第二章 场论

第二章 场论2.1 场1.场的概念：若对全空间或其中的某一区域V 中每一点M ，都有一个数量（或矢量）与之对应，则称在V 上给定了一个数量场（或向量场）。

２.数量场的等值面、等值线设空间中的一数量场(,,)u x y z ,从后我们总假定它单值，连续且具有一阶连续的偏导数。

那么空间中u 取值相同的点在空间中是如何分布的呢？这些点满足方程 (,,)u x y z C ≡，其中Ｃ常数。

若u 一阶偏导数不全为0（这也可作为默认的假设），由隐函数存在唯一性定理可知方程(,,)u x y z C ≡中(,)z f x y =，称这一曲面为数量场(,,)u x y z 的等值面，曲面上所有点均满足(,,)u x y z C ≡。

随着常数C 选取的变化，方程(,,)u x y z C ≡对应着不同的等值面，因为C 可取遍了u 值域中的每一个值，所以数量场(,,)u x y z 所在的空间将被这族等值面所充满，这些等值面彼此互不相交（若相交的话u 就不是单值函数了）。

若空间中数量场为平面数量场(,)u x y ，(,)u x y C ≡表示了一条平面曲线，称为数量场(,)u x y 的等值线，显然平面数量场(,)u x y 所在的平面区域被一族等势线充满，这些等值线彼此不相交。

3.矢量场的矢量线、矢量面、矢量管ˆˆˆ(,,)(,,)(,,)(,,)x y z A x y z A x y z i A x y z j A x y z k =++为空间的一矢量场，在空间中作这样的曲线，使得曲线的任一点M 处切线的放向数是()A M的三个分量，即曲线满足微分方程：x y zdx dy dzA A A ==则称这样的曲线为矢量场(,,)A x y z 的矢量线。

由微分方程理论（解的存在与唯一性定理）我们可知x y zdx dy dz A A A ==的解是矢量线族，这族矢量线不仅存在，并且也充满了矢量场所在的空间区域，而且互不相交。

对于场中的任一曲线C 上的任一点，都有且只有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线C 的曲面，称为矢量面。

若这C 为闭合曲线，则形成的矢量面是管形，称为矢量管。

4.平行平面场(1)平行平面矢量场:如果矢量场(,,)A x y z具有以下的几何特点：（I ）空间中的每一点所对应的矢量都平行于同一平面π。

（II ）任一条垂直于平面π的直线上，每一点所对应的矢量(,,)A x y z都相等。

显然场中每个与平面π平行的平面上的矢量分布都与π上的矢量分布相同，也就是说平面π上的矢量分布，就代表了全空间的矢量分布，空间矢量场就简化成了一个平面矢量场。

（2）平行平面数量场：与平行平面矢量场的概念是类似的，就是垂直于场中的某一直线l 的所有平面上，数量场(,,)u x y z 的分布都是相同的，从而平行平面数量场也可简为一个平面数量场来研究。

2.2 数量场的方向导数与梯度1.方向导数：设(,,)u x y z 为空间的一数量场，0P 是空间的一点，以0P 为端点的一条射线l。

在l 在取一点P ，0P P ρ=。

若极限00()()lim u P u P ρρ+→-存在，则称此极限为(,,)u x y z 在0P 处沿l 方向的方向倒数，记为0|P ul∂∂ ，或0()l u P 。

若(,,)u x y z 在0P 处存在偏导数，则(,,)u x y z 在0P 处沿x 轴正方向的方向导数0()l u u P x ∂=∂ ，沿x 轴负方向的方向导数0()l uu P x∂=-∂ 。

定理1：若(,,)u x y z 在0P 处可微，则(,,)u x y z 在点0P 处沿任一方向l的方向导数均存在，且0000()()cos ()cos ()cos x y z l u P u P u P u P αβγ=++ ，其中cos α，cos β，cos γ是l的方向余弦。

证：因为(,u x y z 在P 处可微，所以00000lim (()())()()()()x y z u P u P u P x u P y u P z O ρρ+→-=∆+∆+∆+，所以00000()()()()()()lim lim x y z u P x u P y u P z O u P u P ρρρρρ++→→∆+∆+∆+-=，而cos cos cos x y z ραρβργ∆=⎧⎪∆=⎨⎪∆=⎩， 所以000()()()lim ()()()lim ()cos ()cos ()cos x y z x y z u P u P xyzo u P u P u P u P u P u P ρρραβγρρρρρ++→→-∆∆∆=+++=++因为ˆ(c o s ,c o s ,c o s )l αβγ=，令0000()((),(),())x y z G P u P u P u P =所以公式可写成：00ˆ()()l u P G P l =⋅，由此我们可以看出当0()G P 与ˆl 同向时0()l u P取得最大值，最大值为0()G P ，当0()G P与ˆl 反向时0()l u P取得最小值，其值为0()G P - 。

这说时(,,)u x y z 在0P 处沿0()G P 方向的变化率最大（增长最快），其值就是0()G P的模，(,,)u x y z 在0P 处沿0()G P负方向的变化率最小（减小最快）。

现在我们定义空间数量场中一个新概念----梯度。

2.梯度：若在数量(,,)u x y z 中的一点0P 处，存在一个这样的矢量0()G P，其方向为(,,)u x y z 在0P 处变化率最大的方向，其模长是(,,)u x y z 在0P 处最大的变化率，则称矢量0()G P 为(,,)u x y z 在0P 处的梯度。

记为：grad u=G上面给出的梯度定义与选取什么样的坐标系无关，因为定义中不涉取具体坐标系。

直角坐标系下的梯度公式：grad u=(,,)x y z u u u由定理一可以知道(,,)x y z u u u 满足梯度的定义，显然grad u=(,,)x y z u u u这样我们就得到直角坐标系下方向导数公式：()l u P =(grad u) ˆll grad ⋅= u梯度场：如果我们把数量场中的每一点梯度与场中之点一一对应起来，就得到一个矢量场，称为数量场的梯度场。

3．梯度运算的基本公式 1）grad C=0 (C 为常数)2）grad (Cu)=Cgrad u (C 为常数) 3）grad ()u v ±=grad u ±grad v 4) grad ()uv =v grad u +u grad v 5)grad ()u v =21v (v grad u -u grad v ) 6)grad ()f u =()f u 'grad u 7)grad (,)f u v =f u ∂∂grad u +f v∂∂grad v在直角坐标系下，以上这些基本公式是很容易验证的。

2.3矢量场的通量及散度1. 通量定义：设矢量场(,,)A x y z，沿有向曲面S 一侧的曲面积分sA dS Φ=⋅⎰⎰ ，叫作矢量场(,,)A x y z在S 那一侧（积分所沿的一侧）上的通量。

设ˆˆˆ(,,)(,,)(,,)(,,)A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，而ˆˆˆˆ(c o s c os d S d S n d S iαβγ==++，其中α，β，γ为ˆn 的方位角。

所以通量在直角坐标系下的计算公式： ssA dS Pdydz Qdxdz Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰2.散度定义：设矢量场(,,)A x y z，M 为场中的某一点，S ∆为包含M 的一闭曲面，S ∆包含的空间区域为∆Ω，∆Ω的体积为V ∆。

若limsMA dSV∆∆Ω→⋅∆⎰⎰ （sA dS ⋅⎰⎰ 是A 在外侧上的通量）存在，则称此极限为矢量场(,,)A x y z在M 处的散度，记为：div limsMA dSA V∆∆Ω→⋅=∆⎰⎰。

若div ()0A M > ，说明(,,)A x y z 的矢量线从A 点穿出，则称M 为(,,)A x y z的源。

若div ()0A M < ，说明(,,)A x y z 的矢量线从A 点穿入，则称M 为(,,)A x y z的汇。

若div 0A ≡ 则称(,,)A x y z为无源场。

散度在直角坐标下的表达示：P Q RdivA x y z∂∂∂=++∂∂∂ 证明：由高斯公式得()s P Q RA dS dV x y z ∆∆Ω∂∂∂⋅=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，由积分中值定理有*()()M P Q R P Q RdV V x y z x y z∆Ω∂∂∂∂∂∂++=++∆∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰其中*M 为∆Ω内的某一点，所以**()()limlimlim lim ()MsM MMM M P Q R P Q R A dSdV V x y z P Q R x y z divA VV V x y z∆∆Ω∆Ω→∆Ω→∆Ω→∆Ω→∂∂∂∂∂∂⋅++++∆∂∂∂∂∂∂∂∂∂====++∆∆∆∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰而当M ∆Ω→时，*M M →，即*lim ()()M M MP Q R P Q Rx y z x y z∆Ω→∂∂∂∂∂∂++=++∂∂∂∂∂∂，所以P Q RdivA x y z∂∂∂=++∂∂∂ 。

由上我们可以将高斯公式改写成：sA dS divAdV Ω⋅=⎰⎰⎰⎰⎰3.散度运算的基本公式1）()div cA cdivA =（c 为常数） 2）()div A B divA divB ±=±3）()div uA udivA gradu A =+⋅（u 为一数性函数）在直角坐标系下很容易的可以验证上面的公式。

4.平面矢量场的通量与散度1）通量的定义：设平面矢量场ˆˆ(,)(,)(,)A x y P x y i Q x y j =+，沿场中的一有向曲线l 的积分n lA dl ⋅⎰ （ˆn dl dl n =⋅ ，ˆn 是线元dl 处的法向单位向量）称为(,)A x y在曲线l 的通量。

平面矢量场通量在直角坐标系下的计算公式：n llA dl Pdy Qdx ⋅=-⎰⎰证：ˆˆˆ(cos cos )n llllA dl A ndlA dl i dl j Pdy Qdx αβ⋅=⋅=⋅+=-⎰⎰⎰⎰2）散度的定义：平面矢量场(,)A x y，M 为场中的一点，L 是包围M 的闭曲线，设∆Ω为L 所包围区域，S ∆为∆Ω的面积。

若lim n LM A dl S∆Ω→⋅∆⎰ 存在则称此极限为(,)A x y 在M 处的散度。