不可压缩流体动力学基础习题答案

不可压缩流体动力学基础

1．已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2，y xy u y 522+=。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变

形速度和旋转角速度。

解：（1）线变形速度：

y x x

u x

x +=∂∂=

2θ 54+=∂∂=

xy y

u y y θ

角变形速度：()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε

旋转角速度：

()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222

1

21ω

将点（1，-1）代入可得流体微团的

1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω

2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x ，x z u y 32+=，y x u z 32+=。试求旋转角速度，角变形速度和

涡线方程。

解：旋转角速度：

2

1

21=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z

x ω

2

121=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω

2

1

21=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x

y

z ω

角变形速度：2

5

21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2

521=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ε

25

21=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ε

由

z

y

x

dz

dy

dx

ωωω=

=

积分得涡线的方程为：

1c x y +=，2c x z +=

3．已知有旋流动的速度场为2

2z y c u x +=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。

解：流场的涡量为：

0=∂∂-∂∂=

z

u y u y

z x Ω 2

2

z

y cz x

u z u z

x y +=∂∂-∂∂=

Ω

2

2z y cy

y u x

u x y z +-=∂∂-

∂∂=

Ω

旋转角速度分别为：

0=x ω

2

2

2z

y cz y +=

ω

2

22z

y cy z +-

=ω

则涡线的方程为：

c dz

dy

z

y

+=⎰

⎰ωω

即

c y dz z dy +-=⎰⎰

可得涡线的方程为：

c c y =+22

4．求沿封闭曲线

2 22b y x =+,0=z 的速度环量。（1）Ax u x =，0=y u ；（2）Ay u x =，0=y u ；（3）

0=y u ，r A u =θ。其中A 为常数。

解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。 在z =0的平面上速度分布为：

Ax u x =，0=y u

涡量分布为：

0=z Ω

根据斯托克斯定理得：

0==⎰z A

z s dA ΩΓ

（2）涡量分布为：

A z -=Ω

根据斯托克斯定理得：

2b A dA z A

z s πΩΓ-==⎰

（3）由于0=r u ，r A u =θ

则转化为直角坐标为：22b Ay y r A u x

-=-

=，2

b

Ax

u y = 则

22b

A y u x

u x y z =∂∂-

∂∂=

Ω 根据斯托克斯定理得：

A dA z A

z s πΩΓ2==⎰

5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？ 答：不可压缩流体连续性方程

直角坐标：

0=∂∂+∂∂+∂∂z

u y u x u z y x （1） 柱面坐标：

0=∂∂+∂∂+∂∂+z

u r u r u r u z

r r θθ （2） （1）0,,=-==z y x u ky u kx u 代入（1） 满足 （2）y x u x z u z y u z y x

+=+=+=,, 代入（1） 满足

（3）

0),(),(2222=+=-+z y x u y x k u y xy x k u 代入（1） 不满足

（4）0,sin ,sin =-==z y x u xy k u xy k u 代入（1） 不满足

（5）0,,0===z r u kr u u θ 代入（2） 满足

（6）0,0,==-=

z r u u r

k

u θ 代入（2） 满足 （7）0,sin 2,cos sin 22=-==z r

u r u r u θθθθ 代入（2） 满足

6．已知流场的速度分布为y x u x

2=，y u y 3-=，22z u z =。求（3，1，2）点上流体质点的加速度。

解：y x y x x y xy y x z u

u y u u x u u t u a x z x y x x x x

22322320320-=+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

y z

u u y

u u x

u u t

u a y z

y y

y x

y y 9=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

28z z

u

u y u u x u u t u a z z z y z x z z =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：

27=x a ，9=y a ，64=z a