第二章重心及截面的几何性质

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材料力学 截面的几何性质

材料力学 截面的几何性质


附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)(也称面积矩或一次矩) 截面对z轴的静矩: y 截面对y轴的静矩:
Sz Sy
dS
A A
z

ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ,故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3


组合截面形心
组合截面:如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等)组成的,这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算:
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积; xci,yci——任一简单图形的形心坐标; n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式:
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为

专题:简单截面的几何性质【工程力学西南交大4学分】

专题:简单截面的几何性质【工程力学西南交大4学分】

x
60 96 65 (77) 39.7(mm) 96 77
§ I-2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积
设任意形状截面如图所示。 1.极惯性矩(或截面二次极矩)
2 Ip d A A
d A 2 π d

d O
d
I p d A 2 (2 π d )
a
x xC b
y yC a
I x A y d A A y c a d A
2 2
y c d A 2a y c d A a
2 A
2
I xc 2 a A y c a 2 A I xc a 2 A
同理,有:

A


A
dA
O y dA
C
3. 静矩与形心坐标的关系
Sy x A
Sy A x
Sx y A
Sx A y
x
x
即:轴过形心
<==> xS该轴=0
结论(1)截面对某一轴的静面矩等于0,则该轴必须通过截面的形心。 (2)截面对过形心的坐标轴的静面矩等于0。 (3)对于具有对称轴的截面,截面对其对称轴的 静面矩必为零。
O
S d A
x
x
1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关,还与 所选坐标的位置有关。 2、静矩的数值可正可负,也可以为零。 3、静矩的单位:mm3 或 m3
2.形心坐标公式(可由均质等厚薄板的重心坐标而得)
x

A
xd A A
y

A
y d A A
y
y
I x I xc a 2 A
I y I yc b 2 A

截面几何性质(材料力学)

截面几何性质(材料力学)

§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
bh3 Iz 12
C z
bh3 Iz' 12
h
b
y
注意: 1. 两个座标系的原点 必须重合; 2. 两轴惯性矩之和为常量
z
O
I y1 I
z1
I y I I p z
I z1 I y1
4)解法四 y1 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3 I z0 4
A3 y
d 4
64
2 I y 2 I z0 3 I z0 3
d4
64 Iy
2
A2 z0
d
4
128
I z I z1 I z0 3 OC
d
2
d4 Iy 128 18
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关, 2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm4
y dA
4. 惯性半径
Iy iy A
Iz iz A
y
(单位m 或 mm)
O
z z

试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y dy
解: 取平行于x轴的狭长条, 则 dA=b dy
h
1 2

I zc I yc

2
4 I 2c zc 321104 mm4 y
I yc 0 I min
I zc I yc 2
1 2

I zc I yc

2
4 I 2c zc 57.4 104 mm 4 y

材料力学截面的几何性质课件

材料力学截面的几何性质课件
材料力学截面的几何 性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后,与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状,截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标,对于承受弯矩的构件, 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标,对于承受剪力的构件 ,选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中,需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素,以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素,以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦,计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩,找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数, 且各主轴与截面垂直,说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比,说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小,但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值,用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数,如圆截面为1 ,矩形截面为1.13,工字形截面为1.44等。

截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴

截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴

2
对于复杂形状,可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中,常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算,以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性,用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量,表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量,通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量,进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法,通过计算截面的顶点坐标 和法线向量,实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线,可以 是实线或虚线。
在三维空间中,与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关,形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性,与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状,其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状,如矩形、圆形、椭圆形等,可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交,所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状

第二章重心及截面的几何性质分解

第二章重心及截面的几何性质分解


小结
2. 均质物体
xC


V ixi V

yC


V V
i
y
i

zC


V izi V

3.均质平板
xC


Ai xi A

yC


Ai
y
i

A
二、确定重心的常用方法 1.观察法; 2.组合法;3.负面积法;4.积分法;5.实验法。 三、截面的几何性质
无限分割平面,平面图形的形心公式的积分形式为:
xd A
xC
V
A


yd A
yC
V
A

四、确定重心的常用方法
1.观察法 对于均质物体,如其几何形体上具有对称面、对称轴或对 称中心,则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称 中心上。
2.组合法
将复杂形体视为简单形体组合,这些简单形体的重心已 知的或易求,这样整个形体的重心就可用坐标公式直接求得。
第二章
重心及平面图形的几何性质
第一节 第二节
物体重心坐标公式 平面图形的几何性质
本章重点:
计算均质物体的重心坐标 。
第一节 重心
重心:物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。
一、重心坐标公式
将物体分割成许多微小部分,其中某
一微小部分Mi的重力为Wi,其作用点的
坐标为xi、yi、zi,重心C的坐标为xC、yC、
4.实验法 (1)悬挂法 过点A将板悬挂,作悬挂绳延长线AB , 过D点将板悬挂, 得DE线,两线的交点为板的重心。
问:悬挂法的依据是什么? 二力平衡公理

截面的几何性质截面的几何性质

截面的几何性质截面的几何性质

分别为图形对于z 轴和y 轴的静矩。
3
平面图形的静矩
S z = ∫A ydA
S y = ∫ A zd A
• 静矩与截面面积大小及坐标设置有关; • 静矩可正、可负、可为零; • 静矩的单位为m3或 mm3。
4
平面图形的形心Leabharlann • 平面图形的形心 — 平面图形几何形状的中心。 • 通过截面形心的坐标轴称为形心轴 。
设图形的形心C坐标为(zC , yC), 由均质等厚薄片重心坐标公式: A yC = ∫A ydA = S z
A z C = ∫ A zd A = S y Sy S yC = z , z C = A A
• 截面对形心轴的静矩必为零;反之,若截面对
某轴的静矩等于零,则该轴必为形心轴。
5
平面图形的静矩和形心
h 1 h * = b − y1 + y1 S z = A* yC 2 2 2 b 2 = ( h2 − 4 y1 ) 8
7
h 2

组合图形的静矩和形心位置 • 组合图形 — 由几个简单图形(如矩形、圆形
或三角形等规则图形)组成的图形。
zC =
8
∑ Ai zC i ∑ Ai
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
9
平面图形的极惯性矩和惯性矩 • 定义
I z = ∫A y 2dA
I y = ∫ A z 2 dA
• 组合图形对某一对正交轴的惯性积等于各组成
部分对同一对正交轴的惯性积之和。
I yz = ∑ ( I yz ) i

截面的几何性质

截面的几何性质
I x = I xc + a A
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38

A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一,定义 1,截面对 o 点的极惯性矩为 ,
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2,截面对 x , y 轴的惯性矩 ,
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二,组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩, 组合截面的惯性矩,惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。

材料力学截面的几何性质课件

材料力学截面的几何性质课件

截面的对称性
截面可以是对称的或非对称的。
对称截面是指沿中心线对称的截面,如圆形、正 方形等。
非对称截面是指不沿中心线对称的截面,如椭圆 形、三角形等。
截面的重心
重心是物体质量的集中点,对于规则形状的物体,重心位置可以通过几何计算得 到。
对于截面,重心是截面质量的集中点,其位置可以通过计算截面的面积和质量得 到。
材料力学的发展历程
总结词
材料力学的发展经历了多个阶段,从最早的实验观察到现代的理论建模和计算机模拟。
详细描述
最初的材料力学研究主要基于实验观察和经验总结,随着数学和物理学的发展,人们开始建立更精确 的理论模型,并使用计算机进行模拟和分析。这些理论模型和方法在解决复杂工程问题方面发挥了重 要作用。
02
意义
主惯性矩是衡量截面抗弯和抗扭能力的一个重要参数,其 值越大,抗弯和抗扭能力越强。
04
材料力学截面的弯曲性质
弯曲的定义
弯曲是指物体在力的作用下发 生形变,其中物体的一部分相 对于另一部分发生转动。
弯曲变形通常发生在梁、柱等 细长结构中,其中截面上的应 力分布不均匀。
弯曲变形可以通过施加外力或 重力等作用力引起,也可以由 热膨胀、收缩等因素引起。
扭转的变形能
1 2
变形能
物体在受到外力作用时,由于发生变形而储存的 能量称为变形能。
扭转变形能
物体在扭转变形时,由于变形而储存的能量称为 扭转变形能。
3
扭转变形能的计算
扭转变形能可以通过计算截面上的剪切应变和剪 切胡克常数来计算。
扭转的稳定性
01
稳定性
在材料力学中,稳定性是指物体在外力作用下保持其平衡状态的能力。
剪切变形能

截面的几何性质

截面的几何性质

附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d (I −1) 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。

静矩可用来确定截面的形心位置。

由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式(I −1),上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d (I −2) 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S (I −3)⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C (I −4)如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。

即:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11(I −5)式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标,n 为简单图形的个数。

将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111(I −6) 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面的形心位置。

解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面的对称轴。

因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。

将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ,y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。

重心及截面的几何性质-工程力学-课件-附录

重心及截面的几何性质-工程力学-课件-附录
Sy 0
C
形心 x
反之,若图形对某轴静矩为零,该轴一定过形心。 2、平面图形若有对称轴,则形心在对称轴上。 (因为图形关于对称轴的静矩为 0。)
O
5
三、组合图形(组合截面)的静矩与形心
1.组合图形: 由简单图形(矩形、圆形等)组合而成的图形。
2.组合图形的静矩: 组合图形由A1、A2、An组成,其形心分别为(xC1,yC1) (xC2,yC2) (xCn,yCn)。
A A1 A2 An
i 1
n
组合截面的惯性矩等于各个组成部分(简单图形)对同一轴的 惯性矩之和。 对于任意截面,都可以利用积分求惯性矩。但计算繁琐。 由于组合截面由几个简单图形组成,如矩形,圆形。而矩形、 圆形关于自身对称轴的惯性矩已有现成公式,可以在此基础上用平 行移轴定理很方便的求出组合截面的惯性矩。
1
附录:重心及截面的几何性质
z C
§1
C2 C1 ∆W2 Ci ∆Wi W zC yC xC zi xi
重心•形心•静矩
利用合力矩定理: M y (W ) M y ( Wi ) W xC W i x i
∆W1
y
W 若物体在xi、yi、zi处单位体积的重
量为 ,称为重度。 ∆Wi=dVi
xc
x W
i
i
x
yi
xc
对于均质物体 为常量:

V
x dV
V

dV
yc

V
y dV
V

dV
y dV V
zc

V
z dV
V

dV
xc
x dV

截面的几何性质

截面的几何性质

b2
A
上式称为计算惯性矩的平行移轴公式。这个公式表明 :截面对任意一个轴的惯性矩,等于截面对与该轴平行的 形心轴的惯性矩加上截面的面积与两轴距离的乘积。
工程力学与建筑结构
1.4 组合截面的惯性矩
在计算组合截面对某座标轴的惯性矩时,根据定义, 可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩,然后再相加,即 :
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
截面的几何性质
在工程中研究构件的受力和变形时,经常会遇到一些 和构件的横截面形状、尺寸有关的几何量,这些几何量通 称为截面的几何性质。 1.1 截面的静矩和形心 1. 截面的静矩
如图所示的平面图形代表一个任意截面,其面积为A 。在图形平面内选坐标系Oyz,在坐标为(y, z)处取微面积 dA ,则以下两个积分分别被定义为平面图形A 对于z轴和y 轴的静矩。
I z iz2 A
Iy
i
2 y
A
于是得到:
iz
Iz A
iy
IyБайду номын сангаасA
通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径 (或回转半径)。
工程力学与建筑结构
1.3平称移轴公式 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩不相同, 但它们
之间都存在着一定的关系。
I z I zc a 2 A
Iy
I yc
Ai
i 1
工程力学与建筑结构
1.2 截面的惯性矩 1. 惯性矩的计算公式
任意一个构件的横截面如图所示,其面积A 对于z轴和 y轴的惯性矩定义为 :
I z
A
y 2dA
I y
z 2dA
A
常用截面的惯性矩可查阅工程设计手册。
工程力学与建筑结构

第二章重心和截面的几何性质

第二章重心和截面的几何性质

钢结构中钢构件的常见截面形式
工字钢梁
钢结构中钢构件的常见截面形式
槽钢
钢结构中钢构件的常见截面形式
角钢
常见截面形式
T形吊车梁
钢结构中钢构件的常见截面形式
箱形吊车梁
i i
yc
Gy
i
i
G
zc
Gz G
i i
第二节 截面的几何性质
在建筑力学以及建筑结构的计算中,经常 要用到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉 压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数 WP和极惯性矩 IP 等都与构件的强度和刚度有关。 以后在弯曲等其他问题的计算中,还将遇到平 面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗 弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及 尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。
1、求静矩
S z y dA
A
h 0
y y bdy b 2
2 h
S y z dA
A
b
0
z x hdz h 2
0 2 b
bh2 2
0
hb 2
2
b/2,h/2
2、求形心
A bh
形心:
h 2b S h yc z 2 A bh 2
钢管
也可视为简单图形
上述截面形式常见于钢结构、混凝土结构等
第二节 截面的几何性质
组合截面的静矩:总静矩为各简单截面的静矩代数和。
S z ydA
A
A1 A2
ydA ydA ydA
A1 A2
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
n n
S z1 S z 2
z
S z S zi Ai yci yc Ai

截面的几何性质课件

截面的几何性质课件
截面的几何性质课件
目录
• 截面的基本概念 • 截面的形状分类 • 截面的力学性质 • 截面的设计原则 • 截面的优化设计 • 截面的实验研究 • 截面的工程实例
01
截面的基本概念
截面的定义
二维图形
截面是指用一个平面去截一个三 维图形(如长方体、正方体、球 体等),得到的二维图形。
几何形状
根据所用的平面和三维图形的相 对位置不同,截面可以是圆、椭 圆、矩形、三角形等不同的几何 形状。
01
进行实验
按照实验方案进行实验操作,并详细记录实验数据。
02
数据清洗与预处理
对采集到的实验数据进行清洗和预处理,以消除异常值和缺失值,确保
数据质量。
03
数据转换与统计分析
对预处理后的数据进行转换和统计分析,以挖掘截面几何性质的特征和
规律。
结果评估与应用
结果评估
根据统计分析结果,对截面几何性质的特征和规律进行评估 ,验证实验设计的合理性和结果的可靠性。
截面的形状、尺寸、材料、截面系数等。
计算公式
最大剪力 = 截面系数 x 剪力系数 x 跨度 x 集中荷载。
截面的抗扭强度
定义
截面的抗扭强度是指截面在承受扭矩作用下的最大抗扭能力。
影响因素
截面的形状、尺寸、材料、截面系数等。
计算公式
最大扭矩 = 截面系数 x 扭矩系数 x 跨度 x 集中荷载。
04
截面的设计原则
安全性原则
确保截面结构强度
在设计截面时,需要考虑结构强度和 稳定性,以避免在承载重量或受到外 力作用时发生变形或损坏。
保障截面安全使用
设计时应考虑到使用者的安全,避免 出现尖锐边角或易滑倒的表面,确保 使用过程中不会发生意外伤害。

工程力学截面的几何性质

工程力学截面的几何性质

应等于它旳各构成部分对同一轴旳静矩旳代数和,
即:
n
S z Ai y ci i 1
n
S y Ai zci i 1
式中: yci , zci和 Ai 分别为第i个简单图形的形心坐标和面积。
2024/10/10
4
2.组合截面旳形心坐标公式
组合截面静矩 n S z Ai y ci i 1
n
S y Ai zci i 1
组合截面面积
n
A Ai i 1
组合截面旳形心坐标公式为:
n
yc
Sz A
i 1
Ai
yc i

n
Ai
i 1
n
zc
Sy A
Ai zci
i 1
n
Ai
i 1
2024/10/10
5
y
dy
例A-1 试计算图示三角形截面 对于与其底边重叠旳x轴旳静矩。
h
b (z )
解: 取平行于x轴旳狭长条,
y
易求 b( y) b (h y)
(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴旳惯性矩。
2024/10/10
22
(5)拟定主惯性轴旳位置
设0是旧轴x 逆时针转向主惯性轴x0旳角度,则 由惯性积旳转轴公式及主惯性轴旳定义,得
Iz
2
I
y
sin
2 0
I
yz
cos
2 0
0
可改写为
tan 20
2I yz Iz Iy
(注:将负号置于分子上有利于拟定2 0角旳象限)
I yc
2
4
I2 zc yc
321104 mm4
I yc0

截面图形的几何性质-材料力学

截面图形的几何性质-材料力学

yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形,其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况, 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm,h=140mm,b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解: 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩:
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩:
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩:
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
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例4-3
试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。 解:取与x轴平行的狭长条为微面积,则dA = bdy。
3 bh Ix y2 d A y 2b d y A h / 2 12


h/2
再取与y轴平行的狭长条为微面积
Iy

A
3 hb x2 d A x2h d x b / 2 12

b/2
根据平行轴公式
h 2 hb3 I x1 I x A( ) 2 3
例4-4 试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形 心轴x、y的惯性矩Ix、Iy。 解:(一)圆形 在圆形上距圆心为ρ处取宽度为dρ的细 圆环为微面积
Ip

A
2 d A
d /2 0
2 3 d
均质物体的重心又称为形心。
如果将物体分割的份数为无限多,式子可改写成积分形式:
V xC V y dV V yC V z dV zC V V x dV
三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式
厚度为δ均质平板,其重心在其对称面内。
d 4
32
圆形是中心对称的图形,对x轴和y轴的惯性矩相等,即Ix = Iy 。
I p I x I y 2I x 2I y
Ix Iy
d 4
32
d 4
64
(二)圆环形 将计算Ip的积分式的积分上、下限
对应改为 d 、D
2 2
Ip

32
(D d )
4 4
Ix Iy
取坐标面xy和对称面重合,平板重心的zC为零。 设对称面图形的面积为A,分割平面,某一微 小部分的面积为ΔAi,重力为Wi,
Wi Vi Ai ,平板的重力 W= V A
代入重心公式,得均质平板的重心公式:
Ai x i xC 该式亦为平面图形形心公式。 A Ai y i yC A
Ip

A
2 d A A (x 2 y 2 )dA I y I x
4.惯性积
I xy

A
xy d A
惯性积和惯性矩的量纲相同,但可正、可负,可为零。
5.惯性主轴
若图形对一对正交坐标轴x、y的惯性积Ixy为零。该对坐标轴 称为惯性主轴,对应的惯性矩Ix、Iy称为主惯性矩。若惯性主轴 通过形心,则称为形心惯性主轴,图形对这对轴的惯性矩称为 形心主惯性矩。 如果图形有一根(或一根以上)对称轴,则此对称轴为惯 性主轴。
20
(二)负面积法
20
A1 120 100 12000 mm2 x1 50 mm
x2 60 mm
1
y1 60 mm
y 2 70 mm
120
单位:mm
A2 100 80 8000mm2
100
2
Ai xi A1 x1 A2 x 2 24000 50 8000 60 xC 30 mm A A1 A2 24000 8000 Ai xi A1 y1 A2 y 2 24000 60 8000 70 yC 40 mm A A1 A2 16000
20 , S2 , S3 - r 2 2 8 400 20
y1 3 , y2
x

,
y3 0
例4-3 用积分法求扇形重心公式。 解:
dθ θ
R dA= R d 2
xi 2 R cos 3

2 1 2 R cos R d 3 2R sin 2 xC 2 3 R
4.实验法
(1)悬挂法
过点A将板悬挂,作悬挂绳延长线AB , 过D点将板悬挂,
得DE线,两线的交点为板的重心。
问:悬挂法的依据是什么? 二力平衡公理
a) a)
b) b)
(2)称重法
先称出物体的重量,然后将其一端支于固定支点A,另一端
放在磅秤上再称得一数值,由平衡方程确定重心的位置。 图示连杆,秤得其重量为W,第二
i:惯性半径
惯性矩恒为正值,具有长度的四次方的量纲。 组合图形对某轴的惯性矩
n n
Ix
I
i 1
xi
,
Iy
I
i 1
yi
2.计算惯性矩的平行移轴公式
I x I xC a 2 A I y I yC b 2 A
3.极惯性矩
Ip

A
2 d A
极惯性矩Ip恒为正值,具有长度的四次方的量纲。

64
(D 4 d 4 )

一、重心公式 1. 一般物体

2. 均质物体
3.均质平板
Wi x i xC W Wi y i yC W Wi z i zC W
V i x i xC V V i y i yC V Vi z i zC V
无限分割平面,平面图形的形心公式的积分形式为:
xd A xC V A y d A yC V A


四、确定重心的常用方法 1.观察法
对于均质物体,如其几何形体上具有对称面、对称轴或对
称中心,则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称 中心上。 2.组合法 将复杂形体视为简单形体组合,这些简单形体的重心已 知的或易求,这样整个形体的重心就可用坐标公式直接求得。
次秤的读数等于秤对连杆的约束反力。
由平衡方程
FNB
FNA
MA 0
FN B l Wx C 0
FN B l xC W
第二节 截面的几何性质
一、静矩
S x ydA , S y xdA
A A
静矩可正,可负,可为零,具有长度的三次方量纲。 设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ,
二、均质物体的重心公式 若单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积, 以V=∑ΔVi表示整个物体的体积,则有 Wi Vi 和 W V , 代入重心公式得:
Vi xi xC V Vi y i yC V Vi z i zC V
xc
xdA S
A
y
A
A
,
yc

A
ydA A
Sx A
S x yC A , S y xC A
若xC = 0、yC= 0,则Sy = 0、Sx = 0。可见,若某轴通过 图形的形心,则图形对该轴的静矩必等于零。
二、惯性矩和惯性积
2 2 2 2 I y d A i A , I x d A i 1.惯性矩 x A x y y A A
组合图形对某轴的惯性矩
Ix
I
i 1
n
xi
,
Iy
I
i 1
n
yi
I x I xC a 2 A 计算惯性矩的平行移轴公式 2 I y I yC b A
3.极惯性矩
Ip

A
2 d A
第二章
重心及平面图形的几何性质
第一节
物体重心坐标公式
第二节
平面图形的几何性质
本章重点:
计算均质物体的重心坐标 。
第一节
重心
重心:物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。 一、重心坐标公式
将物体分割成许多微小部分,其中某
一微小部分Mi的重力为Wi,其作用点的 坐标为xi、yi、zi,重心C的坐标为xC、yC、 zC。将各Wi向重心C简化: 物体的重力为: W Wi
应用合力矩定理,分别求物体的重力对x、y轴的矩,有
Wy C Wi y i Wx C Wi xi
将物体随坐标系一起旋转90°,使y轴铅垂向下。
对x轴应用合力矩定理,有: Wz W z C i i
Wi xi xC W Wi y i 物体重心C的坐标公式为: y C W Wi z i zC W
3、负面积法 形体上若有挖去的部分,把挖去的部分视为负值(负 体积或负面积),利用坐标公式来求形体的重心。 4、积分法 对规则形体,适当的选取微元,可用定积分求重心。
例4-1 角钢截面的尺寸如图所示。试求其形心的位置。
20
解:(一)组合法
取Oxy坐标系如图所示。
A1 (120 20) 20 2000mm2
Ai x i xC A Ai y i yC A
二、确定重心的常用方法 1.观察法; 2.组合法;3.负面积法; 4.积分法;5.实验法。 三、截面的几何性质 1.静矩
S x ydA , S y xdA
A A
2 2 2 2 2.惯性矩 I x A y dA ix A , I y A x dA iy A
1
单位:mm
2
120 20 x1 10 mm y1 20 70 mm 2 A2 100 20 2000mm2
x2 50 mm y 2 10 mm
120
100
Ai xi A1 x1 A2 x 2 2000 10 2000 50 xC 30 mm A A1 A2 2000 2000 Ai xi A1 y1 A2 y 2 2000 70 2000 10 yC 40 mm A A1 A2 A
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