随机变量及其概率分布全概率

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概率论课件第二章

第二章随机变量及其分布 §2.1 随机变量
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量（random variable, 简记为r.v.) 。

2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定义 : 设试验E只有两个可能结果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将试验E独立重复地进行 n次 , 这样的试验称为贝努利试验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt

x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件

【人教A版选择性必修三2021版】7_1_2 全概率公式

第七章随机变量及其分布
1 |全概率公式及其应用
全概率公式的意义在于,当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时,可以先
找到样本空间Ω的一个划分Ω=A1∪A2∪…∪An,A1,A2,…,An两两互斥,将A1,A2,…,An看成是导致B发生的一组原因,这样事件B就被分解成了n个部分,分别计算P(B|A1),P(B |A2),…,P(B|An),再利用全概率公式求解. 运用全概率公式计算事件B发生的概率P(B)时,一般步骤如下:
P(B|A0)=1,P(B|A1)=
C149 C420
=
4 5
,P(B|A2)=
C148 C420
=
12 19
,
4
由全概率公式可得,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×1+0.1× 5+0.1
12
×19
≈0.94.
即顾客买下该箱玻璃杯的概率约为0.94.
(1)先求划分后的每个小事件的概率,即P(Ai), i =1,2,…,n; (2)再求每个小事件发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|Ai), i =1,2,…,n;
(3)最后利用全概率公式计算P(B),即P(B)=
n
P(Ai )P(B|Ai ).
i 1
第七章随机变量及其分布
已知某超市的玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别是
第七章随机变量及其分布
装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的箱子中丢失了一件产品,
但不知道是几等品,现从箱中任取2件产品,结果都是一等品,则丢失的产品是一等
品的概率是多少?

【高中数学】随机变量及其分布课件2022-2023学年高二下学期数学人教A版2019选择性必修第三册

解：设事件A “甲袋中取到红球”，B “从乙袋中取到红球”.
则从甲乙两袋中取到的都是红球即为事件AB
其中P（A） 1 ，P（B） 1 ；又事件A、B相互独立
2 所以P（AB）
2 P（A）P（B）
1
1
1
.
22 4
[规律总结]
规律总结：一般地，若事件A、B相互独立，则积事件AB的概率满足 P（AB） P（A）P（B）.
A. 1
B. 7
C. 11
D. 1
2
36
48
6
[提炼升华]
条件概率与全概率公式
随机变量
离散型随机变量连续型随机变量
条件概率公式
P（B |
A）
P（AB） P（A）
概率的乘法公式 P（AB） P（A）P（B | A）
全概率公式
n
P（B) P(A i）P（B | Ai）. i 1
贝叶斯公式分布列
由条件概率的定义知，对任意两个事件A与B，若P（A） 0, 则P（AB） P（A）P（B | A）.我们称上式为概率的乘法公式.
当且仅当事件 A与B相互独立时，有 P（B | A） P（B），此时P（AB） P（A）P（B）.
[典型例题]
例：甲袋中装有3个红球和3个白球，乙袋中装有2个红球和2个白球. 问题3：从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则两次取到的都是红球的概率是多少？
P（Ai
|
B）
P(A i）P（B | P（B）
A
） i
P(A
i）P（B
|
A
）
i
n
.
P(A
k）P（B
|
A
）

第二章随机变量及其概率分布(概率论)

当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

概率论课件：第二章随机变量及其概率分布

π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析：显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi

概率统计第二章随机变量及其分布

引入适当的随机变量描述下列事件：例1：引入适当的随机变量描述下列事件：个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有个空格} B={有个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球全有球} C={全有球}。进行5次试验， D={试验成功一次试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次试验至少成功一次} G={至多成功至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应可能取值点跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之反之,如果某随机变量的分布函数值的概率反之如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝－
P( X > a) = 1 − F (a)

高中数学第七章随机变量及其分布全概率公式课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第7章 7.1.2A 级——基础过关练1．袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二人取得黄球的概率为( )A ．35B ．1949C ．2049D ．25【答案】D 【解析】设A ＝{第一个人取到黄球},B ＝{第二个人取到黄球},则P (B )＝P (A )(B |A )＋P (A )P (B |A ),由题意知P (A )＝2050,P (A )＝3050,P (B |A )＝1944,P (B |A )＝2049,所以P (B )＝2050×1949＋3050×2049＝25.2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量占全厂产量的25%,35%,40%,而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品,那它由甲车间生产的概率约为( )A ．0.013B ．0.362C ．0.468D ．0.035【答案】B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别占总量的25%,35%,40%,次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件,则它是次品的概率为( )A ．0.012 3B ．0.023 4C ．0.034 5D ．0.045 6 【答案】C 【解析】由全概率公式,得所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.4．已知甲袋中有6只红球,4只白球；乙袋中有8只红球,6只白球,随机取一只袋子,再从袋中任取一球,发现是红球,则此球来自甲袋的概率为( )A ．512B ．37C ．2041D ．2141【答案】D 【解析】设A ＝{取得红球},B 1＝{来自甲袋},B 2＝{来自乙袋},则P (B 1)＝P (B 2)＝12,P (A |B 1)＝610,P (A |B 2)＝814,由贝叶斯公式得P (B 1A )＝P B 1P A |B 1B 1P A |B 1＋P B 2P A |B 2＝12×61012×610＋12×814＝2141. 5．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,每次从中任取一张,连取两次．若第一次取出的卡片不放回,则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )A ．14B ．12C ．25D ．35【答案】B6．两台机床加工同样的零件,它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02,加工出的零件放在一起,设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍,则任取一个零件是合格品的概率为________．【答案】7375 【解析】第一台机床加工的零件比第二台多一倍,那么第一台机床生产的零件占据总零件的比例是23,第二台机床生产的零件占据总零件的比例是13,由全概率公式,得所求概率为(1－0.03)×23＋(1－0.02)×13＝7375.7．根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示“试验反应为阳性”,以B 表示“被诊断者患有癌症”,则有P (A |B )＝0.95,P (A －|B )＝0.95,现对自然人群进行普查,设被实验的人患有癌症的概率为0.005,则P (B |A )＝________(保留两位有效数字)．【答案】0.087 【解析】P (A |B )＝1－P (A |B )＝1－0.95＝0.05,被试验的人患有癌症概率为0.005,就相当于P (B )＝0.005,由贝叶斯公式,得P (B |A )＝P B P A |BP B P A |B ＋PBP A |B＝0.005×0.950.005×0.95＋0.995×0.05≈0.087. 8．装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的箱子中丢失一件产品,但不知道是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都是一等品,则丢失的也是一等品的概率为________．【答案】38 【解析】设事件A 表示从箱中任取2件都是一等品,事件B i 表示丢失的为i等品,i ＝1,2,3,那么P (A )＝P (B 1)·P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝12×C 24C 29＋310×C 25C 29＋210×C 25C 29＝29.所以P (B 1|A )＝P B 1P A |B 1P A ＝38.9．某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生占35,乙班中女生占13,求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解：用A 1,A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件,B 表示是女生的事件,则Ω＝A 1∪A 2,且A 1,A 2互斥,B ⊆Ω.由题意知P (A 1)＝58,P (A 2)＝38,P (B |A 1)＝35,P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12.10．有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2个红球3个白球, 3号箱装有3个红球．某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率．B 级——能力提升练11．某试卷只有1道选择题,但有6个答案,其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14,不知道正确答案而猜对的概率为16.现已知某考生答对了,则他猜对此题的概率为( )A ．14 B ．119 C ．1116D ．1924【答案】B 【解析】设A ＝{不知道正确答案},B ＝{猜对此题},则P (A )＝14,P (A )＝1－14＝34,P (B |A )＝16.∴P (A |B )＝P A P B |APA PB |A ＋PAP B |A＝14×1614×16＋34×1＝119. 12．甲箱中有3个白球,2个黑球；乙箱中有1个白球,3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中,再从乙箱任取一球．(1)已知从甲箱中取出的是白球的情况下,从乙箱也取出的是白球的概率是________； (2)从乙箱中取出白球的概率是________．【答案】25 825【解析】设A ＝“从甲箱中取出白球”,B ＝“从乙箱中取出白球”,则P (A )＝35,P (A )＝25,P (B |A )＝25,P (B |A )＝15,利用全概率公式,得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝35×25＋25×15＝825.13．设袋中装有10个阄,其中8个是白阄,2个是有物之阄,甲、乙二人依次抓取一个,求没人抓得有物之阄的概率．解：设A ,B 分别为甲、乙抓得有物之阄的事件．∴P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B )P (A |B ) ＝210×19＋810×29＝15, P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝210×19＋810×29＝15. ∴1－P (A )－P (B )＝1－15－15＝35.C 级——探究创新练14．盒中有a 个红球,b 个黑球,今随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c 个,再从盒中第二次抽取一球,求第二次抽出的是黑球的概率．解：设A ＝{第一次抽出的是黑球},B ＝{第二次抽出的是黑球}．由全概率公式,得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)．由题意P (A )＝ba ＋b,P (B |A )＝b ＋c a ＋b ＋c ,P (A －)＝a a ＋b,P (B |A －)＝b a ＋b ＋c.所以P (B )＝b b ＋ca ＋b a ＋b ＋c ＋ab a ＋b a ＋b ＋c ＝ba ＋b.。

人教版高中数学选择性必修第三册7-1-2全概率公式

课前篇·自主预习检测篇·达标小练
课堂篇·互动学习课时作业
课前篇·自主预习
知识点全概率公式
1．一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件， A1∪A2∪…
∪An＝Ω
，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有
n
PB＝ PAiPB|Ai
i＝1
.称该公式为全概率公式．
2．利用全概率公式计算概率的难点是什么？
提示：全概率公式中“全”就是总和的含义：每一原因都可能导致 B 发生，故 B 发生的概率是各原因引起 B 发生概率的总和，即事件 B 发生的可能性，就是其原因 Ai 发生的可能性与在 Ai 发生的条件下 B 发生的可能性的乘积之和．具体运用公式时，难点在于如何选择事件 A1，A2，…，An，一定要把产生结果的原因全找出来，不能遗漏，并且保证 A1，A2，…，An 为两两互斥事件，选择恰当将会使计算大为简化，若选择不当，将会影响计算，甚至导致错误．
i＝1
类型二贝叶斯公式的应用
[例 2] 临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占 95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占 96%，现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的 0.4%，求：
(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率； (2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率． [思路分析] 根据条件概率和贝叶斯公式即可求出结果．
[变式训练2] 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设P(阳性|带菌)＝0.99，P(阴性| 带菌)＝0.01，P(阳性|不带菌)＝0.05，P(阴性|不带菌)＝0.95，设某人检出阳性，问：他“带菌”的概率是多少？

概率论第二章随机变量与概率分布

(2)P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类通常分为两类：
所有取值可以逐个一一列举
离散型随机变量
随机变量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)，如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx

概率论与数理统计：随机变量及其分布

以X记 A在 n 次试验中发生的次数,X为一个随机变量其分布律为
n k P( X = k ) = p (1 p) n k 记 q = 1 p k
n k nk P( X = k ) = p q k
n k n k L p q L k 称这样的分布为二项分布二项分布.记为称这样的分布为二项分布记为 X ~ b(n, p).
X
0
1
1
2
2
3
5 3 2 0.6 0.4 3
4
5
pk (0.4)6 0.4 0.65 4
二项分布随机数演示二项分布随机数演示
例3 某人进行射击 , 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击 400 次 , 试求至少击中两次的概率 . 解设击中的次数为 X ,
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
均匀分布随机数演示均匀分布随机数演示
3.二项分布二项分布
n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A, 设 P ( A) = p (0 < p < 1), 此时P( A) = 1 p.
将将 E 独立地重复地进行 n 次 , 则称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验 .
(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究念之内或者说随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随随机现象而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象. 机现象 (4) 随机事件可以用随机变量表示
4. 泊松分布

第1讲概率、随机变量

第1讲概率、随机变量及其分布列概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法，统计的研究对象是数据，核心是数据分析。

概率为统计的发展提供理论基础，高考中概率与统计考题常常具有鲜明的时代和文化背景，试题难度逐渐加大，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。

基础知识回顾1.古典概型概率公式: ()试验的样本点总数包含的样本点数事件A A P =。

2.条件概率公式:对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫作条件概率，用符号()A B P 来表示，其公式为()()()()()0>=A P A P AB P A B P 3.全概率公式:设n A A A ,...,21n A A A ,...,21是一组两两互斥的事件,Q A A A n = ...21,且()n i A P i ,...,2,1,0=>,则对任意的事件Q B ⊆,有()()()i ni i A B P A P B P ∑==1。

4.超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()m k C C C k X P n N k n M N k M ,...,2,1,0,===--，其中{}n M m ,m in =, 且()NM n X E N N M n N M N n •=∈≤≤*,,,,,。

5.二项分布 :一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0<p<1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()()()()()p np X D np X E nk p p C k X P k n k k n -===-==-1,,...,2,1,0,1 6.正态分布: 如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足()()dx x b X a P b au σϕ,⎰=≤<(即x=a ，x=b ，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，那么称随机变量X 服从正态分布记作()2,~σu N X 。

专题05 条件概率与全概率公式

2022年秋高中数学第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式课件新人教A

第七章随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
学习目标 1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率 2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)
素养要求数学运算数学抽象
| 自学导引 |
全概率公式
一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两________的事件，A1∪A2∪… ∪An＝Ω，且 P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)
解：设抽得产品是甲厂生产的用A表示，乙厂生产的用B表示，丙厂生产的用C表示，D表示抽得产品为正品，
则由已知，P(A)＝50%，P(B)＝30%，P(C)＝20%， P(D|A)＝95%，P(D|B)＝90%，P(D|C)＝85%.
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得 P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C) ＝95%×50%＋90%×30%＋85%×20% ＝0.915.
现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为
()
A．0.012 45
B．0.057 86
C．0.026 25
D．0.028 65
【答案】C
【解析】由全概率公式，得所求概率为12×5%＋12×0.25%＝0.026 25.
3．李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮助照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3.假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为________．
第二步，确定解题步骤．求解时应先求出摸出的球来自各个盒子的概率，然后利用贝叶斯概率公式求解白球来自乙盒子对应的概率；

全概率公式

2 0
1 1 P 1 X 1 1 f x dx 0 x3x 2dx 12 6
1
例5 设随机变量X的概率密度 f x 1 e x 且x , 2 （1）求X的分布函数 F x （2）计算概率
PX 1, P0 X ln 2
第五节
随机变量及其概率分布
一、离散型随机变量及其概率分布
定义1: 如果随机变量 X 所有可能取值只有有限个（或无限）个，则可称 X 为离散型随机变量. 若离散型随机变量 X 的所有可能取值为 (k 1,2,3),事件X xk 的概率为 p ,
定义2:
xk
则称系列等式 PX

xk pk (k 1,2,3)为离散型随机
可表示为 250012 2000X 20000
即为
{ X 5}
5
故所求概率为
P X 5 C
k 0
k 2500
0.002 0.998
k
2500 k
5 5 e 0.61 k 0 k!
5 k
三、连续型随机变量及其概率密度
定义3
设：X 为一随机变量，函数F x PX
事实上有： P( X a ) f x dx 0
a
P X b b f x dx 0

2落入a, b的任意等长子区间概率相同，与子区间的长度成正
,与子区间的位置无关，即若c, d a, b，则P{c X d } k
设随机变量X的概率密度为
Ax 3x 2(0 x 2) f x 0, 其它
试确定常数 A，并求 P 1 X 1
解：
由式 f x dx 1得