随机变量及其概率分布全概率
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(5)独立事件公式：若事件 A1 , A2 , , An 独立，则 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
一般情况下， B1 B2 Bn包含了第一步的全部事 件且两两互斥
例题2
解 P ( AB ) P ( A B ), P ( A) P ( AB ) P ( AB ) P ( AB ) P ( A B ) P ( BA) P ( BA ) ＝P ( B ) __________ _ 1 由 P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B ) 9 1 P ( A) P ( B ) P ( AB ) 1 P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
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P (a x b)
i I a ,b
P( X x ) p
i i I a ,b
i
概括：离散概率函数好 ，非负求和规范了； 几何二项泊松好，级数 通项记牢了； 二项近似超几何，次品 比率变 p了； 泊松近似伯努里，正数 ， np了
第十六讲 内容总结
（3）连续变量的分布函数 密度与区间概率：
2 [3 P ( A) 4][3 P ( A) 2] 0, 0 P ( A) 1, P ( A) . 3
1 2 P ( A) P 2 ( A)
第十六讲 内容总结
二、随机变量及其概率分布
首先需要理解并记住离 散变量的概率函数的定 义、 性质，连续型随机变量 分布与密度的定义和性 质， 同时，还需重点掌握下 述几点： （1）离散变量的区间概率：
解： P ( B ) P ( BA ) P ( BA )
P ( BA ) P ( B ) P ( AB ) 由已知0.85 P ( B / A ) P( A ) 1 P ( A) 0.85 0.08 0.93 P ( AB ), P ( AB ) 0.862
例题1
已知P( A) 0.92, P( B) 0.93, P( B / A) 0.85, 试求P( A / B )
P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 分析：P ( A) P ( AB ) P ( AB ), P ( A / B ) ; P(B ) 1 P( B)
全概两步要走好，第一 步骤要全了， 责任推断贝叶斯，乘法 全概都用了 积概率等概率积，对立 独立莫忘了。 串并系统要可靠，拆桥 变成条件了。
AB , A B A B 也独立
n次独立实验好，二项通 项k次了， 至少1次对立算， 区间次数求和了。
第十六讲 内容总结
(4)全概率公式： P ( A) P ( B1 ) P A / B1 P ( B2 ) P A / B2 P ( Bn ) P A / Bn
xi x
分别求函数值F ( x ) P ( X x )
P( x )
i
例题
x 1 0 0.4 1 x 1 设随机变量X的分布函数为：F ( x ) 0.8 1 x 3 x3 1 试求X的概率分布列。
P x1 X x 2 x 2 f x dx F x 2 F x1
x
1
概括：连续分布函数好 ，非负规范单调了； 随机变量有区间，间 外左 0 右 1 了； 若求离散分布函 ， 各点左闭区间了； 概率累加得函数，反向 相减概率了。
概括：密度单位区间概 ，非负积分规范了， 随机变量有区间，间外 密度变零了。
分布函数则要求在( ,0),[0,1),[1,2),[2,3),[3, )中
x 0, 0, 27 , 0 x 1, 125 81 F ( x) , 1 x 2, 125 117 , 2 x 3, 125 x 3. 1,
又 P ( A) P ( AB ) P ( AB ), P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 0.92 0.862 P( A / B ) ＝ 0.988; P( B ) 1 P ( B) 1 0.93
第十六讲 内容总结
1 设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为 ，A发生B 9 不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，求 A发生 的概率。
看下面例题：
第十六讲 内容总结
k 2 k 3 3 k 例子：若概率函数为：P{ X k } C 3 ( ) ( ) , k 0,1,2,3.求F ( x )： 5 5
27 54 0 2 0 3 3 1 2 1 3 2 P ( X 0) C 3 ( ) ( ) , P ( X 1) C 3 ( )( ) , 5 5 125 5 5 125 36 8 P ( X 2) , P ( X 3) . 125 125
(6)伯努利概型 在n次独立试验序列中，每次试验事件A发生的概率 为p(0 p 1)，则在n次试验中事件A恰发生m次的概率为：
m m n m Pn (m) Cn p q
n
其中q 1 p
m m n m p q 1, C n p q 1 m 0
第十六讲 内容总结
第十六讲 内容总结
P ( AB ) ( 2)条件概率方法：P ( B / A) P ( AB ) P ( A) P ( B / A) P ( A) (3)乘法公式容易推广到有 限个事件的情形 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) P ( An / A1 A2 An1 )
一般情况下， B1 B2 Bn包含了第一步的全部事 件且两两互斥
例题2
解 P ( AB ) P ( A B ), P ( A) P ( AB ) P ( AB ) P ( AB ) P ( A B ) P ( BA) P ( BA ) ＝P ( B ) __________ _ 1 由 P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B ) 9 1 P ( A) P ( B ) P ( AB ) 1 P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
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P (a x b)
i I a ,b
P( X x ) p
i i I a ,b
i
概括：离散概率函数好 ，非负求和规范了； 几何二项泊松好，级数 通项记牢了； 二项近似超几何，次品 比率变 p了； 泊松近似伯努里，正数 ， np了
第十六讲 内容总结
（3）连续变量的分布函数 密度与区间概率：
2 [3 P ( A) 4][3 P ( A) 2] 0, 0 P ( A) 1, P ( A) . 3
1 2 P ( A) P 2 ( A)
第十六讲 内容总结
二、随机变量及其概率分布
首先需要理解并记住离 散变量的概率函数的定 义、 性质，连续型随机变量 分布与密度的定义和性 质， 同时，还需重点掌握下 述几点： （1）离散变量的区间概率：
解： P ( B ) P ( BA ) P ( BA )
P ( BA ) P ( B ) P ( AB ) 由已知0.85 P ( B / A ) P( A ) 1 P ( A) 0.85 0.08 0.93 P ( AB ), P ( AB ) 0.862
例题1
已知P( A) 0.92, P( B) 0.93, P( B / A) 0.85, 试求P( A / B )
P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 分析：P ( A) P ( AB ) P ( AB ), P ( A / B ) ; P(B ) 1 P( B)
全概两步要走好，第一 步骤要全了， 责任推断贝叶斯，乘法 全概都用了 积概率等概率积，对立 独立莫忘了。 串并系统要可靠，拆桥 变成条件了。
AB , A B A B 也独立
n次独立实验好，二项通 项k次了， 至少1次对立算， 区间次数求和了。
第十六讲 内容总结
(4)全概率公式： P ( A) P ( B1 ) P A / B1 P ( B2 ) P A / B2 P ( Bn ) P A / Bn
xi x
分别求函数值F ( x ) P ( X x )
P( x )
i
例题
x 1 0 0.4 1 x 1 设随机变量X的分布函数为：F ( x ) 0.8 1 x 3 x3 1 试求X的概率分布列。
P x1 X x 2 x 2 f x dx F x 2 F x1
x
1
概括：连续分布函数好 ，非负规范单调了； 随机变量有区间，间 外左 0 右 1 了； 若求离散分布函 ， 各点左闭区间了； 概率累加得函数，反向 相减概率了。
概括：密度单位区间概 ，非负积分规范了， 随机变量有区间，间外 密度变零了。
分布函数则要求在( ,0),[0,1),[1,2),[2,3),[3, )中
x 0, 0, 27 , 0 x 1, 125 81 F ( x) , 1 x 2, 125 117 , 2 x 3, 125 x 3. 1,
又 P ( A) P ( AB ) P ( AB ), P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 0.92 0.862 P( A / B ) ＝ 0.988; P( B ) 1 P ( B) 1 0.93
第十六讲 内容总结
1 设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为 ，A发生B 9 不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，求 A发生 的概率。
看下面例题：
第十六讲 内容总结
k 2 k 3 3 k 例子：若概率函数为：P{ X k } C 3 ( ) ( ) , k 0,1,2,3.求F ( x )： 5 5
27 54 0 2 0 3 3 1 2 1 3 2 P ( X 0) C 3 ( ) ( ) , P ( X 1) C 3 ( )( ) , 5 5 125 5 5 125 36 8 P ( X 2) , P ( X 3) . 125 125
(6)伯努利概型 在n次独立试验序列中，每次试验事件A发生的概率 为p(0 p 1)，则在n次试验中事件A恰发生m次的概率为：
m m n m Pn (m) Cn p q
n
其中q 1 p
m m n m p q 1, C n p q 1 m 0
第十六讲 内容总结
第十六讲 内容总结
P ( AB ) ( 2)条件概率方法：P ( B / A) P ( AB ) P ( A) P ( B / A) P ( A) (3)乘法公式容易推广到有 限个事件的情形 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) P ( An / A1 A2 An1 )