不同函数增长的差异
不同函数增长的差异
二、提出问题 1．如何比较函数 y＝2x 与 y＝2x 的增长差异？它们的增长速度有什么不 同？从中你能得到什么结论？ 2．如何比较函数 y＝lg x 与 y＝110x 的增长差异？它们的增长速度有什么 不同？从中你能得到什么结论？ [学习目标] 1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函 数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异．(直观想象) 2.理解“对 数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．(数学抽象)
三种常见函数模型的增长差异
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性
__增__函__数____
__增__函__数____
__增__函__数____
图象的变化
随 x 的增大，图象越 来越“陡”
随 x 的增大，图象逐 渐趋于稳定
增长速度不变
形象描述
指数爆炸
对数增长
下面对函数 f(x)＝log21x，g(x)＝12x 与 h(x)＝x 在区间(0，＋∞)上的递减 情况说法正确的是( C ) A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢 D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
解析：观察函数 f(x)＝log12x，g(x)＝12x 与 h(x)＝x 在区间(0，＋∞)上的 图象(如图)可知，函数 f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐 渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数 g(x) 的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数 h(x) 的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞) 上，递减较慢，且越来越慢．
不同函数增长的差异课件
当0<x<2时,2x>x2>log2x.
当2<x<4时,x2>2x>log2x.
当x>4时,2x>x2>log2x.
探究一
探究二
探究三
规范解答
随堂演练
反思感悟 在(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=x2都
是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x
和时间x(x>1)的函数关系分别是
f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假设他们一直跑下去,最终跑
在最前面的人具有的函数关系是 (
)
A.f1(x)=x2
B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
解析:当x足够大时,跑在最前面的人具有的函数关系为指数型函
且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总
数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%.现有三个奖励方案
模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合该公司的要
求?
分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时,
奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%,由于公司总
探究一
探究二
探究三
规范解答
随堂演练
1.存在x0,当x>x0时,下列不等式恒成立的是(
)
A.2x<log2x<x2 B.x2<log2x<2x
探究三
规范解答
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速 度越来越慢，即增长速度平缓．
数学 必修 第一册 A
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第四章 指数函数与对数函数
[跟踪训练 1] 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表：
x1
5
10Hale Waihona Puke 152025
30
y1 2 26
D．y＝10 1000·ex
答案 D 解析 指数“爆炸式”增长，y＝0.4×2x－1 和 y＝10 1000·ex 虽然都是指数型函数，
但 y＝10 1000·ex 的底数 e 较大些，增长速度更快．
数学 必修 第一册 A
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第四章 指数函数与对数函数
(2)如图是四个不同形状，但高度均 为H的玻璃瓶. 已知向其中一个水瓶注水 时，注水量与水深的函数关系如图所 示，试确定水瓶的形状是图中的( )
增长速 度固定
随x增大逐渐与 _____x_轴__平__行____
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度__越__来__越__快______，会远远大于y
＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度__越__来__越__慢______； ②存在一个x0，当x>x0时，有_a_x_>_x_n_>_lo_g_a_x_____
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第四章 指数函数与对数函数
解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故 填y2.
不同函数增长的差异
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
新知探索
综上所述，虽然函数 = 2 和 = 2在区间[0, +∞)上都单调递增，但它们的增长
速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大， = 2 的增长速度越来越快，
图象位于 = 2的图象之上，2 > 2.这表明，虽然这两个函数在[0, +∞)上都单调递
增，但它们的增长速度不同，函数 = 2的增长速度保持不变，而函数 = 2 的增长
速度在变化.
新知探索
下面在更大的范围内，观察 = 2 和 = 2的增长情况.从表中可以看到，当自变
量越来越大时， = 2 的图象就像与轴垂直一样，2 的值快速增长；而函数 =
2
30
1.477
3
40
1.602
4
50
1.699
5
60
1.778
6
…
…
…
新知探索
函数 =
1
的增长速度保持不变，而函数
10
函数 =
1
的图象离轴越来越远，而函数
10
轴平行一样.
= 的增长速度在变化.随着的最大，
= 的图象越来越平缓，就像与
新知探索
活动3：如果将放大1000倍，再对函数 = 1000和 =
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
复习导入
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事
不同函数增长的差异ppt课件
y＝logax(a＞1) _单__调__递__增_____
随 x 的增大 函数图象
保持增长 逐渐与_y_轴__平行 逐渐与_x_轴___平行
增长 共同点
在区间(0，＋∞)上，三种函数都是增__函__数____
速度的
保持不变 增长速度_越__来__越__快_ 增长速度_越__来__越__慢_
不同点
比较
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个 变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度 不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．
[答案] (1)A (2)y2
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
解：在坐标轴上标出 t(年)与 h(米)之间的关系如图所示．
D．y＝2 019x
(2)四个自变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表：
x1 5
10
15
20
25
30
y1 2 26 101 226
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10
20
4.4.3不同函数增长的差异(答案版)
1.函数模型 一般地，设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓的数学建模。
2.三种常见函数模型的增长差异2.1三种函数模型的增长规律 (1)对于幂函数nn x y n x x y =>>=时，当0,0,才是增函数，当n 越大时，增长速度越快。
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1，又它们的图象关于x y =对称，从而可知，当a 越大，xa y =增长越快；当a 越小，x y a log =增长越快，一般来说，)1,0(log >>>a x x a a x 。
(3)指数函数与幂函数，当时，10,0>>>a n x ，可能开始有xn a x >，但因指数函数是爆炸型函数，当x 大于某一确定值0x 后，就一定有n x x a >。
2.2不同函数模型的选取标准(1) 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律。
(2) 指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律。
(3) 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律。
(4) 幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律。
不同函数增长的差异知识讲解类型一 几类函数模型的责罚那张差异例1：下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（ ）A.x y 50=B.50x y =C.x y 50=D.)(log 50*∈=N x x y【答案】C 【解析】四个函数中，增长速度由慢到快依次是)(log 50*∈=N x x y ，x y 50=，50x y =，x y 50=。
例2：函数y ＝2x －x 2的大致图象为( )【答案】A 【解析】在同一平面直角坐标系内作出y 1＝2x ，y 2＝x 2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x ∈(0,2)时，2x ＞x 2，即此时y ＞0；当x ∈(2,4)时，2x ＜x 2，即y ＜0；当x ∈(4，＋∞)时，2x ＞x 2，即y ＞0；当x ＝－1时，y ＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A 中的图象符合条件．类型二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现例3：高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )【答案】B 【解析】v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.类型三 函数模型的应用命题角度1 选择函数模型例4：某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y 与售出商品的数量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数【答案】D 【解析】四个函数中，A 的增长速度不变，B ，C 增长速度越来越快，其中C 增长速度比B 更快，D 增长速度越来越慢，故只有D 能反映y 与x 的关系．命题角度2 用函数模型决策典型例题例5：一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．【解析】设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a 2(x ＋3)； 乙旅行社收费：y ＝2a 3(x ＋2)． ∈2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a 6(x －1)， ∈当x ＝1时，两家旅行社收费相等．当x ＞1时，甲旅行社更优惠.一、选择题 1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A ．y ＝6xB ．y ＝log 6xC ．y ＝x 6D ．y ＝6x【答案】B 【解析】D 增长速度不变，A ，C 增长速度越来越快，只有B 符合题意．2.能使不等式log 2x <x 2<2x 一定成立的x 的取值区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(4，＋∞)【答案】D 【解析】作出三个函数的图象如下：由图象可知，当xx x x 2log 422<<>时，3.有一组实验数据如下表所示：下列所给的函数模型较合适的是（ ）A.)1(log >=a x y aB.)1(>+=a b ax yC.)0(2>+=a b ax yD.)1(log >+=a b x y a【答案】C 【解析】通过给出的数据可知y 随x 增大而增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C 。
专题38 高中数学不同函数增长的差异(解析版)
专题38 不同函数增长的差异1.三种函数模型的性质(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．(4)一般地，虽然指数函数y＝a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝a x(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，a x会小于kx，但由于指数函数y＝a x(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有a x>kx.(5)一般地，虽然对数函数y＝log a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有log a x<kx.3.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.题型一几类函数模型增长差异的比较1．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 019x B．y＝2019C．y＝log2 019x D．y＝2 019x[解析]指数函数y＝a x，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.2．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( )A ．y ＝1B ．y ＝xC ．y ＝3xD ．y ＝log 3x[解析]结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x 及y ＝l o g 3x 的图象可知(图略)，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x . 3．当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快． 其中正确的结论是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[解析]结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.4．下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( ) A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢 B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快 C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变 D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快[解析]观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变． 5．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . [解析]当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长的要快． 6．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y 1 2 26 101 226 401 626 901 y 2 2 32 1 024 37 768 1.05×1063.36×1071.07×109y 3 2 10 20 30 40 50 60 y 424.3225.3225.9076.3226.6446.907[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是()[解析]水面的高度增长得越来越快，图象应为B．8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()[解析]小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．[解析] A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．题型二指数函数、对数函数、幂函数、一次函数模型的比较1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1[解析]在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝l o g2x，故y2>y1>y3.2．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.[解析]结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x[解析]解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B. 4．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x[解析]用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．5．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是() A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x[解析]显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()A B C D[解析]设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝l o g 1.104x (x ≥1)，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.7．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x 年后绿地面积是今年的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )[解析]设今年绿地面积为m ，则有my ＝(1＋10%)x m ，∴y ＝1.1x ，故选D ． 8．某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________．[解析]由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1)．反映了总产量C 随时间t 的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．9．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．[解析]∵y ＝a ·0.5x ＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y ＝1.5，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．10．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．[解析]函数f (x )与g (x )的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x <4时，f (x )>g (x )；当x ＝4时，f (x )＝g (x )；当x >4时，f (x )<g (x )．11．函数f(x)＝2x 和g(x)＝x 3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数． (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．[解析] (1)C 1对应的函数为g(x)＝x 3，C 2对应的函数为f(x)＝2x .(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x 1<2,9<x 2<10，所以x 1<6<x 2. 由图可知g(6)>f(6)．12．函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝⎛⎭⎫32与g ⎝⎛⎭⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小． [解析] (1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x .(2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)，从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＜g ⎝⎛⎭⎫32；当x ＞2时，f (x )＞g (x )，∴f (2 019)＞g (2 019)． 13．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． [解析] (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．14．函数f (x )＝1.1x，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．[解析]由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1.由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )． 15．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份 2016 2017 2018 2019 x (年份代码) 0 1 2 3 生产总值y (万亿元)8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图象，猜想y 与x 之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值． [解析] (1)画出函数图象，如图所示．从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． 把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解得k ＝0.677 7，b ＝8.206 7. ∴函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)． 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2033年，即x ＝17时，由(1)得y ＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6， 即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．题型三函数模型的选择问题1．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．[解析][将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．答案乙、甲、丙2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．x 0.500.99 2.01 3.98y －1.010.010.98 2.00则x，y最合适的函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[解析]根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝l o g2x，可知满足题意．故选D.3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)12345 6h(米)0.61 1.3 1.5 1.6 1.7 [解析]据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解析]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y ＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．5．芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)的变化关系的函数式：①Q ＝at ＋b ，②Q ＝at 2＋bt ＋c ，③Q ＝a·b t ，④Q ＝alog b t ；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．[解析] (1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a·b t ，Q ＝alog b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧15.0＝2500a ＋50b ＋c ，10.8＝12100a ＋110b ＋c ，15.0＝62500a ＋250b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12000，b ＝－320，c ＝854.所以反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝12000t 2－320t ＋854.故选②.(2)当t ＝150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q ＝12000×1502－320×150＋854＝10(元/千克)．6．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？[解析]A 种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B 种债券的半年利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎪⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎪⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，购买B 种债券．7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问： (1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？[解析] 设工厂每月生产x 件产品时，选择方案一的利润为y 1，选择方案二的利润为y 2，由题意知y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30000＝24x －30000. y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x.(1)当x ＝3000时，y 1＝42000，y 2＝54000，∵y 1<y 2，∴应选择方案二处理污水． (2)当x ＝6000时，y 1＝114000, y 2＝108000，∵y 1>y 2，∴应选择方案一处理污水．8．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，②二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，③指数型函数m (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？[解析]将已知前四个月的月产量y 与月份x 的关系记为A (1，1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)． ①对于一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，将B ，C 两点的坐标代入，有f (2)＝2k ＋b ＝1.2，f (3)＝3k ＋b ＝1.3， 解得k ＝0.1，b ＝1，故f (x )＝0.1x ＋1.所以f (1)＝1.1，与实际误差为0.1，f (4)＝1.4，与实际误差为0.03.②对于二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7，故g (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.所以g (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，与实际误差为0.07.③对于指数型函数m (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.故m (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4.所以m (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x )最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．。
不同函数增长的差异-课件
例2．函数的图象如图所示．（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；（2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 的大小进行比较). 解：（1）C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.（2）当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
想象：随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.
总结一：函数 y=2x与 y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数 y=2x与 y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”.
30
y1
5
130
505
1130
2005
3130
4505
y2
5
90
1620
29160
524880
9447840
170061120
y3
5
30
55
80
105
130
155
其中关于x呈指数增长的变量是 .
y2
分析：(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数 y=lgx没意义，一次函数值恒小于0，所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2)概括一次函数 ，对数函数 和指数函数 的增长差异.
4.4 第3课时 不同函数增长的差异
x>4时,log2x<x2<2x,故选D.
答案:D
4.某化工厂开发研制了一种新产品,前三个月的月生产量依次
为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各月的生产量,需要以这三
个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(单位:t)与月
2
5.58
3
7.00
若 f(x)近似符合以下三种函数模型之一:
f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lo x+a.
4
8.44
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取表中
你认为最适合的数据并求出相应的解析式;
(2)因企业经营不善,2023年的实际年产量比预计减少了30%,
)
x
y
4
15
5
17
6
19
7
21
8
23
9
25
10
27
A.一次函数 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数
解析:自变量每增加1,函数值增加2,函数值的增量不变,故为
一次函数模型.
答案:A
3.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值范围是(
)
A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(4,+∞)
探究一 不同函数的增长特点及其应用
【例1】 下列函数中,增长速度最快的是(
)
A.y=1 021x
B.y=1 021x
C.y=log1 021x
D.y=1 020x
不同函数增长的差异
元；B种面值为50元，一年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价
为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，分析这三种债券的收益，从
小到大排列为( A )
A．B，A，C
B．A，C，B
C．A，B，C
D．C，A，B
解析：A 三者的增长率分别为 A：1031－00100＝1300；B：51.45－0 50＝120.80；
增长结果
存在一个x0，当x>x0时，有____□_6 _a_x_>_k_x_>_lo_g_a_x___
5
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
[微练1] 下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( A )
A．y＝ex
B．y＝ln x
C．y＝2x
D．y＝e－x
6
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
C：1009－7 97＝937.∴C>A>B．
解析：B 随着时间的推移，在相同的时间段内，Q的改变量越大，则运 输效率越高，从左向右看图象，变化逐步变“陡”的是B项．
2 1
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
29
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3．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103
则 f(x)＝x2＋7x，
故 f(4)＝44，与计划误差为 1 万辆．
20
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②构造指数型函数模型 g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)， 将点的坐标代入，可得 ab3＋b2＋＋c＝cc＝＝31088，，，解得a＝＝651，235，
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)
当堂达标
2.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A．一次函数
B．幂函数
C．对数函数
D．指数函数
C 解析：从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的 是对数函数的增长趋势．
当堂达标
3.下列函数中随 x 的增长而增长最快的是(
A.y＝ex
B.y＝ln x
C.y＝x10
) D.y＝2x
A 解析：指数函数增长最快。
当堂达标
1.（多选）已知函数 y1 x2, y2 2x , y3 x ，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ） A.随着 x 的逐渐增大， y1 增长速度越来越快于 y2 B.随着 x 的逐渐增大， y2 增长速度越来越快于 y1
C.当 x0, 时， y1 增长速度一直快于 y3 D.当 x0, 时， y2 增长速度有时快于 y1
例 2 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表：
x1 5
10
15
20
25
30
y1 2 26 101 226
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10
20
30
40
50
60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立 函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建 立数学模型.
自主学习
二. 三种常见函数模型的增长差异
函数类型
指数函数
对数函数
一元一次函数
解析式 单调性
不同函数增长的差异(高中数学)
(1)× (2)×
(2)当 a>1，n>0 时，在区间(0，＋∞)上，对任意的 x， (3)√ 总有 logax<kx<ax 成立．( )
(3)函数 y＝log12x 衰减的速度越来越慢．( )
24
2．下列函数中，随 x 的增大，
C [结合函数y＝1，y＝x，y＝
增长速度最快的是( ) A．y＝1
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越
快
12
(1)A (2)C [(1)指数函数 y＝ax，在 a>1 时呈爆炸式 增长，并且随 a 值的增大，增长速度越快，应选 A.
(2)观察函数 f(x)＝log12x，g(x)＝12x 与 h(x)＝－2x 在区 间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
20
2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所 示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大 小进行比较)． [解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时， g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
3
自主预习 探新知
4
三种函数模型的性质
在(0，＋∞)上的 增减性
y＝ax(a>1) __增__函__数___
y＝logax(a>1) __增__函__数____
y＝kx(k>0) ___增__函__数___
4不同函数增长的差异
速度不同.一次函数 = 增长速度保持不变，对数函数 =
log 增长速度越来越慢.在一定范围内，对数函数 = log 的
值可能会大于一次函数 = 的值，但对数函数的增长慢于一
次函数的增长，随着的增大，一次函数的值总会大于对数函
根据图象，你发现各自有什么规律？
通过观察图象，发现A景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年
增加量大致相等（约为10万次）；B景区的游客人次则是非线性增长，年
增加量越来越大.
这两种不同的增长方式有什么特征呢？
该用怎样的函数去刻画其变化规律？
这就需要我们研究和掌握不同函数增长的差异.
问题2：一次函数与指数函数在区间 [0, +∞) 的增长有什么差异？
增长速度保持不变, = 增长速度越来越快，使的值远
大于的值， = 的增长速度最终都会大大超过 = 的
增长速度.
指数增长也称为指数爆炸.
问题3：一次函数与对数函数在区间[0, +∞) 的增长有什么差异？
以函数 =
1
和
10
= lg为例进行探索研究.
列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在
)
【解析】这几个函数中，A、C选项的函数
都是增长速度越来越快，D选项的函数是线
性增长，增长速度保持不变，只有B选项中
的对数函数增长越来越慢，所以选B
2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 fi(x)(i＝1，2，3，4)关于
时间 x(x>1)的函数关系分别是 f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，
如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )
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解析：A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的 高度与时间的关系是二次函数关系；B.我国人口年自然增长率为 1%， 这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系；C.如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数 关系是反比例函数关系；D.信件的邮资与其重量间的函数关系是一次 函数关系．故选 B.
2020-2021学年高一上数学必修一
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数 第40课时 不同函数增长的差异
——来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( D ) A．y＝100x B．y＝log100x C．y＝x100 D．y＝100x
13．(10 分)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度
h(米)与生长时间 t(年)的相关数据，选择 h＝mt＋b 与 h＝loga(t＋1)来刻 画 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第 8 年的松树高度.
t(年)
12 3
4
5
6
h(米) 0.6 1 1.26 1.46 1.63 1.77
解：作出函数 y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x 的图象(如图所 示)．
观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x 的图象都有一 部分在直线 y＝3 的上方，只有 y＝log5x 的图象始终在 y＝3 和 y＝0.2x 的下方，这说明只有按模型 y＝log5x 进行奖励才符合学校的要求．
对数函数单调性应用的求解策略 利用对数函数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的 关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一 定要注意真数大于零这一隐含条件．
谢谢！
6．如图所示，能使不等式 log2x<x2<2x 成立的自变量 x 的取值范围 是( D )
A．x>0 C．x<2
B．x>2 D．0<x<2
解析：由函数图象可知，当 0<x<2 时图象由上到下依次为指数函 数、幂函数、对数函数的图象．
7．已知函数 f(x)＝3x，g(x)＝2x，当 x∈R 时，有( A ) A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x) C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)
解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时， 函数 y＝100x 的增长速度最快．
2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 fi(x)(i＝1,2,3,4) 关于时间 x(x>1)的函数关系是 f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝ 2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是 ( D)
5．以下四种说法中，正确的是( D ) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的 x>0，xn>logax C．对任意的 x>0，ax>logax D．不一定存在 x0，当 x>x0 时，总有 ax>xn>logax
解析：对于 A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项 系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于 B，C，当 0<a<1 时，显然不成立．当 a>1，n>0 时，一定存在 x0，使 得当 x>x0 时，总有 ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”， 则结论不成立．
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
解析：结合指数函数
y＝12x
和对数函数
y＝log1
2
x
的图象易得
C
正确，A，B，D 错误．
2．下列函数中，随 x(x>0)的增大，增长速度越来越快的是( CD )
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝2x
D．y＝ex
E．y＝log2x
解析：因为 y＝2x，y＝ex 是指数函数，且当底数大于 1 时，随 x(x>0) 的增大，增长速度越来越快，故选 CD.
4．下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型 y＝kax(k∈R，a>0 且 a≠1)的是( B )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与 时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变 化关系
C．如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系
一、多项选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1．下面对函数
f(x)＝log1
2
x
与
g(x)＝12x
在区间(0，＋∞)上的衰减
情况的说法中错误的有( ABD )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故 选 D.
3.今有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中
最接近的一个是( C )
A．v＝log2t
B．v＝log1 t 2
C．v＝t2－2 1
D．v＝2t－2
解析：从表格中看到此函数在(1.99,6.12)上为单调递增函数，排 除 B，增长速度越来越快，排除 A 和 D，故选 C.
解析：从表格中看到此函数在(1.99,6.12)上为单调递增函数，排 除 B，增长速度越来越快，排除 A 和 D，故选 C.
解：据表中数据作出如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理． 将(2,1)代入到 h＝loga(t＋1)中，得 1＝loga3，解得 a＝3，即 h＝log3(t ＋1)． 当 t＝8 时，h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第 8 年松树的高度为 2 米．
——能力提升——
解析：设病菌原来有 1 个，则 30 分钟后为 2 个，则 2＝e2k， 解 k＝2ln 2，∴y＝et·2ln2 则当 t＝2 时，y＝e4ln2＝(eln2)4＝24＝16.
三、解答题(共 20 分) 12．(10 分)函数 f(x)＝2x 和 g(x)＝x3 的图象如图所示．设两函数 的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断 f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大 小．
2
解析：∵y＝x5
在(0，＋∞)上是增函数，∴a>c.∵y＝25x(x∈R)为减
函数，∴c>b.∴a>c>b.
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 9．四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表所示.
关于 x 呈指数型函数变化的变量是 y2 .
解析：指数函数的增长呈“爆炸式”增长，由表中数据可知呈指 数型变化的变量为 y2.
对数函数的性质及其应用问题的常见类型与解题策略 (1)比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的 单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论； ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行 比较；③若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较． (2)解对数不等式．形如 logax>logab 的不等式，借助 y＝logax 的 单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论； 形如 logax>b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数．
解：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝x3，C2 对应的函数为 f(x)＝2x.
(2)因为 f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以 1<x1<2,9<x2<10，所以 x1<6<x2,2 019>x2， 从题中图象上可以看出，当 x1<x<x2 时，f(x)<g(x)， 所以 f(6)<g(6)； 当 x>x2 时，f(x)>g(x)，所以 f(2 019)>g(2 019)； 又因为 g(2 019)>g(6)， 所以 f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6)．
10．函数 y＝x2 与函数 y＝xlnx 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个
是 y＝x2
.
解析：当 x 变大时，x 比 ln x 增长要快，∴x2 要比 xlnx 增长得要快．
11．某种病菌经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且已知这种病菌的繁 殖规律为 y＝ekt(k 为常数，t 为时间，单位：小时)，y 表示病菌个数， 则 k＝ 2l2 ；经过 2 小时，1 个病菌能繁殖为 16 个．
解析：在同一直角坐标系中画出函数 f(x)＝3x，g(x)＝2x 的图象， 如图所示．因为函数 f(x)＝3x 的图象在函数 g(x)＝2x 的图象的上方， 所以 f(x)>g(x)．
8．设 a＝3552 ，b＝2535 ，c＝2525 ，则 a，b，c 的大小关系是( A ) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
二、解答题 3．(15 分)某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一 个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元时，按生源利润 进行奖励，且资金 y(单位：万元)随生源利润 x(单位：万元)的增加而 增加，但资金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有 三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校 的要求？