效用函数方法
交通效用函数标定方法
交通效用函数标定方法
交通效用函数是一种描述交通出行选择与效用关系的函数，通常用于交通规划、交通行为分析和交通需求预测等领域。
标定交通效用函数的方法有很多种，以下是其中一些常见的方法：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数学优化技术，通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差和，来估计函数的参数。
在交通效用函数标定中，最小二乘法可用于拟合出最优的参数值，使得预测的效用值与实际的效用值尽可能接近。
2. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种参数估计方法，通过最大化样本数据的似然概率来估计参数。
在交通效用函数标定中，最大似然估计法可用于估计参数，使得预测的效用分布与实际的效用分布尽可能一致。
3. 贝叶斯估计法：贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，通过将先验信息与样本数据相结合，来估计参数的后验概率分布。
在交通效用函数标定中，贝叶斯估计法可用于考虑先验知识和样本数据的联合概率分布，从而更准确地估计参数。
4. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过模拟基因突变、交叉和选择等过程来寻找最优解。
在交通效用函数标定中，遗传算法可用于搜索最优的参数组合，使得预测的效用值与实际的效用值达到最佳匹配。
5. 神经网络：神经网络是一种模拟人类神经系统工作方式的机器学习方法，通过训练神经元之间的连接权重来学习输入与输出之间的关系。
在交通效用函数标定中，神经网络可用于建立复杂的非线性效用函数，并自动学习参数。
以上是一些常见的交通效用函数标定方法，具体使用哪种方法取决于数据情况、研究目标和问题性质等因素。
经济学中效用函数的
矩估计法
定义
矩估计法是一种利用样本矩来估计总体参数的方法。它通过比较样本矩和总体矩的关系来估计总体参数。矩估计法的一个主要优点是它不需要知道数据的分布 假设，因此可以用于任何类型的数据。
优点
矩估计法的优点包括：简单易行、不需要知道数据的分布假设、可以用于任何类型的数据。此外，在某些情况下，矩估计法的解具有唯一性。
要点二
单调递减
如果对于所有的商品组合X和Y，只要X中的商品总价值 低于Y，那么消费者对于X的效用也低于Y。
03
效用函数的应用场景
消费者选择理论
01
描述消费者的偏好
效用函数能够量化描述消费者的 偏好，为研究消费者行为提供依 据。
02
消费者选择模型
基于效用函数构建消费者选择模 型，解释消费者如何在有限的资 源下做出最优的购买决策。
最大似然估计法
定义
优点
缺点
最大似然估计法是一种参数估计方法 ，它通过找到一组参数值，使得模型 预测的结果与实际观察到的数据之间 的似然性最大。换句话说，它试图找 到最有可能产生观察数据的参数值。
最大似然估计法是一种强大的参数估 计方法，因为它可以充分利用已知的 数据信息，并且对于大多数分布假设 ，其估计量是渐近正态的，这意味着 随着样本大小的增加，估计量的精度 也会提高。此外，最大似然估计法还 可以方便地处理缺失数据和异常值。
03
凸函数
一种常见的效用函数，其形式为U(x) = e^(ax)，其中a为常数。凸函数
的特点是随着商品数量的增加，效用值的增加速度逐渐加快。
02
效用函数的基本性质
偏好关系
完全偏好关系
如果消费者对于所有的商品组 合A和B，都更偏好A，那么我 们称A在偏好关系中完全优于B
4.效用
u ( x1 , x2 ) x1 x2
, 0
10
20
x1 （ 1元面额 ）
4.3
效用函数的实例
U(x1,x2) = min{ax1,bx2} 45o
min{x1,1/2*x2}与 min{2x1,x2}
完全互补品（函数，形状，比例）
x2
8 5 3
min{x1,x2} = 8
min{x1,x2} = 5 min{x1,x2} = 3 3U 2x2
例子：
如果U(x1,x2) = x11/2 x22 ，分别对x1和x2求导
U 1 1/ 2 2 MU1 x1 x2 x1 2 U 1/ 2 MU 2 2 x1 x2 x2
注意： 边际效用的量值取决于效 用的量值，取决于所选择的测度 效用的特定办法。如果效用扩大2倍，边际
x2
8 6
MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1.
U = 36 1 6 U=8 x1
4.5.2 拟线性函数的边际替代率
U(x1,x2) = f(x1) + x2
U f ( x1 ) x1
U 1 x2
d x2 U / x1 MRS f ( x1 ). d x1 U / x2
x2
4 3 2
1
x1
图示法
讨论的二商品情况中，消费者的效用函数用图形表示出来，是三维空间里的一个 曲面。 三维直角坐标系O-X-Y-U,横轴X和纵轴Y分别代表商品X和商品Y的数量，U代表各 种消费组合的效用水平。 平面分析三维图形比较困难。等高线刻画消费者的偏好情况，用“等高线”在平 面O-X-Y上的投影来描述消费者的偏好—无差异曲线，表示具有相同效用水平的消 费组合的轨迹。U(X,Y)=C
ces效用函数最优解
ces效用函数最优解CES效用函数是一种常见的经济学模型，它被广泛应用于消费者行为和生产函数分析中。
CES效用函数的全称是Constant Elasticity of Substitution Utility Function，翻译过来就是替代弹性恒定的效用函数。
它的表达式如下：U(x1, x2) = [αx1^ρ+ (1-α)x2^ρ]^1/ρ，其中0<ρ<1，且ρ≠0。
在这个函数中，x1和x2是消费者消费的两种商品，U表示消费者的效用，α是两种商品的权重。
CES效用函数具有以下特点：1. 替代性：由于存在指数函数，CES效用函数具有替代性。
当ρ>1时，消费者更倾向于选择相对价格低的商品进行消费。
当ρ=1时，商品的替代弹性恒定为1，消费者对不同商品的选择相对较为均衡。
2. 技术性质：CES效用函数中的权重因子α代表不同商品之间的技术性质，反映了消费者对不同商品的偏好。
当α=0.5时，表示两种商品对消费者来说是等价的。
3. 弹性性质：CES效用函数中的指数ρ反映了消费者对替代弹性的敏感程度。
当ρ趋近于1时，弹性趋于无穷大，表示消费者对商品的替代弹性非常敏感。
在求解CES效用函数的最优解时，我们可以利用一些数学方法进行推导和计算。
首先，我们要确定一个有效的目标函数，例如消费者的满足程度。
然后，通过对目标函数求导并设置一阶条件，我们可以得到最优解。
具体的求解步骤如下：步骤1：设定目标函数。
我们可以以消费者的效用作为目标函数，U(x1, x2) = [αx1^ρ+ (1-α)x2^ρ]^1/ρ。
步骤2：对目标函数求导。
我们对U(x1, x2)分别对x1和x2求导，得到关于x1和x2的一阶偏导数。
步骤3：设置一阶条件。
根据最优化理论，为了求得最优解，我们需要让一阶偏导数等于0，即∂U/∂x1=0和∂U/∂x2=0。
步骤4：解方程组。
通过求解上述方程组，我们可以得到最优解x1*和x2*，即消费者持有的最优商品数量。
《效用函数》课件
05
效用最大化问题
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
消费者在购买某一商品时愿意支付的 最高价格与实际支付价格之间的差额 。消费者剩余反映了消费者对商品的 主观评价和实际支付之间的差异。
无差异曲线法
预算约束法
通过选择无差异曲线上的点来实现效用最 大化，无差异曲线上的点表示能给消费者 带来相同效用的不同商品组合。
在预算约束条件下，选择能够使总效用最 大的商品组合。
06
效用函数的发展趋势和未来展望
效用函数在经济学中的发展趋势
跨学科融合
随着经济学与其他学科的交叉研究， 效用函数的理论和应用将进一步融入 心理学、社会学和环境科学等领域， 以更全面地解释人类行为和经济现象 。
效用函数作为决策分析的重要工 具，为决策者提供了一套完整的 分析框架和方法。
04
效用函数的性质
边际替代效应
边际替代效应是指消费者在保持总效 用不变的情况下，通过改变消费组合 中不同商品的消费量，以获得最大效 用。
边际替代效应反映了消费者对于不同 商品之间的替代关系，是消费者行为 的一个重要特征。
对同一种商品的效用评价可能不同。
效用具有主观性和个体差异性，反映了消费者的个人偏好和价
03
值取向。
效用函数的定义
01
效用函数：表示消费者对不同消费组合的效用评价 的函数。
02
效用函数将商品的数量或消费组合映射到效用值上 ，反映了消费者的偏好和价值取向。
03
效用函数有多种形式，常见的有线性效用函数、二 次效用函数、对数效用函数等。
效用函数方法
§4 效用函数方法一、效用的概念有时有些问题, 用前节方法不一定很合理. 例6 问题1 有两方案A 1, B 1,A 1: 稳获100元;B 1 : 41%获250元, 59%获0元. 问题2A 2: 稳获10000元;B 2 : 掷硬币,直到正面,获2N 元. 直观上,一般在问题1中, 选A 1, 在问题2中, 选A 2. 理论上,问题1中, 选B 1,因为11()0.412500.590102.5100()E B E A =⨯+⨯=>=在问题2中, 选B 2, 因为222211()22...10000()22E B E A =⨯+⨯+=∞>= 所以, 期望最大原则, 此处不尽合理.例7 设用20元买彩票,中奖率0.5, 奖金80,E=20元, 甲经济暂时较拮据, 几天没吃饱, 视20元效用大; 乙经济较宽松, 并不认为20元效用很大, 很可能买. 这就是货币的效用值, 给人提示为:(1) 决策者应结合实际进行决策;(2) 可以根据效用值来进行决策.二、效用曲线的确定及类别1. 货币效用函数 最初描述对货币量的感受度效用值U =log a (货币量M ).可推广运用到决策中.2. 确定效用函数基本方法因为这是一种主观量,所以,一般设最喜欢决策(或某一货币量M), 效用值为1, 最不喜欢的决策(或某一货币量m), 效用值为0, 其它的决策(或货币量k), 效用值为0~1中的数. U效用M 货币量O应用时, 将各因素折合为效用值, 计算各方案的综合效用值, 然后选择效用值最大的方案.3. 效用曲线的具体确定(1) 直接提问法向决策者提问:你企业获利100,200,…万元, 你的满意度各是多少? 效用曲线.(不很准,不常用)(2) 对比提问法A 1: 可无风险得到一笔金额x ;A 2: 以概率P 得到一笔金额y ,或以1P -得到z 且z x y >>,(或y x z >>)各效用表示(),(),()U z U x U y .设两种方案等价, 则有()(1)()()PU y P U z U x +-=.上式有4个变量, 知道其中3, 就可确定第4个量. 通过提问可确定, 有4种:(1) 固定,,y x z , 问P 取何值时, 1A 与2A 等价,(2) 固定,,P y z , 问x 取何值时, 1A 与2A 等价,(3) 固定,,P x y , 问z 取何值时, 1A 与2A 等价,(4) 固定,,P x z , 问y 取何值时, 1A 与2A 等价;例8 设0.5P =,610z =,5510y =-⨯, 且()1,()0U z U y ==, 如下图所示.(i) 首问当x 何值时, 有 0.5()0.5()()U y U z U x +=若答为250000x =-⇒ 则()0.5U x =(ii) 二问当x '何值时, 有 0.5()0.5()()U x U z U x '+=若答75000x '=, 则()0.75U x '= (iii) 三问当x ''何值时,有0.5()0.5()()U y U x U x ''+= 若答420000x ''=-, 则()0.25U x ''=, 从而可绘出效用曲线. 属于保守型. 8y510z 2-10.5()U x 货币x x 'x ''4. 效用曲线的大致分类 *5. 效用曲线的应用举例 例 设某石油企业的效用函数如右图. 欲试验钻井采油, 情况如下树.试根据决策者的 效用曲线进行决策解由效用曲线, 查得纯收入与效用值的对应值, 标O x 1保守型效用货币风险型中间型混合型20000-10000-100002000030000x O 1U 0.613000|-27000|0.98-3000-0.270.68在决策树边(纯收入=收入—支出).300010000[1](1)[2](2)270000.980.60.85--∆∆∆效用值纯收入试验好钻井出油0.15不出油130000∆-不钻井0.4不好[3]10000-∆钻井(3)0.10出油0.90不出油不试验10000[4](4)0.55-∆钻井出油不钻井0.45不出油270000.98∆130000∆-不钻井30000.6∆-30000.6∆-300001∆100000.27∆-00.68∆0.0980.833期望效用值0.67250.8330.60.68在事件状态点(2),(3),(4)效用期望值分别为 2max (0.833,0.60)0.833=3max (0.098,0.60)0.60=4max (0.672,0.68)0.68=在事件状态点(1)效用期望值为0.60.8330.40.60.7398⨯+⨯=1max (0.7398,0.68)0.7398=⇒试验最后决策: (1)试验; (2)若好, 则钻井;不好,则不钻井.*6. 其它效用曲线函数 线性112()()U x c a x c =+- 指数23()11()(1)a x c U x c a e -=+- 双指数3322()()11()(2)a x c a x c U x c a e e --=+-- 指数+线性22()1133()(1)()a x c U x c a e a x c -=+-+- 幂函数41213()[()]aU x a a c x a =+- 对数函数1132()log()U x c a c x c =+-。
第三章效用函数.pptx
决策就是要对这 m个事态体进行排序。 由第一节中的性质3.3知，存在简单事态体
T’，使得 Ti’＝（pi’, o*；1－pi’, o0 ）～
Ti
问题又化为对这m个简单事态体Ti’进行排
序。
§3.2 效用函数的定义和构造
表示任意事态体都不是无限优，也不是无限 劣。
§3.1 理性行为公理
3.1.3 事态体的基本性质
性质3.1
设事态体 T1＝（p, o1；1－p, o0 ）
T2＝（x, o2；1－x, o0 ） 且 o1o0 ， o2o0 ，若o2o1
则存在
x=p’＜p
使得
T1～T2
称x为可调概率值。
§3.1 理性行为公理
3.1.3 事态体的基本性质
性质3. 3 任一事态体无差异于一个简单事态体。
设有事态体T ＝（p1, o1；p2, o2 ；…；pn, on） 则必存在一个简单事态体
T’＝（p’, o*；1－p’, o0 ）～ T
其中：
o* ≽max{o1, o2 , …, on } o0 ≼min{o1, o2 , …, on }
效用表示了决策者对决策方案各结果值的 偏好程度，也反映了不同类型的决策者对 风险的不同态度。
3.2.2 效用函数的构造
介绍一种实用的效用函数的构造方法。 基本思路
对于决策问题的结果值集合，先用确定当 量法找出一个基准效用值，即效用值等于 0.5的结果值，称为确定当量oξ。其余效用 值不再测定，而是按比例用线性内插的方 法，用同一个标准计算得到。
3.2.2 效用函数的构造
方法
设决策问题结果值集合为：
风险分析的主要方法
精选pptBiblioteka 16（七）层次分析法
• 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP， 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、
判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有 3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费 用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个
•
注意：采用专家调查法时，专家应有合理的规模，人
数一般应在10-20位左右。专家的人数取决于项目的特点、
规模、复杂程度和风险的性质而定，没有绝对规定。
•
专家调查法有很多，其中头脑风暴法、德尔菲法、风
险识别调查表、风险对照检查表和风险评价表是最常用的
几种方法。
精选ppt
6
（三）专家调查法
1.风险识别调查表 主要定性描述风险的来源与类型、风险特征、对项目目标的影响等。
家独立使用书面形式反映出来。
•
(3)整理专家组成员意见，计算专家意见的期望值和意
见分歧情况，反馈给专家组。
•
(4)专家组讨论并分析意见分歧的原因。重新独立填写
变量可能出现的状态或状态范围和各种状态出现的概率或
变量发生在状态范围内的概率，如此重复进行，直至专家 意见分歧程度满足要求值为止。这个过程最多经历三个循 环，否则不利于获得专家们的真实意见。
• 4、德尔菲法 德尔菲法是一种集中众人智慧进行科学预测的风险分析方法。德尔菲法是美国咨询机 构兰德公司首先提出的，它主要是借助于有关专家的知识、经验和判断来对企业的潜 在风险加以估计和分析。
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15
（六）概率树分析
概率分析的步聚 • 1、列出各种欲考虑的不确定因素。例如销售价格、销售量、投资和经营成本
科学研究项目评估方法综述
科学研究项目评估方法综述王凭慧(北京系统工程研究所,北京 100101)摘要:本文针对科学研究项目的特点,分析了国内外科学研究项目的评估现状,综述了科学研究项目评估中使用的主要方法,结合评估实践给出了一套针对评估方法的评价准则,提出了对评估方法的一些认识。
关键词:科学研究项目;评估方法科学研究(简称科研)是指人们对科学技术进行有目的的探索和运用,其内容包括创造知识和整理知识两部分。
创造知识是指人们对科学技术进行有目的的探索和运用,其内容包括创造知识和整理知识两部分。
创造知识是指科学的发现和发展,技术的发明和创新,是解决未知的问题;整理知识是对已有知识的分析、鉴别和系统化、规范化的整理工作,是借鉴、继承。
这两部分工作都是创造性的智力劳动,在具体的科研工作中两者又常常相互结合、相互促进。
本文所述科学研究项目,主要指国家、地方及国防等科学研究规划、计划内的科研项目及其它界定在科学研究范畴的项目。
评估是指按照明确的目标来测定对象的属性,并将这种属性变为主观效用的行为,即明确价值的过程〔1〕。
本文所述评估方法,除特别说明外,均指针对科学研究项目进行评估的评估方法。
1 引言按照研究目的、任务、性质和方法的不同,科学研究工作可以有不同的分类方法。
按照研究内容的性质分类是国外广泛采用的科研工作分类方法,这种分类方法把科学研究分成三类,即:基础研究、应用研究和发展研究。
〔2〕按照科学研究的分类方法,科研项目可分为基础研究项目、应用研究项目和发展研究项目。
每个项目内部通常又是由多个不同层次的研究与开发活动、不同领域、不同类型的单位与人员组成的。
按照项目内容来划分,一般每个项目设有若干个课题,每个课题又由若干个专题组成,每个专题下面又设有若干个子专题〔3〕。
虽然科研项目可按项目、课题、专题、子专题四个不同层次来评估,但其中最基本的活动单元是子专题,因此,对科学研究项目的评估的基本单元应为子专题。
在评估方法的选择上应能满足对子专题层次的基本评估要求,才能满足对专题、课题、项目等不同层次的评估要求。
效用函数
3.2.2 效用存在性公理
式(3.3)推导:
P1 P2
αP1+(1-α)P1 αP2+(1-α)P2 αP1+(1-α)P3 αP2+(1-α)P3 公理3.3表明两个有序的展望各有相同的比例 (1) 1)P 被相等的量 ( 3 替代后，优先关系不变.
例3.3 横过马路问题:效用有界 性证明
3．连续型后果的效用函数构造
当后果c为连续变量时，上述方法就不再 适用。 但是如果能通过分析找到u(c)的若干特征 值，求特征点的效用后，再连成光滑曲 线； 或者u(c)是连续、光滑的,则可以分段构 造u(c)。
每天学习时间与效用
•随着学习时间的增加，效用值也会有所增加 •但是由于进入状态需要一定的时间，所以在t较小时，效用的增加较慢； •过了一小段时间后，效用与所化时间基本上是线性关系； •随着学习时间的不断增加，人会疲劳，效率会下降； •时间太长，这时的效果不如时间适度，即存在效用值最大的点tm； •再增加学习时间又会从效用最大值处下降。其中与效用最大值对应的tm是因人 而异。 •由于效用函数的惟一性(即在正线性变换下惟一，见效用的公理化定义)，效用的 值域可以是整个实轴，而不必限于[0,1]区间。
3.2.3 效用的公理化定义和效用 的存在性
3.2.3 效用函数的存在性
3.2.4 基数效用与序数效用
基数：为实数，如1，2，3,π 序数：如第一，二，…，4，3，2，1 基数性效用函数与序数效用函数区别： 1.基数效用定义在展望集 P上(考虑后果及其概率分布 ), 是实数；序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可 以是整正数. 2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一) 原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, 100b+c; 其中 b, c ∈R1, b＞0. 而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下 唯一), 原序数列可变换为16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1 等.
自适应QoS系统中基于效用函数的QoS表示方法
系统 （ 通信系统和操作系统 ）
用 户
● 用户ＱＳ ● 【 ｌ ）
应用 Ｉ
应用
Ｑ ● 。 ｌ ｓ
＋
２ 用效用函数的方法表示 Ｑ Ｓ等级及其实例 ｏ
ＩＵ— 对 Ｑ Ｓ Ｔ Ｔ ｏ 定义是服务性能 的综合效果 ， 它决定 了使用这种服 务用户的满意程度 ， 实际上是用户 的一种“ 感觉” 不 同用户 的不 同网络 ．
自适 应 Ｑ Ｓ系统 中基 于效 用 函数 的 Ｑ Ｓ表 示 方 法 ｏ ｏ
汪胡青 杨剑飞２ ，
（． １南京邮电大学 通信与信息工程学院， 南京 ２００ ； ． １０３ ２ 中国电子科技集团公司 第 １ 研究所 ， ４ 南京 ２００ ） １０３
摘 要： 利用经济学中效用函数的概念， 根据Ｑ Ｓ ｏ 分层模型的特点， 出了一种 自适应Ｑ Ｓ系统中Ｑ Ｓ 提 ｏ ｏ 表示方法 的路径模型， 该模型具有良好的可扩展性， 并通过详细介绍应用层到系统层的映射来说 明不 同层次问路径模 型
桐城入 ， 中国电子科技集 团公 司第 １ 研究所 助理工程师 ， 士研究生 ． ４ 硕
维普资讯
第２ 期
汪胡青， 自 等： 适应 ＱＳ系统中基于效用函数的 ＱＳ ｏ ｏ 表示方法
５ ５
问题通常都需要较高 的计算复杂度． 一般来说 ， 、 语音 数据和多媒体业务的效用函数的形式应该是不同的．
一
的负载和信道状况 动态 的调 整． 而 由于大 多数效 用 函数 都 是非 线性 的， 然 解决 基 于效 用 函数 的 ＱＳ ｏ
收稿 日期 ： ０ — １ １ ２ ６ ０ —６ ０ 修 回日期 ： ０ ０ ０ ２ ６— ３— ７ ０
作者简介： 汪胡青（９９ 女， １７一） 安徽桐城入． 南京邮电大学通信与信息工程学院助教， 硕士研究生； 杨剑飞（９ ９ 男 ， １７一） 安徽
效用函数
L U Pi MU i Pi 0, (i 1,2,..., n) xi xi
n L I Pi xi 0 i 1
效用最大化条件的数学证明
dU 是货币的边际效用，即 ＝ dI
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
用U ( x, y )表示某消费者的序数效 用函数 , 那么， 消费者认为消费组合 ( x, y )比( x, y)更好，当且仅当 U ( x, y ) U ( x, y); 消费者认为 ( x, y )与( x, y)不相上下，当且仅当 U ( x, y ) U ( x, y)
效用最大化条件的数学证明
a 例子 已知某消费者的收入为: I，其效用函数为U x1 x b，其中 2
x1和x 2 是两种商品的消费量，a 0, b 0为常数。如果商品价格 分别为P1和P2，求该消费者对两种商品的需求函数。
根据最优化条件
b b ax1a 1 x2 bx1a x2 1 即aP2 x2 bP x1 1 P P2 1
第3章
效用函数
（Utility Function)
偏好理论的讨论比较抽象，效用理论是分
析偏好理论的一种简便方法
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
效用（Utility）是满意或幸福的同义词 19世纪经济学家认为
人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中 所获得的效用来度量 效用可以精确计量与加总 其大小可以用1,2,...表示
Px 第二章中消费选择的最 优条件 MRSxy 可改写为 Py MU x Px MU x MU y ＝ ,或 MU y Py Px Py
效用函数
应进行中批生产。
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假定对该决策人进行风险心理试验得到的效用曲线如图3-7 中A所示。将其决策表3-20中的货币量换成相应的效用值，得到 效用值决策表3-21。 表3-21 决策人甲效用值表
这时
E ( A1 ) 1.0 0.2 0.5 0.3 0 0.5 0.35 E ( A2 ) 0.82 0.2 0.57 0.3 0.3 0.5 0.485 E ( A3 ) 0.66 0.2 0.54 0.3 0.46 0.5 0.524
其决策表如表3-20所示。按期望值法以损益值进行决策，可得： 表3-20 生产方案决策表
E ( A1 ) 20 0.2 0 0.3 (10) 0.5 1(万元) E ( A2 ) 15 0.2 2 0.3 (5) 0.5 1.1(万元) E ( A3 ) 5 0.2 1 0.3 (1) 0.5 0.8(万元)
u ( 20) 1, u (10) 0
第二步，向决策人提出下面两种选择方案，第一方案：以50% 的机会获利20万元，50%的机会损失10万元；第二方案：以 100%的机会获利5万元（注：这 5万元正是第一方案的期望 值）。
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再继续进行下去就可以得到足够的试验数据，如假定在-10~0 万元之间的心理试验得到的结果是 -5.85 万元。这说明-5.85万元
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基于效用函数法efftoxⅠ-Ⅱ期试验设计的改进研究
的毒性和有效性结局ꎬ充分利用毒性和有效性信息进
和剂量 － 毒性单调关系的
方法ꎬ在试验设计中同时纳入毒性和有效性指标ꎮ 通
其中 ｊ ＝ Ｅ 时表示有效性ꎬｊ ＝ Ｔ 时表示毒性ꎬ参数向量
θ Ｅ ＝ ( μ Ｅ ꎬβ Ｅꎬ１ ꎬβ Ｅꎬ２ ) ꎬθ Ｔ ＝ ( μ Ｔ ꎬβ Ｔꎬ１ ) ꎮ
行试验设计ꎮ ＥｆｆＴｏｘ [２] 是一种典型的Ｉ － ＩＩ期试验设计
Ｋ
ｄ Ｋ ꎬ定义标准化剂量 ｘ ｋ ＝ ｌｏｇ( ｄ ｋ ) － Ｋ －１ ∑ ｌｏｇ( ｄ ｒ ) ꎬ
ｒ ＝１
ｋ ＝ １ꎬꎬＫꎬ定义模型的线性预测项 η ｊꎬｋ ꎬｊ ＝ ＥꎬＴ 为允
许剂量 － 有效性的非单调关系的
η Ｅꎬｋ ( θ Ｅ ) ＝ μ Ｅ ＋ β Ｅꎬ１ ｘ ｋ ＋ β Ｅꎬ２ ｘ２ｋ ꎬ
ＭＴＤ) ꎬ通常需假定药物毒性和有效性随剂量单调增
建临床评价指标的理念已经引起了学界的注意ꎬ相比
标是 确 定 最 大 耐 受 剂 量 ( ｍａｘｉｍｕｍ ｔｏｌｅｒａｂｌｅ ｄｏｓｅꎬ
困难的事ꎬ缺少直观性ꎮ 近年来ꎬ利用效用函数方法构
加ꎮ 这适用于传统的细胞毒性药物ꎬ通常细胞毒性药
于权衡等高线法ꎬ效用函数法更容易让人理解ꎮ 本文
物的毒性和有效性都随剂量递增ꎬ毒性越高ꎬ有效性也
基于此ꎬ探讨基于效用函数法改进 ＥｆｆＴｏｘ 设计ꎬ并通
越高ꎬ故可以只用毒性结局来指导早期剂量探索ꎮ 近
过计算机模拟比较两者设计的优良性ꎮ
年来新型生物制剂和免疫制剂的研发已成为新药研发
的重点ꎬ不同于细胞毒性类药物ꎬ这类药物的毒性和有
效性通常并不满足随剂量单调性的要求ꎮ 例如ꎬ在某
常ꎬ作为一个好的试验设计ꎬ我们希望增加有效性ꎬ降
4金融经济学(第四章 效用函数与风险厌恶)
问：游戏的参加应先付多少钱，才能使这场 赌博是“公平”的？
该游戏的数学期望值：
E (.) 1 2 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 4 2 1 8 4 2 1 n 2 n 1
但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游 戏愿意支付的成本（门票）仅为2-3元。
圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌 博，为何人们只愿意支付有限的价格？
（6）局部非饱和性（local nonsatiation）
xC和 〉0，总存在 yC, xy
使得 x y
在技术上，局部非饱和性和单调性保证了 无差异曲线具有一个负的斜率。
（7）凸性（convexity）
x , y , z C , i f x z , y z x ( 1 ) y z
现实中对风险和不确定性的处理由于对有些事件的客观概率难以得到人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的可能性因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险
第4章
不确定性条件下的选择理论： 期望效用函数与风险厌恶
第一节 效用函数
（1）x y 弱偏好于x，x 至少与y 一样好。
（2）x y 强偏好于x ； x y xy 但， y x 不成立。
（3）x y无差异于x 、y；即：
x y xy和 y x
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件：
（1）完备性（completeness）
x,yCy x x y x y
但是，UC不可能比UA 和UB更大。 对那些显示偏好C的受试者，我们可以继续提问，
问他们在A和B之间是否更偏好A或者相反。争论仍 然存在。
效用函数几种常见的公式
效用函数几种常见的公式效用函数是衡量个体对不同商品或服务的偏好的一种数学表示方式。
在经济学和消费者理论中，效用函数是非常重要的工具，因为它能够帮助我们预测消费者的行为和认识不同商品之间的差异。
本文将介绍几种经济学中常见的效用函数公式。
1.柯布-道格拉斯效用函数柯布-道格拉斯效用函数是一种常见的经济学效用函数，它可以帮助我们定量地衡量商品数量对消费者福利的影响。
柯布-道格拉斯效用函数的公式如下：U(某,y)=某^αy^β其中，U表示效用，某和y分别表示消费者消费的商品1和商品2的数量，α和β分别表示商品1和商品2的边际效用。
2.边际效用递减效用函数边际效用递减效用函数是一种通用的效用函数，它描述了当消费者消费一定数量的某种商品时，其边际效用将逐渐减少。
边际效用递减效用函数的公式如下：MU(某)=U’(某)其中，MU表示某种商品的边际效用，U’表示效用函数的导数。
边际效用递减效用函数的应用范围和柯布-道格拉斯效用函数相似，但它更加侧重于描述商品数量对效用的影响。
3.指数效用函数指数效用函数是一种常见的描述风险偏好的效用函数，它可以帮助我们测量人们在面临风险情况下做出选择的倾向。
指数效用函数的公式如下：U(某)=e^{-a某}其中，U表示效用，某表示收益或者损失，a表示风险趋避系数。
根据指数效用函数的公式，我们可以看出当风险趋避系数较大时，消费者越容易选择安全的选项，而不会冒险去追求高回报的投资。
总的来说，以上介绍的效用函数公式只是经济学中的一小部分，不同的效用函数公式可以应用于不同的场景和分析方法。
学习和理解效用函数公式对于经济学专业的学生非常重要，它可以帮助我们深入了解消费者选择行为和市场竞争的本质，为我们进行经济决策和制定政策提供理论依据。
附录一：效用函数介绍
证明：因为在一个没有货币的实体经济中，如果 我们把 t 期的商品价格标准化为 1，那么，t+1 期商品 的价格就为 1 / 1 rt 1 。同时，在最优的消费路径上，相 邻两期之间的消费必须满足欧拉方程，也即满足：
u(ct ) (1 rt 1 )u(ct 1 )
代弹性的大小要取决于相对风险回避系数 的大小 了，因为，相对风险回避系数 的另一个经济学含义 就是边际效用 u (c) 对消费 c 的弹性。如果 很小，就意 味着 u (c) 对 c 的反应很不灵敏， 此时， 就需要增加很多
ct 1 并减少很多 ct 才能使欧拉方程重新等起来，而这进
2018/9/11 储蓄率行为研究 2
第一，当 =1 时，该效用函数退化为对数型效 用函数。
c1 1 0 。我们可以应用罗比塔法则 因为 lim 1 1 0
得到：
c1 1 c1 ln c lim lim ln c 1 1 1 1
2018/9/11 储蓄率行为研究 12
从欧拉方程中可以看到，如果 rt 1 发生外生的增加，那 么，原先两边相等的方程现在就不在相等了，左边会 小于右边，要想使方程重新等起来，只有增加 ct 1 并减 少 ct ，问题是，需要增加多少增加 ct 1 并减少多少 ct 才 能使等式重新等起来呢？显然， 这要取决于 u(c) 对 c 的 反应灵敏程度，如果 u(c) 对 c 的反应很灵敏，那么，只 要增加一点点 ct 1 并减少一点点 ct 就能使等式重新等起 来；反之，如果 u(c) 对 c 的反应很不灵敏，那么，就要 增加很多 ct 1 并减少很多 ct 才能使等式重新等起来。
2018/9/11
《中级微观经济学》教材第04章 效用函数
用函数为 , = 3 2 + + 12， G的效用函数为
, = ， H的效用函数为 , = + 1 。请问以
上几位消费者的偏好与A的偏好之间关系。
例子2
画出下列效用函数的无差异曲线:
A.U(x, y) = min{2x + y, x + 6y};
如果消费者总是愿意以b单位的商品1交换a单位的商品2，那么该
消费者对两种商品的偏好为完全替代偏好，无差异曲线的斜率为
− Τ ，即以商品2表示商品1的边际替代率为：
21 = − Τ
所以，该偏好对应的效用函数可以表示为:
1 , 2 = 1 + 2
具体偏好的效用函数
1.完全替代偏好的效用函数
效用函数定义
1.效用函数与无差异曲线
直观上讲，效用函数就是对每个消费束按照偏好规律赋予一个
数值，使得较高偏好的消费束被赋予的数值大于较低偏好的消
费束被赋予的数值的一一对应关系。可见，一条无差异曲线被
赋予一个相同的数值。
效用函数定义
1.效用函数与无差异曲线
如考虑消费束 (4,1), (2,3) 及 (2,2)。
1 , 2 满足 1 1 , 2 > 2 1 , 2 ，那么称函数
1 , 2 为原效用函数 1 , 2 的正单调变换。
正单调变换的判断：函数 1 , 2 为效用函数 的复合函
1 ,2
数，且
1 ,2
> 0，那么函数 1 , 2 为原效用函数
MRS = -f(x1”)
对于给定 x1的MRS 是个常数
x1’
x1”
x1
管道完整性维护费用的效用函数优化方法
管道完整性维护费用的效用函数优化方法马剑林;陈利琼;王启龙【摘要】通过对管道完整性维修费用和收益的分析,提出了用效用函数来优化管道的完整性维修费用,给出了详细的求解方法.此方法建立在管道失效概率基础上,通过建立统一的损失度量标准来衡量直接经济损失、人身伤亡和环境破坏的影响,从而决定最优的维护费用.【期刊名称】《管道技术与设备》【年(卷),期】2004(000)002【总页数】4页(P8-10,14)【关键词】油气管道;完整性维护;费用;收益;效用函数;优化【作者】马剑林;陈利琼;王启龙【作者单位】秦皇岛输油气公司,河北,秦皇岛,066000;西南石油学院,四川,成都,610500;中原油田采油三厂,河南,濮阳,457000【正文语种】中文【中图分类】TE871目前，大型老龄管网的完整性维护是全世界管道公司关心的一个主要问题。
但要搞好管道的完整性维护需要大量的投入，受维护资源的限制，需要将有限的资金最有效的用于降低管道的风险，以提高管道运行的安全性。
因此，需要对管道完整性维护的效益进行分析，并据此对管道的完整性维护费用进行优化。
管道的完整性维护投入是指为了消除和控制管道不安全因素，保证管道系统的正常运行而专门采取的安全措施的投入，可分为硬件投入和软件投入。
硬件投入是指管道安全技术设施、设备的购置安装以及安全保险费用等；软件投入是指安全规章的制定、管道的检修以及管道人员的安全教育培训等。
一般情况下，管道的完整性维护主要指管道的安全性维护。
管道安全是指管道未发生事故、未造成损失。
管道完整性维护的收益就是管道未进行维护发生事故时所带来的损失。
管道事故所带来的损失可分为直接经济损失和间接经济损失。
根据国家颁布的《企业职工伤亡事故经济统计标准》，因事故造成人身伤亡及善后处理所支出的费用，以及被毁坏的财产的价值规定为直接经济损失；因事故导致的产值减少、资源破坏和受事故影响而造成的其他经济损失规定为间接经济损失。
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§4 效用函数方法
一、效用的概念
有时有些问题, 用前节方法不一定很合理. 例6 问题1 有两方案A 1, B 1,
A 1: 稳获100元;
B 1 : 41%获250元, 59%获0元. 问题2
A 2: 稳获10000元;
B 2 : 掷硬币,直到正面,获2N 元. 直观上,一般在问题1中, 选A 1, 在问题2中, 选A 2. 理论上,
问题1中, 选B 1,因为
11()0.412500.590102.5100()
E B E A =⨯+⨯=>=
在问题2中, 选B 2, 因为
222211()22...10000()22
E B E A =⨯+⨯+=∞>= 所以, 期望最大原则, 此处不尽合理.
例7 设用20元买彩票,中奖率0.5, 奖金80,E=20元, 甲经济暂时较拮据, 几天没吃饱, 视20元效用大; 乙经济较宽松, 并不认为20元效用很大, 很可能买. 这就是货币的效用值, 给人提示为:
(1) 决策者应结合实际进行决策;
(2) 可以根据效用值来进行决策.
二、效用曲线的确定及类别
1. 货币效用函数 最初描述对货币量的感受度
效用值U =log a (货币量M ).
可推广运用到决策中.
2. 确定效用函数基本方法
因为这是一种主观量,所以,
一般设最喜欢决策(或某一货币量M), 效用值为1, 最不喜欢的决策(或某一货币量m), 效用值为0, 其它的决策(或货币量k), 效用值为0~1中的数. U
效用M 货币量O
应用时, 将各因素折合为效用值, 计算各方案的综合效用值, 然后选择效用值最大的方案.
3. 效用曲线的具体确定
(1) 直接提问法
向决策者提问:你企业获利100,200,…万元, 你的满意度各是多少? 效用曲线.(不很准,不常用)
(2) 对比提问法
A 1: 可无风险得到一笔金额x ;
A 2: 以概率P 得到一笔金额y ,或以1P -得到z 且z x y >>,(或y x z >>)
各效用表示(),(),()U z U x U y .
设两种方案等价, 则有
()(1)()()PU y P U z U x +-=.
上式有4个变量, 知道其中3, 就可确定第4个量. 通过提问可确定, 有4种:
(1) 固定,,y x z , 问P 取何值时, 1A 与2A 等价,
(2) 固定,,P y z , 问x 取何值时, 1A 与2A 等价,
(3) 固定,,P x y , 问z 取何值时, 1A 与2A 等价,
(4) 固定,,P x z , 问y 取何值时, 1A 与2A 等价;
例8 设0.5P =,610z =,5
510y =-⨯, 且
()1,()0U z U y ==, 如下图所示.
(i) 首问当x 何值时, 有 0.5()0.5()()U y U z U x += 若答为250000x =-⇒ 则()0.5U x = (ii) 二问当x '何值时, 有 0.5()0.5()()U x U z U x '+=
若答75000x '=, 则()0.75U x '= (iii) 三问当x ''何值时,有0.5()0.5()()U y U x U x ''+= 若答420000x ''=-, 则()0.25U x ''=, 从而可绘出效用曲线. 属于保守型. 8y
5
10z 2-10.5()
U x 货币g x x 'g g x ''
4. 效用曲线的大致分类 *
5. 效用曲线的应用举例 例 设某石油企业的
效用函数如右图. 欲试验钻井采油, 情况如下树.
试根据决策者的 效用曲线进行决策
解由效用曲线, 查得纯收入与效用值的对应值, 标O x 1保守型效用货币风险型中间型混合型20000-10000-100002000030000x O 1U 0.613000|-27000|0.98-3000-0.270.68
在决策树边(纯收入=收入—支出).
300010000[1](1)[2](2)270000.980.60.85--∆∆∆效用值
纯收入试验好钻井出油0.15不出油130000∆-不钻井0.4不好[3]10000-∆钻井(3)0.10出油0.90不出油不试验10000[4](4)0.55-∆钻井出油不钻井0.45不出油270000.98∆130000∆-不钻井30000.6∆-30000.6∆-300001∆100000.27∆-00.68
∆0.0980.833期望效用值0.67250.8330.60.68
在事件状态点(2),(3),(4)效用期望值分别为 2max (0.833,0.60)0.833
=3max (0.098,0.60)0.60=
4max (0.672,0.68)0.68=
在事件状态点(1)效用期望值为
0.60.8330.40.60.7398⨯+⨯=
1max (0.7398,0.68)0.7398=⇒试验
最后决策: (1)试验; (2)若好, 则钻井;不好,则不钻井.
*6. 其它效用曲线函数 线性112()()U x c a x c =+- 指数23()11()(1)a x c U x c a e -=+- 双指数3322()()11()(2)a x c a x c U x c a e e --=+-- 指数+线性22()1133()(1)()a x c U x c a e a x c -=+-+- 幂函数41213()[()]a
U x a a c x a =+- 对数函数1132()log()U x c a c x c =+-。