第二章重心及截面的几何性质

例4-3
试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。 解：取与x轴平行的狭长条为微面积，则dA = bdy。
3 bh Ix y2 d A y 2b d y A h / 2 12


h/2
再取与y轴平行的狭长条为微面积
Iy

A
3 hb x2 d A x2h d x b / 2 12

b/2
根据平行轴公式
h 2 hb3 I x1 I x A( ) 2 3
例4-4 试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形 心轴x、y的惯性矩Ix、Iy。 解：（一）圆形 在圆形上距圆心为ρ处取宽度为dρ的细 圆环为微面积
Ip

A
2 d A
d /2 0
2 3 d
均质物体的重心又称为形心。
如果将物体分割的份数为无限多，式子可改写成积分形式：
V xC V y dV V yC V z dV zC V V x dV
三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式
厚度为δ均质平板，其重心在其对称面内。
d 4
32
圆形是中心对称的图形，对x轴和y轴的惯性矩相等，即Ix = Iy 。
I p I x I y 2I x 2I y
Ix Iy
d 4
32
d 4
64
（二）圆环形 将计算Ip的积分式的积分上、下限
对应改为 d 、D
2 2
Ip

32
(D d )
4 4
Ix Iy
取坐标面xy和对称面重合，平板重心的zC为零。 设对称面图形的面积为A，分割平面，某一微 小部分的面积为ΔAi，重力为Wi，
Wi Vi Ai ，平板的重力 W= V A
代入重心公式，得均质平板的重心公式：
Ai x i xC 该式亦为平面图形形心公式。 A Ai y i yC A
Ip

A
2 d A A （x 2 y 2 )dA I y I x
4.惯性积
I xy

A
xy d A
惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零。
5.惯性主轴
若图形对一对正交坐标轴x、y的惯性积Ixy为零。该对坐标轴 称为惯性主轴，对应的惯性矩Ix、Iy称为主惯性矩。若惯性主轴 通过形心，则称为形心惯性主轴，图形对这对轴的惯性矩称为 形心主惯性矩。 如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则此对称轴为惯 性主轴。
20
（二）负面积法
20
A1 120 100 12000 mm2 x1 50 mm
x2 60 mm
1
y1 60 mm
y 2 70 mm
120
单位:mm
A2 100 80 8000mm2
100
2
Ai xi A1 x1 A2 x 2 24000 50 8000 60 xC 30 mm A A1 A2 24000 8000 Ai xi A1 y1 A2 y 2 24000 60 8000 70 yC 40 mm A A1 A2 16000
20 , S2 , S3 - r 2 2 8 400 20
y1 3 , y2
x

,
y3 0
例4-3 用积分法求扇形重心公式。 解：
dθ θ
R dA= R d 2
xi 2 R cos 3

2 1 2 R cos R d 3 2R sin 2 xC 2 3 R
4.实验法
(1)悬挂法
过点A将板悬挂，作悬挂绳延长线AB ， 过D点将板悬挂，
得DE线，两线的交点为板的重心。
问：悬挂法的依据是什么？ 二力平衡公理
a) a)
b) b)
(2)称重法
先称出物体的重量，然后将其一端支于固定支点A，另一端
放在磅秤上再称得一数值，由平衡方程确定重心的位置。 图示连杆，秤得其重量为W，第二
i：惯性半径
惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。 组合图形对某轴的惯性矩
n n
Ix
I
i 1
xi
,
Iy
I
i 1
yi
2．计算惯性矩的平行移轴公式
I x I xC a 2 A I y I yC b 2 A
3.极惯性矩
Ip

A
2 d A
极惯性矩Ip恒为正值，具有长度的四次方的量纲。

64
(D 4 d 4 )
小
一、重心公式 1. 一般物体
结
2. 均质物体
3.均质平板
Wi x i xC W Wi y i yC W Wi z i zC W
V i x i xC V V i y i yC V Vi z i zC V
无限分割平面，平面图形的形心公式的积分形式为：
xd A xC V A y d A yC V A


四、确定重心的常用方法 1.观察法
对于均质物体，如其几何形体上具有对称面、对称轴或对
称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称 中心上。 2.组合法 将复杂形体视为简单形体组合，这些简单形体的重心已 知的或易求，这样整个形体的重心就可用坐标公式直接求得。
次秤的读数等于秤对连杆的约束反力。
由平衡方程
FNB
FNA
MA 0
FN B l Wx C 0
FN B l xC W
第二节 截面的几何性质
一、静矩
S x ydA , S y xdA
A A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。 设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
二、均质物体的重心公式 若单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积， 以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有 Wi Vi 和 W V ， 代入重心公式得：
Vi xi xC V Vi y i yC V Vi z i zC V
xc
xdA S
A
y
A
A
,
yc

A
ydA A
Sx A
S x yC A , S y xC A
若xC = 0、yC= 0，则Sy = 0、Sx = 0。可见，若某轴通过 图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。
二、惯性矩和惯性积
2 2 2 2 I y d A i A , I x d A i 1.惯性矩 x A x y y A A
组合图形对某轴的惯性矩
Ix
I
i 1
n
xi
,
Iy
I
i 1
n
yi
I x I xC a 2 A 计算惯性矩的平行移轴公式 2 I y I yC b A
3.极惯性矩
Ip

A
2 d A
第二章
重心及平面图形的几何性质
第一节
物体重心坐标公式
第二节
平面图形的几何性质
本章重点：
计算均质物体的重心坐标 。
第一节
重心
重心：物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。 一、重心坐标公式
将物体分割成许多微小部分，其中某
一微小部分Mi的重力为Wi，其作用点的 坐标为xi、yi、zi，重心C的坐标为xC、yC、 zC。将各Wi向重心C简化： 物体的重力为： W Wi
应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有
Wy C Wi y i Wx C Wi xi
将物体随坐标系一起旋转90°，使y轴铅垂向下。
对x轴应用合力矩定理，有： Wz W z C i i
Wi xi xC W Wi y i 物体重心C的坐标公式为： y C W Wi z i zC W
3、负面积法 形体上若有挖去的部分，把挖去的部分视为负值（负 体积或负面积），利用坐标公式来求形体的重心。 4、积分法 对规则形体，适当的选取微元，可用定积分求重心。
例4-1 角钢截面的尺寸如图所示。试求其形心的位置。
20
解：（一）组合法
取Oxy坐标系如图所示。
A1 (120 20) 20 2000mm2
Ai x i xC A Ai y i yC A
二、确定重心的常用方法 1.观察法； 2.组合法；3.负面积法； 4.积分法；5.实验法。 三、截面的几何性质 1.静矩
S x ydA , S y xdA
A A
2 2 2 2 2.惯性矩 I x A y dA ix A , I y A x dA iy A
1
单位:mm
2
120 20 x1 10 mm y1 20 70 mm 2 A2 100 20 2000mm2
x2 50 mm y 2 10 mm
120
100
Ai xi A1 x1 A2 x 2 2000 10 2000 50 xC 30 mm A A1 A2 2000 2000 Ai xi A1 y1 A2 y 2 2000 70 2000 10 yC 40 mm A A1 A2 A