信号与系统的分析方法有时域,变换域两种

2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
Re s[ X ( z ) z
l 1
n 1
] z zr
1 d l n 1 [( z z r ) X ( z ) z ] z zr l 1 (l 1)! dz
1 , z 4，求z反变换。 [例2-4] 已知 X ( z ) 1 4 (4 z )( z ) 4
j Im[ z ]
Re[ z ]
收敛域
Rx
(4)因果序列
x(n), n 0 x ( n) n0 0,
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔
定理可知收敛域为：
Rx z
(5)左边序列
x(n)
x(n), n n2 x ( n) n n2 0,
X ( z)
X ( z) 4 A [( z 2) ]z 2 1 z 3 X ( z) 1 A2 [( z 0.5) ] z 0.5 z 3 4 z 1 z X ( z) 3 z2 3 z 0.5
又 z 2, 查p54表2.1得 4 n 1 n 2 (0.5) , n 0 x ( n) 3 3 0 ,n 0
X ( z ) x(n) z , 若 x(n) z
n n n1 n2 n
.
n1 0 n2
.
，n1 n n2 ;
考虑到x(n)是有界的，必有 z n ，n1 n n2 ;
因此，当n 0时， n 1 / z n , 只要z 0，则 z n z 同样，当n 0时， n z , 只要z ，则 z n z
a ax b 的和，使各分式具有 k或 ( x A) ( x 2 Ax B) k
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。
通常，X(z)可 X ( z ) B( z ) i 0 N A( z ) 表成有理分式形式： 1 ai z i
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
同样,对于级数
x ( n) z n ，满足 z z
n 0

的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x (n)
.
x(n), n1 n n2 x ( n) 其他n 0,
0

n
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
x ( n) z
x ( n) z
n 1
n2
n
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; R x 为最大收敛半径 .
故收敛域为0 z Rx
n
所以收敛域0 z 也就是除z 0, z 外的开域(0, 即所谓“有限z平面”。
j Im[ z ]

Re[ z ]
3. 右边序列
x(n) ... n1 0 1
n
x(n), n n1 x ( n) n n1 0,
..
1 n
n
X ( z)
n n1
n 0 n 0



1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
当
z a 时，这是无穷递缩等比级数。
1
a1 1 z q az , S 。 1 1 q 1 az za z a为极点，在圆 z a 外， X ( z )为解析函数，故收敛。
第二项为左边序列，其收敛域为： 当Rx-<Rx+时，其收敛域为
Rx
0 z Rx
Rx z Rx
j Im[ z ]
Re[ z ]
Rx Rx
[例2-1] 求序列 x(n) (n) 的Z变换及收敛域。
解：这相当
n1 n2 0 时的有限长序列，
Z [ (n)]
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
z2
解:
X ( z) z
n 1

z n 1 1 (4 z )( z ) 4
1）当n≥-1时,z 不会构成极点，所以这时 C内只有一个一阶极点 z 1 因此 r 4 1 n 1 x(n) Re s[ z /( 4 z )( z )] 1 4 z 4
1 n 1 ( ) 4 1 4 n , n 1 1 15 4 4
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
z
Re[ z ]
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
[例2-3]求序列 x(n) b u(n 1) 变换及收敛域。
n
x ( n)
n
b nu (n 1) z n

b 1 z (b 1 z ) 2 (b 1 z ) n
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z

n
*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
ze ze
jT ST
A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z z z , k 1, 2r i
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54 表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
, S j
二.收敛域
1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即： x(n) z
n

n
M
3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 x ( n) z n ，在 z z ( 0) n 0 收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
x ( n) z

n

n n1
x ( n) z x ( n) z
n 0
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞; Rx-为最小收敛半径。
j Im[ z ]

Re[ z ]
z Rx
(6)双边序列
x



0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序 列，即左边序列和右边序列之和。
X ( z)
n
x ( n) z x ( n) z
n n 0

n

n
x ( n) z
1
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z
3.幂级数展开法(长除法)
因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即
X ( z)
n
x ( n) z

n
x(2) z x(1) z
2
x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2
所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数 就是序列x(n)。 如收敛域为|z|>Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展 成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。
i 1
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：
n 1
2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:
1 x ( n) Re s[ z /( 4 z )( z )] z 4 4 1 ( 4) n 1 4 n 2 , n 2 1 15 4 4
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,

R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
Leabharlann Baidu
n
(n)Z

n
Z 1
0
其收敛域应包括 z 0, z , 即 0 z , 充满整个Z平面。
[例2-2] 求序列 x(n) a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
a n u (n) z n a n z n (az 1 ) n
n 1
1 n 15 4 , 因此x(n) 1 4n2 , 15
n 1 n 2
2.部分分式法
有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
0
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
c
二.求Z反变换的方法
1.留数法
由留数定理可知：
1 2j 1 2j
X ( z) z
c c
n 1
dz Re s[ X ( z ) z
k
n 1
]z zk
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ] z zm
m
z k 为c内的第k个极点， z m 为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。
留数的求法：
1、当Zr为一阶极点时的留数：
Re s[ X ( z ) z n1 ]Z Z r [( z zr ) X ( z) z n1 ]z zr

n
b n z n b n z n
1


n 1
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
b z 故其和为X ( z ) 1 1 b z z z b 收敛域： z b
1
j Im[ z ]
Re[ z ]
b
*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , 的z反变换。 解：
2
z 2
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
1 [例2-6] 试用长除法求 X ( z ) , z 4 1 4 (4 z )( z ) 4 的z反变换。
z
2
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列) *双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。