不同函数增长的差异

解：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝x3，C2 对应的函数为 f(x)＝2x.
(2)因为 f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以 1<x1<2,9<x2<10，所以 x1<6<x2,2 019>x2， 从题中图象上可以看出，当 x1<x<x2 时，f(x)<g(x)， 所以 f(6)<g(6)； 当 x>x2 时，f(x)>g(x)，所以 f(2 019)>g(2 019)； 又因为 g(2 019)>g(6)， 所以 f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6)．
对数函数单调性应用的求解策略 利用对数函数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的 关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一 定要注意真数大于零这一隐含条件．
谢谢！
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
解析：A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的 高度与时间的关系是二次函数关系；B.我国人口年自然增长率为 1%， 这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系；C.如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数 关系是反比例函数关系；D.信件的邮资与其重量间的函数关系是一次 函数关系．故选 B.
2020-2021学年高一上数学必修一
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数 第40课时 不同函数增长的差异
——基础巩固——
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( D ) A．y＝100x B．y＝log100x C．y＝x100 D．y＝100x
对数函数的性质及其应用问题的常见类型与解题策略 (1)比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的 单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论； ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行 比较；③若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较． (2)解对数不等式．形如 logax>logab 的不等式，借助 y＝logax 的 单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论； 形如 logax>b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数．
10．函数 y＝x2 与函数 y＝xlnx 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个
是 y＝x2
.
解析：当 x 变大时，x 比 ln x 增长要快，∴x2 要比 xlnx 增长得要快．
11．某种病菌经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且已知这种病菌的繁 殖规律为 y＝ekt(k 为常数，t 为时间，单位：小时)，y 表示病菌个数， 则 k＝ 2l2 ；经过 2 小时，1 个病菌能繁殖为 16 个．
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故 选 D.
3.今有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中
5．以下四种说法中，正确的是( D ) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的 x>0，xn>logax C．对任意的 x>0，ax>logax D．不一定存在 x0，当 x>x0 时，总有 ax>xn>logax
解析：对于 A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项 系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于 B，C，当 0<a<1 时，显然不成立．当 a>1，n>0 时，一定存在 x0，使 得当 x>x0 时，总有 ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”， 则结论不成立．
2
解析：∵y＝x5
在(0，＋∞)上是增函数，∴a>c.∵y＝25x(x∈R)为减
函数，∴c>b.∴a>c>b.
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 9．四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表所示.
关于 x 呈指数型函数变化的变量是 y2 .
解析：指数函数的增长呈“爆炸式”增长，由表中数Βιβλιοθήκη Baidu可知呈指 数型变化的变量为 y2.
解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时， 函数 y＝100x 的增长速度最快．
2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 fi(x)(i＝1,2,3,4) 关于时间 x(x>1)的函数关系是 f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝ 2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是 ( D)
6．如图所示，能使不等式 log2x<x2<2x 成立的自变量 x 的取值范围 是( D )
A．x>0 C．x<2
B．x>2 D．0<x<2
解析：由函数图象可知，当 0<x<2 时图象由上到下依次为指数函 数、幂函数、对数函数的图象．
7．已知函数 f(x)＝3x，g(x)＝2x，当 x∈R 时，有( A ) A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x) C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)
解：据表中数据作出如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理． 将(2,1)代入到 h＝loga(t＋1)中，得 1＝loga3，解得 a＝3，即 h＝log3(t ＋1)． 当 t＝8 时，h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第 8 年松树的高度为 2 米．
——能力提升——
解析：在同一直角坐标系中画出函数 f(x)＝3x，g(x)＝2x 的图象， 如图所示．因为函数 f(x)＝3x 的图象在函数 g(x)＝2x 的图象的上方， 所以 f(x)>g(x)．
8．设 a＝3552 ，b＝2535 ，c＝2525 ，则 a，b，c 的大小关系是( A ) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
解析：结合指数函数
y＝12x
和对数函数
y＝log1
2
x
的图象易得
C
正确，A，B，D 错误．
2．下列函数中，随 x(x>0)的增大，增长速度越来越快的是( CD )
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝2x
D．y＝ex
E．y＝log2x
解析：因为 y＝2x，y＝ex 是指数函数，且当底数大于 1 时，随 x(x>0) 的增大，增长速度越来越快，故选 CD.
13．(10 分)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度
h(米)与生长时间 t(年)的相关数据，选择 h＝mt＋b 与 h＝loga(t＋1)来刻 画 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第 8 年的松树高度.
t(年)
12 3
4
5
6
h(米) 0.6 1 1.26 1.46 1.63 1.77
解：作出函数 y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x 的图象(如图所 示)．
观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x 的图象都有一 部分在直线 y＝3 的上方，只有 y＝log5x 的图象始终在 y＝3 和 y＝0.2x 的下方，这说明只有按模型 y＝log5x 进行奖励才符合学校的要求．
一、多项选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1．下面对函数
f(x)＝log1
2
x
与
g(x)＝12x
在区间(0，＋∞)上的衰减
情况的说法中错误的有( ABD )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
最接近的一个是( C )
A．v＝log2t
B．v＝log1 t 2
C．v＝t2－2 1
D．v＝2t－2
解析：从表格中看到此函数在(1.99,6.12)上为单调递增函数，排 除 B，增长速度越来越快，排除 A 和 D，故选 C.
解析：从表格中看到此函数在(1.99,6.12)上为单调递增函数，排 除 B，增长速度越来越快，排除 A 和 D，故选 C.
二、解答题 3．(15 分)某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一 个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元时，按生源利润 进行奖励，且资金 y(单位：万元)随生源利润 x(单位：万元)的增加而 增加，但资金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有 三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校 的要求？
解析：设病菌原来有 1 个，则 30 分钟后为 2 个，则 2＝e2k， 解 k＝2ln 2，∴y＝et·2ln2 则当 t＝2 时，y＝e4ln2＝(eln2)4＝24＝16.
三、解答题(共 20 分) 12．(10 分)函数 f(x)＝2x 和 g(x)＝x3 的图象如图所示．设两函数 的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断 f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大 小．
4．下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型 y＝kax(k∈R，a>0 且 a≠1)的是( B )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与 时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变 化关系
C．如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系