正弦定理 说课稿

正弦定理说课稿

各位老师大家好！今天我说课的题目是《正弦定理》，选自北师大版必修五第二章《解三角形》第一节。下面主要从以下几个方面对本课进行说明。

教材分析

1、教材地位

《解三角形》这一章内容，是初中解直角三角形内容的拓展与延续，也是高一《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。初中阶段着重定性的讨论三角形中线段与角的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系。本章内容在高考中主要与三角函数、平面向量等知识联系起来以及在立体几何问题求解中的应用。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关的问题的有力工具。

据此，我们制定以下教学目标

2、教学目标

(1)知识与技能

正弦定理的发现、证明及基本应用

(2)过程与方法

通过对直角三角形边角数量关系的研究，发现正弦定理，体验用特殊到一般的思想方法发现数学规律的过程。

(3)情感态度与价值观

在观察、探索、发现、总结、解决问题的过程中，用心体验数学的思想方法，培养多思考的习惯，激发学生学习数学的兴趣。

3、教学重点、难点

(1)重点：正弦定理的发现、证明及基本应用

（正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具，也是三角函数与平面向量知识在三角形中的应用. 因此，本节课重点内容是正弦定理证明与基本应用. ）

(2)难点：证明方法推导的多样性.

（在证明过程中通过教师的引导，学生的研讨，对知识多角度地挖掘来证明定理. 因此，本节课难点的内容是证法的多样性.）

教学过程

1、设疑引入，创设情景

兴趣是最好的老师,如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，因此通过

问题引入，巧设疑问来激发学生的思维，激活学生的求知欲。

首先提出问题：为了求得不可直接到达的两点A 、B 之间的距离，通常另选一点C ，测得a ，b 和角α（图1）。如果︒=90α，那是一个简单的解直角三角形的问题；但若︒≠90α，那就是斜三角形的问题了，如何求得AB 的距离呢？这样，由实际的问题步步深入，提出问题，引导学生知道仅利用直角三角形来解决实际问题还存在局限性，提出求解斜三角形的必要性，激发学生探索新知识的兴趣。

B

（图1）

接着，教师给学生指明一个探究的方向，在直角三角形这样的特殊情况下，有c a A =sin ，c b B =sin ，1sin =C ，即 A a c sin =，B b c sin =，C

c c sin =， 故 C

c B b A a sin sin sin ==，在此提出问题1，对任意的三角形，是否都存在C

c B b A a sin sin sin ==呢？引导学生自己探索证明方法。 这样由特殊情况到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认识过程。

（在证明方法的探索过程中，说明以下问题，以帮助学生获得证明思路：

1．强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。

2．鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明，即引导方法一。

3．提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来，继而思考用向量分析，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想，即引导方法二。

4．思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，提示，做三角形的外接圆构造直角三角形，即引导方法三。）

2、带疑探究，严谨推理

证明一（1）（等面积法）

分别作三边上的高，所以B AB BC AD BC S ABC sin 2

121⋅⋅=⋅=∆ C BC AC BE AC S ABC sin 2

121⋅⋅=⋅=∆ 所以得C AB B AC sin sin =，同理可证A BC B AC sin sin =即证。

B C

（等面积法较为简单、学生容易理解并独立完成，将一般三角形问题转化为熟悉的直角三角形问题，此法体现了划归转化的数学思想）

证明二（平面向量法）：过A 作单位向量j 垂直于AC

AC +CB =AB 两边同乘以单位向量j

j •(AC +CB )=j •AB 则：j •AC +j •CB =j •AB

∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=|j |•|AB |cos(90︒-A)

∴A c C a sin sin = ∴A a sin =C

c sin 同理：若过C 作j 垂直于CB 得：

C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 当△ABC 为钝角三角形时，设 ∠A>90︒过A 作单位向量j 垂直于向量AC ，则j 与AB 的夹角为︒-90A ，j 与CB 的夹角为C -︒90.同样可得C

c B b A a sin sin sin ==. (平面向量法较为复杂，但以向量作为工具来研究解决数学问题，也体现了向量的工具性，并且以锐角三角型为例说明，可以让学生下去之后完成钝角三角形的证明，再加深此法的理解和应用) 以上两种方法都说明定理的成立，提出问题2：定理的比值有什么特殊意义？引入方法三。 证明三（外接圆法）：

如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连接BO 并延长交圆于B ′，设BB ′＝2R ．则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：

∠BAB ′＝90°，∠C ＝∠B ′

∴ sin sin 2c C B R '==

∴ 2sin c R C

= 同理可得2sin a R A =,2sin b R B

= ∴ A a sin =B b sin =R C

c 2sin = （此法在将一般三角形问题转化为直角三角形问题时，通过构建三角形的外接圆来进行证明，不但证明了定理并且说明了正弦定理比值的几何意义即三角形的外接圆直径）

A C

B j A C

B j