二次型

定义 F上两个二次型叫做等价的，如果可以通过变量
研究性问题3：
二次型 对称矩阵 对角形矩阵有何关系？ 以平面上以圆点为中心的二次曲线的方程 2 2 ax 2bxy cy d 为例并由以下定理给出这个问 题完满的回答。
定理8.1.4 设 A (aij ) 是数域F上一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
2 2 （x1，x2， ，xn） a11 x12 a22 x2 ann xn 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1n xn 1 xn q
叫做F上一个n元二次型。 F上n元多项式总可以看成F上n个变量的函数。 二次型（1）定义了一个函数:
(演算过程省略)
定理8.1.5 数域F上每一个n元二次型
a
i 1 i 1
n
n
ij
xi x j 可以通过变量的非奇线性变换化为
2 2 c1 y12 c 2 y 2 c n y n
c1 , c2 ,, cn F
例如，以例1中对称矩阵A为矩阵的二次型是
2 2 qx1 , x2 , x3 , x4 3x2 12 x3 6 x1 x4 12 x2 x3 8 x3 x4
'
AP.
推论8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之
下保持不变。
研究性问题1： 为什么要取二次型的矩阵是对称矩 阵（否则导致推论9.1.2不成立）
例： 二次型
q( x1 , x2 ) 2 x1 x2 的矩阵是:
0 2 若取 A2 0 0
0 1 A1 1 0
作为该二次型的矩阵，那么经过变量的非奇异线性变换
x1 y1 y 2 , x2 y1 y 2
2 0 就得到二次型 2 y 2 y . 它的矩阵是 0 2
2 1 2 2
秩为2，而 A2 的秩为1。
定义2 设 A, B 是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个 非奇异矩阵p，使得 P ' AP BA与B合同。 矩阵的合同关系具有以下性质：（等价关系）:
P E1 E 2 E s Q
那么
a11 0 Q' 0
P AP Q E E E AE1 E 2 E s Q
' ' ' s ' 2 ' 1
0 0 a11 0 Q A1 0
0
Q1' A1Q1
0 c1 0
0 0 A1
(2)这里 A1 是一个n阶对称矩阵，由归纳法假设，
存在n-1阶可逆矩阵
Q1 使得
c 2 Q1' A1Q1 0
c3
0 cn
取
1 0 0 0 Q （请学生注意Q的取法） Q1 0
通过变量的非奇线性变换
0 x1 1 x2 x 3 0 x 4 0 1 0 0 2 3 2 1 1 y1 3 2 y 2 3 y 3 4 y 4 0
O O
平方根，那么 S ' S , T ' T ，而
Ir S P APS T Q BQT O
' ' ' '
.因此，矩阵A,B都与矩
1j
第j行，就可以把第1行第j列和第j行第1列位置的元素变成 a1 j a1 j a T1 j ( ) 左乘A，用 T j1 ( ) T ( ) 零。这样做相当于用 a
1j '
a11
a11
左乘A，这样，总可以选取初等矩阵 E1 , E2 ,, Es , 使得
11
a11
1j
a11
(1)
a11 0 ' E s' E 2 E1' AE ! E 2 E s 0
c1 P ' AP 0 0 cn
c2
即F上每一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩 阵合同。
证
我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆
以下3.2里所定义的三种初等矩阵。容易看出：
P Pij ; Di (k ) Di (k ); Tij (k ) T ji (k )
第八章
二次型
在这一章里，我们将利用矩阵
来讨论元二次多项式。二次齐次多
项式也叫做二次型。二次型的理论 在数学和物理的许多分支都有着应
用。
8.1二次型和对称矩阵(4学时) 一、教学目标： 了解二次型和二次型矩阵的概念，二次型 的矩阵表示,矩阵合同的概念和性质，会用合 同变换化二次型为一个只含平方项的二次型 二、重点： 掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同 的关系，会用合同变换和配方法配方化二次 型为一个只含平方项的二次型的方法. 三、难点： 二次型的秩与二次型的等价，合同的关系 四、教学过程：
c2
0 cn
这里 c1 a11 .
(b)如果 aii 0, i 1,2,, n 由于 A 0所以一定有某一个 元素。把A的第j列加到第i列，再把第j行加到第i行，这相当 于用初等矩阵 T ji 1 右乘A，再用 Tij 1 T ji 1 左乘A。而经 过这样的变换后所得的矩阵第i行第j列的元素是 2a ij 0
A 2．对称性：由 P ' AP B ( P 1 )BP 1 ( P)1 BP 1 A
1．自反性：IAI
3．传递性：由 P' AP
'
B
'
和 Q ' BQ C 矩阵可得
' '
( PQ) A( PQ) Q P APQ Q BQ C
研究性问题2：
合同的矩阵有相同的秩，反之如何？与一个对称 矩阵合同的矩阵仍是对称的？教材中。矩阵的等价关系 有那些？ 的非奇异线性变换将其中一个变成另一个。 定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。
是(4)的系数构成的矩阵,则(4)式可以写成 (5)
x1 y1 x2 y2 P xn yn
将(5)代入(3)就得到
y1 y2 (6) q y1，y2， ，yn y1，y2， ，yn PAP yn
于是情形(b)就归结到情形(a)。 注意 1、在定理8.1.2的主对角形矩阵 PAP中，主对角 线上的元素 c1 , c 2 , c n 的不为零的 c i wk.baidu.com个数等于A的秩， 如果秩A等于r >0，可知 c1 , c2 ,cr 0 而
cr 1 cn 0.
2、给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理8.1.2的证明
矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异的， 就称（4）是一个非奇异线性变换。 A对称矩阵 PAP） =PAP=PAP PAP （ 也是对称矩阵。
定理8.1.1 设 aij xi x j 是数域F上一个以A为矩阵的n j 1
i 1
n
n
元二次型,对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变后所得 到的二次型的矩阵是 P
过程可以看出，我们可以具体地求出一个可逆矩阵P，使得
PAP 有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初
等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换， 那么当A化为对角形式时，I就化为P。 例1 设
0 3 0 0 0 3 6 0 A 0 6 12 4 3 0 4 0

实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式

四、教学过程：
我们只限于讨论复数域和实数域上的二次型，前者特别简 单，而后者在应用上特别重要。

定义 ：复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实 二次型。 提出问题： 两个复二次型和两个实二次型等价的充分必要条件是什么？ 复数域上两个对称矩阵和实数域上两个对称矩阵合同的充分 且必要条件是什么？
得
c1 c2 P ' AP cr 0 0 0 0
d1 ' Q BQ 0
d2 dr
0 0 0
c 当r >0 时， i 0, d i 0, i 1,2,..., r. 取n阶复矩阵
二次型（3）的秩就是A的秩;如果对二次型（3）的变量 施行如下的一个变换:
i 2， （4） xi pij y j， 1， ，n
j 1 n
(1 i, j n),
'
那么就得到一个关于 pij F 和二次型 q ( y1，y2， ，yn )
y1，y2， ，yn (4)式称为变量和线性变换,令 P pij
q:F F
n
(函数思想)
所以n元二次型也称为n个变量的二次型。 在（1）中令 aij a ji (1 i, j n). 因为 xi x j x j xi
所以(1)式可以写成以下的形式:
(2)
q( x1 , x2 ,, xn ) a
i 1
n
a
j 1
n
ij i
x x j , aij
a ji
令 A ( aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵，称为 二次型的矩阵。因为 aij （2）式可以写成 （3）
x1 x （x1，x2， ，xn）（x1，x2， ，xn）A 2 q xn
a ji ,
所以A是F上一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法,


1、对于复二次型回答这个问题： 定理9.2.1 复数域上两个n阶矩阵合同的充分且必要条件是 它们有相同的秩。两个复二次型等价的充分且必要条件是它 们有相同的秩。
证
显然只要证明第一个论断。
条件的必要性明显。我们只证条件的充分性。
设A,B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同
的秩r，由定理8.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使
2 1 3
2 2
化为
8 2 3 y 6 y y3 3
2 1
8.2复数域和实数域上的二次型

一、教学目标：
了解复数域和实数域上的二次型的概念，实数域上的二次型的秩、 惯性指标、符号差等概念的关系和性质，复数域和实数域上的二 次型等价的充要条件及其典范形式及其种类。

二、重点：
掌握复数域和实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式 三、难点：
1 c1 S 0 0 1 1
1 d1 T 0 0 1 1
1 cr
1 dr
这里
ci , d i 分别表示复数 ci d i 的一个
' ij ' '
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立
设 n 1, 并且假设对于n-1阶对称矩阵来说，定理成立。 设 A ( a ij ) 是一个n阶对称矩阵。如果 A 0, 这时A 本身就是对角形式，设 A 0, 我们分两种情形来考虑。（特殊到一般）
(a) 设A的主对角线上元素不全零。例如 aii 0. 如果 i 1, 那么交换A的第1列与第i列，再交换第1行与第i行， 就可以把 aii换到左上角。这样做相当于用初等矩阵 P1i ' 右乘A，再用 P1'i P1i 左乘A。于是 P1i AP i的左上角的元素 1 不等于零。因此，我们不妨设 a11 0. a1 j a 用 乘A的第1列加到第j列，再用 乘第1行加到