问题，并得到小于数字
x 的素数个数大约可以表示为
x
nx
的结论（素数即质数，
ln x
lg e 0.43429 ）．根据欧拉得出的结论， 如下流程图中若输入 n 的值为 100 ，则输出 k 的值应属于区间 （ ）
（）
A．
B．
C．
D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （）
A． 16 16 3
32 B ． 16
3
16 C ．8
3
32 D ．8
3
6．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比
例为“衰分比”．如：已知 A， B ， C 三人分配奖金的衰分比为 20% ，若 A分得奖金 1000 元，则 B ， C
PA PB ．试判断直线 AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标 ; 若不过定点，请说明理由．
21．已知函数 f x ln x ax b ．
（ 1）求函数 f x 的极值；
（ 2）若不等式 f x
2019年黑龙江省大庆实验中学高考数学二模试卷(理科)(二)(5月份)
2019年黑龙江省大庆实验中学高考数学二模试卷（理科）（二）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 设全集U＝R，集合A＝{x|1og2x≤2}，B＝{x|(x−3)(x+1)≥0}，则(∁U B)∩A＝（）A.(−∞, −1]B.(−∞, −1]∪(0, 3)C.[0, 3)D.(0, 3)【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】∵集合A＝{x|1og2x≤2}＝(0, 4]，B＝{x|(x−3)(x+1)≥0}＝(−∞, −1]∪[3, +∞)，∴∁U B＝(−1, 3)，∴(∁U B)∩A＝(0, 3)，2. i是虚数单位，(1+i1−i)2019=()A.iB.−iC.1D.−1【答案】B【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质计算．【解答】∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，∴(1+i1−i)2019=i2019＝(i4)504⋅i3＝−i．3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S，i并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】第一次执行循环体后，i＝2，s＝lg2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i＝3，s＝lg6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i＝4，s＝lg24，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，i＝5，s＝lg120>2，满足退出循环的条件；故输出i值为5，4. 若α∈(0, π)，且3sinα+2cosα＝2，则tanα2等于（）A.2 3B.12C.√32D.32【答案】D【考点】半角公式【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】∵α∈(0, π)，且3sinα+2cosα＝6sinα2cosα2+2(2cos2α2−1)＝2，∴6sinα2cosα2+4cos2α2=4，即3sinα2cosα2+2cos2α2=2，∴3sinα2cosα2+2cos2α2sin2α2+cos2α2=3tanα2+2tan2α2+1=2，解得tanα2=32，或tanα2=0（舍去），5. 已知a =(13)23,b =(12)23,c =log 3π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】 D【考点】 对数值大小的比较 【解析】容易得出(13)23<(12)23<1,log 3π>1，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】(13)23<(12)23<(12)0=1,log 3π>log 33＝1；∴ c >b >a ．6. 已知函数f(x)=Asin(πx +φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →+BE →)⋅(BE →−CE →)的值为( )A.−1B.−12 C.12D.2【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 平面向量数量积y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义 【解析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论． 【解答】解：∵ 函数f(x)=Asin(πx +φ)的周期T =2ππ=2，则BC =T2=1，则C 点是一个对称中心， 则根据向量的平行四边形法则可知： BD →+BE →=2BC →，BE →−CE →=BC →∴ (BD →+BE →)⋅(BE →−CE →)=2BC →⋅BC →=2|BC →|2=2×12=2．故选D ．7. 已知A(3, 2)，若点P 是抛物线y 2＝8x 上任意一点，点Q 是圆(x −2)2+y 2＝1上任意一点，则|PA|+|PQ|的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6【答案】 B【考点】圆与圆锥曲线的综合问题 【解析】求得抛物线的准线方程和焦点坐标，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义和当A 、P 、B 三点共线时|PA|+|PQ|取最小值，结合图象即可求出． 【解答】抛物线y 2＝8x 的焦点F(2, 0)，准线l:x ＝−2， 圆(x −2)2+y 2＝1的圆心为F(2, 0)，半径r ＝1， 过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ， 由抛物线的定义可知|PB|＝PF|，则|PA|+|PQ|≥|PA|+|PF|−r ＝|PA|+|PB|−1， ∴ 当A 、P 、B 三点共线时|PA|+|PB|取最小值， ∴ |PA|+|PQ|≥|PA|+|PB|−1≥(3+2)−1＝4． 即有|PA|+|PQ|取得最小值4．8. 已知O 是坐标原点，点A(−1, 1)，若点M(x, y)为平面区域{x +y ≥2x −1≤00<y −1≤1 上的一个动点，则AO →⋅OM →的取值范围是（ ） A.[−2, 0] B.[−2, 0)C.[0, 2]D.(0, 2]【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，设z =AO →⋅OM →，求出z 的表达式，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】不等式组等价为{x +y ≥2x ≤11<y ≤2 ， 作出不等式组对应的平面区域如图： 设z =AO →⋅OM →， ∵ A(−1, 1)，M(x, y)， ∴ z =AO →⋅OM →=x −y ，即y ＝x −z ，平移直线y ＝x −z ，由图象可知当y ＝x −z ，经过点D(0, 2)时，直线截距最大，此时z 最小为z ＝0−2＝−2．当直线y ＝x −z ，经过点B(1, 1)时，直线截距最小，此时z 最大为z ＝1−1＝0． 故−2≤z <0，9. 有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（）A.42B.48C.54D.60【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】所标数字互不相邻的方法有10种，这3种颜色互不相同有A33种，根据分步计数原理，颜色互不相同且所标数字互不相邻的有10×A33种．【解答】所标数字互不相邻的方法有：135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种方法．这3种颜色互不相同有A33＝3×2×1＝6种，∴这3种颜色互不相同且所标数字互不相邻的有10×6＝60种．10. 面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为a i(i＝1, 2, 3, 4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为ℎi(i＝1, 2, 3, 4)，若a11=a22=a33=a44=k，则ℎ1+2ℎ2+3ℎ3+4ℎ4=2Sk．根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1, 2, 3, 4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i(i＝1, 2, 3, 4)，若S11=S22=S33=S44=k，则H1+2H2+3H3+4H4＝（）A.Vk B.3VkC.4VkD.8Vk【答案】B【考点】类比推理【解析】由a11=a22=a33=a44=k可得a i＝ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解答】根据三棱锥的体积公式V=13Sℎ得：13S1H1+13S2H2+13S3H3+13S4H4=V，即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4＝3V，∴H1+2H2+3H3+4H4=3VK，即∑4i=1(iH i)=3VK．11. 已知点M 、N 分别是直线l 1:3x +4y +6＝0和l 2:3x +4y −12＝0上的动点，点P(m, n)满足MP →=2PN →，则m 2+n 2的最小值为（ ） A.6425 B.3625C.1625D.0【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】先由MP →=2PN →得3m +4n −6＝0，再设m 2+n 2＝t(t >0)，利用直线3m +4n −6＝0与圆m 2+n 2＝r 有交点，圆心到直线距离小于等于半径，解不等式即可． 【解答】设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则3x 1+4y 1+6＝0，3x 2+4y 2−12＝0，又MP →=2PN →，所以m −x 1＝2(x 2−m)，n −y 1＝2(y 2−n)， ∴ x 1＝3m −2x 2，y 1＝3n −2y 2，∴ 3(3m −2x 2)+4(3n −2y 2)+6＝0， 即3x 2+4y 2−92m −6n −3＝0，又 3x 2+4y 2−12＝0，所以−92m −6n −3＝−12 ∴ 3m +4n ＝6， 设m 2+n 2＝t(t >0)则由直线3m +4n ＝6与圆m 2+n 2＝r 有交点，得√32+42≤√t ， t ≥3625，即m 2+n 2的最小值为：3625，12. 球O 为边长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，DP ⊥BM ，则点P 的轨迹周长为（ ） A.√33π B.2√33π C.2√55πD.4√55π【答案】 D【考点】球内接多面体 【解析】取BB 1的中点N ，连接CN ，确定点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线，求出截面圆的半径，即可得出结论． 【解答】由题意，取BB 1的中点N ，连接CN ，则CN ⊥BM ，∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，∴ CN 为DP 在平面B 1C 1CB 中的射影， ∴ 点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线， ∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的边长为2， ∴ O 到过D ，C ，N 的平面的距离为√55，∴截面圆的半径为√1−15=2√55，∴点P的轨迹周长为4√55π．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）已知x，y的取值如表：若x，y具有线性相关关系，且回归方程为y^=0.95x+2.6，则a＝________．【答案】2.2【考点】求解线性回归方程【解析】求出样本中心点，代入y^=0.95x+2.6，可得a的值．【解答】由题意，x=14(0+1+3+4)＝2，y=14(a+4.3+4.8+6.7)=14(15.8+a)，代入y^=0.95x+2.6可得14(15.8+a)＝0.95×2+2.6，∴a＝2.2．已知正项数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，2a n+12=a n+22+a n2，n∈N∗，则a6等于________．【答案】4【考点】数列递推式【解析】首先求出数列的通项公式，进一步求出结果．【解答】正项数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，2a n+12=a n+22+a n2，所以：数列{a n2}是以a12=1为首项，以a22−a12=3为公差的等差数列．故：a n2=1+3(n−1)=3n−2，所以：a62=18−2=16，所以：a6＝4，若△ABC的内角满足sinA+√2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．【答案】√6−√24【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．【解答】由正弦定理得a+√2b＝2c，得c=12(a+√2b)，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−14(a+√2b)22ab=34a2+12b2−√22ab2ab=34a2+12b22ab−√24≥2⋅√32a⋅√22b2ab−√24=√6−√24，当且仅当√32a=√22b时，取等号，故√6−√24≤cosC<1，故cosC的最小值是√6−√24．已知函数y＝(e m)x的图象与函数y＝x3的图象在(0, 27]内有两个公共点，则m的取值范围是________[ln33,3e )．【答案】[ln33, 3e)【考点】函数与方程的综合运用【解析】由(e m)x＝x3求得m，求导判断单调性，通过x的取值范围，解得m的取值范围．【解答】由题意得，(e m)x＝x3，两边取自然对数，解得m=31nxx；x在(0, 27]内m′=3−31nxx =0解得x＝e，故当x＝e时m取得最大値m=3e，当x＝27时m取得最小値m=ln33．故m的取值范围是[ln33, 3e )．三、解答题（共6大题，选作题10分，其它每题12分，共70分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S1＝1，且对任意正整数n，都有S n+1n+1+n=S n+1−S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】由S1＝1，得a1＝1．又对任意正整数n，S n+1n+1+n=S n+1−S n都成立，即S n+1+n(n+1)＝(n+1)S n+1−(n+1)S n，所以nS n+1−(n+1)S n＝n(n+1)，所以S n+1n+1−S nn=1．即数列{S nn}是以1为公差，1为首项的等差数列．所以S nn=n，即S n=n2，得a n＝S n−S n−1＝2n−1(n≥2)，又由a1＝1，所以a n=2n−1(n∈N∗)．解法2：由S n+1n+1+n=S n+1−S n=a n+1，可得S n+1+n(n+1)＝(n+1)a n+1，当n≥2时，S n+n(n−1)＝na n，两式相减，得a n+1+2n＝(n+1)a n+1−na n，整理得a n+1−a n＝2，在S n+1n+1+n=a n+1中，令n＝2，得S22+1=a2，即1+a2+2＝2a2，解得a2＝3，∴a2−a1＝2，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n＝1+2(n−1)＝2n−1．由（1）可得b n=a n2n =2n−12n，所以T n=12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n，①则12T n=122+323+524+⋯+2n−32n+2n−12n+1，②①-②，得12T n=12+22+22+22+⋯+22−2n−12，整理得12T n=32−22n−2n−12n+1=32−2n+32n+1，所以T n=3−2n+32n．【考点】数列递推式【解析】（1）首先利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】由S1＝1，得a1＝1．又对任意正整数n，S n+1n+1+n=S n+1−S n都成立，即S n+1+n(n+1)＝(n+1)S n+1−(n+1)S n，所以nS n+1−(n+1)S n＝n(n+1)，所以S n+1n+1−S nn=1．即数列{S nn}是以1为公差，1为首项的等差数列．所以S nn=n，即S n=n2，得a n＝S n−S n−1＝2n−1(n≥2)，又由a1＝1，所以a n=2n−1(n∈N∗)．解法2：由S n+1n+1+n=S n+1−S n=a n+1，可得S n+1+n(n+1)＝(n+1)a n+1，当n≥2时，S n+n(n−1)＝na n，两式相减，得a n+1+2n＝(n+1)a n+1−na n，整理得a n+1−a n＝2，在S n+1n+1+n=a n+1中，令n＝2，得S22+1=a2，即1+a2+2＝2a2，解得a2＝3，∴a2−a1＝2，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n＝1+2(n−1)＝2n−1．由（1）可得b n=a n2=2n−12，所以T n=12+32+52+⋯+2n−32+2n−12，①则12T n=122+323+524+⋯+2n−32n+2n−12n+1，②①-②，得12T n=12+222+223+224+⋯+22n−2n−12n+1，整理得12T n=32−22−2n−12=32−2n+32，所以T n=3−2n+32n．某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出(0, 200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200, 400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资＝定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，【答案】列联表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8−42×2)250×50×90×10=4>3.841．∴ 有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为2600×1+200×1.2+200×1.3＝3100元．从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=12．在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为Z ＝0，1，2，3，P(Z ＝0)=(1−12)2×(1−25)=320，P(Z ＝1)=C 21×12×(1−12)×(1−25)+(1−12)2×25=820．P(Z ＝2)=(12)2×(1−25)+C 21×12×(1−12)×25=720， P(Z ＝3)=220． ∴ Z 的分布列：E(Z)＝0×320+1×820+2×720+3×220=75 【考点】 独立性检验离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）求得K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8−42×2)250×50×90×10=4>3.841．即可判定有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．（2）可计算得当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为3100元．从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=12．可得Z ＝0，1，2，3，计算相应的概率即可． 【解答】 列联表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8−42×2)250×50×90×10=4>3.841．∴ 有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为2600×1+200×1.2+200×1.3＝3100元．从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=12．在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为Z ＝0，1，2，3，P(Z ＝0)=(1−12)2×(1−25)=320，P(Z ＝1)=C 21×12×(1−12)×(1−25)+(1−12)2×25=820．P(Z ＝2)=(12)2×(1−25)+C 21×12×(1−12)×25=720， P(Z ＝3)=220． ∴ Z 的分布列：E(Z)＝0×320+1×820+2×720+3×220=75如图，已知四边形ABCD为梯形，AB // CD，∠DAB＝90∘，BDD1B1为矩形，平面BDD1B1⊥平面ABCD，又AB＝AD＝BB1＝1，CD＝2．（1）证明：CB1⊥AD1；（2）求二面角B1−AD1−C的余弦值．【答案】∵BDD1B1为矩形，且平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，在Rt△D1DC中，D1C=√5，AD1=√2，AB1=√2，连结AC=√5，BC=√2，从而B1C=√3，在△B1D1C中，D1C=√5，B1D1＝BD=√2，B1C=√3，∴B1C⊥AB1，∵B1D1∩AB1＝B1，∴B1C⊥面B1D1A，又AD1⊂平面B1D1A，∴CB1⊥AD1．取AD1中点E，连结B1E，CE，由B1D1＝AB1=√2，知B1E⊥AD1，由CD1＝AC=√5，知CE⊥AD1，由（1）知B1C⊥面B1D1A，则∠B1EC＝90∘，∴∠B1EC是二面角B1−AD1−C的平面角，又B1E=√32⋅√2=√62，tan∠B1EC=√3√62=√2，∴cos∠B1EC=√3=√33，∴二面角B1−AD1−C的余弦值为√33．【考点】二面角的平面角及求法B 1C =√3，进而B 1C ⊥AB 1，B 1C ⊥面B 1D 1A ，由此能证明CB 1⊥AD 1．（2）取AD 1中点E ，连结B 1E ，CE ，推导出B 1E ⊥AD 1，CE ⊥AD 1，从而B 1C ⊥面B 1D 1A ，进而∠B 1EC 是二面角B 1−AD 1−C 的平面角，由此能求出二面角B 1−AD 1−C 的余弦值． 【解答】∵ BDD 1B 1为矩形，且平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ， ∴ BB 1⊥平面ABCD ，DD 1⊥平面ABCD ，在Rt △D 1DC 中，D 1C =√5，AD 1=√2，AB 1=√2， 连结AC =√5，BC =√2，从而B 1C =√3，在△B 1D 1C 中，D 1C =√5，B 1D 1＝BD =√2，B 1C =√3， ∴ B 1C ⊥AB 1，∵ B 1D 1∩AB 1＝B 1，∴ B 1C ⊥面B 1D 1A ， 又AD 1⊂平面B 1D 1A ，∴ CB 1⊥AD 1． 取AD 1中点E ，连结B 1E ，CE ，由B 1D 1＝AB 1=√2，知B 1E ⊥AD 1， 由CD 1＝AC =√5，知CE ⊥AD 1，由（1）知B 1C ⊥面B 1D 1A ，则∠B 1EC ＝90∘， ∴ ∠B 1EC 是二面角B 1−AD 1−C 的平面角，又B 1E =√32⋅√2=√62，tan∠B 1EC =√3√62=√2，∴ cos∠B 1EC =√3=√33， ∴ 二面角B 1−AD 1−C 的余弦值为√33．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆C 上的点，△PF 1F 2面积的最大值是2．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OM →+ON →=OD →，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】 （1）由{ca=√22bc =2a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =c =√2，则椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．此时可求得四边形OMDN的面积为√6．当直线l的斜率存在时，设直线l方程是y＝kx+m，代入x24+y22=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4＝0，∴x1+x2=−4km1+2k2,y1+y2=2m1+2k2，△＝8(4k2+2−m2)>0，∴|MN|=√1+k22√2√4k2+2−m21+2k2，点O到直线MN的距离是d=√1+k2，由OM→+ON→=OD→，得x D=−4km1+2k2,y D=2m1+2k2，∵点D在曲线C上，所以有(−4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1，整理得1+2k2＝2m2，由题意四边形OMDN为平行四边形，∴OMDN的面积为S OMDN=|MN|d=√1+k22√2√4k2+2−m21+2k22=2√2|m|√4k2+2−m21+2k2，由1+2k2＝2m2得S OMDN=√6，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为√6．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用椭圆的离心率【解析】(Ⅰ)由由{ca =√22bc=2a2=b2+c2，解得即可得到所求椭圆方程；(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝−1或x＝1，此时可求得四边形OMDN的面积为√6．当直线l的斜率存在时，设直线l方程是y＝kx+m，根据弦长公式，即可求出四边形OMDN的面积．【解答】（1）由{ca =√22bc=2a2=b2+c2，解得a=2,b=c=√2，则椭圆C的方程为x24+y22=1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝−1或x＝1，此时可求得四边形OMDN的面积为√6．当直线l的斜率存在时，设直线l方程是y＝kx+m，代入x24+y22=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4＝0，−4km2m△＝8(4k2+2−m2)>0，∴|MN|=√1+k22√2√4k2+2−m21+2k2，点O到直线MN的距离是d=√1+k2，由OM→+ON→=OD→，得x D=−4km1+2k2,y D=2m1+2k2，∵点D在曲线C上，所以有(−4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1，整理得1+2k2＝2m2，由题意四边形OMDN为平行四边形，∴OMDN的面积为S OMDN=|MN|d=√1+k22√2√4k2+2−m21+2k2√1+k2=2√2|m|√4k2+2−m21+2k2，由1+2k2＝2m2得S OMDN=√6，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为√6．已知函数f(x)＝(x2+x)lnx+2x3+(1−a)x2−(a+1)x+b(a, b∈R)．（1）当a＝0，b＝0时，求f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若f(x)≥0恒成立，求b−2a的最小值【答案】f(x)＝(x2+x)lnx+2x3+x2−x的导数为f′(x)＝(2x+1)lnx+(x2+x)⋅1x+6x2+2x−1＝(2x+1)(lnx+3x)，可得切线的斜率为9，切点为(1, 2)，则切线方程为y−2＝9(x−1)，即y＝9x−7；f′(x)＝(2x+1)lnx+(x2+x)⋅1x+6x2+2(1−a)x−a−1＝(2x+1)(lnx+3x−a)，令ℎ(x)＝lnx+3x−a，则ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，又x→0时，ℎ(x)→−∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，∴存在唯一一个x0∈(0, +∞)，使得ℎ(x0)＝0，即a＝3x0+lnx0．当0<x<x0时，f′(x)<0，当x>x0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增．∴f min(x)＝f(x0)＝(x02+x0)lnx0+2x03+(1−a)x02−(a+1)x0+b＝(x02+x0)lnx0+2x03+(1−3x0−lnx0)x02−(3x0+lnx0+1)x0+b＝−x03−2x02−x0+b．∵f(x)≥0恒成立，∴−x03−2x02−x0+b≥0，即b≥x03+2x02+x0．∴b−2a≥x03+2x02+x0−2a＝x03+2x02+x0−6x0−2lnx0＝x03+2x02−5x0−2lnx0，设φ(x)＝x3+2x2−5x−2lnx，x∈(0, +∞)，则φ′(x)＝3x2+4x−5−2x =3x(x−1)+7x2−5x−2x=(x−1)(3x2+7x+2)x，∴当0<x<1时，φ′(x)<0，当x>1时，φ′(x)>0，∴φ(x)≥φ(1)＝−2．∴当x0＝1时，即a＝3x0+lnx0＝3，b＝x03+2x02+x0＝4时，b−2a取得最小值−2．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求得f(x)的解析式，以及导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）f′(x)＝(2x+1)(lnx+3x−a)，设x0为ℎ(x)＝lnx+3x−a的零点，得出a，b关于x0的表达式及f(x)的单调性，从而得出b−2a关于x0的函数，根据x0的范围再计算函数的最小值．【解答】f(x)＝(x2+x)lnx+2x3+x2−x的导数为f′(x)＝(2x+1)lnx+(x2+x)⋅1x+6x2+2x−1＝(2x+1)(lnx+3x)，可得切线的斜率为9，切点为(1, 2)，则切线方程为y−2＝9(x−1)，即y＝9x−7；f′(x)＝(2x+1)lnx+(x2+x)⋅1x+6x2+2(1−a)x−a−1＝(2x+1)(lnx+3x−a)，令ℎ(x)＝lnx+3x−a，则ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，又x→0时，ℎ(x)→−∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，∴存在唯一一个x0∈(0, +∞)，使得ℎ(x0)＝0，即a＝3x0+lnx0．当0<x<x0时，f′(x)<0，当x>x0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增．∴f min(x)＝f(x0)＝(x02+x0)lnx0+2x03+(1−a)x02−(a+1)x0+b＝(x02+x0)lnx0+2x03+(1−3x0−lnx0)x02−(3x0+lnx0+1)x0+b＝−x03−2x02−x0+b．∵f(x)≥0恒成立，∴−x03−2x02−x0+b≥0，即b≥x03+2x02+x0．∴b−2a≥x03+2x02+x0−2a＝x03+2x02+x0−6x0−2lnx0＝x03+2x02−5x0−2lnx0，设φ(x)＝x3+2x2−5x−2lnx，x∈(0, +∞)，则φ′(x)＝3x2+4x−5−2x =3x(x−1)+7x2−5x−2x=(x−1)(3x2+7x+2)x，∴当0<x<1时，φ′(x)<0，当x>1时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，∴φ(x)≥φ(1)＝−2．∴当x0＝1时，即a＝3x0+lnx0＝3，b＝x03+2x02+x0＝4时，b−2a取得最小值−2．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，将椭圆x2+y24=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(sinθ−2cosθ)＝1．（2）已知点M(1, 3)且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值． 【答案】 将椭圆x 2+y 24=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C ，设(x 1, y 1)为椭圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x, y)，依题意，得{x =x 1y =12y 1．由x 12+y 124=1，得x 2+(2y)24=1，∴ 曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝1．∵ 直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ−2cosθ)＝1． ∴ 直线l 的直角坐标方程为2x −y +1＝0．点M(1, 3)且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，M(1, 3)在直线l 上，把直线l 的参数方程{x =1√5y =3√5 代入x 2+y 2＝1，得：t 2+14√55t +9＝0， 则t 1+t 2=−14√55，t 1t 2＝9． ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=14√559=14√545． 【考点】 椭圆的离心率 圆的极坐标方程 【解析】（1）设(x 1, y 1)为椭圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x, y)，依题意，得{x =x 1y =12y 1．由此能求出曲线C 的普通方程；由直线l 的极坐标方程，能求出直线l 的直角坐标方程．（2）求出直线l 的参数方程代入x 2+y 2＝1，得：t 2+14√55t +9＝0，由此能求出1|MA|+1|MB|的值． 【解答】 将椭圆x 2+y 24=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C ，设(x 1, y 1)为椭圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x, y)，依题意，得{x =x 1y =12y 1．由x 12+y 124=1，得x 2+(2y)24=1，∴ 曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝1．∵ 直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ−2cosθ)＝1． ∴ 直线l 的直角坐标方程为2x −y +1＝0．点M(1, 3)且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，M(1, 3)在直线l 上，把直线l 的参数方程{x =1√5y =3√5 代入x 2+y 2＝1，得：t 2+14√55t +9＝0，则t 1+t 2=−14√55，t 1t 2＝9． ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=14√559=14√545． [选修4-5：不等式选讲]已知关于x 的不等式|x −3|+|x −5|≤m 的解集不是空集，记m 的最小值为t ． （Ⅰ）求t ；（Ⅱ）已知a >0，b >0，c =max {1a,a 2+b 2tb}，求证：c ≥1．注：maxA 表示数集A 中的最大数． 【答案】（Ⅰ）解：因为|x −3|+|x −5|≥|(x −3)−(x −5)|=2， 当且仅当3≤x ≤5时取等号，故m ≥2，即t =2． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知c =max {1a ,a 2+b 22b}．则c 2≥1a ⋅a 2+b 22b=a 2+b 22ab≥1，当且仅当1a=a 2+b 22b=1，即a =b =1时等号成立．因为c >0，所以c ≥1． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】本题考查绝对值不等式的解法． 【解答】（Ⅰ）解：因为|x −3|+|x −5|≥|(x −3)−(x −5)|=2， 当且仅当3≤x ≤5时取等号，故m ≥2，即t =2． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知c =max {1a ,a 2+b 22b}．则c 2≥1a⋅a 2+b 22b=a 2+b 22ab≥1，当且仅当1a=a 2+b 22b=1，即a =b =1时等号成立．因为c >0，所以c ≥1．。
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期阶段考试数学试题
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期阶段考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z =i1+i −i 2024（i 为虚数单位），则z̅的虚部为（ ） A ．−12B ．12C ．−12iD ．12i2．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E,F,G,H 分别为BB 1,CC 1,A 1B 1,A 1C 1的中点，则下列说法错误的是（）A ．E,F,G,H 四点共面B ．EF//GHC ．EG,FH,AA 1三线共点D ．∠EGB 1=∠FHC 13．二项式(√x +2√x4)n的二项式系数和为256，将其展开式中所有项重新排成一列，有理项不相邻的排法种数为（ ） A ．A 73B ．A 66A 63C ．A 66A 73D ．A 77A 734．已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，D (5,0),B (2,A ),BC ⊥CD ，则f (12)=（ ）A ．4B ．2√5C ．4√2D ．2√105．设f(x)=1cosx，将f(x)的图像向右平移π3个单位，得到g(x)的图像，设ℎ(x)=f(x)+g(x)，x ∈[π12,π4]，则ℎ(x)的最大值为（ ） A ．√62B ．√6C ．2√6D ．3√66．已知直线l ：Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)与曲线W ：y =x 3−x 有三个交点D 、E 、F ，且|DE |=|EF |=2，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（ ）． A ．(0,1)B ．(1,−1)C ．(1,1)D ．(1,0)7．已知a =log 2986−log 2985,b =1−cos 1986,c =1985，则（ ） A ．b >a >cB ．b >c >aC ．a >c >bD ．c >b >a8．设无穷等差数列{b n }的公差为d ，集合L ={t ∣t =cosb n ,n ∈N ∗}．则（ ） A ．当且仅当d =0时，L 只有1个元素B ．当L 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为16 C ．当d =π2时，L 可能有4个子集D ．当kd =2π,k ≥2,k ∈N ∗时，L 最多有k 个元素，且这k 个元素的和可能不为0二、多选题9．下列命题中，正确的有（ ）A ．X 服从B(n,p)，若E(X)=30,D(X)=20，则p =13B ．若P(A ∪B)=P(A)+P(B)，则A 与B 互斥C ．已知P(A)>0,P(B)>0，若A ，B 互斥，则P(A|B)=P(B|A)D ．P(B)<P(B ∣A)可能成立10．如图，平面ABN ⊥ α，|AB |=|MN |=2，M 为线段AB 的中点，直线MN 与平面α的所成角大小为30°，点P 为平面α内的动点，则（ ）A ．以N 为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2πB ．若P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线C．若P到直线MN的距离为1，则∠APB的最大值为π2D．满足∠MNP=45°的点P的轨迹是椭圆11．在平面内有三个互不相交的圆，三个圆的半径互不相等．三个圆的方程分别为C1:x2+ (y−13)2=r12,C2:(x+6)2+y2=r22,C3:(x−150)2+(y−6)2=r32.其中圆C2与圆C1的两条外公切线相交于点A，圆C3与圆C2的两条外公切线相交于点B，圆C1与圆C3的两条外公切线相交于点C，k1表示直线AB的斜率，k2表示直线AC的斜率，k3表示直线BC的斜率.下列说法正确的是（）A．存在r i(i=1,2,3)，使得k1>k2B．对任意r i(i=1,2,3)，使得k1=k2C．存在点P到三个圆的切线长相等D．直线l:12x+26y−133+r12−r22=0上存在到C1与C2的切线长不相等的点三、填空题12．设全集U=R，集合M={x|x2−5x−6>0}，N={x|log2x<3}，则(∁U M)∪N=．13．已知曲线C1:x2+y2−12x+32=0与曲线C2:(x−8)(3x+4y−m)=0恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围为．14．若实数a，b分别是方程ln2(a−1)=3−a,blnb2=e2的根，则ln[2b(a−1)]=．四、解答题15．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB=PC=2√6，PA=BC=2AD=2CD=4,E为BC中点，点F在梭PB上（不包括端点）.(1)证明：平面AEF⊥平面PAD；(2)若点F为PB的中点，求直线EF到平面PCD的距离.16．如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边BC ，CD 上的点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |；(1)求∠PAQ 的大小； (2)求△APQ 面积的最小值；17．设点T 是抛物线外一点，过点T 向拋物线y 2=4x 引两条切线TM ，TN ，切点分别为M ，N ，焦点F ，(1)若点T 的坐标为(−1,1)，证明：以TM 为直径的圆过焦点； (2)若点T 的坐标为(−2,2)，证明：∠MFT =∠NFT ．18．已知S ∈N ∗,S ≥2，在平面直角坐标系xOy 中有一个点阵，点阵中所有点的集合为M ={(x,y)∣x ≤S,y ≤S,x ∈N ∗,y ∈N ∗}，从集全M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．(1)当S =2时，求X 的分布列及期望． (2)对给定的正整数S =n +1(n ≥4)．（ⅰ）求随机变量X 的所有可能取值的个数（用含有n 的式子表示）； （ⅱ）求概率P(X <√2(n −1))（用含有n 的式子表示）．19．（1）若∀x >1，lnx <λ⋅12(x −1x )+(1−λ)⋅2⋅x−1x+1，求λ的取值范围； （2）证明：913<ln2<2536；（3）估计ln2的值（保留小数点后3位）． 已知1237=0.324324⋯,1537=0.405405⋯,73180=0.405555⋯,145504=0.287698⋯，147518=0.283784⋯,149518=0.287644⋯。
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期阶段考试数学试题
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期阶段考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________D ．满足45MNP Ð=°的点P 的轨迹是椭圆11．在平面内有三个互不相交的圆，三个圆的半径互不相等．三个圆的方程分别为222222222112233:(13),:(6),:(150)(6)C x y r C x y r C x y r +-=++=-+-=.其中圆2C 与圆1C 的两条外公切线相交于点A ，圆3C 与圆2C 的两条外公切线相交于点B ，圆1C 与圆3C 的两条外公切线相交于点C ，1k 表示直线AB 的斜率，2k 表示直线AC 的斜率，3k 表示直线BC 的斜率.下列说法正确的是（ ）A ．存在(1,2,3)ir i =，使得12k k >B ．对任意(1,2,3)i r i =，使得12k k =C ．存在点P到三个圆的切线长相等D ．直线2212:12261330l x y r r +-+-=上存在到1C 与2C 的切线长不相等的点224,PA BC AD CD E ====为BC 中点，点F 在梭PB 上（不包括端点）.(1)证明：平面AEF ^平面PAD ；(2)若点F 为PB 的中点，求直线EF 到平面PCD 的距离.16．如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边BC ，CD 上的点，且||AP AQ PQ =uuu r uuu r uuu r g ；(1)求PAQ Ð的大小；(2)求APQ △面积的最小值；17．设点T 是抛物线外一点，过点T 向拋物线24y x =引两条切线TM ，TN ，切点分别为M ，N ，焦点F ，(1)若点T 的坐标为(1,1)-，证明：以TM 为直径的圆过焦点；(2)若点T 的坐标为(2,2)-，证明：MFT NFT Ð=Ð．18．已知*N ,2S S γ，在平面直角坐标系xOy 中有一个点阵，点阵中所有点的集合为。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(二)数学(理科)试题 Word版含解析
∵直线 与圆相切，
∴圆心到直线的距离 ，
整理得： ，
设 ，则有 ，即 ，
解得： ，
则 的取值范围为 .
故选：B
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，是中档题.
8.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在 中，角 所对的边分别为 ，则 的面积 .根据此公式，若 ，且 ，则 的面积为（ ）
由 ，不妨令 ，得
由 ，得 或
当 时， ，不合题意.
当 时， ，此时
所以 ，故B正确.
因为 ，函数 ，在 上是单调递增，故C错误.
，故D错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查三角函数 性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.
12.定义在R上的偶函数 满足 ，且 ，若关于x的不等式 在 上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求内角A的角平分线AD长的最大值.
【附加15套高考模拟试卷】黑龙江省大庆实验中学2020届高三下学期第二次月考数学(理)试卷含答案
段 FA 的中点，且 OB FA （ O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D． 5
2．若 是 （）
的重心，a ，b ，c 分别是角
的对边，若 aG bG 3 cGC 0 ，则角 3
A． 90 B． 60 C． 45 D． 30 3．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是（ ）
11．已知全集U R ，集合 A {x | x2 1} ，则 CU A ( )
A． (,1) (1,)
B． (, 1] [1, )
C． (1,1) D．[1,1]
12．已知函数
在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1 5
1 3
3 5
5
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
9．如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． 8 4 3 B． 8 2 3 C． 4 4 3 D． 4 2 3
10．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学 与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A．24 B．16 C．8 D．12
在 8000 10000 的微信好友中，按男女比例分层抽取 6 人进行身体状况调查，然后再从这 6 位微信好友
中随机抽取 2 人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
18．（12 分）等差数列 的前 项和为 ，公差 ，已知
， ， ， 成等比数列.求数列 的通
项公式；记点
，
黑龙江省大庆实验中学高三数学仿真模拟试题 理(含解析
大庆实验中学实验一部2017届高三仿真模拟数学试卷(理工类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23题，共150分，共3页。
考试时间：120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，，则．故本题答案选．2. 已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B. 5 C. D.【答案】A【解析】,所以,选A.3. 命题，则的否定形式是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】试题分析：在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于”改成相反方面“小于”.所以本题应该选D.考点：命题的否定形式.4. 已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A. －2B. －4C. 2D. 0【答案】C【解析】由题知，即，又，解得，则．故本题答案选．5. 二项式的展开式中项的系数为，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【考点定位】二项式定理．6. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201．则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.7. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由框图功能可知,它的作用是统计出分数大于或等于110分的人数n.所以.选D.8. 已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图,我们可知概率为两个面积比.选D.【点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等,若题中只有一个变量,可考虑利用长度模型,若题中由两个变量,可考虑利用面积模型.9. 设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值2，在点处取得最大值5，目标函数的取值范围是.本题选择D选项.10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为，则由棱锥的体积公式有①，其中，分别为三棱锥四个面的面积，，代入①得到，解得.11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的的准线方程，焦点，由抛物线的定义可得，圆的圆心，半径，所以的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为，所以，所以，故选B.12. 已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】由函数的解析式可得函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足∴函数f(x)与y= x−1的图象恰有5个交点,且这5个交点关于(2,0)对称，除去点(2,0)，故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为 ________.【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．点睛：本题主要考查基本不等式.基本不等式可将积的形式转化为和的形式,也可将和的形式转化为积的形式,两种情况下的放缩功能,可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式,函数等的取值范围或最值中.与常用来和化积,而和常用来积化和.14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的倍，则的离心率为_____________．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，，所以双曲线的离心率为.点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.15. 把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为__________．（用数字作答）【答案】1616. 已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为 ___________．【答案】【解析】根据题意得,是直线OA n的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为 . （1）求角；（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)由题意结合余弦定理求得；(2)利用余弦定理结合面积公式和均值不等式可得的面积的最大值为．试题解析：(1)，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得:（当且仅当时，等号成立），即.18. （本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.附：【答案】（1）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，期望为，方差为．【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图，可得各组概率，进一步可填出列联表，利用公式求出的值，结合所给数据，用独立性检验可得结果；（2）利用分层抽样，可确定人中有男女，利用古典概型，可得结果．试题解析：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将列联表中的数据代入公式计算，得.因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由分层抽样可知人中男生占，女生占，选人没有一名女生的概率为，故所求被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率为．19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1) 取PA的中点N，由题意证得BN∥CQ，则CQ∥平面PAB.(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．试题解析：（Ⅰ）证明如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN.在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，所以QN∥AD，且QN＝AD.在△APD中，PA＝2，PD＝2，PA⊥PD，所以AD＝＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，故四边形BCQN为平行四边形，所以BN∥CQ.又BN⊂平面PAB，且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.（Ⅱ）如图，取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO.由(1)知PA＝AM＝PM＝2,所以△APM为等边三角形，所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(0,3,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，则＝(，3,0).因为Q为DP的中点，故Q，所以＝.设平面AQC的法向量为m＝(x，y，z)，则可得令y＝－，则x＝3，z＝5. 故平面AQC的一个法向量为m＝(3，－，5).设直线PD与平面AQC所成角为θ.则sinθ= |cos〈，m〉|＝＝.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.20. 已知分别是椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由题意列方程可得，故所求椭圆方程为(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，当且仅当时上式取等号. 的最小值为。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三综合模拟训练(二)数学(理)试题
大庆实验中学2020届高三综合训练（二）数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第I 卷（选择题 共60分)一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =U （ ） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞2．已知i 为虚数单位，若复数1aiz i-=+（a R ∈）的虚部为1-，则a = （ ） A ．2-B ．1C ．2D ．1-3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为（ ）A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189．65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11．6厘米，4．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π- 6．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为 ( )A ．20%，14580元B ．10%，14580元C ．20%，10800元D ．10%，10800元7．若0m >，0n >，且直线()()1120m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围是 （ ）A ．)22,⎡++∞⎣B ．)222,⎡++∞⎣C ．(0,22⎤+⎦ D ．(0,222⎤+⎦8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．22C ．6D ．239．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xn x x≈的结论（素数即质数，，则输出k 的值应属于区间 （ ） 15,20B ．20,25C ．25,30D ．30,3510．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，且双曲线C 与圆222x y c +=在第一象限相交于点A ，且123AF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．31+B ．21+C ．3D ．211．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫=⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是 （ ）A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称12．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()53f x f x -=+，且()224,012ln ,14x x x f x x x x ⎧-+≤<=⎨-≤≤⎩，若关于x 的不等式()()()210f x a f x a +++<在[]20,20-上有且仅有15个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,ln 22--B ．[)2ln 33,2ln 22--C ．(]2ln 33,2ln 22--D ．[)22ln 2,32ln 3--第II 卷（非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在大题卡相应位置上．13．二项式561x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是__________．14．已知向量(1,2)a =r ，(,1)b k =r ，且2a b +r r与向量a r 的夹角为90°，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为________．15．已知P ，E ，G F ，都在球面C 上，且P 在EFG ∆所在平面外，PE EF ⊥，PE EG ⊥，224PE GF EG ===，120EGF ∠=o ，在球C 内任取一点,则该点落在三棱锥P EFG -内的概率为__________．16．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N ++-=∈．若数列{}n a 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+L ，则整数k =________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．若ABC V 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且224()si sin n sin sin sin 3A B C B C -=-. （1）求cos A ； （2）若ABC V 的面积为423，求内角A 的角平分线AD 长的最大值．18．如图，四棱锥-中，SD CD SC AB BC ====，平面⊥底面ABC ∠=︒，是中点. （1）证明：直线AE 平面 （2） A BC DSEF18．如图，四棱锥S ABCD -中，22SD CD SC AB BC ====，平面ABCD ⊥底面SDC ，//AB CD ，90ABC ∠=︒，E 是SD 中点． （1）证明：直线//AE 平面SBC ； （2）点F 为线段AS 的中点，求二面角F CD S --的大小．19．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:2010:40~这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:40~记作区间[)20,40，9:4010:00~记作[)40,60，10:0010:20~记作[)60,80，10:2010:40~记作[]80,100，例如：10点04分,记作时刻64．（1）估计这600辆车在9:2010:40~时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中,在9:2010:00~之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用这600辆车在9:2010:40~之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:22之间通过的车辆数(结果四舍五入保留到整数)．参考数据：若()2,T N μσ~,则()0.6827P T μσμσ-<≤≤=①；(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=②；(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=③．20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，焦距为2c ，直线20bx y a -+=过椭圆的C左焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线20bx y c -+=与y 轴交于点,,P A B 是椭圆C 上的两个动点,APB ∠的平分线在y 轴上,PA PB ≠．试判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由．21．已知函数()ln f x x ax b =--． （1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()f x ex ≤-恒成立，求ba e-的最小值（其中e 为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．本题满分10分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22121sin ρθ=+，射线(0)4πθρ=≥交曲线C 于点A ，倾斜角为α的直线l 过线段OA 的中点B 且与曲线C 交于P 、Q 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）当直线l 倾斜角α为何值时，BP BQ ⋅取最小值，并求出BP BQ ⋅最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数() 1.f x x =+（Ⅰ）解不等式()32f x x >-+；（Ⅱ）已知0,0a b >>，且22a b +=，求证()224.f x x a b -≤+。
2022届黑龙江省大庆实验中学实验二部高考得分训练数学理科试卷二(5月模拟二) (2)
一、单选题二、多选题1. 正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M ，N 分别为，的中点，若点P 是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP ∥平面，则动点P 的轨迹面积为（ ）A．B ．5C．D．2. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）A．B ．0C．D ．13. 设复数在复平面内的对应点关于原点对称，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知．则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 正四棱锥P ﹣ABCD 的底面积为3，体积为，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE所成的角为（ ）A．B．C．D．6. 甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（ ）A ．甲平均产量高，甲产量稳定B ．甲平均产量高，乙产量稳定C ．乙平均产量高，甲产量稳定D ．乙平均产量高，乙产量稳定7. 已知直线m ，n 和平面α，，则“”是“n 与m 异面”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 函数（其中为自然对数的底）的图象大致是A．B．C．D．9. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列判断正确的是（ ）A ．平面B ．点到平面的距离为C ．三棱锥的体积为1D ．三棱锥外接球的表面积为2022届黑龙江省大庆实验中学实验二部高考得分训练数学理科试卷二（5月模拟二） (2)2022届黑龙江省大庆实验中学实验二部高考得分训练数学理科试卷二（5月模拟二） (2)三、填空题四、解答题10. 函数的部分图象如图所示，则（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C ．函数在内的所有零点之和为D ．将函数图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位长度后得到曲线11. 已知.若，则（ ）A．的最小值为10B ．的最小值为9C．的最大值为D ．的最小值为12.已知正项数列的首项为2，前项和为，且，，数列的前项和为，若，则的值可以为（ ）A ．543B ．542C ．546D ．54413. 下列命题中正确的有______．①若是空间三个非零向量，且满足，则；②回归直线一定过样本中心．③若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；④用相关指数来刻画回归效果，越接近0，说明模型的拟合效果越好；14. 已知关于x的方程．当时，方程的实数根为______________．若方程在内有两个不等的实数根，则a 的取值范围是__________．15.已知随机变量，且，则______.16. 已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.(1)证明：当时，数列是等比数列；(2)设为数列的前n 项和，是否存在实数，使得对任意正整数n ，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.17. 如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔和.张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔的高度，他在点A测得点的仰角为，，又选择了相距100米的点，测得.（1）请你根据张明的测量数据求出塔高度；（2）在完成（1）的任务后，张明测得，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为､).据此，他计算出了两塔顶之间的距离.请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)②他是如何用表示出的？(写出过程和结论)18. 设等差数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，若，求的值.19. 如图，扇形的圆心角为，半径为2，四边形为正方形，平面平面；过直线作平面交于点，交于点．（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值．20. 椭圆的左顶点为，右顶点为，满足，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点在椭圆的内部，直线和直线分别与椭圆交于另外的点和点，若的面积为，求的值．21. 已知函数，其中，且（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设函数是自然对数的底数），是否存在，使在，上是减函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．。
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大庆实验中学高三二模数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，答题纸5至7页，共150分。
测试时间120分钟。
第I 卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题。
每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合}2,1{=A ，则满足}3,2,1{=B A 的集合B 的个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．82．已知ni im-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -23．已知23)2cos(=-ϕπ，且2||πϕ<，则=ϕtan （ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．34．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ） A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点 B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点5．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则|9||1|-+-x x 的值为（ ）A ．8B ．8-C ．0D ．106．设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，b x x f x-+-=221)(（b 为常数），则=)1(f （ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
给出下列函数①x x f cos sin )(-=；②)c o s (s i n2)(x x x f +=；③2s i n2)(+=x x f ；④.s i n )(x x f =其中“互为生成函数”的是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④8．在ABC ∆内，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A=（ ）A ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒1509．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（ ）10．设命题:p 非零向量||||,,b a b a =是)()(b a b a-⊥+的充要条件；命题:q M 为平面上一动点，C B A ,,三点共线的充要条件是存在角α，使+=α2sin α2cos ，则（ ）A ．q p ∧为真命题B ．q p ∨为假命题C ．q p ∧⌝为假命题D ．q p ∨⌝为真命题11．已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当)3,1(∈x 时，有2)2(81)(+≤x x f 成立，又0)2(=-f ，则b 为（ ） A ．1B ．21C ．2D ．012．若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下面结论正确的是（ ） A ．βα>B ．0>+βαC ．βα<D ．22βα>第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
（将答案填在答题纸上） 13．函数1)(23++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于。
14．如果21)4tan(,43)tan(=-=+παβα，那么)4tan(πβ+= . 15．在ABC ∆中，︒===60,7,1B b a ，则=c .16．O 是平面α上一点，点C B A ,,是平面α上不共线的三点。
平面α内的动点P 满足)(++=λ，若21=λ，则·)(+的值等于 .三、解答题：本大题共6个小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（将答案写在答题纸上。
）17．（本小题满分12分）已知函数R x x x x x f ∈-+=,21cos cos sin 3)(2 （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间； （2）作出函数在一个周期内的图象。
18．（本小题满分12分）如图，某观测站C 在城A 的南偏西︒20的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东︒40的公路，在C 处观测到距离C 处31km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20km 后到达D 处，测得C ，D 两处的距离为21km ，这时此车距离A 城多少千米？19．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且.62,546-=-=S a （1）求}{n a 通项公式；（2）求数列|}{|n a 的前n 项和.n T20．（本小题满分12分）已知向量))(,(cos ),sin 3cos ,1(x f x n x x m ωωω=+= ，其中0>ω，且n m//，又函数)(x f 的图象任意两相邻对称轴间的距离为.23π（1）求ω的值；（2）设α是第一象限角，且2623)223(=+παf ，求)24cos()4sin(αππα++的值.21．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m 元（53≤≤m ）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（119≤≤x ）时，一年的销售量为2)12(x -万件.（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x （元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值).(m Q22．（本小题满分14分） 设函数.21ln )2()(ax xx a x f ++-= （1）当0=a 时，求)(x f 的极值； （2）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；（3）当2=a 时，对任意的正整数n ，在区间]16,21[nn ++上总有4+m 个数使得)()()()()()()()(4321321+++++++<++++m m m m m a f a f a f a f a f a f a f a f 成立，试求正整数m 的最大值。
山师大附中高三数学（理）第二次模拟试题答 题 纸第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 14． 15．16．三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题12分）18．（本小题12分）19．（本小题12分）20．（本小题12分）21．（本小题12分）22．（本小题14分）山师大附中高三数学（理）第二次模拟试题参 考 答 案一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．D 5．A6．A7．B8．A9．D10．C11．B12．D二、填空题 13．34 14．112 15．3 16．0三、解答题17．解：（1）x x x x x x f 2cos 212sin 2321cos cos sin 3)(2+=-+=……2分 )62sin(π+=x …………………………………………………………3分∴最小正周期为.π …………………………………………………………………4分 令Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ，则ππππk x k +≤≤+-63，所以函数的单调递增区间是)](6,3[Z k k k ∈++-ππππ…………………………6分（2…………………………………………………………………………………………9分画图略…………………………………………………………………………………12分 18．解：在BCD ∆中，21,20,31===CD BD BC ，由余弦定理71212023121202cos 222222-=⨯⨯-+=∙-+=∠DC DB BC DC DB BDC ，…………………3分所以734sin ,71cos =∠=∠ADC ADC ，…………………………………………5分 在ACD ∆中，由条件知︒==60,21A CD ，所以1435734217123)60sin(sin =⨯+⨯=∠+︒=∠ADC ACD ………………8分 由正弦定理ACD ACD AD sin sin =∠ 所以1514352321=⨯=AD ………………………………………………………11分 故这时此车距离A 城15千米………………………………………………………12分 19．解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由条件得⎩⎨⎧-=+-=+62645511d a d a ， ………………………………………………………………3分 解得⎩⎨⎧=-=3201d a ，………………………………………………………………5分所以}{n a 通项公式)1(320-+-=n a n ，则233-=n a n ………………………6分（2）令0233≥-n ，则323≥n ， 所以，当7≤n 时，0<n a ，当8≥n 时，0>n a . ………………………………8分所以，当7≤n 时，]23)1(20[)(2121∙-+--=+++-=+++=n n n a a a b b b T n n n n n 263232+-= n n n a a a a a b b b T ++++++-=+++= 872121)(当8≥n 时，n a a a a a a a a ++++++++++-= 8721721)(2154263232+-=n n所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-=8,154263237,2632322n n n n n n T n ………………………………………………12分20．解：（1）由题意得n m//，所以，1·0)sin 3(cos cos )(=+-x x x x f ωωω……………………………………………2分x x f ωcos )(=·22sin 322cos 1)sin 3(cos xx x x ωωωω++=+21)62sin(++=πωx …………………………………………………………………4分根据题意知，函数)(x f 的最小正周期为π3.又0>ω，所以31=ω ………………………………………………………………6分（2）由（1）知21)632sin()(++=πx x f所以262321cos 21)2sin()223(=+=++=+απαπαf解得135cos =α………………………………………………………………………8分因为α是第一象限角，故1312)135(1sin 2=-=α ………………………………9分所以，21413)sin (cos 222cos )4sin()24cos()4sin(-=-=+=++αααπααππα ……………12分21．解：（1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：]11,9[,)12)(3(2∈---=x m m x L ……………………………………4分（2）).3218)(12()3(2)12()(2x m x m x x X L -+-=----='令0='L 得m x 326+=或12=x （不合题意，舍去）…………………………6分∵53≤≤m ，∴.3283268≤+≤m 在m x 326+=两侧L '的值由正变负.所以（1）当93268<+≤m 即293<≤m 时，).6(9)912)(39()9(2m ax m m L L -=---== ………………………………9分（2）当3283269≤+≤m 即529≤≤m 时，32m ax )313(4)]326(12)[3326()326(m m m m m L L -=+---+=+=，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=529,)313(4,293),6(9)(3m m m m m Q …………………………………………11分答：若293<≤m ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值)6(9)(m m Q -=（万元）；若529≤≤m ，则当每件售价为)326(m +元时，分公司一年的利润L 最大，最大值3)313(4)(m a Q -=（万元）.…………………………………12分22．解：（1）函数)(x f 的定义域为).,0(+∞ ……………………………………1分当0=a 时，x x x f 1ln 2)(+=，∴.1212)(22x x x x x f -=-=' ………………2分 由0)(='x f 得.1=x )(),(x f x f '随x 变化如下表：故，2ln 22)2()(-==f x f 极小值，没有极大值. …………………………4分（2）由题意，221)2(2)(xx a ax x f --+=' 令0)(='x f 得a x 11-=，.212=x ………………………………………………6分 若0>a ，由0)(≤'x f 得]21,0(∈x ；由0)(≥'x f 得).,21[+∞∈x …………7分若0<a ，①当2-<a 时，211<-a ，]1,0(a x -∈或),21[+∞∈x ，0)(≤'x f ；]21,1[a x -∈，,0)(≥'x f②当2-=a 时，0)(≤'x f③当02<<-a 时，]1,0(,211ax a -∈>-或),21[+∞∈x ,0)(≤'x f ;]21,1[a x -∈，.0)(≥'x f综上，当0>a 时，函数的单调递减区间为]21,0(，单调递增区间为),21[+∞；当2-<a 时，函数的单调递减区间为),21[],1,0(+∞-a ，单调递增区间为]21,1[a -；当02<<-a 时，函数的单调递减区间为),,1[],21,0(+∞-a 单调递增区间为]1,21[a--……………………………………………………………………10分（3）当2=a 时，.14)(,41)(22x x x f x x x f -='+= ∵]16,21[n n x ++∈，∴0)(≥'x f ∴4)21()(m in ==f x f ，).16()(m ax n n f x f ++= ………………………………………………12分由题意，)16(4)21(n n f mf ++<恒成立。