4 弯曲应力(上课) 武汉理工大学材料力学
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l
M ( x) FA x F x a Fa l xa x l l
Fa /l + Fab /l
M
(3)绘制剪力图、弯矩图： 在集中力F作用点处，FS图发生突 15 变，M图出现尖角。
m A RA x x a
C b
B RB
解：(1)计算支反力：
m M A 0 : RB l m M B 0 : RA l
13
[例4-3] q 列图示简支梁的内力方程并画内力图。 解:(1)计算支反力：以整梁为研 A B 究对象
FA
x
l
FB
FA FB
∑Fy 0：
∑M C 0：
q FA ql /2 +
(2)建立剪力、弯矩方程：
M(x) FS(x)
ql /2 + ql 2/8
FS ( x) ql －qx0 x l 2
11
M M
[例4-2]：如图所示简支梁，试求1-1、2-2截面上剪力 F 和弯矩。 M0 =Fa 1 2 解：（1）求支反力RA 、RB A B
A B
0 : RB 4a F 2a M 0 0
RA 1 F 4 RB 3 F 4
1 a a a
2 a RB
0 : R A 4a F 2a M 0 0 R A
零 平 斜 （ 零 零 平 ） 平 斜 抛
（3）分段规律：
18
三、剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系及其应用 q(x) 对dx 段进行平衡分析：
F
FS ( x) q ( x )dx FS ( x ) dFS ( x) 0
y
0:
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
q( x)dx dFS ( x)
FS
M
3. 力F作用点处 4. 力偶Me作用点处 不受影响 突变 5. 弯矩最大绝对值处：FS＝0或集中力作用截面处或 22 集中力偶作用处
FS图 突变
M图 折点
作图步骤 1. 求支座反力， 2. 分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、 曲线）， 分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷 载起点及终点处 3. 求每一段控制截面的FS、M值， 4. 按规律连线。
FS
M 1. 无荷载段：
FS图 水平直线或为0
M图 斜直线或水平线 上凸曲线 下凸曲线
21
2. 有荷载段q： q > 0：上升斜直线 q < 0：下降斜直线
A
FA
F1 B
F2 C
Me E D FE
q< 0 G H F q>0
q(x)向上为正
dFS x q x dx
dM x FS x dx
m a x l l
M ( x ) RA x m
m l x a x l l
+
(3)绘制剪力图、弯矩图： 在集中力偶m作用点处，M图发生 16 突变，FS图不受影响。
[例4-4] 求下列外伸梁的内力方程并画内力图。 q
C a
A
RA
x
2a
RB
Fs qa 1 qa2 2
（2）求截面内力 1-1截面: Fs1 R A 1 F
4 M1 R A a M 0 1 F a Fa 5 Fa 4 4 2-2截面: Fs 2 R B 3 F 4 M 2 R B a 3 Fa 4
12
二、剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 1. 内力方程： 剪力方程：FS=FS（x） 弯矩方程：M=M（x） 2. 剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的 图形。 FS x M 计算步骤： (1)确定支座反力； (2)分段建立剪力、弯矩方程； (3)作剪力图、弯矩图。 x
在集中力作用处， Fs 图发生突变， 17 M图对应处有一尖角。
[例4-5] 画下列悬臂梁的内力图。 M （2）突变规律： l （a）在集中力作用处， Fs＝0 Fs Fs图上有突变，突变值 等于集中力的大小，在 M M图的相应处有一尖角 （b）在集中力偶作用处， M M图上有突变，突变值等 总结得以下规律： 于集中力偶的大小，在Fs （1）形状规律： 图的相应处无变化。 q Fs M
1 qa 4+
解：(1)计算支反力： 1 5 B RB qa RA qa 4 4 (2)列剪力、弯矩方程：以A 为原点。
M
-
（3）画内力图：
q(a x) (a x 0) Fs (x) 1 qa (0 x 2a) 4 1 q(a x) 2 (a x 0) 2 M (x) 1 qa(2a x) (0 x 2a) 4
FsA右 -5kN； FsB左 5kN; FsB右 30 kN； FE 30 kN.
3. 同理画 M 图。
M D左
o
+
5
+
-
5 60
x
45
15 20
M/kNm
25
M B 60 kN m;
M E 0.
x
+
O
M C 0;
M A 20kN m; 15kN m; M D右 45kN m;
1 q ( x2 a ) 2 0 2
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律 （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反
0.5m
1.5m
1m
q 2kN / m
M(+) M(+)
M(–)
M(–)
9
[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。 2 q 解：1-1截面: ql 1 1a 2 b 2-2截面:
ql
x1 ql x2
C C
F 0: M 0 :
y
FS 1 ql
C
M 1 qlx1
M1
F
0:
FS1
M
M2 FS2
FS 2 qx2 a ql
dM ( x ) FS ( x ) dx
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
dM 2 ( x ) q( x ) 2 dx
20
A
FA
F1 B
F2 C
Me E D FE
q< 0 G H F q>0
q(x)向上为正
dFS x q x dx
dM x FS x dx
a FB F l
FA FA FS
x x Fb /l +
M(x) FS(x) F
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、 CB两段考虑，以A为原点。
F AC段： S ( x) FA Fb 0 x a l Fb M ( x) FA x x0 x a l
M(x) FS(x) F CB段： S ( x) FA F Fa a x l
FRx MR
6
②可动铰支座：1个约束 A A A FR
FRy
FRx
A
FRy
4. 静定梁的三种基本形式 静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和 内力。 ① 简支梁(simple beam) ② 外伸梁(overhanging beam)
③ 悬臂梁(cantilever beam)
超静定梁
7
第四章
弯曲应力
1
第四章
§4－1 §4－2
弯曲应力
对称弯曲的概念及梁的计算简图 梁的剪力和弯矩 · 剪力图和弯矩图
§4－3
§4－4 §4－5 §4－6
平面刚架和曲杆的内力图
梁横截面上的正应力 ·梁的正应力强度条件 梁横截面上的切应力 ·梁的切应力强度条件 梁的合理设计
2
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
二、梁的计算简图 计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。 1.构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替。 2.载荷简化 ⑴ 集中力(N，kN) ⑵ 集中力偶(Nm， kN· m) ⑶ 分布载荷(N/m，kN/m)
P 载荷集度q： q lim0 x x
5
P m q m
3. 支座简化 ①固定铰支座：2个约束 A A A ③固定端：3个约束
§4－2
弯曲的剪力和弯矩· 剪力图和弯矩图
a
F1 1 F2
一、弯曲的剪力和弯矩 A 例：求截面1-1上的内力。 FA 解：(1)确定支反力FA和FB (2)取左段梁为研究对象：
Fy 0 :
FA F1 FS 0
计算方法：截面法
m
x
F1
1
B FB
C
M FS
m
FS FA F1
l x
m RA FS x m /l + mb /l M ma /l
RA
M(x) FS(x)
(2)建立剪力、弯矩方程
FS ( x) RA
m 0 x a AC段： l m M(x) M ( x ) RA x x 0 x a l FS(x)
CB段：F
S ( x ) RA
1 ql 2
x
M ( x)
FS
M
ql q x x2 2 2 q ( x l ) 2 1 ql 2 0 x l 2 2 8
(3)绘制剪力图、弯矩图 在FS=0处，M取得最大值。 14
F A FA
解Biblioteka Baidu(1)计算支反力：
B b FB
x x a
l
C
b FA F l
FA
x
M C 0 : M F ( x a) F x 0 1 A
M
FS
8
FB
M FA x F1 ( x a)
内力的正负规定 ①剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正；反之为负。 或者说：左上右下的FS为正，反之相反。
FS(+) FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
一、弯曲的概念
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
3
对称轴
P q
m
轴线
RA
纵向对称面
RB
对称轴
对称弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵 向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条 平面曲线，也称为平面弯曲。 4
[例4-7]作图示外伸梁的Fs、M图。 解：1.求支座反力 30kN q=10kN.m M=60kN.m FA 25kN FB 35kN 2. 从左起，计算控制截面的 A D B E C FA FB FS值,并由微分关系判断线 2m 2m 1m 3m 形，画 Fs图 30 30 FS/kN FC 0; FsA左 20 kN; 20
1m
B –
3 5kN 2m
C
D
1m 1kN
E
dM ( x) FS ( x) dx
q=2kN/m 1.25
dFS x qx dx
1
M (kN· m)
+ 1
–
27
[例4-10]已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。
1kN FS 2kN +
+
A
B
–
C
3kN
D
dM ( x) FS ( x) dx
dFS x qx dx
M(x)+d M(x) 剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
19
q(x)
dFS x q x dx
M(x)+d M(x) FS(x)+dFS(x)
M(x) FS(x) dx
A
MA 0 :
1 FS ( x )dx M ( x ) q( x )(dx )2 [ M ( x ) dM ( x )] 0 2
-
[例4-8]
M
已知M图,求外载及剪力图。 B C D
dM ( x ) FS ( x ) dx
A
40kN m 2m 2m
2m
dFS x qx dx
FS
40kN m
20kN
20kN
20kN
26
[例4-9]已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。
2 FS +
1
+
(kN) A
23
[例4-6] 作下列各图示梁的内力图。 q qa B FS
-
BA段 ：
MB 0
a
A
a
C x
FS BA qa
M A qa 2
AC段 :
qa qa2
-
相切
3 2 qa 2
FS C qa qa 0
M
x
a M C qa 2a qa 2 3 2 qa 2 24
M ( x) FA x F x a Fa l xa x l l
Fa /l + Fab /l
M
(3)绘制剪力图、弯矩图： 在集中力F作用点处，FS图发生突 15 变，M图出现尖角。
m A RA x x a
C b
B RB
解：(1)计算支反力：
m M A 0 : RB l m M B 0 : RA l
13
[例4-3] q 列图示简支梁的内力方程并画内力图。 解:(1)计算支反力：以整梁为研 A B 究对象
FA
x
l
FB
FA FB
∑Fy 0：
∑M C 0：
q FA ql /2 +
(2)建立剪力、弯矩方程：
M(x) FS(x)
ql /2 + ql 2/8
FS ( x) ql －qx0 x l 2
11
M M
[例4-2]：如图所示简支梁，试求1-1、2-2截面上剪力 F 和弯矩。 M0 =Fa 1 2 解：（1）求支反力RA 、RB A B
A B
0 : RB 4a F 2a M 0 0
RA 1 F 4 RB 3 F 4
1 a a a
2 a RB
0 : R A 4a F 2a M 0 0 R A
零 平 斜 （ 零 零 平 ） 平 斜 抛
（3）分段规律：
18
三、剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系及其应用 q(x) 对dx 段进行平衡分析：
F
FS ( x) q ( x )dx FS ( x ) dFS ( x) 0
y
0:
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
q( x)dx dFS ( x)
FS
M
3. 力F作用点处 4. 力偶Me作用点处 不受影响 突变 5. 弯矩最大绝对值处：FS＝0或集中力作用截面处或 22 集中力偶作用处
FS图 突变
M图 折点
作图步骤 1. 求支座反力， 2. 分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、 曲线）， 分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷 载起点及终点处 3. 求每一段控制截面的FS、M值， 4. 按规律连线。
FS
M 1. 无荷载段：
FS图 水平直线或为0
M图 斜直线或水平线 上凸曲线 下凸曲线
21
2. 有荷载段q： q > 0：上升斜直线 q < 0：下降斜直线
A
FA
F1 B
F2 C
Me E D FE
q< 0 G H F q>0
q(x)向上为正
dFS x q x dx
dM x FS x dx
m a x l l
M ( x ) RA x m
m l x a x l l
+
(3)绘制剪力图、弯矩图： 在集中力偶m作用点处，M图发生 16 突变，FS图不受影响。
[例4-4] 求下列外伸梁的内力方程并画内力图。 q
C a
A
RA
x
2a
RB
Fs qa 1 qa2 2
（2）求截面内力 1-1截面: Fs1 R A 1 F
4 M1 R A a M 0 1 F a Fa 5 Fa 4 4 2-2截面: Fs 2 R B 3 F 4 M 2 R B a 3 Fa 4
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二、剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 1. 内力方程： 剪力方程：FS=FS（x） 弯矩方程：M=M（x） 2. 剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的 图形。 FS x M 计算步骤： (1)确定支座反力； (2)分段建立剪力、弯矩方程； (3)作剪力图、弯矩图。 x
在集中力作用处， Fs 图发生突变， 17 M图对应处有一尖角。
[例4-5] 画下列悬臂梁的内力图。 M （2）突变规律： l （a）在集中力作用处， Fs＝0 Fs Fs图上有突变，突变值 等于集中力的大小，在 M M图的相应处有一尖角 （b）在集中力偶作用处， M M图上有突变，突变值等 总结得以下规律： 于集中力偶的大小，在Fs （1）形状规律： 图的相应处无变化。 q Fs M
1 qa 4+
解：(1)计算支反力： 1 5 B RB qa RA qa 4 4 (2)列剪力、弯矩方程：以A 为原点。
M
-
（3）画内力图：
q(a x) (a x 0) Fs (x) 1 qa (0 x 2a) 4 1 q(a x) 2 (a x 0) 2 M (x) 1 qa(2a x) (0 x 2a) 4
FsA右 -5kN； FsB左 5kN; FsB右 30 kN； FE 30 kN.
3. 同理画 M 图。
M D左
o
+
5
+
-
5 60
x
45
15 20
M/kNm
25
M B 60 kN m;
M E 0.
x
+
O
M C 0;
M A 20kN m; 15kN m; M D右 45kN m;
1 q ( x2 a ) 2 0 2
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律 （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反
0.5m
1.5m
1m
q 2kN / m
M(+) M(+)
M(–)
M(–)
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[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。 2 q 解：1-1截面: ql 1 1a 2 b 2-2截面:
ql
x1 ql x2
C C
F 0: M 0 :
y
FS 1 ql
C
M 1 qlx1
M1
F
0:
FS1
M
M2 FS2
FS 2 qx2 a ql
dM ( x ) FS ( x ) dx
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
dM 2 ( x ) q( x ) 2 dx
20
A
FA
F1 B
F2 C
Me E D FE
q< 0 G H F q>0
q(x)向上为正
dFS x q x dx
dM x FS x dx
a FB F l
FA FA FS
x x Fb /l +
M(x) FS(x) F
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、 CB两段考虑，以A为原点。
F AC段： S ( x) FA Fb 0 x a l Fb M ( x) FA x x0 x a l
M(x) FS(x) F CB段： S ( x) FA F Fa a x l
FRx MR
6
②可动铰支座：1个约束 A A A FR
FRy
FRx
A
FRy
4. 静定梁的三种基本形式 静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和 内力。 ① 简支梁(simple beam) ② 外伸梁(overhanging beam)
③ 悬臂梁(cantilever beam)
超静定梁
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第四章
弯曲应力
1
第四章
§4－1 §4－2
弯曲应力
对称弯曲的概念及梁的计算简图 梁的剪力和弯矩 · 剪力图和弯矩图
§4－3
§4－4 §4－5 §4－6
平面刚架和曲杆的内力图
梁横截面上的正应力 ·梁的正应力强度条件 梁横截面上的切应力 ·梁的切应力强度条件 梁的合理设计
2
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
二、梁的计算简图 计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。 1.构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替。 2.载荷简化 ⑴ 集中力(N，kN) ⑵ 集中力偶(Nm， kN· m) ⑶ 分布载荷(N/m，kN/m)
P 载荷集度q： q lim0 x x
5
P m q m
3. 支座简化 ①固定铰支座：2个约束 A A A ③固定端：3个约束
§4－2
弯曲的剪力和弯矩· 剪力图和弯矩图
a
F1 1 F2
一、弯曲的剪力和弯矩 A 例：求截面1-1上的内力。 FA 解：(1)确定支反力FA和FB (2)取左段梁为研究对象：
Fy 0 :
FA F1 FS 0
计算方法：截面法
m
x
F1
1
B FB
C
M FS
m
FS FA F1
l x
m RA FS x m /l + mb /l M ma /l
RA
M(x) FS(x)
(2)建立剪力、弯矩方程
FS ( x) RA
m 0 x a AC段： l m M(x) M ( x ) RA x x 0 x a l FS(x)
CB段：F
S ( x ) RA
1 ql 2
x
M ( x)
FS
M
ql q x x2 2 2 q ( x l ) 2 1 ql 2 0 x l 2 2 8
(3)绘制剪力图、弯矩图 在FS=0处，M取得最大值。 14
F A FA
解Biblioteka Baidu(1)计算支反力：
B b FB
x x a
l
C
b FA F l
FA
x
M C 0 : M F ( x a) F x 0 1 A
M
FS
8
FB
M FA x F1 ( x a)
内力的正负规定 ①剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正；反之为负。 或者说：左上右下的FS为正，反之相反。
FS(+) FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
一、弯曲的概念
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
3
对称轴
P q
m
轴线
RA
纵向对称面
RB
对称轴
对称弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵 向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条 平面曲线，也称为平面弯曲。 4
[例4-7]作图示外伸梁的Fs、M图。 解：1.求支座反力 30kN q=10kN.m M=60kN.m FA 25kN FB 35kN 2. 从左起，计算控制截面的 A D B E C FA FB FS值,并由微分关系判断线 2m 2m 1m 3m 形，画 Fs图 30 30 FS/kN FC 0; FsA左 20 kN; 20
1m
B –
3 5kN 2m
C
D
1m 1kN
E
dM ( x) FS ( x) dx
q=2kN/m 1.25
dFS x qx dx
1
M (kN· m)
+ 1
–
27
[例4-10]已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。
1kN FS 2kN +
+
A
B
–
C
3kN
D
dM ( x) FS ( x) dx
dFS x qx dx
M(x)+d M(x) 剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
19
q(x)
dFS x q x dx
M(x)+d M(x) FS(x)+dFS(x)
M(x) FS(x) dx
A
MA 0 :
1 FS ( x )dx M ( x ) q( x )(dx )2 [ M ( x ) dM ( x )] 0 2
-
[例4-8]
M
已知M图,求外载及剪力图。 B C D
dM ( x ) FS ( x ) dx
A
40kN m 2m 2m
2m
dFS x qx dx
FS
40kN m
20kN
20kN
20kN
26
[例4-9]已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。
2 FS +
1
+
(kN) A
23
[例4-6] 作下列各图示梁的内力图。 q qa B FS
-
BA段 ：
MB 0
a
A
a
C x
FS BA qa
M A qa 2
AC段 :
qa qa2
-
相切
3 2 qa 2
FS C qa qa 0
M
x
a M C qa 2a qa 2 3 2 qa 2 24