交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲PPT
第一章数理逻辑PPT精品文档123页
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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中北大学离散数学课程组
例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
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中北大学离散数学课程组
1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
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中北大学离散数学课程组
七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
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中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
交大数理逻辑课件9-2 集合
有序对性质
当x y时，<x,y><y,x> <x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是
例如，当ab时，有 {a,b}={b,a}。
<x,y>=<u,v> x=u y=v 例： <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
图中结点之间的 连线表示二者之 间有包含关系
9.5 集合基本运算的性质
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC)
分配 吸收
与 与 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(AB)=A A(AB)=A
1. 2. 3. 4. A-B= A-(A∩B) A-B= A∩-B A∪(B-A)= A∪B A∩(B-C)= (A∩B)-C
A-B=A∩(-B)
是一个重要的常用公式， 它的意义在于将相对补运算转 换绝对补和交运算
证明2：
xA-B xA∧xB xA∧x-B xA∩-B
集合的对称差运算
再证 ~A∩~B~(A∪B) x~A∩~B= x~A∧x~B = xA∧xB = xA∧xB = (xA∨xB) = xA∪B = xA∪B = x~ (A∪B) ~A∩~B - (A∪B)
集合差运算的性质和证明
[定理9.5.2] 对任意的集合A、B、C，有
AA=E AE=E AE=A E=
集合基本运算部分性质的证明
交大数理逻辑课件2-2 命题逻辑的等值和推理演算共35页
是谁？
主析取范式的应用举例
② (1) (A D B D) (2) ( A D B D) (3) ( A D B D) (4) ( A D B D)
(可满足式）
用主析取范式判断公式的类型
((PQ) P)Q = ((PQ ) P) Q = ( P Q ) P Q = m10 m0x mx1 = m10 m00 m01 m01 m11 = m0 m1 m2 m3 = (0,1,2,3) =T （重言式）
主析取范式的用途
如 m1 m2 m6 用 (1,2,6) 表示。
求公式 A=(PQ)R 的主析取范式
解法1： (PQ)R
= ( P Q) R ,
= (PQ) R
（析取范式） ①
(PQ)
= (PQ) (RR)
= (PQR) (PQR)
= m6m7
②
R
=(PP) (QQ) R
=(PQR) (PQR) (PQR) (PQR)Leabharlann = (PQ)R （消去第二个）
= (PQ)R
（否定号内移——摩根律）
这已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (PQ)R
= (PR)(QR) （对分配律）
这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）
极小项
定义
n个命题变项的简单合取式，其中每个命题变项与其否 定不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，这样 的简单合取式称为极小项。
如：两个命题变元P和Q，其极大项为：
P Q， P Q ， P Q ， P Q
M11
M10
说明
数理逻辑PPT课件
.
4
数理逻辑
正如著名的计算机软件大师 戴克斯特拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过：我 现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如 我早在数理逻辑上好好下点功夫的话，我 就不会犯这么多错误。不少东西逻辑学家 早就说过了，可是我不知道。要是我能年 轻20岁的话，我就会回去学逻辑。
P∧Q的真值为真，当且 T T T
仅当P和Q的真值均为真。
.
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命题逻辑
• 或者“∨”（析取）
表示“或者”，“或者”有二义性，看下面 两个例子：
例1. 灯泡或者线路有故障。 例2. 第一节课上数学或者上英语。
例1中的或者是可兼取的或。即或者“∨”
例2中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
.
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命题逻辑
P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例1中的复合命题可 表示为：P∨Q，读 成P或者Q，P∨Q的 真值为F，当且仅当 P与Q均为F。
P Q P∨Q FF F FT T TF T
TT T
.
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命题逻辑
P：第一节上数学。
Q：第一节上英语。
P Q P Q
例2中的复合命题
可写成P Q，读 成P异或Q。
P Q的真值为F，
FF F FT T TF T
TT F
当且仅当P与Q的真值相同。
.
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命题逻辑
• 蕴含(条件)“”
表示“如果… 则 …”，“当...则...”,“若... 那么...”，“假如...那么...”
例如： P表示：缺少水分。
Q表示：植物会死亡。
PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。
PQ：也称之为蕴含式，读成“如果P则
第一二章数理逻辑课件
二、真值表truth table
1、命题公式的赋值（解释）：设命题公式A(p1,p2…pn), 其中p1,p2…pn为A中的命题变元，给p1,p2…pn各指派一 个真值，称对A的一次赋值（解释）。如果指定的某 组赋值使A的真值为1，则称这组值为A的成真赋值， 否则称这组值为A的成假赋值。
2、定义：在命题公式A(p1,p2…pn)中，对于分量（命题变 元）指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公 式的各种真值情况，将其汇列成表，就是命题公式的 真值表；命题公式中变元真值指派组合数目决定于变 元分量的个数，一般说，n个命题变元组成的命题公式 共有2n种真值组合情况。
p
┐p
0
1
1
0
2、合取 （∧）
定义：两命题P、Q的合取 是一复合命题，记为。当 且仅当P、Q同时为T时， 为T，其他情况为F 。P∧Q
真值表如表1.2所示。 与自然语言的关系：相当于与、 并且、和等，常表示递进、并列 、转折这样的关系，但新的复合 命题不一定有意义，这是数理逻 辑命题与自然语言的区别。
组成的合取式。 2、析取范式求法(P31) 1）将命题公式中联结词转换成┐ ∧ ∨。 2）利用德摩根律把┐直接移入到每个命题变元之前。 3）利用分配律或结合律将公式转换成析取范式，并进行化简 。
例1 (┐P ∧ R) ∨ ┐(P →Q) (P ∧ ┐R) ∨ ┐(┐P ∨ Q) (P ∧ ┐R) ∨ (P ∧ ┐Q)
是对陈述句中的关联词的符号化处 理。
1、否定( ┐)
定义：设P为一命题，P的否定 是一个新的命题，记为；若P为 T，则为F，若P为F，则为T。与 自然语言的关系：相当于不、否 、非等； ┐P真值表如表1.1所示 。
注意：否定的意义仅是修改命题 的内容，没有构成复合命题，它 是一元运算。
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例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
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9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
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▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
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9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
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数理逻辑与集合论-提纲
集合论第二章集合及其运算子集：A⊆B iff ∀x(x∈A⇒x∈B)相等：A=B iff A⊆B & B⊆A真子集：A⊂B iff A⊆B & A≠B空集：不含任何元素的集合。
记为∅。
x∈A∪B iff x∈A or x∈Bx∈A∩B iff x∈A & x∈Bx∈A-B iff x∈A & x∉Bx∈～A iff & x∉A环和：A⊕B=A∪B-A∩B=(A-B)∪(B-A)幂集：x∈P(A) iff x⊆A广义并：x∈∪∏ iff ∃Y(Y∈∏ & x∈Y)广义交：x∈∩∏ iff ∀Y(Y∈∏⇒ x∈Y)}定理1 ①A∩(A∪B)=A②～(A∩B)=～A∪～B③A⊕B=～A⊕～B第三章映射（1）迪卡尔积:<x,y>∈A X B iff x∈A & y∈B关系：R⊆A X B恒等关系：<x,x>∈IAiff x∈A<x,y>∈IAiff x=y & x∈A定义域：Dom(R)={x|<x,y>∈R}值域： Ran(R)={y|<x,y>∈R}定理2 ①A X(B∪C)=(A X B)∪(A X C)②A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)第五章关系复合：<x,y>∈RoS iff ∃z∈B(<x,z>∈R & <z,y>∈S) 例：R={<1,2>,<1,3>} S={<2,1>,<2,2>},求RoS 关系的逆：<x,y>∈R-1 iff <y,x>∈RR⊆A X A关系的幂：①R0=IA②R n+1=R n oR自反性：R[ref] iff ∀x(x∈A ⇒ <x,x>∈R)反自反性：R[irref] iff ∀x(x∈A ⇒ <x,x>∉R) 对称性：R[sym]iff ∀x∀y(<x,y>∈R ⇒<y,x>∈R) 反对称性：R[asym] iff∀x∀y(<x,y>∈R & x≠y⇒ <y,x>∉R)拟反对称性：R[imasym] iff∀x∀y(<x,y>∈R ⇒ <y,x>∉R)传递性：R[tra] iff∀x∀y∀z(<x,y>∈R&<y,z>∈R ⇒ <x,z>∈R)自反闭包:R⊆A X A，若R*满足①R⊆R*②R*[ref]③∀S⊆A X A(R⊆S & S[ref]⇒R*⊆S)称R*是R的自反闭包，记r(R)。
数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 谓词逻辑
为了避免理解上的混乱，因此引入量词。
※三、量词
全称量词 存在量词 定义：P(x)的全称量化是命题“P(x)对x在其
论域的所有值为真”。记作：∀xP(x)。其中 ∀ 称为全称量词。 “对所有x，P(x)” “对每个x，P(x)”
Q(x,y,z)：“x+y=z” Q(1,2,3)：“1+2=3” 真 Q(1,3,2)：“1+3=2” 假
二、谓词
逻辑联结词┐、∧、∨、→、的意义与 命题逻辑中的解释完全类同。
例：用H(x,y)表示“x比y长得高”。 H(张三，李四): “张三比李四长得高” ┐H(张三，李四): “张三不比李四长得高” ┐H(张三，李四)∧┐H(李四，张三)： “张三不比李四长得高并且李四不比张 三长得高”，即“张三与李四一样高”。
▲四、自然语句的形式化
“有的实数是有理数”的形式化
∃x(Q(x)∧P(x)) ∃x(Q(x)→P(x)) ？ 不符合人们的常规理解了，因为凡对于不是
实数的事物，该命题都为T，这是不对的。 “有的…是…”，通常使用∧，而不使用→ 。
▲四、自然语句的形式化
“没有无理数是有理数”的形式化
其意思是：对任一x而言，如果x是无理数， 那么x不是有理数。
二、谓词
“张三是学生。” “李四是学生。” 在命题逻辑中，这是两个不同的命题，
可以分别用p、q来表示。 共同点：都有主词和谓词，并且谓词都
是“是学生”。 若用大写符号P表示“是学生”，需要将
主词区分开。P（张三）、P（李四）。
二、谓词
引入变量x表示主词，P(x)就表示 “x是学生”；
交大数理逻辑课件2-3 命题逻辑的等值和推理演算
9. Q (PQ) PBiblioteka 拒取式基本的推理公式
10. (PQ)(QR) PR 假言三段论 11.(PQ)(QR) P R 等价三段论 12. (PR)(QR) (PQ) R 13. (PQ)(RS)(PR) QS 构造性二难 14. (PQ)(RS)( QS) (PR) 破坏性二难 15. (QR) ((PQ) (PR)) 16. (QR) ((PQ) (PR))
附加前提证明法 ——举例
例如：证明下列推理。 前提： P(QR)，S∨P, Q 结论： S R 证明：(1) S P 前提 (2) S 附加前提引入 (3) P (1)(2) 析取三段论 (4) P (Q R) 前提 (5) Q R (3)(4) 假言推理 (6) Q 前提 (7) R (5)(6) 假言推理
((PQP Q
例：判断下面推理是否正确
（1）若天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所 以小王没去游泳。 ③判断 ((PQ)P) Q是否为重言式 方法3：主析取范式法 ((PQ)P) Q = ((PQ)P)Q = (PQ) P Q = m11m0xmx0 = m11m00m01m00m10 = (0,1,2,3) = T ((PQP Q
(PQ(RS(PRQS 构造性二难
写出对应下面推理的证明
在大城市球赛中，如果北京队第三，那么如果上海队第 二，则天津队第四；沈阳队不是第一或北京队第三，上海队第 二。从而知：如果沈阳队第一，那么天津队第四。 解：设 (1) P (Q R) 前提 P：北京队第三 Q：上海队第二 (2) Q (P R) (1)置换 R：天津队第四 (3) Q 前提 S：沈阳队第一 (4) P R (2)(3)假言推理 前提：
P(QR)，S∨P, Q 结论： S R
数理逻辑简介.ppt课件
14、等价否定等值式 A B A B
15、归谬论 (A B) (A B) A
三、等值演算。
置换定理：如果 A B，则 ( A) (B)。
例2、验证下列等值式。
(1) p (q r) ( p q) r
(2) p (q r) p (q r) q r (3) q (p q) p 1
q (q p)
q (q p)
(q q) p
1 p 1
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。
判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足 式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方 法，即真值表法和等值演算法。
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B 是重言式，则称 A与B是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B是否等值，即判断 A B
例2、 p p q r p r
为_5__层公式。
3、真值表。
公式 A 的解释或赋值
赋值
成真赋值 成假赋值
（使A为真的赋值） （使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ，
按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010……
等是 A 的成真赋值。
2、结合律 (A B) C A (B C)， (A B) C A (B C)
3、分配律 A (B C) (A B) (A C) ， A (B C) (A B) (A C)
交大数理逻辑课件102 关系29页PPT
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
交大数理逻辑课件102 关系
6
、
露
凝无游氛，天高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
关于数理逻辑的课件
Set Theory© 2014 CopyRightHengmingZou, Ph.D.Mathematic Logic ‐SJTUContentSetsOperations with Sets 集合及其运算 Closure OperationsPartitionCover of SetsSetsA set is a collection of distinct objects, which are called elements. The elements of a set can be just about anything:−numbers, points in space, or even other sets.The conventional way to write down a set is to list the elementsFor example, here are some sets:−N ={0,1,2,3,...}the natural numbers −C={red, blue, yellow}primary colors−D={Nifty, Friend, Horatio, PrettyPretty}dead pets−P={{a, b} ,{a, c} ,{b, c}} a set of setsSets and SequencesThe elements of a set are required to be distinct− A set can not contain multiple copies of the same element. The order of elements is not significant−so {x, y}and {y, x}are the same set written two different ways The expression e∈S asserts that e is an element of set SFor example, 7∈N and blue∈C, but Wilbur∉DSets are simple, flexible, and everywhere−All Chinese can be considered a set−All of your friends is another set−……Notation of SetsEnumerative：−List every member of the set in arbitrary order:−Example：A={2,a,b,9}, B={4,5,6,7,8}Descriptive：−Specify a condition P(x)，iff P(a) holds for element a，a∈A−The general form is: A={a| P(a)}For example:−Set B given above can be expressed as B={a| a∈N and 4≤a≤8}−C={2i| i∈Z+}，i.e.C={20,21,22,23,…}−D={2x| x∈Z+and x≤50}，i.e. D={0,2,4,6,…,98,100}Some Popular Sets Mathematicians have special symbols to represent some common sets−symbol set elements −∅the empty set none −N natural numbers {0,1,2,3,...}−Z integers {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}−Q rational numbers 1/2,− 5/3,16,etc. −R real numbers π,e ,−9,etc. − C complex numbers i,19/2, sqrt(2)-2i, etc. A superscript +restricts a set to its positive elements for example, R +is the set of positive real numbersCardinality of SetsThe number of distinct members of set A is the cardinality of A −Denote as |A|For example:−For the sets given in previous page:|A|=4，|B| =5，|D| =51−C has infinite number of members, the cardinality of C is infinity if|A|is finite, then A is finite set, otherwise A is infinite.For example:−N, Z+, I, R are all infinite setsRelations between SetsSubset and equivalence are two basic relationships of setsFor set A、B，if every member of A is also member of B −Then A is a subset of B，denote A⊆B−If A is not a subset of B，we denote A!⊆BFor example:−if A={a, b, c, d}, B={a, e, x, y, z}, C={a, x}−then C⊆B，C!⊆BN ⊆Z (every natural number is an integer) andQ ⊆R (every rational number is a real number),but C ⊄Z (not every complex number is an integer)Equivalence of SetsIf A⊆B and B⊆A, then A and B are equivalent −Denote as: A=BExample:−Let: A={x| x∈N 且x|24}，B={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} −Then: A=BAlso:−{a, b, c}＝{b, c, a}−{a, b, c, c}＝{a, b, c}−{a, {b, c}}≠{{a, b}, c}−{∅} ≠∅Relations between SetsAs a memory trick, notice that the ⊆points to the smaller set, −just like a ≤sign points to the smaller numberActually, this connection goes a little further:−there is a symbol ⊂analogous to <Thus, S⊂T means that S is a subset of T, but the two are not equal So for every set A, A⊆A, but A ⊄AProper SubsetIf A⊆B but A≠B，then A is a proper subset of B −Denote as: A⊂BIf A is not a proper subset of B, then we write: A⊄B Example:−Let: A={0, 1}，B={0, 1, 2}，C={0}Then we have:−A⊂B, C⊂B, ∅⊂BBut B⊄BProperties of Subset Relationships1. ∅⊆A2. A⊆A3. If A⊆B and B⊆C, then A⊆CProof of 1: by contradiction−Suppose ∅⊈A, then there exist x∈∅, and x∉A −This contradiction to the definition of empty set −Therefore, 1 holdsUniqueness of Empty SetThere is only one empty setProof:Suppose there are two empty sets, ∅1and ∅2，Because an empty set is a subset of every other set, we have:−∅1⊆∅2，∅2⊆∅1According to definition−∅1=∅2Set OperationsLaws of Set Operation交换律：−A⋂B=B⋂A，A⋃B=B⋃A 结合律：−A⋂(B⋂C)=(A⋂B)⋂C−A⋃(B⋃C)=(A⋃B)⋃C分配律−A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C)−A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C) 同一律: A⋂U=A=A⋃∅Laws of Set Operation互补律：ÞA⋂Ã=∅，A⋃Ã=U对合律：ÞÃ=A等幂律ÞA⋂A=A=A⋃A零一律:ÞA⋃U=U，A⋂∅=∅吸收律：ÞA⋂(A⋃C)=A=A⋃(A⋂C)Laws of Set Operation德•摩根律:−A⋂O=Õ⋃Ã，A⋃O=Õ⋂Ã 交换律:−A⊕B=B⊕A零一律:−A⊕A=∅, A⊕∅=A结合律：−A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C集合恒等式的几种证明方法根据定义进行证明若要证明集合A=B，根据集合相等关系的定义，我们需证明A⊆B且B⊆A例如：证明德•摩根律利用已有的集合恒等式证明新的恒等式例如:假设交换律、分配律、同一律和零一律都成立，−则可以证明吸收律也成立集合恒等式的几种证明方法A⋂(A⋃C)=(A⋃∅)⋂(A⋃C)同一律 =A⋃(∅⋂C)分配律 =A⋃(C⋂∅)交换律 =A⋃∅零一律 =A 同一律幂集Power SetA的所有子集为元素组成的集合,称为A的幂集−记作2A或ℑ(A)Example:−Let: A={a, b}, B={a, b, c}Then we have:−2A={∅, {a}, {b}, {a, b}}−2B={∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} Notice:−|2A|=2|A|=22=4 And |2B|=2|B| =23=8幂集Power SetTheorem:−Let A be a finite set, then |2A|=2|A|Proof:−let: A= {a1,a2, … , a n},−there are C n m ways to choose m elements from n elements Thus, the number of subsets of A is:−C n0=∅−C n1={a1},{a2},{a3},…,{a n}−C n2={a1, a2},{a1, a3},…,{a1, a n},{a2, a3},{a2, a4},…,{a2, a n},…−……−C n n={a1, a2, a3, …, a n}幂集Power Set We have:|2A |= C n 0+C n 1+C n 2+…+ C n n =2n 二项式定理 =2|A|在二项式定理nn n n n n n n n n n yC xy C y x C x C y x ++++=+---11110)( 令x =y =1, 便有: 2n = C n 0+C n 1+C n 2+…+ C n n幂集Power SetExample:−Let: A=∅，B={∅, a, {a}}，−What is 2A and 2BSolution：−For A, there is only one subset, which is ∅−i.e. 2A ＝{∅}幂集Power SetFor B, we have:−0个元素的子集：∅−1个元素的子集：{∅}, {a}, {{a}}−2个元素的子集：{∅, a}, {∅, {a}}, {a, {a}}−3个元素的子集：{∅, a, {a}}Therefore：−2B ={∅, {∅}, {a}, {{a}}, {∅, a}, {∅, {a}}, {a, {a}}, {∅, a, {a}} }幂集Power SetExample:−Let: A=∅，B=2(2A)Determine if the following proposition is true−∅∈B−∅⊆B−{∅}∈B−{∅}⊆B−{{∅}}∈B −{{∅}}⊆B −{∅,{∅}}∈B −{∅,{∅}}⊆B YYYYNYNY令：C＝2A={∅}则：B＝2C＝{∅, {∅}}Russell’s ParadoxLet W::={S∈Sets | S∉S}So S∈W↔S∉SLet S be W and we reach a contradiction:W∈W ↔W∉WSo the collection, sets, of all sets, can not be considered a setOrdered Pairs & Cartesian ProductOrdered n-tuple有序n元组由n个具有给定次序的个体a1,a2,…,a n组成的序列称为有序n元组−记作<a1,a2,…,a n>注意：有序n元组与n个元素的集合，是不相同的Example:−{a, b, c, d}={b, c, d, a}={d, a, c, b}−<a, b, c, d> ≠<b, c, d, a> ≠<d, a, c, b>−{4, 4, 3, 2}={4, 3, 2}But <4, 4, 3, 2>≠<4, 3, 2>Ordered n-tuple有序n元组Let:−<a1,a2,…,a n>and <b1,b2,…,b n> be ordered n-tupleIf:−a i=b i, i=1,2,..,n.Then,−the two ordered n-tuple are equal and is denoted as:−<a1,a2,…,a n>= <b1,b2,…,b n>When n=2, ordered n-tuple<a, b> is also called ordered pairs序偶Cartesian ProductIf A and B are sets, then the Cartesian Product of A and B is denoted as:−A⨯B, and is defined as:−A⨯B={<a, b>| a∈A, b∈B}Example:−Let: A={1,2} , B={a, b,c},Then−A⨯B={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<1,d>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<2,d>}−B⨯A ={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>,<c,1>,<c,2>,<d,1>,<d,2>}Cartesian ProductIn general we have:−A⨯B≠B⨯A−A⨯∅=∅⨯A=∅The Cartesian Product A⨯A is denoted as A2:−A2={<a i, a j>| a i∈A, a j∈A}If A＝{a1,a2,…,a m}, B＝{b1,b2,…,b n}Then:−|A⨯B|=|B⨯A|=|A|·|B|=m·nProperties of Cartesian ProductLet A、B、C be any set, we have: A⨯(B⋃C)=(A⨯B)⋃(A⨯C)(B⋃C)⨯A=(B⨯A)⋃(C⨯A)A⨯(B⋂C)=(A⨯B) ⋂(A⨯C)(B⋂C)⨯A=(B⨯A) ⋂(C⨯A)Properties of Cartesian ProductWe prove the first one：A⨯(B⋃C)=(A⨯B)⋃(A⨯C) ∀<x, y>, we have:−<x, y>∈A⨯(B⋃C)−⇔(x∈A)∧(y∈B⋃C)−⇔(x∈A)∧(y∈B∨y∈C)−⇔(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)−⇔(<x,y>∈A⨯B)∨(<x,y>∈A⨯C)−⇔<x,y>∈(A⨯B)⋃(A⨯C)Therefore A⨯(B⋃C)=(A⨯B)⋃(A⨯C)Properties of Cartesian ProductWe prove the first one：A⨯(B⋃C)=(A⨯B)⋃(A⨯C) Let <x,y>∈A⨯(B⋃C)Then we have: x∈A and y∈B⋃CWhich is: x∈A and (y∈B or y∈C)Thus: (x∈A, y∈B) or (x∈A, y∈C)于是：<x,y>∈A⨯B 或<x,y>∈A⨯C即：<x,y>∈(A⨯B)⋃(A⨯C)因此：A⨯(B⋃C)⊆(A⨯B)⋃(A⨯C)同理可证明：A⨯(B⋃C)⊇(A⨯B)⋃(A⨯C)因此：A⨯(B⋃C)=(A⨯B)⋃(A⨯C)Properties of Cartesian Product定理: 若C≠∅，则：−A⊆B⇔(A⨯C)⊆(B ⨯C)⇔(C⨯A)⊆(C ⨯B)定理: 设A、B、C、D是任意非空集合，则有:−A⨯B⊆C⨯D ⇔(A⊆C)∧(C⊆D)例3设A、B、C、D是任意集合，判断下列等式是否成立 1: (A⋂B)⨯(C⋂D)= (A⨯C)⋂(B⨯D)2: (A⋃B)⨯(C⋃D)= (A⨯C)⋃(B⨯D)Properties of Cartesian ProductThe first equation holdsBecause ∀<x, y>, we have:Þ<x, y>∈(A⋂B)⨯(C⋂D)Þ⇔x∈(A⋂B)∧y∈(C⋂D)Þ⇔(x∈A)∧(x∈B)∧(y∈C)∧(y∈D)Þ⇔(x∈A)∧(y∈C)∧(x∈B)∧(y∈D)Þ⇔(<x, y>∈(A⨯C))∧(<x, y>∈(B⨯D))Þ⇔<x, y>∈(A⨯C)⋂(B⨯D)Properties of Cartesian ProductThe second one does not holdFor example:−Let: A=D=∅, B=C={1}，Then:−(A⋃B)⨯(C⋃D)= B⨯C={<1,1>}−(A⨯C)⋃(B⨯D)= ∅⨯∅= ∅Ordered Pairs & Cartesian ProductLet: A1, A2,… ,A n be setsThen their Cartesian product is:−A1⨯A2⨯… ⨯A n=(A1⨯A2⨯… ⨯A n-1)⨯A n−={<x1,x2,…,x n>|x i∈A i, i=1,2,..,n}i.e. A1⨯A2⨯… ⨯A n is a set of ordered n-tupleWhen A1=A2=⋯= A n−we write A nOrdered Pairs & Cartesian ProductFor example:Let: A={a, b}ThenA3＝{<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>,<b,a,a>,<b,a,b>,<b,b,a>,<b,b,b >}|A3|=|A|3=23=8In general, if |A|=m, then |A n|=|A|n=m nFunctionsA function from set A to setB associates:−an element f(a)∈B with an element a∈A − A is called the domain of function f−B, the codomain of fExample:−f is a string-length function: f(“abcd”)=4−The domain is the set of strings−The codomain is NFunctionsg: R2→Rg(x,y)=1/(x-y)Domain(g)=all pairs of realsCodomain(g)=all realsBut g is partial:−Not defined on all pairs of realsFunctionsg: D→Rg(x,y)=1/(x-y)Where D=R2={(x,y)|y=x}Then g is total−defined on all pairs in the domain DTotal and Onto FunctionsTotal functions:f: A→B is total iff:−Every element of A is assigned a B-value by f ∀a∈A ∃b∈B f(a)=bOnto Functionsf: A→B is onto iff:−Every element of B is f of somthing∀b∈B ∃a∈A f(a)=bA surjection1-1 Functionsf: A→B is 1-1 iff:−Every element of B is f of at most 1 thing ∀a, a’ ∈A (f(a)=f(a’))→(a=a’)A injection。
交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲23页PPT
18周星期三(12月29日)，3:00-5:00 答疑地点：31号楼3楼教师休息室
《数理逻辑》样卷
一、单选题（共10分）
1．下列命题公式中，是重言式的 是____________。
A． (p q) q B. (p q) (p q) C. p∧q D. p q
2．设A、B、C、D为任意集合， 下面命题为真的是 ____________。
《数理逻辑与集合论》
复习提纲
第1章 命题逻辑的基本概念
1.1 命题 1.2 命题联结词及真值表 1.3 合式公式 1.4 重言式（三类公式的关系：P8） 1.5 命题形式化 1.6 波兰表达式
第2章 命题逻辑的等值和推理演算
2.1 等值定理 会运用等值式证明两个公式是否相等、判断公式的类型
2.2 等值公式
五. 证明题（20%）
证明 A=B C=D AC=BD 证： 任取<x,y>
<x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD
《数理逻辑》试题样卷
六.应用题：（20%）
证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉底是人，所 以苏格拉底是要死的.”
令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底
前提：x(F(x)G(x))，F(a)
结论：G(a)
证明： ① F(a)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(a)G(a)
②UI
④ G(a)
①③假言推理
考试和答疑安排
考试时间：
18周星期五(12月31日)，8:00-10:00AM 考试地点：340402
2．符号化下面命题，并用谓词逻辑构造其推证结论的过程： 乌鸦都不是白色的. 北京鸭是白色的. 因此，北京鸭不是乌 鸦.
交大数理逻辑课件11-1 函数共30页
一、有穷集之间的构造
例 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} 解： A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
B={ f0, f1, … , f7 }, 其中 f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
令 f：A→B,
f()=f0,
f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3,
f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7
构造从A到B的双射函数（续）
二、实数区间之间构造双射
构造方法：直线方程
例 A=[0,1]
B=[1/4,1/2] 构造双射 f :A→B
T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
自然映射
5. 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g：A→A/R g(a) = [a], a∈A 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
➢ 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他的自然映射一 般来说是满射.
数理逻辑1.2PPT课件
1.2 命题公式与真假性
1.2.1 命题公式 1.2.2 指派和真值表 1.2.3 命题公式的永真性
2020/10/13
1
1.2.1 命题公式
• 命题公式，也称WFF(Well Formed Formula)。
• 以真假为变域的变元称为命题变元，用P, Q, R, …表示。 • 命题变元的真假值分别用 T, F 表示。
在指派1 = ( T, T, F ) 下的值为T，即 (1) = T。 在指派2 = ( T, F, T ) 下的值为F，即 (2) = F。
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4
定义3 设为一命题公式， 为的一个指派。 1) 若() = T，则称为的成真指派； 2) 若() = F，则称为的成假指派。
注意到中含有变元的个数总是有限的，并且每个变元至多有两种取值 方法，所以的所有不同指派的个数也是有限的。具体地说，n元命题公式 的指派个数为2n。于是，对于一个给定的命题公式，可以写出该命题公式 在所有不同指派下的值。将一命题公式在各指派下形成真假值的过程排列 起来，便形成了该命题公式的真值表。
2) 在命题公式中诸联结词的优先次序为： , (, ), (, ) 。
其中与 的优先次序相同， 与 的优先次序相同。
按照这种约定 ((P (Q)) Q) 可写为 P Q Q 。
下面两个符号串不是命题公式。
PPQ
PQR
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3
2.2.2 指派和真值表
对于含有命题变元的命题公式，只有当其中每个命题变元的真假值或 其中一部分命题变元的真假值确定之后，命题公式的真假值才能确定。
定义1 命题公式定义如下： 1) 命题变元及 T, F 是命题公式； 2) 如果 是命题公式，则 是命题公式； 3) 如果 , 是命题公式，则
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第4章 谓词逻辑的基本概念
4.1 谓词和个体词 谓词的定义，谓词逻辑与命题逻辑的关系 4.2 函数和谓词 自由变元、约束变元及量词的辖域 4.3 合式公式（合法性判断） 4.4 自然语句的形式化（与作业结合复习） 4.5 有限域下公式(x)P(x)、(x)P(x)的
表示法
在{1,2}上的量化公式、解释
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《数理逻辑》样卷
一、单选题（共10分）
1．下列命题公式中，是重言式的 是____________。
A． (p q) q B. (p q) (p q) C. p∧q D. p q
2．设A、B、C、D为任意集合， 下面命题为真的是 ____________。
A．A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) B. 若AB，则有~A ~B C. ~(A∪B)= ~A∪~B D. ~(A ∩B)= ~A ∩~B
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《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
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第9章 集 合
9.1 集合的概念和表示方法
9.2 集合间的关系和特殊集合
9.3 集合的运算
9.4 集合的图形表示法
9.5 集合运算的性质和证明(9.5.3不包括)
9.6 有限集合的基数
包含排斥原理及应用（作业）
会运用集合运算的性质证明有关集 合运算的命题成立与否、进行化简， 定理证明主要在9.5.1，9.5.4，而 9.5.2只要记住结论
《数理逻辑与集合论》
复习提纲
1
第1章 命题逻辑的基本概念
1.1 命题 1.2 命题联结词及真值表 1.3 合式公式 1.4 重言式（三类公式的关系：P8） 1.5 命题形式化 1.6 波兰表达式
2
第2章 命题逻辑的等值和推理演算
2.1 等值定理 会运用等值式证明两个公式是否相等、判断公式的类型
2.2 等值公式
C．若~S∪T=E，则S∩T≠
D. 若S∪T=S∪M，则T=M
二. 填空题：（20%）
1、 公式 (pq) r 的成真赋值是______________
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《数理逻辑》试题样卷
四. 运算题：（20%）
1.用等值演算法判断公式q(pq)的类型
解 q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq) （德摩根律）
各章内容比例
第一、二章 命题逻辑 (20%)
第四、五章 谓词逻辑 (20%)
第九章 集合
(20%)
第十章 关系
(25%)
第十一章 函数
(10%)
第十二章 集合的基数 (5%)
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《数理逻辑》试题样卷
一. 选择题（10%）
1．设S、T、M为任意集合，则下列命题中，命题
真值是真的是
。
A． 是的子集
B. 若S－T= ，则S=T
前提：x(F(x)G(x))，F(a)
结论：G(a)
证明： ① F(a)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(a)G(a)
②UI
④ G(a)
①③假言推理
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考试和答疑安排
考试时间：
18周星期五(12月31日)，8:00-10:00AM 考试地点：340402
答疑安排：
18周星期三(12月29日)，3:00-5:00 答疑地点：31号楼3楼教师休息室
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第10章 关 系
10.1 二元关系重要关系(、E、I、L、D、)
10.2 关系矩阵和关系图
10.3 关系的逆、合成、限制和象
10.4 关系的性质(性质判断和证明)
10.5 关系的闭包 对称闭包、自反闭包和传递闭包的定义和构造方法
10.6 等价关系和划分( 会求商集、类、划分并会证明)
10.7 相容关系和覆盖( 会求类并会证明)
10.8 偏序关系(会画哈斯图，求特殊元素)
7
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势
12.3 有限集合与无限集合
12.4 集合的基数
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试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
五. 证明题（20%）
证明 A=B C=D AC=BD 证： 任取<x,y>
<x,y>AC xA yC xB yD
<x,y>BD
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《数理逻辑》试题样卷
六.应用题：（20%）
证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉底是人，所 以苏格拉底是要死的.”
令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底
3．在关于二元关系性质的叙述中，正 确的是__________。
A. 若关系R、S具有自反性，则R∩S一 定有自反性；
B. 存在既是对称的也是反对称的关系 C. 若R、S是传递的，则R∪S也是传
递的； D. 若R、S是自反的，则R－S也是自
反的。 4．含有3个元素的集合共有_______
种不同的划分. A. 4 B. 10 C. 5 D. 6 5．设A、B为任意集合，下面命题为 真的是__________。 A．P(A)∪P(B)=P(A∪B) B. P(A∩B)=P(A)∩P(B) C. P(A-B)=P(A)-P(B) D. 若A-B= ，则B A
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第5章 谓词逻辑的等值和推理演算
5.1 否定型等值式（证明）
量词否定等值式、量词辖域收缩和扩张等值 式、量词分配等值式、消去量词等值式
5.2 量词分配等值式（证明）
5.4 基本的推理公式(证明方法，(1)-(10):P77-78)
5.5 推理演算(UI,EI,UG,EG和命题推理规则)
5.6 谓词逻辑的归结推理法
2.4 联结词的完备集PQ = (PQ)， PQ = (PQ)
2.5 对偶式
2.6 范式
求命题公式的对偶式、(主)析取范式、(主)合取范式及用途
2.7 推理形式（重言蕴涵的几个结果：P31）
2.8 基本的推理公式（(1)-(11):P31）
2.9 推理演算 2.10 归结推理法
常用推理规则、直接证明法、附加前提 证明法、归结法
p(qq) （交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
2.计算集合A={ ，{}}的幂集
解：P(A)=P({, {}})
= {, {}, {{}}, { , {}}}
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《数理逻辑》试题样卷
三.判断题（10%）
设S、T为任意集合， 若S－T= ，则S=T 。（ ）