离散数学图论与关系中有图题目
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集ο ο ο ο οcab edο f图一图二C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图三7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的应该填写：D8．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m 为偶数9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v ＋210．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．A．1m n-+B．m n-C．1m n++D．1n m-+ 12．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ．9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．ο οο ο οca b e dο f 图四2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？ 2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形．3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 1v 2v 3v 5 d bae f ghn图六οοο ο οv 5v 1 v 2 v 4v 6 ο v 3图八（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．4．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b,d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra算法求右图中A点到其它各点的最短路径。
离散数学测验题--图论部分(优选.)
离散数学图论单元测验题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1、在图G ＝<V ,E >中，结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=V v E v 2)deg( (D) ∑∈=Vv E v )deg(2、设D 是n 个结点的无向简单完全图，则图D 的边数为( )(A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/23、 设G ＝<V ,E >为无向简单图，∣V ∣=n ，∆(G )为G 的最大度数，则有(A) ∆(G )<n (B)∆(G )≤n (C) ∆(G )>n (D) ∆(G )≥n4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( )(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件5、设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( )(A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E(B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E(C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E6、有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的() (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度7、设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．48、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( )(A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +29、在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。
华理离散数学试题及答案
华理离散数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在离散数学中，以下哪个概念是用来描述两个集合之间元素的对应关系的？A. 函数B. 映射C. 序列D. 集合答案：A2. 命题逻辑中，以下哪个符号表示逻辑“与”？A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案：A3. 集合{1, 2, 3}和{3, 4, 5}的交集是什么？A. {1, 2}B. {3, 4}C. {3}D. {1, 2, 3, 4, 5}答案：C4. 以下哪个图是无向图？A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 部分图答案：B5. 在图论中，一个图的度是指什么？A. 顶点的数量B. 边的数量C. 顶点的度数D. 图的连通性答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 在集合论中，空集用符号____表示。
答案：∅2. 如果A和B是两个集合，那么A和B的并集用符号____表示。
答案：A∪B3. 逻辑运算中的否定运算符用符号____表示。
答案：¬4. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都可以通过路径相连，则称这个图为____图。
答案：连通5. 一个有n个顶点的完全图，其边的数量为____。
答案：\(\frac{n(n-1)}{2}\)三、简答题（每题5分，共20分）1. 请解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是集合A和集合B之间的一种对应关系，它由有序对(a, b)组成，其中a属于A，b属于B。
例如，如果A是人名集合，B是年龄集合，那么“小于”就是一个二元关系。
2. 什么是归纳推理？请给出一个简单的例子。
答案：归纳推理是一种从特殊到一般的推理方法，它通过观察一系列具体实例来推断出一个普遍的结论。
例如，观察到太阳每天从东方升起，我们归纳出“太阳每天都会从东方升起”。
3. 什么是图的生成树？请简述其特点。
答案：图的生成树是包含图中所有顶点的子图，并且是一个树。
它的特点是没有环，并且任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散数学__图论的典型问题
(2） 如果对任两结点u， v∈V， 均有 deg(u)＋deg(v)≥ n， 则G是哈密尔顿图。 证明 略。
第7章 图论的典型问题
例3 某地有5个风景点。 若每个景点均有两条道路 与其他景点相通， 问是否可经过每个景点恰好一次而 游完这５处？
第7章 图论的典型问题
定理7.1 ― 3 一个连通有向图具有（有向）欧拉回 路的 充要条件是图中每个结点的入度等于出度。 一个 连通有向图具有有向欧拉路的充要条件是最多除两个 结点外的每个结点的入度等于出度， 但在这两个结点 中， 一个结点的入度比出度大1， 另一个结点的入度 比出度少1。
下面举一个有趣的例子是计算机鼓轮的设计。
若把每个结点看成一座城市连接两个结点的边看成是交通线那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次再回到原来的出发地呢
第7章 图论的典型问题
第7章 图论的典型问题
7.1 欧拉图与哈密尔顿图 7.2 树 7.3 根树及其应用 7.4 偶图与匹配 7.5 平面图与欧拉公式 7.6 连通度 7.7 运输网络 习题7
第7章 图论的典型问题
图 7 ― 8 例 2 用图之三
第7章 图论的典型问题
7.1.2 哈密尔顿图 与欧拉回路类似的是哈密尔顿回路问题。 它是
1859年哈密尔顿首先提出的一个关于12面体的数学游 戏： 能否在图7 ― 9中找到一个回路， 使它含有图中 所有结点一次且仅一次？ 若把每个结点看成一座城市， 连接两个结点的边看成是交通线， 那么这个问题就变 成能否找到一条旅行路线， 使得沿着该旅行路线经过 每座城市恰好一次， 再回到原来的出发地呢？为此， 这个问题也被称作周游世界问题。
离散数学——图论部分习题课
之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的
度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点). 由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1
度点.
7. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，
n ( n 1) 2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
9. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。 解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2 答案（2） （2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
Байду номын сангаас
）
则它们之间至少有几个是同构的？ 解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
8. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为
n ( n 1) 2
.
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图
平行边 多重图
无向图
n阶图
底图
连通图
自回路（环） 简单图
二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论 定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
deg(
i 1
离散数学(第21讲)图论
C
S
|
证明(续1)
1) 若k＝n，则P为G中经过所有结点的路径，即 为哈密尔顿路径。 2) 若k＜n，说明G中还有在P外的结点，那么此 时可以证明存在仅经过P上所有结点的基本回 路，证明如下： a) 若在P上v1与vk相邻，则v1v2…vkv1为仅经过 P上所有结点的基本回路。
S
W
U
S T
XDC
XDC
S
W
U
S T
C
S
|
例
a
S
W
c (a) (b) (c) (d)
U
S T
既存在哈 密尔顿路 径，又存 在哈密尔 顿回路， 即为哈密 尔顿图。 XDC
既不存在哈 密尔顿路径， 也不存在哈 密尔顿回路。
既存在哈密 尔顿路径， 又存在哈密 尔顿回路， 即为哈密尔 顿图。
存在哈密尔 顿路径，但 不存在哈密 尔顿回路。
S
W
U
S T
XDC
C
S
|
尽量避免走桥 求欧拉图中欧拉回路的算法-------Fleury算法：
S
W
U
S T
1. 任取v0∈V，令P0＝v0； 2. 设P0＝v0e1v1e2…eivi，按下面的方法从 E-{e1,e2,…,ei}中选取ei+1： 1) ei+1与vi相关联； 2) 除非无别的边可选取，否则ei+1不应该为 G'＝G-{e1,e2,…,ei}中的桥； 3）当2）不能再进行时，算法结束。
短的路径（即为通过图中所有边的简单路径）； 欧拉回路是经过图中所有边的回路中长度最 短的回路（即为通过图中所有边的简单回路）。
XDC
S
W
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。
B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。
C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。
D. 无向图和有向图都只由边组成。
答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。
B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。
C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。
D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。
答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。
答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。
答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。
答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。
答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。
答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。
证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。
设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。
同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
离散数学图论与关系中有图题目
图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。
Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。
例1 分别求右面两图的色数（1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。
（2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。
又因为此图的最大度()4G ∆=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤∆=，因而()4G χ=。
（对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ∆=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着色，每个图至少需要几种颜色。
答案：（1）()2G χ=；（2）()3G χ=；（3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T要放进贮藏室保管。
出于安全原因，下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B,4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图(2)(1)(3)(2)(1)P-D, S-C ,S-D ，问贮藏这8种药品至少需要多少个房间？解 以8种药品作为结点，若两种药品不能贮在同一个室内，则它们之间有一条边，这样得右图，转化为图的正常着色问题。
计算机科学与技术 离散数学 练习-第4部分 图论
1、一个7阶无向简单图，其结点的最大度数为（）A、5B、6C、7D、82、设G为7阶无向简单图，下列命题成立的是（）A、G的每个结点度数均为3B、G的每个结点度数均为5C、G的每个结点度数均为6D、G的每个结点度数均为73、由4个点3条边构成的无向简单图中，结点的最大度数为（）A、1B、2C、3D、44、(多选题)下列度数列，可以简单图化的是（）A、5,5,4,4,2,1B、5,5,4,1,1C、5,4,4,2,1D、5,4,3,2,2E、4,4,3,3,2,2F、4,3,2,1G、3,3,2,2,1,1H、3,3,3,1I、3,3,1,15、下列可作为4阶无向简单图的结点度数序列是（）A、1,2,3,4B、0,2,2,3C、1,1,2,2D、1,3,3,38、下列关于图的命题正确的是（）A、欧拉图都是哈密顿图B、哈密顿图都是欧拉图C、4阶以上的完全图都是欧拉图D、4阶以上的完全图都是哈密顿图9、下列关于欧拉图的描述正确的是（）A、K4是欧拉图B、K5是欧拉图C、完全图都是欧拉图D、K6是欧拉图13、一棵无向树有5片树叶，3个2度结点，其余都是3度结点，这棵树的结点数是（）A、10B、11C、12D、1314、G是有n个结点，m条边的连通图，要确定G的一棵生成树，必须删去G的多少条边（）A、m-n+1B、m-nC、m+n+1D、n-m+115、一个n阶图不一定是树的是（）A、无回路的连通图B、无回路且有n-1条边C、n阶连通图D、有n-1条边的连通图16、下列6阶无向树的度数序列，对应不止一棵同构树的是（）A、1,1,1,1,2,4B、1,1,1,2,2,3C、1,1,2,2,2,2D、1,1,1,1,3,31、设5阶简单连通图G所有结点的度数之和为18，则G的结点的最大度数为_____，最小度数为______2、4阶完全图K4是平面图，其面数r为_____，记结点数为n，边数为m，则n-m+r=_______3、一个简单无向连通图，有n个结点，m条边，则边数m的最大值为_________，最小值为_______4、7阶无向简单图G，最多有________条边5、连通平面图G的每个面至少由5条边围成，则G的边数m与顶点数n满足的不等式关系为______________6、连通平面图G共有8个顶点，其平面表示中共有6个面，则边数为______7、如题的9阶无向图，需要添加边使其称为欧拉图，至少需要添加_____________和______________8、一棵n(n>2)阶无向树T，其最大度数⊿(T)的最小值为_____，最大值为________9、一棵7阶树T，其分支点最多有____个，最多有____片树叶10、无向完全图K8，需要删掉______条边才能得到生成树；无向完全图K9，需要删掉______条边才能得到生成树11、无向树有4个3度分支点，2个2度分支点，其余为树叶，则树叶数为______12、设无向树有8片树叶，1个4度分支点，其余都是3度分支点，则该树共有______个结点1、研究4阶完全图K4，判断其是否存在欧拉回路？是否存在哈密顿回路？如果存在，共有多少个非同构的回路？2、9阶无向图G中，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案离散数学考试试题及答案离散数学是计算机科学和数学中的一门重要学科，它研究的是离散的结构和对象。
离散数学的理论和方法在计算机科学、信息科学、通信工程等领域具有广泛的应用。
下面将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望对大家的学习和复习有所帮助。
1. 集合论题目(1) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∪B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4,5,6,7}(2) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∩B的结果。
答案：A∩B={3,4,5}(3) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A-B的结果。
答案：A-B={1,2}2. 图论题目(1) 给定一个无向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)}，求该图的邻接矩阵。
答案：邻接矩阵为：A B C D EA 0 1 1 0 0B 1 0 0 1 0C 1 0 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0(2) 给定一个有向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)}，求该图的邻接表。
答案：邻接表为：A ->B ->C ->D ->E -> AB -> CC -> DD -> EE -> A3. 命题逻辑题目(1) 判断以下命题是否为永真式：(p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨¬r)。
答案：是永真式。
(2) 给定命题p：如果天晴，那么我去游泳；命题q：我没有去游泳。
请判断以下命题的真假：(¬p∨q)∧(p∨¬q)。
答案：是真命题。
4. 关系代数题目(1) 给定关系R(A,B,C)和S(B,C,D)，求R⋈S的结果。
离散数学教学图论【共58张PPT】
一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。
答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。
答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。
答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如，小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。
答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。
四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。
答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。
《离散数学》图论部分习题
《离散数学》图论部分习题《离散数学》图论部分习题1.已知⽆向图G有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均⼩于3，问G⾄少有⼏个顶点？并画出满⾜条件的⼀个图形. （24-3*6）/2 +6=92.是否存在7阶⽆向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.不存在；7阶⽆向简单图G中最⼤度≤63.设d1、d2、…、d n为n个互不相同的正整数. 证明：不存在以d1、d2、…、d n为度序列的⽆向简单图.Max{d1，d2，…，dn}≥n，n阶⽆向简单图G中最⼤度≤n-14.求下图的补图.5.1)试画⼀个具有5个顶点的⾃补图2)是否存在具有6个顶点的⾃补图，试说明理由。
对于n阶图，原图与其补图同构，边数应相等，均为(n*(n-1)/2)/2，即n*(n-1)/4且为整数，n=4k或n=4k+1，不存在6阶⾃补图。
6.设图G为n(n>2且为奇数)阶⽆向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.n(n>2且为奇数)，奇度点成对出现7.⽆向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否⼀定连通.给出说明或证明。
只有2个奇度顶点u和v，如果不连通，在u和v在2个连通分⽀上，每个分⽀上仅有⼀个奇度顶点，与握⼿引理相⽭盾。
8.图G如下图所⽰：1)写出上图的⼀个⽣成⼦图.2)δ(G)，κ(G)，λ(G).δ(G)=2，κ(G)=1，λ(G)=2.说明：δ(G)=min{ d(v) | v V } ；κ(G)=min{ |V’| |V’是图G的点割集} ；λ(G)=min{ |E’| |E’是图G的边割集} 9.在什么条件下⽆向完全图K n为欧拉图？n为奇数时10.证明：有桥的图不是欧拉图.假设是欧拉图：桥的端点是u和v，并且图各顶点度均为偶数；桥为割边，删除桥，图不再连通，u和v应该在2各不同的连通分⽀上；且u和v度数变为奇数；由于其他顶点度数均为偶数，则u和v所在的连通分⽀上只有⼀个奇度顶点，与握⼿引理⽭盾。
离散数学习题集及答案第6-7章图论含答案
第6-7章一．选择/填空1、设图G 的邻接矩阵为0101010010000011100000100，则G 的边数为( D )． A ．5 B ．6 C ．3 D ．42、设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( A )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的3、给定无向图G 如下图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ B ）．A ．{b , d }B ．{d }C ．{a , c }D ．{b , e }4、图G 如下图所示，以下说法正确的是 ( D ) ．A ．{(a , c )}是割边B ．{(a , c )}是边割集C ．{(b , c )}是边割集D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集5、无向图G 存在欧拉通路，当且仅当(D )．A ．G 中所有结点的度数全为偶数B ．G 中至多有两个奇数度结点C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数D ．G 连通且至多有两个奇数度结点6、设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( A )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n −+B ．m n −C ．1m n ++D ．1n m −+7、已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（B ）．A ．8B ．5C ．4D ．38、已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 9、连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 4 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ．10、如右图 相对于完全图K 5的补图为（A ）。
11、给定无向图，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ B ）。
A 、；B 、{<v1,v4>,<v4,v6>};C 、；D 、。
12、设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( A ) (A))1(−n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(−n n 13、无向图G 是欧拉图,当且仅当( C )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。
离散数学题型梳理-第3章 图的基本概念与性质
离散数学常考题型梳理第3章图的基本概念与性质一、题型分析本章是图论的基础部分，主要介绍图论的基本概念与结论，包括图的基本概念、图的连通性与连通度、图的矩阵表示等．经常涉及到的题型有：3-1 已知点集和边集画图，求结点的度数，画补图。
3-2握手定理计算题。
3-3 强分图（连通）、单向分图（连通）、弱分图（连通）的判断。
3-4 求点割集，割点，边割集，割边。
3-5 无向简单图，已知点集和边集求邻接矩阵。
因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：1．一个无向图是一个有序的二元组<V，E>，记作G＝<V，E>，其中V≠Ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点；其中E称为边集，其元素称为无向边，简称为边。
一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作G＝<V，E>，其中V≠Ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点；其中E称为边集，其元素称为有向边，简称为边。
用图形表示无向图和有向图时，用小圆圈表示顶点，用顶点之间的连线表示无向边，用有方向的连线表示有向边。
在无向图中，与结点相关联的边的条数，称为该结点的度数，记作deg(V)，用Δ(G)表示最大度，用δ(G)表示最小度。
在有向图中，对于任何结点，出度就是以其为始点的边的条数，入度就是以其为终点的边的条数，出度与入度之和称为该结点的度数。
如果图G与图H互为补图，则它们的顶点集相同，且它们的边集的并集等于其完全图的边集。
2．握手定理：在图中，结点度数总和＝边数×2。
在有向图中，结点出度总和＝结点入度总和＝边数。
3．弱连通图：一个简单有向图略去边的方向后是连通图，则称其为弱连通图。
单向连通图：简单有向图中，任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点是可达的，则称其为单向连通图。
强连通图：简单有向图中，任何结点偶对中，两结点互相可达，则称其为强连通图。
注意：强连通图一定是单向连通图和弱连通图，单向连通图一定是弱连通图。
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图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。
Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。
例1 分别求右面两图的色数（1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。
（2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。
又因为此图的最大度()4G ∆=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤∆=，因而()4G χ=。
（对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ∆=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着色，每个图至少需要几种颜色。
答案：（1）()2G χ=；（2）()3G χ=；（3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T要放进贮藏室保管。
出于安全原因，下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B,4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图(2)(1)(3)(2)(1)P-D, S-C ,S-D ，问贮藏这8种药品至少需要多少个房间？解 以8种药品作为结点，若两种药品不能贮在同一个室内，则它们之间有一条边，这样得右图，转化为图的正常着色问题。
（1）对各结点按度数的递减顺序排列为SRDPCTAB ；（2）对S 及不与之相邻点A ，B 着1c 色；（3）对R 及不与之相邻点D 着2c 色；（4）对P 和C 着3c 色。
故着色数()3G χ≤；又因为因S,D,P 为3K 子图，故着色数()3G χ≥，从而()3G χ=。
因此贮藏这8种药品至少需要3个房间。
贮藏方式之一为SAB, RDT, PC 。
(考试排考或老师排课让选修的学生避免冲突的问题类似处理！)二、强连通一定单向连通，单向连通一定弱连通！强连通图强连通图强连通图单向连通图单向连通图弱连通图弱连通图、单向连通图和强连通图三、均不是哈密顿图哈密顿图欧拉图欧拉图同构的有向图同构的无向图1、设G 为无向欧拉图，求G 中一条欧拉回路的Fleury 算法如下：第1步，任取G 中的一345个结点0v ，令00P v =；第2步，假设0112i i i P v e v e v e =L 已选好，按下面方法从{}12,,,i E e e e -L 中选1i e +：（1）1i e +与i e 相关联，（2）除非无别的边可供选择，否则1i e +不应该是{}12,,,i i G G e e e =-L 的断边；第3步，当第2步不能执行时，算法停止。
（有向欧拉图的欧拉回路可类似求出，可用于解决邮路问题）邮路问题用图论的概念描述如下：在一个带权图G 中，怎样找到一条回路C ，使得C 包含G 中的每一条边至少一次，而且回路C 具有最小权。
C 分以下三种情况：（1）如果G 是欧拉图，必定有欧拉回路，C 即可找到；（2）如果G 是具有从i v 到j v 的欧拉通路的半欧拉图，C 的构造如下：找到从i v 到j v 的欧拉通路及i v 到j v 的最小权通路（即最短路径）--这两条通路和并在一起就是最小权回路；（3）如果G 不是半欧拉图，一般说来，G 中包含多条边的回路，其中夫的边数与奇数结点数目有关，若奇数结点多于2，则回路中会出现更多的重复的边。
问题是怎样使重复边的权综合最小。
在理论上已证明：一条包括G 的所有边的回路C 具有最小权当且仅当：（1，每条边最多重复一次，（2，在G 的每个回路上，有重复边的权之和小于回路权的一半。
例：求右图所示的带权图中最优投递路线，邮局在D 点。
解 先观察奇度结点，此图中有E,F 两个。
用标号法求出其间最短路径EGF ，其权为28。
然后将最短路径上的边重复一次，于是得欧拉图*G ，求从D 出的一条欧拉回路，如DEGFGEBACBDCFD ，其权为281=35+8+20+20+8+40+50+30+19+6+12+10+23。
2、求接近最小权哈密顿回路的“最邻近”算法：设,,G V E W =<>是有n 个顶点的无向完全图，（1）任取0v V ∈作为始点，令L 为0v ，0k =；（2）令()(){},min ,k k w v x w v v v L =不在中，置1k v x +=。
置011,1k L v v v k k +==+L ；（3）若1k n <-，转（2）；（4）置010k L v v v v =L ，结束。
（可近似解决货郎担问题） 例1 用最邻近算法求下图的最短哈密尔顿回路。
所得长度为14+6+5+5+7=37，与最短7+8+5+10+6=36很接近了！例2 求下图的最短哈密尔顿回路。
三条比较，最小权为47。
例3 已知A,B,C,D,E,F,G7个人中，A 会讲英语，B 会讲英语和汉语，C 会讲英语、意大利语和俄语，D 会讲日语和汉语，E 会讲意大利语和德语，F 会讲俄语，G 会讲俄语、日语和法语。
能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？ （按哈密尔顿回路安排就是了！）例4 11个学生要共进晚餐，他们将坐成一个圆桌，计划要求每次晚餐上每个学生有完全不同的邻座，这样能攻进晚餐几天？（11K 共有()11111552-=条边，每条哈密尔顿回路有11条边，因而共有5条没有公共边的哈密尔顿回路，可吃5天！分别用2，3，4，5与11互素，以它们为步长能找到！） 半哈密顿图与哈密顿图补例：补充内容：设G 是无向完全图，若对G 的每条边指定一个方向，所得的图称为竞赛图。
证明：在无又向回路（或有向圈）的竞赛图()(),D V D E D =<>中，对任意()()(),,u v V D du d v ++∈≠（用反证法，见于《离散数学习题与解析》胡辛启清华第2版）可以证明：对于每个竞赛图D ，至多改变一条边的方向后就可以变成哈密尔顿图。
四、求最小生成树 1、破圈法过程演示(1)令E E '=；(2)选取E '中的一条简单回路C, 设C 中权最大的边为e ，令{}E E e ''=-；(3)重复步骤(2), 直到1E V '=-为止。
彼德森图题目最后结果2、Kruskal算法过程演示(1)首先将边按权值由小到大排成序列S, 令1,{[1]}i ES'==；(2)令1,i i=+选取边[]S i与E'中的边不构成简单回路，则令{[]}E E S i''=U；(3)重复步骤(2), 直到1E V'=-为止。
3、Prim算法过程演示(1)从V中任意选取结点v，令{}V v'=；(2)在V'与V V'-之间选一条权最小的边(,)i je v v=，其中,i jv V v V V''∈∈-并且令{},{}jE E e V V v''''==U U；(3)重复步骤(2), 直到VV'=为止。
增加破圈法一例演示：4、求下列最小生成树的权值23C(T)=1+2+3=661C(T)=1+2+3+1=7C(T)=1+3+4+8+9+23=48C(T)=1+2+3+5+7=18C(T)=3+6+6+7=22C(T)=4+5+6+7=22C(T)=2+3+4+5+6+10=30C(T)=2+2+3+5+6+100=118C(T)=8+9+4+7=28C(T)=1+3+3+2+1=10C(T)=1+2+3+5+7=185、在右图所示的带权图中，共有多少棵生成树，他们的权各为多少？，其中哪些是图中的最小生成树？c五、求最优二叉树对给定的实数序列12t w w w ≤≤≤L ，构造最优r 元树的递归算法：1、求最优二元树的Huffman 算法：第一步，连接以12,w w 为权的两片树叶，得一个分支点及其所带的权12w w +；第二步，在123,,,t w w w w +L 中选出两个最小的权，连接它们对应的结点（不一定都是树叶），又得分支结点及其所带的权；重复第二步，直到形成1t -个分支点，t 片树叶为止。
2、求最优()3r r ≥元树的Huffman 算法：（1）若11t r --为整数，则求法与求最优二元树的Huffman 算法类似，只是每次取r 个最小的权；（2）若11t r --不为整数，得余数[1,1)s r ∈-，将1s +个较小的权对应的树叶为兄弟放在最长的路径上，然后算法同（1）。
1、找出叶的权分别为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41的最优叶加权二叉树，并求其加权路径的长度。
（()()789v Vw v L v ∈⋅=⎡⎤⎣⎦∑）2、求带权为2，3，5，7，8的最优二元树T ，并给出T 对应的二元前缀码集合。
cc c c c ccc（B={00,010,011,10,11},W(T)=253233272855⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）3、求带权为1，2，3，4，5，6，7，8的最优二元树T ，并给出T 对应的二元前缀码集合。
（B={000,001,01000,01001,0101,011,10,11},W(T)=102）4、（1）求带权为1，1，2，3，3，4，5，6，7的最优三元树；（2）求带权为1，1，2，3，3，4，5，6，7，8的最优三元树32C(T1)=61,C(T2)=81六、如图G14图中的边割集有123{,,},{,,},{,,},S af d S a e b S b c f ===654328214567{,,},{},{,,,},{,,,}S c e d S g S a e f c S b d e f ====图中的点割集为14{}V v =（有割点的连通图不能是哈密尔顿图。
因而若是G 连通图且有割点v ，则G v -中至少有两个连通分支，即(){}p G v v -≥，与定理矛盾。