二次型
二次型的标准型
在某些情况下，二次型标准型的 计算和实现可能比较复杂和耗时 ，需要高效的算法和高性能的计 算平台。
在实际应用中，二次型标准型的 精度和稳定性也需要不断提高和 完善，以适应更加复杂和精密来自 应用需求。THANKS
谢谢您的观看
二次型的向量表示法可以用来计算向量的长度，以及求解向 量的加法和数量积。
二次型的几何意义
二次型的几何意义可以表示为平面上一个点的轨迹。 二次型的几何意义可以用来求解最短路径问题，以及计算点到直线的距离。
03
二次型的变换
合同变换
定义
合同变换是在线性代数中，通过非退化的线性变换将一个二次型化为标准型。
二次型的标准型
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 二次型的表示 • 二次型的变换 • 二次型的标准型 • 结论
01
引言
什么是二次型
二次型定义
二次型是一种由实数变量和二次形式构成的数学对象 ，一般形式为 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=a_1x_1^2+a_2x_2^2+\cdot s+a_nx_n^2+b_1x_1x_2+b_2x_1x_3+\cdots+b_{n -1}x_{n-1}x_n$，其中$a_i$和$b_i$是实数。
二次型的标准型的意义
二次型的标准型可以帮助我们更好地理解和研究二次型的性 质和结构。
二次型标准型的应用
线性代数中二次型的判 定
通过二次型的标准型可以判断一个二 次型是否为非退化的，也可以计算其 行列式、特征值等线性代数的概念。
物理学中二次型的意义
在物理学中，许多问题涉及到二次型 的求解，如弹性力学中的弹性系数矩 阵、量子力学中的哈密顿算符等，二 次型的标准型可以为我们提供求解的 思路和方法。
二次型的判定方法
二次型的判定方法1. 二次型的判定方法之首先判断二次型是否为标准形式。
标准形式的二次型是指仅含有平方项和常数项的形式。
如果二次型含有一次项，需要通过将含有一次项的部分移项并进行合并，将二次型化简为标准形式。
2. 二次型的判定方法之判断二次型的秩。
二次型的秩是指二次型的矩阵形式的秩。
通过将二次型写成矩阵的形式，然后对矩阵进行行变换或列变换，将矩阵化简为行阶梯形或列阶梯形，最后计算矩阵的秩。
如果秩等于变量的个数，则二次型是正定型；如果秩等于0，则二次型是负定型；如果秩小于变量的个数且不等于0，则二次型是半定型。
3. 二次型的判定方法之判断二次型的非零项的符号。
对于标准形式的二次型，通过观察非零项的符号来判定二次型的正负性质。
如果二次型所有的非零项的系数同号且为正，则二次型是正定型；如果非零项的系数同号且为负，则二次型是负定型；如果非零项的系数有正有负，则二次型是不定型。
4. 二次型的判定方法之判断二次型的正负特征值。
将二次型的系数矩阵作为一个线性变换的矩阵，求出其特征值，然后观察特征值的正负性质。
如果特征值全为正，则二次型是正定型；如果特征值全为负，则二次型是负定型；如果特征值有正有负，则二次型是不定型。
5. 二次型的判定方法之判断二次型的正负惯性指数。
通过矩阵的特征值来判定二次型的正负惯性指数。
将二次型的系数矩阵作为一个线性变换的矩阵，求出其特征值，统计特征值中正数的个数、负数的个数以及零的个数。
正数的个数称为正惯性指数，负数的个数称为负惯性指数，零的个数称为零惯性指数。
根据正负零指数的数量关系，判断二次型的正负情况。
6. 二次型的判定方法之判断二次型的Gram矩阵的正定性。
对于二次型的Gram矩阵（系数矩阵的转置乘以系数矩阵），判断其是否为正定矩阵。
如果Gram矩阵正定，则二次型是正定型；如果Gram矩阵负定，则二次型是负定型；如果Gram矩阵不定，则二次型是不定型。
7. 二次型的判定方法之用最小二乘法判断二次型的正定性。
二次型的基本理论和应用
二次型的基本理论和应用二次型是高等数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
本文将针对二次型的基本理论和应用进行探讨。
一、二次型的定义二次型指的是$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次多项式$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，即：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j $$其中$a_{ij}$为常数项，且矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$称为二次型的矩阵。
二、二次型的矩阵二次型的矩阵有很多重要性质：1. 对称矩阵二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，即对于任意$i,j$都有$a_{ij}=a_{ji}$。
2. 正定矩阵若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x>0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为正定矩阵。
若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x\geq 0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为半正定矩阵。
正定矩阵可用来定义内积、距离和角度等概念，具有广泛的应用。
3. 特征值和特征向量二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$存在$n$个特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，并且存在对应于每个特征值的特征向量$\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n$，满足：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$$其中，若$\lambda_i>0$，则$\boldsymbol{x}_i$为正特征向量；若$\lambda_i=0$，则$\boldsymbol{x}_i$为零特征向量；若$\lambda_i<0$，则$\boldsymbol{x}_i$为负特征向量。
二次型
dp d p 1
x 1 x2 xn d n
二次型的矩阵表示
f ( x，y ) ax 2bxy cy
2 2
a b x x y b c y
二次型的矩阵表示
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
最简单情形：（必要时交换变量的次序）
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
称之为规范形； p q=n-p 正惯性指数； 负惯性指数。
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
n )
回顾：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
2，…，n，αi 为 λi 的单位正交特征向量，则
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
1
n )
定理：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
二次型分类：正定、负定、不定。 若二次型 f (x) = xTAx 正定 (负定、不定)，则 称对称矩阵 A 正定 (负定、不定)。
正定二次型
性质：正定(相应地，负定)二次型 f (x) = xTAx 经非退化 (也称作非奇异、可逆) 线性变换仍
正定 (相应地，负定)。 即：若矩阵 P 可逆，x = Py，则二次型
-3 - 1 5
正定二次型
例3：求二次型 f (x) = xTAx 的标准形，其中
5 -3 3 - 3
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
二次型_精品文档
二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
二次型
第六章 二次型§1. 二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。
一个系数取自数域F 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：=),,,(21n x x x f n n x x a x x a x x a x a 11311321122111222++++n n x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2n nn x a ++称为数域F 上的一个n 元二次型，简称二次型。
令ji ij a a =，则上述二次型可以写成对称的形式： =),,,(21n x x x f ∑∑==n i nj j i ijx x a11把上式的系数排成一个n 阶方阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211称这矩阵为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
由于ji ij a a =，所以矩阵A 是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
由此二次型可以写成矩阵的形式： AX X x x x f T n =),,,(21 式中()Tn x x x X ,,,21 =。
定理1：若A 、B 为n 阶对称方阵，且AX X T BX X T =，则A=B 。
这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。
例1：设23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420221011A例2：设323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102120A例3：设二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，则对应的二次型为：32223121213216322),,(x x x x x x x x x x x f --+-= 和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。
二次型
线代框架之二次型11211(,,,)n nTn ij iji j f x x x x Ax a x x====∑∑ （其中ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x = ）二次型的矩阵为对角矩阵）12(,,,)Tn f x x x x Ax = 经过合同变换可逆线性变换x Cy =化为21nT i i f d y y y ==∧∑标准形(其中ij ()i d f A α=是的矩阵的特征值).注：二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数唯一确定的.标准形的系数只在1，-1，0任意二次型均存在可逆变换化为规范形。
2.设A 和B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C 使得 TB C AC =，则称A 与B 合同。
合同的性质：R(B)(A)A B 若为对称阵，也为对称阵；=R ；合同变换不改变二次型的正定性.√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：A B √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B = 用正交变换法化二次型为标准形:① 写出二次型的矩阵A ；②求出A 的特征值、特征向量；③对n 个特征向量正交化，单位化；④ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()TT T T T n n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni if d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
例如：123x x x +-=0取1β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1 2 1，2β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭101.用配方法化二次型为标准形：原则：配方时每次把一个字母处理干净3.正定二次型：惯性定理：设有二次型()Tf x x Ax =，秩为r ，有两个可逆变换x Cy =及x Py =使得21ni if d y=∑及21ni if k y=∑则i d 中正数个数与i k 中正数个数相等。
二次型及其规范型
二次型及其规范型二次型是数学中重要的概念，广泛应用于代数、线性代数以及物理学等领域。
本文将介绍二次型的基本定义、性质以及规范型的概念和应用。
一、二次型的定义和性质在线性代数中，我们称一个关于n个变量的多项式函数为一个二次型。
一个二次型可以表示为如下形式：$Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$其中，$a_{ij}$是一个常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$是n个变量。
二次型具有以下性质：1. 对称性：如果$a_{ij} = a_{ji}$，则二次型称为对称二次型；2. 非负定性：当二次型对于所有的非零向量$x$都有$Q(x) > 0$时，称其为正定二次型；当$Q(x) \geq 0$，但存在非零向量$x_0$使得$Q(x_0) = 0$时，称其为半正定二次型；3. 定性：二次型的正负定性与其矩阵的特征值有关，正定二次型对应的特征值全为正数，半正定二次型对应的特征值非负。
二、规范型的定义和性质在研究二次型时，我们常常希望将其化为一个标准的形式，这就是规范型。
规范型的特点是尽可能简单且易于研究。
对于任意的n维实二次型，我们可以通过合同变换将其化为规范型。
合同变换是指对矩阵进行相似变换，即通过矩阵的乘积将一矩阵转化成与之相似的另一矩阵。
具体而言，对于对称矩阵$A$，存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = \Lambda$，其中$\Lambda$为对角矩阵，对角线上的元素为$A$的特征值。
规范型的具体形式取决于原始二次型的特征值分布。
根据特征值的正负，规范型可以分为以下几种情况：1. 正定二次型的规范型为$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$；2. 负定二次型的规范型为$-x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2$；3. 除了以上两种情况外，还有其他特征值组合形式的规范型。
线性代数的二次型
线性代数的二次型二次型作为线性代数中的一个重要概念，在各个领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念、矩阵表示、规范形以及二次型的几何意义等方面进行论述，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。
一、基本概念在线性代数中，二次型是一种特殊的多项式形式，它包含了二次项和线性项，不包含常数项。
通常表示为：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$x_1,x_2,\cdots,x_n$是$n$个实数变量，$a_{ij}$是$n\timesn$阶实对称矩阵的元素。
二、矩阵表示二次型可以通过矩阵和向量的乘法来表示。
假设$A$是一个$n\times n$阶实对称矩阵，$x$是一个$n$维列向量，则二次型$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$。
这样的表示方式更加简洁和便于计算。
三、规范形在研究二次型时，我们常常希望将其化为规范形，以便更好地理解和研究其性质。
规范形指的是将二次型化为一种特定形式的简化表示。
1. 实对称矩阵的对角化实对称矩阵可以对角化为对角阵，即$A=P\Lambda P^T$，其中$P$是正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵。
由于正交矩阵的转置等于其逆矩阵，所以对于二次型$Q(x)=x^TAx$，我们有$Q(x)=x^TP\LambdaP^Tx$。
2. 规范形当实对称矩阵的对角元素为1或-1，其余元素均为0时，二次型称为规范二次型。
规范二次型具有简洁的特点，形式为$Q(x)=\pmx_1^2\pm x_2^2\pm \cdots \pm x_r^2$，其中$r$是规范二次型中非零对角元素的个数。
四、二次型的几何意义二次型可以与几何图形相联系，使得我们能够通过计算二次型的特征值和特征向量来获得图形的有关信息。
1. 特征值与特征向量对于二次型$Q(x)=x^TAx$，如果存在非零向量$x$和实数$\lambda$，满足$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是相应的特征向量。
二次型的概念
或 矩阵形式
x1 c11 x 2 c 21 x c n n1 c12 c 22 cn 2 c1n c 2 n c nn y1 y2 yn
解
f ( 2 x 3 x1 x 2 x1 x3 )
2 1
不是二次型的矩阵 .
2 ( x 2 x1 x 2 3 x3 )
二次型中 i x j的系数为 ij b ji ( i j ), xi2的系数为 ii , x b b bij b ji 故二次型的矩阵 的元素为 ij A a ( i , j 1,2,3 ), 2
2 a nn x n
为数域 P 上的一个n 元二次型. 本章主要讨论实数域上的n 元二次型, 简称二次型.
例如
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 4 x1 x2 3 x2 5 x2 x3 x3
2 h( x1 , x2 , x3 ) x12 2 2 x1 x2 3 x2 4 3 x2 x3
即 X CY .
x1 c11 y1 c12 y 2 c1n y n x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n x n c n1 y1 c n 2 y 2 c nn y n
上面表示的变量之间的替换称为线性替换, 当 C ( cij )n 可逆时, 称为可逆线性替换 或 满秩线性替换
则 f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX , A AT O.
A
f X T AX 称为二次型的矩阵表示, 对称矩阵 A 称为
二次型 的矩阵, A 的秩为 f 的秩.
二次型及其标准形式
二次型及其标准形式二次型是高等数学中一个重要的概念，它与矩阵有着密切的关系。
在本文中，我将介绍什么是二次型，以及如何将二次型化为标准形式。
什么是二次型？二次型是指二次齐次多项式，也就是形如：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中 $a_{ij}$ 是实数。
可以看出，二次型与关于 $n$ 个变量的二次方程非常相似，但它们有一个显著的不同点：二次型中的系数 $a_{ij}$ 不一定是已知的数值，它们可以是函数或变量，也可以是其他复杂的表达式。
如何将二次型化为标准形式？将二次型化为标准形式可以帮助我们更好地研究它的性质。
标准形式指的是经过某种变换后，二次型可以写成以下形式：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + ... + \lambda_ny_n^2$$其中 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ 是非负实数，$y_i$ 是 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的线性组合，即 $y_i = a_{i1}x_1 +a_{i2}x_2 + ... + a_{in}x_n$。
那么，如何将二次型化为标准形式呢？我们可以用矩阵的方法来处理。
首先，我们用一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $A=(a_{ij})$ 来表示二次型。
我们可以将$A$ 矩阵分解为两个矩阵的乘积：$A=QQ^T$，其中 $Q$ 是一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵，且 $Q$ 的列向量构成一个标准正交基。
我们在 $Q$ 的基础上引入新的变量 $y_1, y_2, ..., y_n$，它们的值分别为 $y_i = q_{i1}x_1 + q_{i2}x_2 + ... + q_{in}x_n$，其中$q_{ij}$ 是$Q$ 矩阵的元素。
二次型
第一节 第二节 第三节 第四节 二次型与对称矩阵 二次型的基本性质 化二次型为标准型 正定二次型
第一节
二次型与对称矩阵
返回
定义1 定义1含有n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次函 数f(x1，x2，…，xn)=a11x12+ a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn 称为二次型 二次型. 二次型 （5-1）
1 − 2 0 x f = [x, y, z ] − 2 0 0.5 y 0 0.5 − 3 z
我们称对称矩阵A为二次型f的矩阵，也把f 二次型f的矩阵 二次型 叫做对称矩阵A的二次型，对称矩阵A的秩就叫 对称矩阵A的二次型 对称矩阵 二次型f 做二次型f的秩 二次型 的秩. 例2 写出以下二次型的系数矩阵 f(x1,x2,x3)=x12 + x22 –x32 g(y1,y2,y3)=y1y2+2y2y3+3y3y1 h(z1,z2,z3)=x12 + x22 –x32
使f化为标准形 f = λ1 y12 + λ2 y2 2 + ⋯ + λn yn 2 其中 λ1 , λ2 ,⋯, λn 是f的矩阵A=(aij)的特征值.
例1 求一个正交变换x=Py，把二次型 f=4x12+2x2x3+3x22+3x32化为标准形.
4 0 0 解：二次型的矩阵为 A = 0 3 1 0 1 3
定义6 设A=(aij)是n阶矩阵，令 定义6
a11 a Dk = det 21 ⋯ a k1 a12 ⋯ a1k a22 ⋯ a2 k ⋯ ⋯ ⋯ ak 2 ⋯ akk
二次型的规范形
二次型的规范形二次型是数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数、数学物理等领域。
在讲述二次型规范形之前，我们先来了解什么是二次型。
一、二次型的定义在线性代数中，给定一个n维向量空间V上的对称矩阵A，我们称函数Q(x)=x^TAx，x∈V，为矩阵A的二次型。
其中x^T代表x的转置。
二、二次型的性质1. 对于任意的n维列向量x，有Q(x)=Q(\lambda x)，其中\lambda为任意实数。
这是因为Q(\lambda x)=(\lambda x)^TA(\lambdax)=\lambda^2x^TAx=\lambda^2Q(x)。
2. 对于任意的n维列向量x、y，有Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2x^TAy。
这是因为Q(x+y)=(x+y)^TA(x+y)=x^TAx+x^TAy+y^TAx+y^TAy=x^TAx +y^TAx+x^TAy+y^TAy=(x^TA+y^TA)x+(x^TA+y^TA)^Ty=x^ TAx+y^TAy+x^TAy+y^TAx=Q(x)+Q(y)+2x^TAy。
3. 对于任意的n维列向量x，有Q(-x)=Q(x)。
这是因为Q(-x)=(-x)^TA(-x)=(-1)^2(x^TAx)=x^TAx=Q(x)。
因此，二次型具有以上三个性质。
三、二次型的规范形对于一个二次型Q(x)，我们可以通过线性变换将其化为规范形。
二次型的规范形包括两种情况：标准型和标准配方法。
1. 标准型标准型是指没有交叉项的二次型。
即对角线以外的元素全部为0。
一个n维向量空间上的二次型Q(x)的标准型为Q(x)=c_1x_1^2+c_2x_2^2+...+c_nx_n^2，其中c_1,c_2,...,c_n为非负实数。
2. 标准配方法对于一个n维向量空间上的二次型Q(x)，我们可以通过正交变换将其化为标准配方法。
具体的步骤如下：①将二次型Q(x)的矩阵A对角化得到对角矩阵D。
②用正交变换y=P^Tx将二次型的矩阵A变换为对角矩阵D。
线性代数4.4 二次型
例
解
求下列平面图形所围图形的面积：
3x 2 xy 3 y 1 f ( x, y) 3x2 2xy 3 y 2
2 2
3 1 A I 2 6 8 ( 2)( 4) 1 3
A 的特征值为
3 1 A 1 3
可顺次求得单位特征向量
0.6 0.6 0.8 e1 令 P 0.8 e2 0.6 0.8 则经正交变换 x Py，可得标准形
0.8 0.6
f 10 y 15 y
2 1
2 2
例、试用正交变换化二次型
解:
3 2 x1 求二次型 f ( x1 , x2 ) x1 x2 x 经过线性变换 2 6 2 x1 2 y1 y2 之后的表达式。 x2 y1 2 y2 2 1 T T 令 x x1 x2 , y y1 y2 , 有 x y, 则 1 2 3 2 x1 f x1 x2 x 2 6 2 2 1 3 2 2 1 y1 y1 y2 y 1 2 2 6 1 2 2 10 0 y1 y1 y2 10 y12 35 y22 0 35 y2
换x=Hy变成y的二次型
2 2 f (Hy) d1 y12 d2 y2 dn yn
就称此二次型为原来二次型的标准形。
如例4.17
f ( x1 , x2 ) x1
3 2 x1 x2 2 6 x2
x1 2 y1 y2 2 f 10 y12 35 y2 经线性变换 化得标准形 x2 y1 2 y2
二次型的性质及应用
二次型的性质及应用二次型是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
二次型具有多种性质和应用，下面我将从定义、性质以及应用三个方面进行详细介绍。
一、二次型的定义和性质首先，我们来定义二次型。
设有n个变量x_1, x_2, \ldots, x_n，对于任意的实数a_{ij}和b_i，称函数Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j +\sum_{i=1}^n b_ix_i为n元二次型。
其中，a_{ij}和b_i是实数。
二次型的性质如下：1. 对称性：如果a_{ij}=a_{ji}，则二次型称为对称二次型。
2. 非负定性：若二次型对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})\geq 0，则称二次型为半正定二次型。
若对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})>0，则称二次型为正定二次型。
若对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})<0，则称二次型为负定二次型。
3. 二次型的规范形：通过合适的坐标变换，可以将任意二次型化为规范形。
规范形为Q(x_1, x_2, \ldots,x_n)=\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\ldots+\lambda_nx_n^2，其中\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n为实数，且\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n满足\lambda_1\geq \lambda_2\geq \ldots \geq\lambda_n。
4. 最大值和最小值：对于二次型Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}，其中A是一个对称矩阵。
若对任意向量\mathbf{x}\neq \mathbf{0}，有Q(\mathbf{x})\leq k，其中k为常数，则称k为二次型的上界。
二次型及其标准形
例 5.1 判别下列各式是否为二次型
（1） f x12 2x22 4x1x2 x1 （2） f 4x12 x22 3x33 6x1 x2 5x2 x3 （3） f x12 2x22 5x32 4x1x2 x1x3
解 根据二次型的定义，由于（1）式中含有变量 x1 的 一次项，所以 f x12 2x22 4x1x2 x1 不是二次型。
形式，并求其秩。
1 2 0 解 二次型的矩阵为 A 2 0 1
0 1 3
那么
1
f x1, x2 , x3 2
2 0
0 x1 1 x2
0 1 3 x3
又由于 A 13 0 ，即矩阵 A 满秩，故所求二次型的秩为 3.
1.2 二次型的标准形
定义5.2
只含有平方项的二次型
（5.2）
当所有的 aij 均为实数时，上述二次型称为实二次型
为便于讨论，我们将二次型写成矩阵形式，
f (x1 , x2 ,, xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1x1 an2 x2 ann xn )
因此，二次型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ，经过可逆的线性变换 x Cy
后，所得的新二次型的矩阵与原二次型的矩阵具有合同关系，且二次 型的秩不变。
实用线性代数
f
y1, y2 ,, yn
d1 y12
d
2
y
2 2
d
n
y
2 n
d1
y1
y1 y2 yn
d2
y2
dn yn
yT y
称为二次型的标准形
二次型
第六章 二 次 型I 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于x 1，x 2，…，x n 的二次齐次多项式f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n+a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21=X TAX其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。
对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。
矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。
即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。
线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n c c c c c c c c c212222111211则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式：X =CY其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。
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AP.
推论8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之
下保持不变。
研究性问题1： 为什么要取二次型的矩阵是对称矩 阵（否则导致推论9.1.2不成立）
例： 二次型
q( x1 , x2 ) 2 x1 x2 的矩阵是:
0 2 若取 A2 0 0
0 1 A1 1 0
q:F F
n
(函数思想)
所以n元二次型也称为n个变量的二次型。 在（1）中令 aij a ji (1 i, j n). 因为 xi x j x j xi
所以(1)式可以写成以下的形式:
(2)
q( x1 , x2 ,, xn ) a
i 1
n
a
j 1
n
ij i
x x j , aij
1 c1 S 0 0 1 1
1 d1 T 0 0 1 1
1 cr
1 dr
这里
ci , d i 分别表示复数 ci d i 的一个
第八章
二次型
在这一章里，我们将利用矩阵
来讨论元二次多项式。二次齐次多
项式也叫做二次型。二次型的理论 在数学和物理的许多分支都有着应
用。
8.1二次型和对称矩阵(4学时) 一、教学目标： 了解二次型和二次型矩阵的概念，二次型 的矩阵表示,矩阵合同的概念和性质，会用合 同变换化二次型为一个只含平方项的二次型 二、重点： 掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同 的关系，会用合同变换和配方法配方化二次 型为一个只含平方项的二次型的方法. 三、难点： 二次型的秩与二次型的等价，合同的关系 四、教学过程：
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
2 2 （x1，x2， ，xn） a11 x12 a22 x2 ann xn 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1n xn 1 xn q
叫做F上一个n元二次型。 F上n元多项式总可以看成F上n个变量的函数。 二次型（1）定义了一个函数:
通过变量的非奇线性变换
0 x1 1 x2 x 3 0 x 4 0 1 0 0 2 3 2 1 1 y1 3 2 y 2 3 y 3 4 y 4 0
实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式
四、教学过程：
我们只限于讨论复数域和实数域上的二次型，前者特别简 单，而后者在应用上特别重要。
定义 ：复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实 二次型。 提出问题： 两个复二次型和两个实二次型等价的充分必要条件是什么？ 复数域上两个对称矩阵和实数域上两个对称矩阵合同的充分 且必要条件是什么？
2 1 3
2 2
化为
8 2 3 y 6 y y3 3
2 1
8.2复数域和实数域上的二次型
一、教学目标：
了解复数域和实数域上的二次型的概念，实数域上的二次型的秩、 惯性指标、符号差等概念的关系和性质，复数域和实数域上的二 次型等价的充要条件及其典范形式及其种类。
二、重点：
掌握复数域和实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式 三、难点：
得
c1 c2 P ' AP cr 0 0 0 0
d1 ' Q BQ 0
d2 dr
0 0 0
c 当r >0 时， i 0, d i 0, i 1,2,..., r. 取n阶复矩阵
O O
平方根，那么 S ' S , T ' T ，而
Ir S P APS T Q BQT O
' ' ' '
.因此，矩阵A,B都与矩
0 0 A1
(2)这里 A1 是一个n阶对称矩阵，由归纳法假设，
存在n-1阶可逆矩阵
Q1 使得
c 2 Q1' A1Q1 0
c3
0 cn
取
1 0 0 0 Q （请学生注意Q的取法） Q1 0
于是情形(b)就归结到情形(a)。 注意 1、在定理8.1.2的主对角形矩阵 PAP中，主对角 线上的元素 c1 , c 2 , c n 的不为零的 c i 的个数等于A的秩， 如果秩A等于r >0，可知 c1 , c2 ,cr 0 而
cr 1 cn 0.
2、给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理8.1.2的证明
定义 F上两个二次型叫做等价的，如果可以通过变量
研究性问题3：
二次型 对称矩阵 对角形矩阵有何关系？ 以平面上以圆点为中心的二次曲线的方程 2 2 ax 2bxy cy d 为例并由以下定理给出这个问 题完满的回答。
定理8.1.4 设 A (aij ) 是数域F上一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c2
0 cn
这里 c1 a11 .
(b)如果 aii 0, i 1,2,, n 由于 A 0所以一定有某一个 元素。把A的第j列加到第i列，再把第j行加到第i行，这相当 于用初等矩阵 T ji 1 右乘A，再用 Tij 1 T ji 1 左乘A。而经 过这样的变换后所得的矩阵第i行第j列的元素是 2a ij 0
矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异的， 就称（4）是一个非奇异线性变换。 A对称矩阵 PAP） =PAP=PAP PAP （ 也是对称矩阵。
定理8.1.1 设 aij xi x j 是数域F上一个以A为矩阵的n j 1
i 1
n
n
பைடு நூலகம்
元二次型,对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变后所得 到的二次型的矩阵是 P
二次型（3）的秩就是A的秩;如果对二次型（3）的变量 施行如下的一个变换:
i 2， （4） xi pij y j， 1， ，n
j 1 n
(1 i, j n),
'
那么就得到一个关于 pij F 和二次型 q ( y1，y2， ，yn )
y1，y2， ，yn (4)式称为变量和线性变换,令 P pij
a ji
令 A ( aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵，称为 二次型的矩阵。因为 aij （2）式可以写成 （3）
x1 x （x1，x2， ，xn）（x1，x2， ，xn）A 2 q xn
a ji ,
所以A是F上一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法,
(演算过程省略)
定理8.1.5 数域F上每一个n元二次型
a
i 1 i 1
n
n
ij
xi x j 可以通过变量的非奇线性变换化为
2 2 c1 y12 c 2 y 2 c n y n
c1 , c2 ,, cn F
例如，以例1中对称矩阵A为矩阵的二次型是
2 2 qx1 , x2 , x3 , x4 3x2 12 x3 6 x1 x4 12 x2 x3 8 x3 x4
P E1 E 2 E s Q
那么
a11 0 Q' 0
P AP Q E E E AE1 E 2 E s Q
' ' ' s ' 2 ' 1
0 0 a11 0 Q A1 0
0
Q1' A1Q1
0 c1 0
作为该二次型的矩阵，那么经过变量的非奇异线性变换
x1 y1 y 2 , x2 y1 y 2
2 0 就得到二次型 2 y 2 y . 它的矩阵是 0 2
2 1 2 2
秩为2，而 A2 的秩为1。
定义2 设 A, B 是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个 非奇异矩阵p，使得 P ' AP BA与B合同。 矩阵的合同关系具有以下性质：（等价关系）:
1j
第j行，就可以把第1行第j列和第j行第1列位置的元素变成 a1 j a1 j a T1 j ( ) 左乘A，用 T j1 ( ) T ( ) 零。这样做相当于用 a
1j '
a11
a11
左乘A，这样，总可以选取初等矩阵 E1 , E2 ,, Es , 使得
11
a11
1j
a11
(1)
a11 0 ' E s' E 2 E1' AE ! E 2 E s 0
A 2．对称性：由 P ' AP B ( P 1 )BP 1 ( P)1 BP 1 A
1．自反性：IAI
3．传递性：由 P' AP
'
B
'
和 Q ' BQ C 矩阵可得
' '
( PQ) A( PQ) Q P APQ Q BQ C
研究性问题2：
合同的矩阵有相同的秩，反之如何？与一个对称 矩阵合同的矩阵仍是对称的？教材中。矩阵的等价关系 有那些？ 的非奇异线性变换将其中一个变成另一个。 定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。
c1 P ' AP 0 0 cn
c2
即F上每一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩 阵合同。
证
我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆