微积分2习题课

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微积分下第二版课后习题答案同济大学

习题1—1解答 1．设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2．设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2）}{xy y x y x D 4,10),(222≤<+<=（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(222222c z b y a x y x D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限：（1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章

(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。

微积分作为数学中的基础学科，更是如此。

本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。

课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。

答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。

答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。

微积分B(2)第1次习题课参考答案(极限、连续、可微)_168607827

=
lim cos 2θ
ρ →0
=
0,
θ = π, 4
−1,
θ = π, 2
所以极限不存在． lim (x, y)→(0,0)
x2 x2
− +
y2 y2
方法 3：因为，，所以极限不存在． x2
lim
x→0
lim
y→0
x2
− +
y2 y2
=1
lim lim
y→0 x→0
x2 x2
− +
y2 y2
(0, 0) ∂y
=
lim
y→0
f
(0, y) − y
f
(0, 0)
=
lim
y→0
f
(0, y
y)
= lim y→0
f
(0, y) y2
⋅
y
=
A×0
=
0
因为，所以 lim x→0 y→0
f
(x, y) − f (0, 0) x2 + y2
=
lim
x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
⋅
x2 + y2 = A× 0 = 0
1
ye xy + exy
=
∂ ∂y
y
−
y 1 + exy
=1−
1 + exy (1 +
− xyexy exy )2
所以，． ∂z ∂x
(0,0)
=0
∂2z ∂y∂x
=1− 1 = 1 22
(0,0)
（）已知，求． 3
z = ln(2 + x2 + y4 )

微积分A(2)第2次习题课题目_285604276

微积分A(2)第二次习题课题目（第四周）一、复合函数的微分,隐函数微分法 1.求解下列各题：（1）.设÷øöçèæ=x y xy f x z ,3，求yzx z ¶¶¶¶,。

（2）.已知 )1(1xy x -=，求dy dx .(3) 已知2)()(y x ydydx ay x +++为某个二元函数的全微分,则=a 2.求解下列各题（1）.已知函数y f x =()由方程(), , 22b a y x f by ax +=+是常数，求导函数。

（2）.已知函数()y x z z ,=由参数方程:ïîïíì===uvz v u y v u x sin cos ,给定，试求,z zx y ¶¶¶¶.（3）.设),(y x z z =二阶连续可微，并且满足方程2222220z z z A B C x x y y¶¶¶++=¶¶¶¶ 若令,îíì+=+=yx v y x u b a 试确定b a ,为何值时能变原方程为 02=¶¶¶v u z.3.求解下列各题（1）.),(y x z z =由2222a z y x =++决定，求yx z¶¶¶2．（2）设函数),(y x f z =是由方程2222=+++z y x xyz 确定的,则函数),(y x f z =在点)1,0,1(-的微分dz =（3）.设函数y(z)y z x x == ),(由方程组îíì=--+=-++01201222222z y x z y x 确定，求dz dy dz dx ,. (4)设方程ïîïíì==--0,(0),(y z xy G z y x y F 可以确定隐函数)(),(y z z y x x ==，求dy dz dy dx ,. （本题不用解出最终答案，会解题过程就可以.）4.求解下列二阶偏导数问题（1）.设z f xy x y=(,，f 二阶连续可微，求22zx ¶¶.（2）.设()()()22,,x x x f x g j =，其中函数f 于j 的二阶偏导数连续，求()22dxx g d （3）设),(y x f z =在点),(a a 可微, b yf b xf a a a f a a a a =¶¶=¶¶=),(),(,,),(.令))),(,(,()(x x f x f x f x =j ,求ax x dxd =)(2j（4）.设2),(C y x u Î, 又02222=¶¶-¶¶y u xu ,x x x u =)2,(, 2)2,(x x x u x =¢,求 )2,(x x u xx ¢¢, )2,(x x u xy ¢¢ )2,(x x u yy ¢¢ 5.设向量值函数:n n ®f ¡¡满足：存在:01L L <<，对任意的,n X Y Î¡有||()()||||||X Y L X Y -£-f f .证明：***,()n X X X $Î=f ¡. 6.设,n n X W ÌÎ¡¡，定义(,)inf ||||n Y X X Y r ÎWW =-.证明：（1）(,)X r W 为X 的连续函数；（2）W 为有界闭集时，存在0X ÎW ，使得0(,)||||n X X X r W =- （3）12,n W W Ì¡，定义1212,(,)inf||||n X Y X Y r ÎW ÎW W W =-，证明：当12,W W 为有界闭集时，存在0102,X Y ÎW ÎW ，使得1200(,)||||n X Y r W W =-.7.设(,,)f x y z 可微，123,,l l l 为3¡中互相垂直的三个单位向量，求证：222222123(()()(()(f f f f f fx y z¶¶¶¶¶¶++=++¶¶¶¶¶¶l l l . 8. 已知偏微分方程（输运方程）0(,,0)(,)zz z a btx y z x y z x y ¶¶¶ì=+ï¶¶¶íï=î，证明它的解为0(,)z z x at y bt =++. 9.求解下列问题.（1）(,,)f x y z 为k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，若f 可微，证明：(,,)f x y z 满足(,,)f u uxy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶.（2）设函数(,,)u x y z f =，若u 满足2222220u u ux y z¶¶¶++=¶¶¶，证明：u b =（,a b 为常数）.。

微积分课后题答案第二章习题详解

解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；
(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2;(2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是
＝０.
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.
证：
即.
3. 证明：若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.

微积分经济数学吴传生第二章

记作 o();
(2)如l果 im C(C0)就 , 说与是同阶;的
特殊如地果 lim1,则称与是等价的;无
记作 ~;
(3)如l果 im kC (C0,k0)就 , 是说是 k阶的无穷 . 小
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A.(夹逼准则) xx0 ( x)
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限 .
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .

9. 极限的唯一性
定理若 lif( m x ) 存在 ,则极限唯一 .
连续定义
limy0
x0
x l ix0m f(x)f(x0)
左右连续
连续的充要条件
在区间[a,b] 上连续
推论2 如果 lim f(x)存,在而 n是正,整则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
连续函数的运算性质
非初等函数的连续性
初等函数的连续性
间断点定义
第一类可跳去跃间间断断点点
第二类无振穷荡间间断断点点

微积分第二章习题参考答案

2 a 1, a 1.
f ( 0 )
lim
x 0
(2e x
1) x
1
2,
f ( 0 )
lim
x 0
(x2
bx x
1)
1
b ,
b
2.
当 a 1,b 2时 , f ( x )在 x 0处可导 .
5.设 t时刻水面的高度为 h , 液面半径为 r ,则 r R h , H
2.当 0时 ,函数在 x 0处连续 ,
当 0时 ,函数在 x 0处不连续 ;
当 1时 ,函数在 x 0处可导 ,
当 1时 ,函数在 x 0处不可导 .
五 .证明.
设切点为( x0, y0 ),
y( x0 )
a2
x
2 0
y0 x0
y
x
y y( y x ln y) . x( x y ln x)
3.解 : y ln(1 t) ln(1 t),
y(n)
(1)n1 [(1 t)n
1 (1 t)n
](n 1)!.
4.解 : f (0 0 ) lim (2e x a ) 2 a , x 0 f (0 0) lim ( x 2 bx 1) 1, x 0
,
切线方程为
:
y
y0
y0 x0
(x
x0 ),其截距式为
xy 1,
2 x0 2 y0
切线与两坐标轴构成的三角形面积
S
1 2
| 2x0
|
| 2 y0
|
2a 2为常数 ,与切点无关 .
§2.2求导法则(21-22)

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]

第十章习题10_11.指出下列各微分方程的阶数:)3 5(y，)4-y5 x°=0;(1) 2x(y' ) -2yy,xd0; ⑵(y〃⑶Xy 2y'' χ2yq ⑷ 2 2 2 2(X -y )dx (X y )dy=0.解: (1)因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程(2) 二阶.(3) 三阶.(4) 一阶.2. 验证下列给定函数是其对应微分方程的解：(1) y=(x C)e», y' y=e»;X X(2) Xy=C I e C2e , xy'' 2y' -Xy ^0;(3) X -cos2t Cιcos3t C2sin3t, x" 9x=5cos2t;2 2⑷X -1, Xyy" X(y' )2-yy' oC l C2解(1):y = e」_(x C) e」y y = e~ -(X C)e」(X C)e」=ey = (x c)e」是微分方程y、y =e *的解.X _X . X X、 .(2) 在方程Xy =C l e ∙ c?e 两边对X求导有y ■ x√ = C l e -^e 上方程两边对X求导有 2 y Xy =C I eX c2e」，即2 y Xy =Xy 即Xy 2 y - xy = 0所以X y = C l^ ■ c2e」所确定的函数y = y( x)是方程x^ 2 y - xy = 0的解.(3)X= -2 Sin 2t 7c1sin 3t 3c2cos 3tX = -4 cos 2t —9c1cos 3t —9c2Sin 3tX 9^=-4 cos 2t —9c1cos 3t —9c2Sin 3t■ 9 cos 2t ' 9c1cos 3t 9c2Sin 3t=5 cos 2t所以X=CoS 2t c1cos 3t ■ c2 Sin 3t 是微分方程√ 9 5 cos 2t 的解.2 2Xy(3)方程 1两边对X 求导得C1c2C 2X C I yy=O(1)(1) 式两边对X 求导得2C 2 ■ C1( y )- syy = 0 (2)(2) 式两边同乘以X 得2C 2XC 1X (y ) C I Xyy =0(3)(3) -(2)得 Xyy (K^- y y 02 2所以 —^y ^ =1是方程Xy^ X(y ) - yy ■ = 0的解. C 1 C3. 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程.解：设(X , y)是曲线y = f (X )上任一点，则过该点的切线方程为 Y - y = y∙(X - x),由已知X =0时,Y = x,得x -y = -xy ■即xy "-y ∙ x = 0为y = f (x)所满足得微分方程 4. 求通解为y=Ce x ∙χ的微分方程，这里 C 为任意常数.解：由y=CeX-χ得√ = C e 1 ,而由已知C^ =^X 得 y >y -x T 故通解为 ^Ce XX 的微分方程为y ■ = y 一 X 1 .习题10-21. 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解: (2) xydx 、.一1 一 X 2 dy=0;2 2⑶(Xy x)dx (y -χ y)dy=0;2 I 2(4) Sin XCoS ydχ cos xdy=0;(6) yy'∙χe y =0, y(1)=0; ⑺ y'=e 2τ,y x ^=0 .(1) y =⑸亠d X-丄d y=0,y1 y 1 X解:(1)原方程分离变量得dy dx 1 y 1 - X(V^Z 0),两边积分得2In 1+y| = _ln 1 _x +G 即 In (1 一x)(1 + y) = G , 即 ∣(1 —x)(1 +y)∣ =e c1 , (1 — x)(1 +y) =±e c1 , 记_e c1 =c,有(1 —x)(1 ∙ y) =c(c =0),而当 y∙1=0即y = —1时,显然是方程的解，上又y = 0显然是方程的解方程的通解为 y = ce 1 * (C 为任意常数).2 y 2 X(3) ---------------------------- 分离变量得 dy = ——dx,两边积分得In(1 +y 2)=ln X^^C 1 ,即1 + y X -1In —2^^- =c 1从而 I J ry^= ±e°1 (x? -1),记 C= ±e°1有『 =c(x? -1) —1.X -1(4) 分离变量得，一S i n 2X dx ,两边积分得，tan y-— C 即 CoS y CoS XCoS Xtan y ■ SeC x = c .2 3 2 3(5) 原方程可化为：y(1 ∙ y)dy =x(1 - x)dx,两边积分得 - - - X C 2 3 23亠 11 5 、由yχ±=1 得c=—+—=—,所以原方程满足初始条件的特解为2 3 6 23 23yy x x5 33 22即 2 (x 3 - y 3)3X 2 - y 2 )= . 52 32 362(6) 分离变量得-ye^y dy =xdx,两边积分得 y^ e C21由y(1) =0得C ,故原方程满足初始条件的特解为2.y 12(y 1)e(X 1). 21(7) 分离变量得 e y dy=e 2x dχ ,两边积分得e y =-e 2x +c,由yxτ=0 得式取C =O 时包含了 y - _1 ,故方程的解为(1 _x)(1 y) =c(C 为任意常数)(2)分离变量得21 一 X = 0, y = 0 ,两边积分得XdX dyJ 1 -x? =In y +c 1,可知1ιC,所以,原方程满足初始条件的特解为 e y (e 2x 1).2 22.物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T o 的物体放在保持常温为:•的室内，求温度 T 与时间t 的关系. 解：设t 时刻物体的温度为 T,由题意有dTk(T-：.) (k 为比例系数)dt -J —p分离变量得 --------- =_kdt,两边积分得，In τ _- -kt ■ C 1 ,得 T =Ce —工,由题意有T 「： t =0时,T =T O ,代入上式得 ,C =T 0 —「・.T=(T O —:・)e*(k 为比例系数).3. 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解: y y⑵ y = Sin ；X X23 3、，⑶ 3χy dy = (2y -X )dχ;2 2⑷ xy'∙χy=y ,y(1)=1 ；(5) χy =y(lny-lnx),y(1) =1;(6) (y-x 2)dx =(x y 4)dy;⑺(X y)dx (3x 3y -4)dy =0.r du dxXU :=叮 U 即两边积分得 √V∏u 2 X即 u . 1 U =CX将u = 丫代入得 y X y =CXX 、V(2)令U 贝U y = uχ, y =U XU 代入原方程得X du du dχSin U 即 ------- =—dχS i ruX两边积分得I n t a-in := XnC l ,≡ta U n= =cx,u = 2 arctan CX ,22(1) ×y -y-χ2解:(1)原方程可化为1 (；)2 ,令=_yXy =U XU 代入原方程得：l n U 亠 1 U )= Xn 亠C将U='代入得y二2xX arctan CX .(3)原方程可化为找=2(Y)1X 2(一)”y du,令U ,则X U V,代入上式得dχ 3 X 3 y X dχdχ23U两边积分得ln(1 ：：U 3)-_ I n X ■ C1 ,即 3x( j U )=CyU 代入得X原方程可化为du2U 「2U XdxU - 2 =GUXy(1) =1 得C »12二CXy - =(-)2,X X_u -2 Udxdu=UX , — =U X ,代入上式dxdy=I n X,两边积分得■ c1将U='代入得'-2=GXyy—2 = -Xy ,即2x2X所以原方程满足初始条件的特解为2x2 1 X(5)原方程可化为3lndx X 令UJ dyUdx• X巴，上方程可化为dxduU 亠X — =Ul n udu dXdx U(InUT) X两边积分得I n∣nu _ 1= IrX 即InU —1 =CX亦即u =e1 CX将U=Y 代入得 1 -CX^=Xe由初始条件y(i) =1得c--i故原方程满足初始条件的特解为^=Xe 1 -X(6)原方程可化为dydx X亠y亠4解方程组y —X 2=0X y 4=0 y ~ -3X=U _1,原方程化为y =V -3 dv du这是一个齐次方程，按齐次方程的解法：令' =~ ,方程可化为-^τdUdu两边积分可得，整理可得，2arctan ' ∙ In up 「2) = C 将∙=V 代入上式得UV222 arctan — In(U V)=C U将U=X 亠1,v = y 亠3代入上式得2即(3)dt =2dx ,t -2积分得 3t 2 In ∣t 「2 = 2 x C .将 t = X + y 代入上式得，x+3y+2ln x + y-2 = c∙4. 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解: (1) y'-y =Si nx;n X⑵ y - y=x e ；X⑶(x-2y)dy dx=0;(4) (1 XSiny)y '-cosy -0;yX⑸ y -(x 1)e , y(0)=1;X +1 ,1 2⑺ y - y Inx, y(1)W; X X2(8) y'N xy =(xsinx) ∙, y(0)=1;(10) y=— X y Xy(9) y =X 4 y 32Xy2 arctan— In(X 1)2 (y 3)2 =C(7)原方程可化为巴dxX 亠y 3x 3y —4 d t令 t = X ■ y ,≡ 一 =1dxdy 、,代入上方程得dxdt 2t — 4 dx3t — 4,丄2x⑹y "22xy=Cy (o )二;3二 e ^y (2 ye'dy c) _yy=e (2e (y -1) C) =2( y -1) ce~y(4)原方程可化为Xtan y = SeC y ,这是一个关于y 的一阶非齐次线性微分方程dy且 P (y) = - tan y ,Q ( y) = SeC y ,所以解：(1)这是一阶非齐次线性微分方程P(X)= _1, Q(X) =Sin X_P(x)dxP.y =e ∙( Q(x)e- (X) dx dχ +c)dx卫X=e ( Sin χe 一 dx C) =e x ( Sin X e ^dχ ■ C)XXX-Sin x e 一一CoS x e-=e (C)X1= Ce- -(Sin x 亠 CoS x)2这是一阶非齐次线性微分方程，P(x) =-n ,Q(x)Xn X=Xe-P (X )dχP.y =e( Q(x)e(x)dx dx +c)dx^e Xn X_严= nln X(X e e dx c) = e ( XX_pln X ■e e dx C)nn Xnx」n X =x ( X e X dχ c) = x ( e dχ c) = x (e C)原方程可化为竺∙χ=2y,这是一个关于y 的一阶齐次线性微分方程,且dyP(y) =1,Q(y) =2y ,所以(Q(y)e；(y)dydy +c)(y )dy=eI d y(2y e dy C)_p (y)dyP X =e ∙ ( Q(y)e ■ tan ydy_ t=e ∙( SeC ye ■1 X------- (SeC y CoS ydy ■ C) CoS y ' 1 (y ■ C)cos y(5)这是一阶非齐次线性微分方程且P(X) J,Q(x) = (X - 1)e x ,所以 X 十1------dx—dx=e x 1 ( (X 1)e x e -X 1 dx C) ・ x ・X=(X 1)( e dx C)=(X 1)(e C)故,原方程满足初始条件的特解是2X2 X ,且 P(X)2 ,Q(x)2 ,所以1 +x1 + x_ P(x)dxy =e(Q(X)e(X)dXdx +c)将初始条件 y(0) =1代入上式中得C=O-P (x)dy = e(Q(X)e(X )dχdχ +c)22x^e-x 2dx c) 2C JD (I ÷ ), =e(I X( 一 .I X22Xeln(1 ∙x 2 )dy e dχ +c) 12 ( 2x 2dx ■ C) 1 x^(-x 3 ' C) 1 X 32将初始条件y(0) =1代入上式得C=,所以原方程满足初始条件的特解是3I 32(1 ■ X )χ2)(7)这是一阶非齐次线性微分方程,且 P(X)12,Q (X) = InX 所以 X X(y )d ydy +c)tan ydydy +c)(6)这是一阶非齐次线性微分方程Xdx c) = χ3( 3dx c) = 3χ4 cx 533 43z = y 代入上式得原方程的通解为y = 3x CX .d X3 3 1 _3 2(10)原方程可化为-Xy=X y ,这是关于y 的〉=3的伯努利方程，令Z=X X , dy上述方程可化为dx X dz 33z = 3X 3 ,这是一阶非齐次线性微分方程_ P (X)dχP(x)dχy =e_( Q(x)e dx C)1 1X dX 2 - 7d×1=e ( InXe dx 亠 C)X 2 =x^ - — In XdX 亠 C)2 2 二 x(_ In X ——C) X X =2(1 In x) CX 将初始条件 y(1) =1代入上式得 C = _1 所以,原方程满足初始条件的特解是 (8)这是一阶非齐次线性微分方程 -"P(x)dxy = 2(1 In x) - X . 2,且 P(X)= 2X , Q(x) = xsin X e^ ,所以 ∣P (x)dxy =e ( Q(x)e dx C) _2XdX 」2 2xd X=e ( XSin X e e dx ■ C )2=e ( X Sin XdX - C) 2 =e (Sin X-X cos X C) 将初始条件y(0) =1 代入上式得 C =：1 ,故原方程满足初始条件的特解是 2 y =e * (Sin X- XCaS X 亠1).(9)原方程可化为* 13y y = X X 1 3 3—y =X X-2 ,这是-2的伯努利方程，方程两边同除以14』)^y3=y ,则上面方程化为P(X) --,Q(x) =3X 3,其通解为XI dX 3 -z = e x( 3x e试求y=f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y(2)的特解.9解：依题意有πtπI f (x)dx t2f(t)-f(1),两边同时对t 求导有:3 π- 2f (t) 2tf (t) t f3 -(t) t 2 f (t) =3f 2(t) —2tf (t)亦即χ2y ^3y 2 —2Xy故y=f(x)所满足的微分方程是χ2y'=3y 2-2Xy ,该方程可化为y 2 y=3( ) -2(), X X这是齐次方程•可求得该齐次方程的通解为3y —X 二CXy 将初始条件 y(2)2代入上式得 c = -1 ,所以，该微分方程满足条件 92y(2) 的特解是9*6 .设某生物群体的出生率为常数 a ,由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比 (比例系数为b >0).如果t=0时生物个体总数为 X 0,求时刻t 时的生物个体的总数(注：将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待).解：设时刻t 时的生物个体的总数为 X,依题意得dxdx a bx 即 dtdt bx = a解得 Jata btX =e (_eC)b又t =0时x = X 0 ,代入上式得C =X oa ,, ,故 bdz32 yz = _2 y dy这是关于y 的一阶非齐次线性微分方程，且P (y) =2 y,Q( y) = _2 y 3 ,其通解为：2 2.y 3 y-e( (-2y e )dy C)2 2_y / y2=e (e (1 - y2_y 2=1 一 y CeZ=e-fydy((-2y 3)e∙2 ydyIdy■ C))■ C)将 ^X-代入上式得原方程的通解为1F =1X-y 2 ce 』5. 设函数f(x)在［1, + ∞)上连续，若由曲线平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 y=f(x),直线x=1,x=t(t > 1)与X 轴所围成的bt za bta 、 a Z a 、 btX =e (— e+ x 0 — — ) = — +(x 0 — — )ebb b b 3x7.已知 f(x) = [ f-d X + 3x4,求 f(x).I 3 .丿解：方程两边对X 求导得f (X) =3f (x) ∙ 3 即 y '3y =3这是一阶非齐次线性微分方程，P(x) = _3,Q(X)=3 ,其通解为--∙3dχ∙3dχ .3x 3xy =e ( 3e dχ ∙ C) =e ( 3e 一 dx ∙ C)3x_3x3 X=e ( _e ∙ m e) - 一 1 x ・ce3xt由已知f (X) = f (―)dt ∙ 3x - 3 得 f (O) - -3 ,代入上式得 e - -2 ,所以 b 3&已知某商品的成本C = C(X)随产量X 的增加而增加，其增长率为且产量为零时，固定成本 C(O) = C O > 0.求商品的生产成本函数C(x).H 1 +x + C /白 H 1解：由C (X)得CC =1 ,这是一阶非齐次线性微分方程1 +x1+X1P(X),Q(x) =1,其通解为1 +x由初始条件C(0) =C °代入上式得 C 1 =c °∙所以商品的生产成本函数C(X)=(I - X) Iln(1 X) C 0 ].9.某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间 X 的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费 S 也在增加，即S 为X 的函数Sgx), 其变化率为d S b b 1 S — a , d X X X其中a,b 均为正常数•若当x=×0时S = S 0,试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的使用费S 最高？解：原方程竺=b s -b Ja 可化为竺- b s = -(b 2I)a ,这是一阶非齐次线性微分方 dx X X dx X X 程,且 P(X) - -b ,Q(x) - -(b 2I)a ,其通解为，X XC '(X)=IxC=(1 x)〔In(1 x) C 1 1丄dχ1 xdx C 1)2习题10；1.求下列微分方程的通解：(1) y :::=xe X；(2) y 〃 1 ；2 ；1 X2 (3) (1 x)y''∙ 2xy'=0; ⑷y 〃 -(y)2O 23d X(5) X2 仁0;(6) yy " -(y')2 (y)3=od t解：(1)对方程两端连续积分三次得Il- Xy =(X - 1)e' C 1X V 1“y =(X - 2)e 亠c 1x 亠 C 22X L C I X y = (x -3) e C 2X C 32这就是所求的通解•(2) 对方程两端连续积分两次得y =arctan X C 1由已知X b bS =e X dX ( J b I)a ^,dXb dχ Xb _1 b =X (ax C) e X dx c^x b ( -(b 2I)aX __bχ- dx 亠 C) =-CX bX =X o 时，S = S o 代入上式得 s o x o f a,C = X o b1S 二--a r bcx X ,令S y O 得唯一驻点 x =(2)r7 ,将C bc s o x o - bΓ x o =( ) bs 0x 0 -ab X o,由问题的实际意义知，最值存在，所 b ,rC X 得a代入得是时间=( )bs 0 X 0 - abX o时,其平均单位时间的使用费 S 最高.y = arctan XdX C I X=XarCtan1 X -―In(12X)C I XC 2这就是所求的通解(3) 令y = p(x),则y =P(X)，于是原方程可化为2 *(IX)P 2xp = 0分离变量得空 2^xτdx ,积分得P 1 X再积分得 y = c 1 arctan X C 2.d⅞=dX P亦即dx X C 1| X ■ C i | ■ C 2(5)令 X=P (X ),则 X=P,原方程变为 dxdp 卄 P 1=0,即 PdP = dx 13dx.X2两边积分得P 2 -1 C1X2C i Xd X亦即兰―dtXIdx =dt . 1 ■ cx 2 积分得一..1 C 2 . 从而 1 亠c 1χ2 =(C I t 亠C 2)2 . 这就是所求的通解• (6)令y =P(y),则∙ p,代入原方程得. dy dp 2 3 yp ——-P + P =0 即 P y dy J些-P P 2dy =O若P=O,则y = 0, y = c 是方程的解.c ι p=C ,即 y(4)令 y= P(X),则 y =P ■,原方程可化为两边积分得1 -=X PC i ,即1 X C 1dy再积分得若 y d ^.p.p 3 =O ,分离变量得y.dyp — Py积分得C l yp “y(1 - P )即 P^C l y于是：dyc1y Hn J即( c 1 )dy =c 1dx.dt 1 ■ c 1yy积分得 C l (X _y)y =c 2e 2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：3⑴ y F nx , y(1)T, y '⑴,y 〃(1)=1; 32(2) xy 〃对=1, y(l)=0, y ' (1)=1; (3) y 〃 y 2 =1,y(0)=0, y ' (0)=1.解：(1)方程两边积分得：y " = X In X —X ∙ q ,由 y 1 =1- 得 C 1 = 0 ,于是 y " = x In x - x ,2上式两边再积分得y = — In X -∙3 X?c 2.2 43由y(1)得C 2 4由 y (1) =1 得 C 1 =1 ,于是 (In X 1),从而X3X In 2=0 ,于是两边再积分得由y(1) =0得I3X In 6 II 11X- — X36 C 3.36所以，原方程满足初始条件的特解为 11 3In X-——X36 11+—— 36 (2)令y ■ = p(x)，则y = p :原方程化为 X 2空XP =1.即如1P dx Xdx一阶非齐次线性方微分方程1 P(X)= 一，Q(x) =X ,X-2其通解为 dx X-2(Xe1dx y X1dx c 1) = 一(In X ■ c 1)X1即 y (In X G ),X1 1 2y (In x 1)dx = j(ln X 1)d(ln X 1) (11 n x) c2• x 21由y(1) =O 得c221 2 1 1 2y (1 In x) 即y = In x In x.2 2 2(3)令y J p ,则y χ = p ■,原方程可化为d P 21 一p ,由y (0) =1 ,即X =0 时，P =1 . dxdy显然p =1是上述方程的解，即 1 ,积分得y = x ∙ c,由y(0) =0得C=O ,所以，dx原方程满足初始条件的特解为y = X .3. 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y1=x, y2^∙e x和y3=1∙χ∙e x,求这个方程的通解.解：因为y1, y2, W是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则y? - y1= e x, y3 - y? = 1是Xe某对应的齐次微分方程的特解且一=e x=常数，故e x和1是其对应的二阶齐次线性微分方1程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为y = C1亠c2e x又y1 =x是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是y = C1亠C2e x亠X .4. 求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解：(1) y〃My' 4y=0; (2) y〃-y' -2y=0;(3) y〃5y' 6y=0, y(0)=1, y' (0) ≡6;πππ 6⑷ y" -2y' -10y=0, y( )=0, y'(—)= e .6 6解：(1)特征方程为r2 -4r ∙4 = 0 ,它有两个相等的特征根r1 = r2 = 2 ,所以，所求的通解为y = (c1■ c2x)e2x .(2) 特征方程为r —r —2 = 0 ,它有两个不相等的实特征根r1 = T,r2 = 2,故所求的通解为y = c1e ■ c2e2x.(3) 特征方程为r2 5r，6 = 0 ,它有两个不相等的实特征根r1 = -2, r2 = -3 ,故所求的通解为y =c1e I +c2e'x由y(0) =1 得G +c2=1 ,又由y(0) =6 及厂=—2c1e'x—3c2e'x得2c1 +3c2 = —6 ,解方程组c1 c2 =1 C1 = 91 2得42c1 3c2 = -6 J c2 = -8所以，原方程满足初始条件的特解为y =9e'x _8e^.(4) 特征方程为r2-2r -10 = 0,它有两个共轭复数根,1 X Oy = --e cos 3X35. 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解:(1) y'' +3y' -10 y =144xe-2x;2⑵ y'' -6y' 8y=8x 4x-2;ππ(3) y" y=cos3x, y( )=4, y'(-)=-1;2 24x⑷ y〃-8y,16y=e , y(0)=0,y' (0) =1.2解: (1)特征方程r ∙ 3r -10 = 0有两个不相等的实数根r1 = -5, D = 2 ,故对应齐次方程的通解为Y ^C I e^X■ c2e2x因为■ - -2不是特征方程的根，故可特解为* 2 Xy =(AXB )e代入原方程可解得 A =「12, B =1.所以y =(1 -12 X) =e X .所求通解为-2 X -5 X 2 Xy = (1 —12 x)e ■ c1e ■ c2e(2)特征方程r2 - 6r= 0有两个不同的特征根r1 = 2, r2 = 4 ,故对应齐次方程的通4-2x=(-2 Ax A -2B)e 仏=1±3i ,故方程的通解为y =e x(c1CoS 3x 亠c2sin 3x),ππ- π Z由y( ) =o, y ( ) = e 得G =6 61-,C2 =0,故所求特解为3y = ( -4 AX 4B 4 Ax )e -2x2x 4 xY =c1e 亠c2e 又因为∙=O不是特征方程的根，故可设特解为* 2y =AX bx = 2Ax∙B,y =2A ,代入原方程可解得2 2=X 2x 1 =(x 1) ∙Y=G CoS X c2 Sin X为: 考察方程y y则y*l3iAe3ix3i X=e 因为w =3i不是特征方程的根，故可设特解为* 3ixy = Ae1■ -9 Ae ,代入方程y ■ y = e?",得A ,所以8* 1 3i x 1y e (cos 3x 亠i Sin 3x)8 8取y的实部，即得到方程y y = cos 3x的特解.故原方程y亠y = cos 3x的通解为由初始条件y — =4,12 J(4)特征方程r2 -8r* 1y 1 = -一cos 3x81y cos 3x c1 cos X c2 Sin X8y = 3 sin 3x - c1 Sin x 亠c2 cos X8y - =1得G =-,c^4,故所求的特解为2 81 丄5 丄y = --cos 3X 一cos X 4 sin x8 81^=0有两个相等的实根r1 = r2 = 4，故对应齐次方程的通解解为A =1,B =2,C =1,所求通解为y =(X ∙ 1)2 2x亠c1e 4x亠c?e(3)特征方程为r2 1 =0 , 它有两个共复数根r1,2=±i ,故对应齐次方程的通解为因为.=4是特征方程的重根，故可设特解为*2 4xy =AXe1将其代入方程y“—8y'16y =e 4x得A,故特解为 2所以原方程的特解为 y = 1x 5e 4x (c 1 ■ c 2 x)e 4x24x -24x4 X4x_又由 y =Xe 2x e c 2e 4c 2xe 及 y (0) = 1 ,得 C 2 =1 .1所以，所求特解为y =丄x 2e 4x xe 4x2 6. 设对一切实数X,函数f(x)连续且满足等式f '(x )=x 2 ∙ ∖ (t)dt ,且 f(0)=2,求函数f(x). f (x) = 2x 亠f (x)，即y —y = 2x ，特征方程r —1=0有两个不同的实根r 1 =1,r 2 =-1,故对应齐次方程的通解为Y =C I e X ∙c 2e^因为■ =0不是特征方程的根，故可设特解为Y= Ax B,代入原方程得--2xC 1 e x ■ C 2e J又由题设得「(0) = 0 ,及 y • = -2 ■ C I e X -■ C 2得y " +ay ' +by=θe xf^c 1 +c 2 =2 解方程得C 1 =2, C 2C1 -C2 =2所以满足题设条件特解为y - -2x 2e x--2, B =0 ,故特解为y =…2 ∏,所以方程的通解为C i -C 2 = 2 .=0f(x)X--2x 2e .7.设二阶常系数非齐次线性微分方程12 4x =—X e 2解：方程两边求导得由已知 f (0) =2 得 c 1 ■ C 2 =2的一个特解为y=e2x∙(1 x)e x,试确定常数a,b「并求该微分方程的通解. 解：将已给的特解代入原方程，得(4 2a b)e2x (3 2 a b)e X (I a b)Xe X= : e x比较两端同类项的系数，有4 2a b =OIab=O3 2a b =:解得a = _3, b = 2, = _1.于是原方程为y J3y 2y 二_e x .其特征方程为r2-3r∙2=0,特征根为r1=1,r2=2 ,对齐次方程的通解为X 2 X= c1e 亠c2e又因为，=1是特征方程的单根，故设特解为y = AXe X ,代方程y'"—3y ' 2y = -e x，可解得A=1,故特解为y^xe x所以该微分方程的通解为X 丄2χ丄Xy = c1e 亠c2e 亠Xe .& 设函数(X)可微，且满足X X「(x)=e 亠I (t 一X):(t)d t，求(X) •X X X解：由:(X) = e X亠I (t —x) '(t)d t 得:(0) = 1,又：(x) = e X亠∣ t「(t)d t —x ∣(t)d t ⅛*0*0X两边求导得：:(x)=e X∙χ>(x)-°:(t)dt -X :(x),即X「(X) =e x - 0 ;：(t)dt ,从而：(0) =1再求导得：：(X)= ^^(X),即、、二e可求得对应齐次方程的通解为Y =C I CoSX ∙ C2 sin X ,又因为，=1不是特征方程2r 7=0的根，故可设特解为* Xy =Ae1将其代方程y'y=e x中可求得 A = 1,故方程的通解为y=c一一--1XI CoS X c2 Sin X — e ..又2 2由1(0) =1, ：(0) =1 及y - -G Sin X c2 cos X e得1 1C l, C2 ,所以2 2 2y1 X. 1 X =-(C ox S S i, r即(Xe = 丁(CoS X Sin X e ).2 29∙求方程y'' -y' -2y=3e^在x=0处与直线^X相切的解.解：特征方程r 2 —r _2=0有两个实根r 1=-1,r 2=2,故对应的齐次方程的通解为Y =c 1e* ■ c 2e 2x ,又因为‘ --1是特征方程的单根，故可方程的特解为*Xy = AXe _代入原方程可解得 A=-I ,故原方程的通解为_x2x_xy = c 1e _ ■ c 2e—xe _ , (1)由已知在X =O 处与直线y =X 相切，则y(0)= 0, y (0) =1 ,又X2 XXXy = -c 1 e ^ - 2c 2e-e ^ ■ Xe 一， (2)将y(0) =0, y(0) =1分别代入(1)，( 2)式中得2可解得c 1 , c 2 32 2所以，所求的解为 y--—e -Xe3 310.设函数y(x)的二阶导函数连续且 y'(0)=0,试由方程y(x)=1 1 ∙ y (t)-2y(t) 6t e 」d t3占确定此函数.1解:方程两边对X 求导得y (x) = —[ —y ∙(x) — 2 y(x)亠6xe 」],即y 亠3 y 亠2 y = 6xe 」 (1)3 它的特征方程r 2 3r ∙2 =0有两个相异的实根 r 1 =-1,r 2 =-2,故方程(1)对应的齐次方程的通解是Y ^C I e ^ ■ c 2e^x又• = -1是特征方程的单根，故方程(1)的特解可设为*-K 2y =X(AX B)e (AX Bx) =e将其代入方程(1),可解得A=3, B=—6 ,从而特解为y =(3x 2—6x)e 」，方程(1)的通解为_V2 X2 _Vy = c 1e C 2e(3 X - 6x)e ,…⑵1由 y(x) =1— ；［ —y (t) —2y(t) 6te 丄］dt 得 y(0) =1 ,又 3 •V2 Yy2 __x^=-C I e —2c 2e (6 x —6)e—(3 X —6x)e ,… ⑶c 1 c 2 = 0 c 1 2C 2 - -2由y(0) =1,y(0) =0 及(2),(3)式可得G c 2 =1 G 亠 2c 2 - -6X2 X2Xy =8J7e 一 (3x -6x)e 一即由所给方程确定的函数为y(x^8e^ -7e-x (3χ6 _6x)e 」11. 一质点徐徐地沉入液体，的运动规律.解：由题设条件与牛顿第二定律有习题10∙41.某公司办公用品的月平均成本 C 与公司雇员人数 X 有如下关系:C ' =C 2e^-2C6m g2 •因而有 kd 2sm —7 = mg dt -k 空（k 为比例系数） dt 2d S k ds即 g,…⑴ dt m dt这是一个二阶线性非齐次方程，它的特征方程 kr = 0有两个不相等的实根 mk r =0, r ,它对应的齐次方程的通解m c 2 e k tm,又因∙ =0特征方程的单根，故可设特解为S =At ,代入方程（1）可得A mg kk ,故方程（1）的通解为 c 1 c 2e m mg t. k且 s _ _kc 2e mkηm mg,又开始沉入时即kt=0 时,s = 0, ds = 0 ,将其代入上两式可解得dtC1C22m g S 厂 k2m g2kmg t.k故方程（1）的满足已知条件y(0) =1, y (0) =0 的特解为当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求质点且C（0）=1,求C（X）.解：方程C ∙ = C 2e* _2C 可变形为:C 2C =e~ C=这是：• = 2的伯努利方程,令 Z -C I --C J ,方程可化为：Z •一2Z ,这是一阶非齐次线性微分方程且P(X)= -2 ,Q(x) = _e —,其通解为：= e 2x (1e~x dx m) =1e3311(为了与成本C 区别，这里的任意常数用 m 表示),于是 e 」 me 2x ,由已知C(O)=I ,可C 3其中a , b 为正的已知常数，若R o) =0, S (0) =S(购买成本)，求R(t)与S (t ).解：先解一阶线性方程 S - _bS ,求出S(t),分离变量得：竺-_bdt ,积分得 ^C I e^tSS(0) = S 0 ,可得C 1 = S 0 ,所以S(t) = S 0M ,将S(t) = S 0/ 代入所给方程—e bt ,积分得:R(t) — e bt C 2,由已知条件R(0) =0得C ? SCbS3.设D=D(t)为国民债务，Y=Y(t)为国民收入，它们满足如下的关系:D' R Y +P , Y' ="Y其中：■, ^-,为正已知常数. (1)若 D(O)=D 0,Y(0)=Y °,求 D(t)和 Y(t);⑵求极限Iim D°tτ 乂丫⑴解：(1)先解方程Y= Y,求出Y(t)；分离变量得：也 =dt ,积分得Y=C 1e t ,由Y(O)=Y O 得YC l =丫0 ,所以 Y(t) =Λe t ,将 Y(t) =Y °e t 代入D 丄〉丫「中得：D =〉Y °e t 「，积分得 O(Y O Y QG Y OD -e ,-C ?,由 D(O)=D O 得 C^D O,所以Z =e^-2dx-Jdx.X ∣~i'2x .3x((-e 一)edx m) = e ( -e~ dx m) 得:m =2,从而 1=1e js 2e 2x3 C 333x1 2eX3e2.设R=R(t)为小汽车的运行成本, 3e x,所以 C(X)=FS=S(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程: aR'-,S ' --bS, S由已知条件所以R(t)=a bS。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]

1 y 2 ec1 ( x2 1) ,记 c ec1 有 y 2 c( x 2 1) 1.
(4) 分离变量得,
1 dy sin x c dx ,两边积分得, tan y 2 2 cos x cos y c.
x 1 y 3
作变换
x u 1 ,原方程化为 y v 3
dv v u du u v
这是一个齐次方程,按齐次方程的解法: 令
v 1 du , 方程可化为 d 2 u 1 u
5
两边积分可得,整理可得, 2arctan ln u 2 (1 2 ) c 将
x y dx dy 0, y x 0 1 ； 1 y 1 x
y(1)0;
(6) yy′xey0, (7) y′e2xy，
y x 0 0 ．
dy dx 1 y 1 x (1 y 0) ,两边积分得
解: (1) 原方程分离变量得
2
ln 1 y ln 1 x c1
y 2x
y
(7) 分离变量得 e dy e dx , 两边积分得 e
1 2x e c , 由 y 2
x 0
0 得
3
c
1 1 2x y ,所以,原方程满足初始条件的特解为 e (e 1) . 2 2
2．物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T0 的物体放在保持常温为的室内，求温度 T 与时间 t 的关系. 解: 设 t 时刻物体的温度为 T,由题意有
(5) 原方程可化为: y(1 y)dy x(1 x)dx ,两边积分得由 y
y 2 y3 x 2 x3 c 2 3 2 3

微积分-四川大学数学学院

习题课教学大纲（微积分II）（征求意见稿）课程名称：大学数学-微积分II英文名称：Calculus课程性质：必修课程代码：20113830(上册)20112530（下册）面向专业：大学数学II各专业习题课指导丛书名称：高等数学(第五版)出版单位：高等教育出版社出版日期：2002年7月主编：同济大学应用数学系习题课讲义名称：大学数学习题课系列教材--微积分编写单位：四川大学数学学院编写日期：2006年8月主编：四川大学数学学院高等数学教研室第一章函数与极限1．函数与极限2学时（1）基本内容函数的概念，函数的表示，函数的几种特性，复合函数，分段函数，极限的概念及性质，极限存在准则，重要极限，无穷小量与无穷大量，极限的计算，函数的连续与间断，闭区间上连续函数的性质。

（2）基本要求处理作业批改中发现的问题。

通过具体例子讲解极限的计算问题，连续性讨论问题，复合函数定义域及分段函数的复合问题。

第二章导数与微分2学时（1）基本内容：导数及高阶导数的定义；复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的求导；微分。

（2）基本要求：处理作业批改中发现的问题；举列说明复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的一阶二阶求导；会求微分。

第三章微分中值定理与导数的应用2学时1.中值定理及洛必达法则(1) 基本内容:中值定理的应用;洛必达法则求极限.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;通过具体例子讲解中值定理的题型和解题步骤;求各种不定形的极限并注意化简和变形技巧.2.不等式的证明和函数曲线(1)基本内容:函数单调性凹凸性的判定;函数的最值;泰勒定理.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;举例说明函数导数二阶导数曲线关系;举例讲解利用曲线特征证明函数不等式;举例说明函数最值的应用;泰勒中值定理的应用方法.第四章不定积分2学时一、基本内容：复习原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质及基本积分公式，总结换元积分法和分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分的计算方法。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社第八章

第八章习题8-1 １．求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)z=(2)1ln()zx y=-；(3)z=arcsin yx；(4)zarccos（x２+y２）．解：（1）要使函数有意义，必须222210x ya b--≥即22221x ya b+≤，则函数的定义域为2222(,)|1x yx ya b⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，如图8-1阴影所示.图8-1 图8-1（2）要使函数有意义，必须ln()0x yx y-≠⎧⎨->⎩即1x yx y-≠⎧⎨>⎩，则函数的定义域为{(,)|x y x y>且1}x y-≠,如图8-2所示为直线y x=的下方且除去1y x=-的点的阴影部分（不包含直线y x=上的点）.（3）要使函数有意义，必须1yxx⎧≤⎪⎨⎪≠⎩,即11yxx⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩，即x y xx-≤≤⎧⎨>⎩或x y xx≤≤-⎧⎨<⎩，所以函数的定义域为{(,)|0x y x>且}{(,)|0,}x y x x y x x y x-≤≤<≤≤-，如图8-3阴影所示.图8-3 图8-4（4）要使函数有意义，必须2200||1x y x y ⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩即222001x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩, 所以函数的定义域为222{(,)|0,0,,1}x y x y x y x y ≥≥≥+≤,如图8-4阴影所示.２．设函数f (x ,y )=x 3-2xy +3y 2，求 (1) f (-2,3); (2) f 12,x y ⎛⎫⎪⎝⎭； (3)f (x +y ,x -y ). 解：（1）32(2,3)(2)2(2)33331f -=--⨯-⨯+⨯=;（2）23321211221412,23f x y x x y y x xy y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （3）32(,)()2()()3()f x y x y x y x y x y x y +-=+-+-+- 3222()2()3()x y x y x y =+--+-. ３．设F (x ,y )f，若当y =1时，F (x ,1)=x ，求f (x )及F (x ,y )的表达式．解：由(,1)F x x =得1)x f =即1)1f x =-1t =则2(1)x t =+代入上式有2()(1)1(2)f t t t t =+-=+所以 ()(2)f x x x =+于是(,)1)1) 1F x y f x ===-４．指出下列集合A 的内点、边界点和聚点：(1){(,)01,0}A x y x y x =≤≤≤≤；(2){(,)31}A x y x y =+=； (3)A ＝｛（x ,y ）｜x ２＋y ２＞０｝； (4)(0,2]A =．解：（1）内点{(,)|01,0}x y x y x <<<<边界点{(,)|01,0}{(,)|01,1}x y x y x y y x ≤≤=≤≤= {(,)|,01}x y y x x =≤≤ 聚点A （2）内点∅ 边界点A 聚点A （3）内点A边界点（0，0）聚点A（4）内点∅ 边界点[0,2] 聚点[0,2]习题8-2１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：(1) z =224xy x y+； (2) z =x y x y +-．解：(1)当(,)P x y 沿曲线2x ky =趋于（0，0）时，有24244200lim (,)lim 1y y y kxky kf x y k y y k →→===++这个值随k 的不同而不同，所以函数224Z=xy x y+在(0,0)处的极限不存在. (2)当(,)P x y 沿直线(1)y kx k =≠趋于(0,0)时，有001lim (,)lim(1)1y x y kxx kx kf x y k x kx k→→=++==≠--，这个极限值随k 的不同而不同，所以函数Z=x yx y+-在(0,0)处的极限不存在. ２．求下列极限：(1) 00sin limx y xy x →→； (2)22011lim x y xyx y→→-+；(3)00x y →→ (4)22sin lim x y xy x y →∞→∞+．解：（1）0000sin sin()limlim 0x x y y xy xy y x xy →→→→=⋅=（2）222211101lim101x y xy x y →→--⨯==++（3）0000001)2x x x y y y →→→→→→=== （4）当,x y →∞→∞时，221x y+是无穷小量，而sin xy 是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即22sin lim0x y xyx y →∞→∞=+.３．求函数z =2222y xy x+-的间断点．解:由于220y x -=时函数无定义，故在抛物线22y x =处函数间断，函数的间断点是2{(,)|2,R}x y y x x =∈.习题8-3１．求下列各函数的偏导数：(1) z =(１+x )y ; (2) z =lntany x； (3) z =arctan yx； (4) u =zx y ．解：（1）1(1)y zy x x-∂=+∂(1)ln(1)y zx x y∂=++∂; （2）22221sec cot sec ;tan z y y y y y yx x x x x x x∂-=⋅⋅=-∂ 22111sec cot sec ;tan z y y y yy x x x x xx∂=⋅⋅=∂ （3）22221;1zy yxx x yy x ∂--=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭22211;1zx yx x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（4）22ln ln ;z zx x u z z yy y y x x x∂-=⋅⋅=-⋅∂1;1ln ln .zxzz x xu z y y xu y y y y z x x-∂=∂∂=⋅⋅=⋅∂２．已知f (x ,y )=e -sin x (x +2y )，求x f '(0，1)，y f '(0，1)．解：sin sin sin (,)e (cos )(2)e e [cos (2)1]x x x x f x y x x y x x y ---'=⋅-++=-⋅++ s i ns i n(,)e22ex x y f x y --'=⋅= 所以sin0(0,1)e (cos0(021)1)1x f -'=-⋅+⨯+=- s i n 0(0,1)2e 2y f -'== ３．设z =x +y +(y -，求112811,x x y y z z x y====∂∂∂∂．解：1122112d (,1)d(1)1d d x x y x z f x x xx x====∂==+=∂又23211(3z x x y y y y-⎛⎫∂-=+-⋅ ⎪∂⎝⎭所以1811π11arcsin 126x y z y==∂=+=+=+∂. ４．验证z =11+ex y ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足222z zxy z x y∂∂+=∂∂．解：1111()()2211e ex yx y z x x x-+-+∂-=⋅-=∂ 1111()()2211e ex yx yz y y y-+-+∂-=⋅-=∂所以1111()()22222211e ex yx y z z x y x y x y x y-+-+∂∂+=⋅+⋅∂∂ 11()2e 2x yz --+==５．设函数z =2222422,00,0xy x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在?解：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f z y y ∆→∆→+∆--'===∆∆ 00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f z x x∆→∆→+∆--'===∆∆ 所以函数在（0，0）处的偏导数存在且(0,0)(0,0)0x y z z ''==.６．求曲线22(),4z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩14在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角．解：因为 242z x x x ∂==∂，故曲线221()44z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）的切线斜率是(2,4,5)1z x ∂=∂,所以切线与x 轴正向所成的倾角πarctan14α==.７．求函数z =xy 在(2,3)处，当Δx ＝0.1与Δy =－0.2时的全增量Δz 与全微分d z ．解：,z zy x x y ∂∂==∂∂∴ d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂ 而()()z x x y y xy x y y x x y ∆=+∆+∆-=∆+∆+∆∆ 当0.1,0.2,2,3x y x y ∆=∆=-==时，d 30.12(0.2)0.1z =⨯+⨯-=-2(0.2)30.10.1(0.2)0.12z ∆=⨯-+⨯+⨯-=-. ８．求下列函数的全微分：(1) 设u =()zx y，求d u ｜(1,1,1)．(2) 设z，求d z ．解：（1）1121(),()z z u x u x x z z x y y y y y --∂∂-=⋅⋅=⋅⋅∂∂;()ln ,z u x xz y y∂=∂ (1,1,1)(1,1,1)1,1,u u x y∂∂∴==-∂∂ (1,1,1)0u z∂=∂,于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)d d d d d d z z z ux y z x y xyz∂∂∂=++=-∂∂∂（2）z x∂==∂2zy∂==∂ ∴22d d d d d z z z x y xyx y ∂∂=+=∂∂习题8-4１．求下列各函数的全导数：(1) z =e 2x +3y , x =cos t , y =t 2; (2) z =tan(3t +2x 2+y 3), x =1t，y．解：（1）d d d d d d z z x z yt x t y t∂∂=+⋅∂∂ 22323232cos 3e 2(sin )e 32=2e(3sin )2e (3sin )x y x y x yt t t tt t t t ++++=⋅⋅-+⋅⋅-=-（2）d d d d d d z f f x f y t t x t y t∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂223223222321sec (32)3sec (32)4 sec (32)3t x y t x y xt t x y y -=++⋅+++⋅+++⋅3223242(3(3)t t t t=-++. ２．求下列各函数的偏导数：(1) z =x 2y -xy 2, x =u cos v , y =u sin v ;(2) z =e uv , u =, v =arctany x．解：（1）z z x z yu x u y u∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22222222222(2)cos (2)sin 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos 3sin cos (cos sin )xy y v x xy vu v v u v v u v v u v v u v v v v =-+-=-+-=-z z x z y v x v y v∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22323333323333(2)sin (2)cos 2sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos (sin cos )(sin cos )xy y u v x xy u vu v v u v u v u v v u v v v v u v v =--+-=-++-=-+++（2）221e e 1()uv uv z z u z v y v u y x u x v x x x∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅∂∂∂∂∂+arctan2222e e()(arctanyuvxyxv yu x y x y x y x=-=-++211e e 1()uv uv z z u z vv u y y u y v yxx∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅⋅∂∂∂∂∂+2222e e()(arctanln y uvxyyv xu x x x y x y x=+=+++ ３．求下列函数的一阶偏导数，其中f 可微： (1) u =f (,x yy z)； (2) z =f (x 2+y 2)； (3) u =f (x , xy , xyz )．解：（1）121110u f f f x y y ∂'''=⋅+⋅=∂12212211u x x f f f f y y z z y ∂-''''=⋅+⋅=-∂122220u y y f f f z z z∂-'''=⋅+⋅=∂ （2）令22,u x y =+则()z f u =22d ()22()d z f u f u x xf x y x u x∂∂''=⋅=⋅=+∂∂22d ()22()d z f u f u y yf x y y u y∂∂''=⋅=⋅=+∂∂ （3）令,,t x v xy w xyz ===,则(,,)u f t v w =.123123d 1d u f t f v f w f f y f yz f yf yzf x t x v x w x∂∂∂∂∂∂''''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂ 12323d 0d u f t f v f w f f x f xz xf xzf y t y v y w y∂∂∂∂∂∂'''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂1233d 00d u f t f v f w f f f xy xyf z t z v z w z∂∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂ ４．设z =xy +x 2Ｆ(u ),u =yx，Ｆ（u ）可导．证明：2z zxy z x y∂∂+=∂∂．证：222()()2()()z yy xF u x F u y xF u yF u x x∂-''=++⋅=+-∂21()()z x x F u x xF u y x∂''=+⋅=+∂22()()()z zxy xy x F u xyF u xy xyF u x y∂∂''∴==+-++∂∂ 22[()]x y x F u z=+=∂ ５．利用全微分形式不变性求全微分：(1) z =(x 2+y 2)sin(2x +y )； (2) u =222()yf x y z --，f 可微．解：（1）令22,sin(2)u x y v x y =+=+，则vz u =122d d d d()ln d sin(2)v v z zz u v vu x y u u x y u v-∂∂=+=++⋅+∂∂122sin(2)2222(2d 2d )ln cos(2)d(2)[2(d d )ln cos(2)(2d d )]2sin(2)()(d d )cos(2)ln()(2d d )v v v x y vu x x y y u u x y x y vu x x y y u x y x y ux y x y x x y y x y x y x y x y -+=++⋅++=⋅++⋅++⎡⎤+=++++++⎢⎥+⎣⎦（2）22222222111d d d d ()d()yu y y f y f x y z x y z f f f f-'=+⋅=-----222222222222221()d (2d 2d 2d )12()d (d d d )()()yf x y z y x x y y z z f f yf x y z y x x y y z z f x y z f x y z '--=---'--=-------６．求下列隐函数的导数：(1) 设e x +y +xyz =e x ，求x z ',y z '； (2)设x z =ln z y，求,z zx y ∂∂∂∂．解：（1）设(,,)e e 0x yx F x y z xyz +=+-=，则ee ,e ,x yx x y x y z F yz F xz F xy ++'''=+-=+=故e e e ,x x y x yy x y z F Fx yz xzz z Fz xy F xy++'--+''=-==-=-（2）设(,,)ln 0x zF x y z z y=-=,则 2221111,,x y z y z x y x F F F z z y y z z y z z--'''==-⋅==-⋅=--故21x z F z z z xF x z z z '∂=-=-='∂+--2211()y z F z z yx yF y x z z z'∂=-=-='∂+-- ７．设x +z =yf (x 2-z 2)，其中f 可微，证明：z zzy x x y∂∂+=∂∂．证：设22(,,)()F x y z x z yf x z =+--则2212()x F xyf x z ''=--2222()12()y z F f x z F yzf x z '=--''=+-故22222()112()x z F zxyf x z x F yzf x z ''∂--=-=''∂+- 2222()12()y zF z f x y y yzf x z F '∂-=-='∂+-' 从而22222222()()12()12()z z xyzf x z z yf x y z y x y yzf x z yzf x z '∂∂∂---+=+''∂∂+-+- 222222222222222()()12()2()12()[2()1]12()xyzf x z z yf x y yzf x z xyzf x z z x zyzf x z x yzf x z x yzf x z '--+-='+-'--++='+-'-+=='+-８．设x =e u cos v , y =e u sin v , z =uv ,求z x ∂∂及z y∂∂．解法一：由e cos ,e sin u ux v y v ==得221ln(),arctan ,2yu x y v z uv x=+== 故22(cos sin )e uz z u z v xv yu v v u v x u x v x x y-∂∂∂∂∂-=+==-∂∂∂∂∂+22(sin cos )e uz z u z v yv xu v v u v y u y v y x y-∂∂∂∂∂+=+==-∂∂∂∂∂+ 解法二：设方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了函数(,),(,)u u x y v v x y ==,对方程组的两个方程关于x 求偏导得1e cos e sin 0e sin e cos uu u u u v v v x xu v v v x x ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得e cos e sin u u uv xv v x --∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=-⎪∂⎩又方程组的两个方程关于y 求偏导得0e cos e sin 1e sin e cos uu u u u v v v y y u v v vy y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得：e sin e cos uu u v y v v y--∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩ 从而e (cos sin )u z z u z vv v u v x u x v x-∂∂∂∂∂=⋅+=-∂∂∂∂∂e (s i n c o s )uz z u z v v v u v y u y v y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ ９．设u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，y =y (x )和z =z (x )分别由方程0xye y -=和e z -xz =0确定，求d d ux．解：方程e 0xyy -=两边对x 求导得d de ()0d d xyy y y x x x +-=，解得2d e d 1e 1xy xy y y y x x xy==-- 方程e 0zxz -=两边对x 求导得d de 0d d zz z z x x x--= 解得d de z z z z x x xz x==-- 从而2d d d d d d 1y z x y z x y f zf u y zf f f f x x x xy xz x''''''=++=++--习题8-5１．求下列函数的二阶偏导数： (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2； (2) z =arctany x； (3) z =y x ； (4) z =x ln(xy )．解：（1）23222248, 128;z z x xy x y x x∂∂=-=-∂∂232222248, 128;1622z z y x y y x y y zxy x y∂∂=-=-∂∂∂=-（2）22221,1()z y y y x x x y x∂-=⋅=-∂++ 22222222222222222222222222222211,1()2(2),()()22()()()2()()z x y y x x y xz y xyx x x y x y z x xyy y x y x y z x y y y y x x y x y x y ∂=⋅=∂++∂-=-⋅=∂++∂--=⋅=∂++∂+-⋅-=-=∂∂++（3）1ln , ,x x z zy y xy x y-∂∂==∂∂222222211ln , (1),1ln (1ln )x x x x x z z y y x x y x y z xy y y y x y x y y---∂∂==-∂∂∂=+⋅=+∂∂（4）1ln()1ln(),z xy x y xy x xy∂=+⋅⋅=+∂22222211,1,11.z y x xy x z x x x y xy y z xy y z x x y xy y∂=⋅=∂∂=⋅⋅=∂∂=-∂∂=⋅=∂∂２．求下列函数的二阶偏导数，其中f (u ,v )可微： (1) z =f (x 2+y 2)； (2) z =f (xy ,x +2y )．解：（1）2222, 22224z zxf f xf x f x f x x∂∂'''''''==+⋅=+∂∂ 2222, 22224z zyf f yf y f y f y y ∂∂'''''''==+⋅=+∂∂2224zxf y xyf x y∂''''=⋅=∂∂（2）1212, =+2 z zyf f xf f x y∂∂''''=+∂∂ 22111221221112222(1)12zy f y f f y f y f yf f x∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 22111221*********(2)2(2)44z x f x f f x f x f xf f y∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 21111221221111222(2)2 (2)2zf y f x f f x f x y f xyf x y f f ∂'''''''''=++⋅+⋅+⋅∂∂'''''''=++++３．求由e z -xyz =0所确定的z =f (x ,y )的所有二阶偏导数．解：设(,,)e 0zF x y z xyz =-=，则,,e z x y z F yz F xz F xy '''=-=-=-于是,e x z z F z yz zx F xy xz x∂=-==∂--e z z xz zy xy yz y∂==∂-- 从而222()(1)()z z xz x z z x zx x xxz x ∂∂--+-∂∂∂=∂-232223(1)221.(1)(1)z z z z z z z z x z x z --+---==-- 223222223()(1)(1)221.()(1)(1)z zz yz y z z y z z z z z z z y y z y yz y y z y z ∂∂--+---+∂--∂∂-===∂--- 2222233()()(1)(1).()(1)(1)(1)z z z z xz x z x z z z z z y y y y z x y xz x x z xy z xy z ∂∂---∂---∂∂-====∂∂----习题8-6１．求z =x ２+y ２在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2的方向的方向导数．解：设(1,2),(2,2o p p ，则射线l的方向就是向量(1o p p =的方向，将o p p 单位化得：1(,),22||o o p p p p =于是1cos ,cos 2αβ==, 又2,2,f fx y x y ∂∂==∂∂ 于是(1,2)(1,2)2,4,f f x y∂∂==∂∂所以(1,2)124122f l∂=⨯+=+∂ ２．设u =xyz +x +y +z ,求u 在点(1，1，1)处沿该点到点(2，2，2)的方向的方向导数．解：设0(1,1,1),(2,2,2)p p ,则射线l 的方向就是向量0p p =(1,1,1)的方向，将0p p单位化得00||p p p p =⎝⎭，于是cos αβγ=== 又1,1,1f f f yz xz xy x y z ∂∂∂=+=++∂∂∂，于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)2,2,2fff xyz∂∂∂===∂∂∂,所以(1,1,1)222333f l∂=⨯+⨯+⨯=∂. ３．求函数z =x ２-xy +y ２在点Ｍ（１，１）处沿与Ox 轴的正方向所成角为α的方向l 上的方向导数．问在什么情况下，此方向导数取得最大值?最小值?等于零? 解：2,2f f x y x y x y ∂∂=-=-+∂∂, (1,1)(1,1)1,1f fx y∂∂==∂∂∴(1,1)π1c o s 1s i n 2s i n ()4f lααα∂=⋅+⋅+∂当πsin()4α+=1，时，即π4α=当πsin()14α+=-时，即5π4α=时，此方向导数有最小值当πsin()04α+=时，即3π4α=或7π4时，此方向导数为0.习题8-7１．求下列函数的极值： (1) z=x ３-4x 2+2xy -y 2+3； (2) z =e 2x (x +2y +y 2)； (3) z =xy (a -x -y )， a ≠0．解：（1）由方程组：23820220xy z x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩ 得驻点（0，0），（2，2）又68,2,2,xx xy yy z x z z ''''=-==-在点（0，0）处，2120B AC -=-<,又80A =-<，所以函数取得极大值(0,0)3;f = 在点（2，2）处，2120,B AC -=>该点不是极值点.（2）由方程组222e (2241)0e (22)0x xx y z x y y z y ⎧'=+++=⎪⎨'=+=⎪⎩ 得驻点1(,1)2-.又2222e (4484),e (44),2e xxxxx xy yy z x y y z y z ''''''=+++=+=，在点1(,1)2-处22202e 2e 4e 0,B AC -=-⋅=-<且2e 0A =>,所以函数取得极小值11(,1) e.22f -=- （3）由方程组(2)0(2)0xy z y a x y z x a y x ⎧'=--=⎪⎨'=--=⎪⎩ 得四个驻点（0，0），(0,),(,0),,.33a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又2,22,2xx xy yy z y z a x y z x ''''''=-=--=-.在点（0，0）处，220,B AC a -=>该点不是极值点. 在点(0,)a 处，220B AC a -=>,该点不是极值点. 在点(,0)a 处，220B AC a -=>,该点不是极值点.在点,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭处,2203a B AC -=-<，所以函数在该点有极值，且极值为3,3327aa a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于23xx A z a ''==-故当0a >时，(0)A <，函数有极大值327a ,当0a <时，(0)A >，函数有极小值327a .２．求函数z =x 3-4x 2+2xy -y 2在闭区域D ：-1≤x ≤4,-1≤y ≤1上的最大值和最小值． [分析]由(,)f x y 在D 上连续，所以必有最大最小值，又由于(,)f x y 在D 内可导，所以(,)f x y 的最值在D 的内部驻点或在D 的边界上，由(,)f x y 在D 内部驻点上值与边界上函数比较可求出(,)f x y 的最大和最小值.解：由方程23820220xy z x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点（0，0），（2，2）（2，2）D ∈应该舍去，(0,0)0f =（可由充分条件判别知是极大值）.D 的边界可分为四部分：12:1,11; :1,14;L x y L y x =--≤≤=--≤≤ 34:4,11; :1,1 4.L x y L y x =-≤≤=-≤≤在1L 上，2(1,)52(),1 1.f y y y y y ϕ-=---=-≤≤因为()2(1)0,y y ϕ'=-+≤所以()y ϕ单调递减，因而(1)4ϕ-=-最大，(1)8ϕ=-最小. 在2L 上，32(,1)421(),14f x x x x g x x -=---=-≤≤令()0g x '=得124433x x ==.而122227min{(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x --==,1214227m a x {(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x -==分别是(,)f x y 在2L 上的最小值与最大值.类似讨论可得：在3L 上(4,1)7,(4,1)9f f =-=-，分别是(,)f x y 的最大值与最小值;在4L 上(4,1)7,(1,1)f f =-=-8分别是(,)f x y 的最大值与最小值.比较(,)f x y 在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到(4,1)7f =是函数(,)f x y 在D 上的最大值，116.1f ⎫-=≈-⎪⎪⎝⎭. ３．求函数z =x +y 在条件111x y+= (x ＞０,y ＞０)下的条件极值．解：构造拉格朗日函数11(,)1F x y x y x y λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭解方程组221010111x y F x F y x yλλ⎧'=-=⎪⎪⎪'=-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 得2,2,4x y λ===,故得驻点(2,2)。

微积分B(2)第3次习题课参考答案(微分学几何应用、极值与条件极值)_34701046

+
Fy′(1,1,1)(
y
−
1)
+
Fz′(1,1,1)(z
−
1)
=
0,
即
x x
− +
2y + z y + 2z
= −
0, 4=
0.
因
为
平
面
x
−
2
y
+
z
=
0
的
法
向
量
为
n 1
=
(1,
−2,1)
，
平
面
x
+
y
+
2z
−
4
=
0
的
法
向
量
为
． n 2
=
(1,1, 2)
于是
n 1
×
n 2
=
(−5,
−1,
3)
就是
L
微积分 B(2)
第 3 次习题课（By ） Huzm
2 / 17
解：曲面 S 上点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量为
， (4x,6y, 2z)
=
(1,1,1)
(4, 6, 2)
单位法向量为 n = 1 ． (2,3,1) 14
函数u = 6x2 + 8y2 在点 P 处的三个偏导数为 z
，，． ∂u(P) ∂x
ez − x − y = −1 (1,1,0)
所以 S 在点(1,1,0) 处的切平面方程为
，即． (x −1) + ( y −1) + z = 0 x + y + z = 2

清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)

(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求，． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（）设函数由方程确定，求． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r

微积分II课后答案详解

2�计算下列各式的近似值�分析运用公式
f (x0 + ∆x1 y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0 ) + f x′ ∆x + f ′y∆y � �1� (10.1)2.03 解�令 f (x, y) = x y , x0 = 10, ∆x = 0.1, y0 = 2, ∆y = 0.03
(10.1)2.03 = f (x0 + ∆x1 y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + f x′ ∆x + f ′y∆y = 102 + yx y−1 (10,2) ⋅ 0.1 + x y ln x (10,2) ⋅ 0.01 = 100 + 2 + 3ln10 ≈ 108.9
f (x, y) = x − kx = 1 − k ≠ 1(k ≠ 0) x + kx 1 + k
综合①②可知函数极限不存在。
练习 5.2
1.求下列函数的偏导数
① z = x3 y − xy3,求 ∂z , ∂z
∂x ∂y
解� ∂z = 3x 2 y − y 3 , ∂z = x3 − 3xy 2
x+ y
x→0
分析�由二元函数极限定义�我们只须找到沿不同路径 p → p0(0,0) 时�所得极限值不同即可。
证明� ① p(x, y) x ( x ≠ 0, y = 0)
f (x, y) = f (x,0) = 1, lim f (x, y) = 1 x →0 y→0
p0 (0, 0)
②当 p(x, y)沿直线y = kx(x ≠ 0)趋于�0�0�时�
练习 5.1
1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状?

清华大学微积分B2课程基础习题课讲义及习题答案

8p
)
@z @x
=
>>>>>><不2p|存yx| ,在,
>>>>>>:0,
p |y| p 2x
,
x > 0, x = 0且y 6= 0 x = 0, y = 0 x < 0.
y 6= 0 ，
y=0
3. 求下列偏导数：
(1)z
=
x+y xy
，求
@z @x
,
@z @y
；
(2)f (x,
y)
=
arctan
x2+y2 sin(x2+y2)
<
1 cos(x2+y2)
，即cos(x2
+ y2)
<
sin(x2+y2) x2+y2
<
1
* lim cos(x2 + y2) = 1 x!0 y!0
) lim f (x, y) = 1. x!0 y!0
(4)方法1：lim f (x, y) x!0
=
lim
x!0
1
cos(xy) x2+y2
y)
=
p x
ln(x
+
y)；
(2)f (x, y) = ln(y
x2)；
x
(3)f (x, y)
=
ey ；
xy
(4)f
(x,
y)
=
arcsin
x y
.
解：(1)由x 0, x + y > 0得该函数的定义域为{(x, y) | x
0且x + y > 0}.

大一微积分二至四章课后习题答案

第二章习题解答习题 2—11. 用定义求函数2y x =在1x =处的导数。

解：（1）22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆;（2)22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆； (3）00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.2. 已知一物体的运动方程为38s t =+ ()m ,求该物体在2()t s =时的瞬时速度。

解:(1）323(2)(2)(2)816126()()s s t s t t x t ∆=+∆-=+∆+-=∆+∆+∆；（2）230[126()()](2)lim12t s t x t v t t∆→∆∆+∆+∆===∆∆。

3. 求在抛物线22y x =+上点1x =处的切线方程与法线方程. 解：因为2(2)2y x x ''=+=,12,x y ='= 故所求的切线方程为 32(1)y x -=- 即 210x y -+-=所求的法线方程为 13(1)2y x -=--即 15022x y +-=。

4. 设0()f x '存在，试利用导数的定义求下列极限:(1）000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆; （2)000()()lim h f x h f x h h →+--；(3)000()(2)lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆.解：（1） 0000000()()[()]()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆；（2）原式0000000()()()()lim lim 2()h h f x h f x f x h f x f x h h→→+---'=+=-；（3）原式0000000()()(2)()3lim lim ()222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'=+=∆-∆。

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