高等数学(考前要点复习_下)

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《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲

《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲

《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 (1)向量的定义有大小有方向的线段a(自由向量) (2)向量的表示1)),,(z y x a a a a =, 为向量的直角坐标表示2)0a a a=,其中a 为向量的模(大小),222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量,0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==,)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦,1cos cos cos 222=++γβα注:若有两点:111222(,,),(,,)A x y z B x y z ,则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 (1)线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=(2)数量积(标积,点积) 1)cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2)z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例:当b a ⊥时,0=⋅b a(两向量垂直的判据)(3)向量积(矢积,叉积)1)0sin c b a c b a ϕ=≡⨯,b a ,与c为右手螺旋关系2)()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例:当b a//时,0=⨯b a ,或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==(两向量平行的判据)3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式:Dd =平面π的点法式方程为: 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 (1)方程曲面方程 0),,(=z y x F (三元方程)曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===(2)常见的曲面与曲线1) 柱面—— 一直线l (母线)沿着一平面曲线C (准线)作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面: 0),(=y x F母线y //轴的柱面: 0),(=x z F 母线x //轴的柱面: 0),(=z y F2) 旋转面—— 一平面曲线(母线)绕着同一平面内的定直线(转轴)旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变,旋转曲面0),(22=+±z y x f 3)空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4)二次曲面(三元二次方程) )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线:→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ; →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ; →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =,1y y =与1x x =平面内的椭圆。

高三数学下册重点知识点

高三数学下册重点知识点

高三数学下册重点知识点一、数列与数列的极限1. 等差数列和等差数列的通项公式2. 等比数列和等比数列的通项公式3. 数列的极限概念及相关性质4. 无穷数列的极限和收敛性判定5. 数列极限的唯一性和保号性6. 数列极限的四则运算性质二、函数与导数1. 函数的概念与性质2. 基本初等函数及其性质3. 一次函数、二次函数的图像与性质4. 反函数与复合函数5. 导数的概念与计算方法6. 函数的单调性、增减性及极值点7. 函数的凹凸性与拐点8. 用导数研究函数的性质与应用三、导数的运算与应用1. 导数的四则运算法则2. 高阶导数与高阶导数的计算3. 隐函数求导4. 参数方程求导5. 反函数求导6. 导数应用于切线、法线问题7. 导数应用于函数的近似与极值问题四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质2. 基本积分表及其应用3. 牛顿-莱布尼茨公式4. 定积分的概念与性质5. 定积分的计算方法6. 定积分的几何应用7. 定积分的物理应用五、微分方程1. 微分方程的基本概念与常微分方程的解2. 可分离变量方程的解法3. 一阶线性微分方程的解法4. 高阶线性微分方程的解法5. 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解法6. 常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法六、空间解析几何1. 空间直线及其位置关系2. 空间平面及其位置关系3. 空间曲线的参数方程与一般方程4. 空间曲面的方程及其性质5. 球面坐标系与柱面坐标系6. 二次曲面的方程与性质以上是高三数学下册的重点知识点,通过深入学习这些知识点,同学们可以对相关概念、公式和计算方法有更深刻的理解,为高考取得优异成绩打下扎实的基础。

希望同学们能够认真复习,并在实践中灵活运用这些知识点,提高数学解题的能力。

衷心祝愿大家都能取得理想的成绩!。

高等数学下册复习资料

高等数学下册复习资料

高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程,也是有挑战性的一门课程。

学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用,才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。

因此,复习高等数学下册是非常必要的。

一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。

在这个部分中,学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。

2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点,包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。

3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。

这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。

二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论,这些知识点是这门课程的基础。

学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论,从而能够透彻地掌握整个课程。

2.做题巩固知识点在学习中,做题是非常重要的一部分。

学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习,从而加深对知识点的理解和掌握。

同时,做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。

3.查阅资料和参考书籍在复习过程中,学生们可以查阅相关资料和参考书籍,例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。

通过阅读和学习这些资料,学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。

4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组,可以让学生们更好地交流和学习。

在这个过程中,学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题,不断提高自己的学习能力。

三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力,但是这个过程是非常重要的。

通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法,学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点,为以后的学习和工作打下坚实的基础。

大一下册高数复习知识点

大一下册高数复习知识点

大一下册高数复习知识点大一下册高等数学是大一学生在学习数学方面的重要课程之一。

本文将为大家总结大一下册高数的复习知识点,供大家参考和学习。

一、极限与连续1. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时,函数的取值接近于一个常数的性质。

其中包括左极限、右极限和无穷极限。

2. 连续与间断函数在某一点上连续是指函数在该点的极限与函数在该点的值相等,否则函数在该点上间断。

根据间断的性质,可以将间断分为可去间断、跳跃间断和无穷间断。

3. 介值定理与零点存在定理介值定理表明,若函数在区间[a, b]上连续,则函数在该区间上可以取到任意两个介于f(a)和f(b)之间的值。

零点存在定理指出,若函数在区间[a, b]上连续,并且f(a)和f(b)异号,则在该区间上至少存在一个零点。

二、导数与微分1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率,可以用极限的概念进行定义。

对于函数f(x),在点x处的导数定义为f'(x) = lim(△x→0)[f(x+△x) - f(x)]/△x。

2. 基本导数公式常见的基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等,应熟练掌握它们的导数表达式和求导法则。

3. 导数的几何意义导数可以表示函数在某一点处的切线斜率,通过导数可以分析函数的单调性、极值和拐点等性质。

三、积分与不定积分1. 定积分的概念定积分表示函数在一个闭区间上的面积值,可以看作是函数在该区间上的累积效应。

2. 不定积分的概念不定积分表示函数在某一点的原函数,也可称为反导函数。

3. 基本积分公式常见的基本积分公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等的积分表达式和求积法则。

四、微分方程1. 微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程,描述了函数与其导数之间的关系。

2. 常微分方程的解法常微分方程包括一阶和二阶微分方程,可以使用分离变量法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次方程法等方法求解。

高三数学笔记下册知识点

高三数学笔记下册知识点

高三数学笔记下册知识点一、函数与极限1. 极限的定义极限是函数在某一点或者无穷远处的趋势或者取值,用来描述函数的特性和变化趋势。

数学上通常使用极限符号进行表示,例如lim(x→a)f(x)=L。

2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域上没有跳跃或者断裂的点,即函数在某一点处的极限与函数在该点的值相等。

3. 导数与微分导数表示函数在某一点处的变化率或者斜率,用符号f'(x)或者dy/dx表示。

微分是导数的几何意义,表示函数曲线在某一点处的切线。

二、数列与数学归纳法1. 数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一组数,可以是有限个数也可以是无限个数。

数列可以是等差数列、等比数列、递推数列等。

2. 数列的极限数列的极限是指数列在无限项下逐渐趋于一个确定的值或者无穷大。

数列的极限可以是有限数、无穷大或者不存在。

3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的方法,通常用于证明自然数的性质。

数学归纳法包括基础步骤和归纳步骤,通过证明第一个命题成立并证明当第k个命题成立时第k+1个命题也成立,从而证明所有自然数都满足该命题。

三、概率与统计1. 随机事件与概率随机事件是指在实验中可能发生或者不发生的事件,概率是描述随机事件发生可能性的数值。

通常用P(A)表示事件A发生的概率。

2. 条件概率与独立事件条件概率是指在一定条件下某一事件发生的概率。

独立事件是指两个事件之间的发生与否互不影响。

3. 统计图表与数据分析统计图表用于展示数据的分布和变化趋势,包括条形图、折线图、饼图等。

数据分析是使用统计方法对数据进行总结、分析和推断。

四、几何与向量1. 几何图形的性质与判定几何图形的性质包括角的性质、图形的对称性、相似性等。

几何图形的判定是根据一定的条件来确定图形的种类和特性。

2. 平面向量与运算平面向量是指具有大小和方向的量,可以进行加法、减法、数量乘法等运算。

平面向量的加法使用三角形法则或者平行四边形法则。

高数下知识点复习

高数下知识点复习

高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念,表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的定义为:$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质:(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。

(2) 导函数的值表示函数的斜率。

(3) 导函数具有线性性质,即对于常数a和b,有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。

(4) 导函数的导数为二阶导数,记作$f''(x)$。

3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释,表示函数在某一点附近的变化量。

微分的定义为:$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括:(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算:若函数f(x)和g(x)可导,则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。

数列的极限定义为:对于任意给定的正数$\varepsilon$,存在正整数N,使得当$n>N$时,有$|a_n-L|<\varepsilon$。

2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。

函数的极限定义为:对于任意给定的正数$\varepsilon$,存在正数$\delta$,使得当$0<|x-a|<\delta$时,有$|f(x)-L|<\varepsilon$。

3.极限的性质极限具有如下的性质:(1) 唯一性:如果极限存在,则极限是唯一的。

【复习资料】高等数学(下)

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高等数学(下)第八章 多元函数微分法及其应用一、基本概念 1.多元函数(1)知道多元函数的定义n 元函数:),,,(21n x x x f y =(2)会求二元函数的定义域1°:分母不为0; 2°:真数大于0;3°:开偶次方数不小于0;4°:u z arcsin =或u arccos 中||u ≤1 (3)会对二元函数作几何解释 2.二重极限这里动点),(y x 是沿任意路线趋于定点),(00y x 的.(1) 理解二重极限的定义(2) 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用,会求二重极限; (3) 会证二元函数的极限不存在(主要用沿不同路径得不同结果的方法). 3.多元函数的连续性(1)理解定义:)()(lim 00P f P f P P =→.(2)知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论;(3)知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分 1.偏导数(1)理解偏导数的定义(二元函数)(2)知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系. (3)求偏导数法则、公式同一元函数. 2.高阶偏导数(1)理解高阶偏导数的定义. (2)注意记号与求导顺序问题.(3)二元函数有二阶连续偏导数时,求导次序无关:xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22. 3.全微分(1)知道全微分的定义若),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可表示成)(ρo y B x A +∆⋅+∆⋅,则),(y x f z =在点),(00y x 处可微;称y B x A ∆⋅+∆⋅为此函数在点),(00y x 处的全微分,记为y B x A dz ∆⋅+∆⋅=.(2)知道二元函数全微分存在的充分必要条件:函数可微,偏导数必存在;(xzA ∂∂=,y z B ∂∂=;dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=) 偏导数存在,不一定可微(dz z -∆是否为)(ρo ). 偏导数连续,全微分必存在.(3)求方向导数、梯度.三、多元复合函数与隐函数求导法则 1.多元复合函数的求导法则 (1)xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (2)对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数(全导数)的求导法要熟练掌握.(3)掌握多元复合函数(主要是两个中间变量的二元函数)的二阶偏导数的求法. 2.隐函数的求导公式 (1)一个方程的情形若0),(=y x F 确定了)(x y y =,则yx F F dx dy-=; 若0),,(=z y x F 确定了),(y x z z =,则z x F F x z-=∂∂,zy F F y z -=∂∂. (2)方程组的情形若⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 能确定⎩⎨⎧==)()(x z z x y y ,则由可解出dx dy 与dxdz ; 若⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定了),(y x u u =,),(y x v v =,像上边一样,可以求出x u ∂∂,x v∂∂及y u ∂∂,yv∂∂. 四、多元函数微分法的应用 1.几何应用(1)空间曲线的切线与法平面方程1°:曲线Γ:)(t x ϕ=,)(t y ψ=,)(t z ω=,0t t =时,Γ上相应点),,(000z y x 处的切线方程:)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='- 法平面方程:0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ2°:曲线Γ:⎩⎨⎧==)()(x z x y ψϕ,则点),,(000z y x 处的切线方程:000001()()x x y y z z x x φψ---=='' 法平面方程:00000()()()()()0x x x y y x z z φψ''-+-+-=3°:曲线Γ:⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,则点),,(000z y x P 处的切线方程为法平面方程:0)()()(000=-⋅+-⋅+-⋅z z G G F F y y G G F F x x G G F F Pyx yx Px zxz Pzy z y (2)空间曲面的切平面与法线方程1°:曲面∑:0),,(=z y x F ,点),,(000z y x 处的切平面方程为: 法线方程:zy x F z z F y y F x x 000-=-=- 2°:曲面∑:),(y x f z =,在点),,(000z y x 处的切平面方程为:)(),()(),(0000000y y y x f x x y x f z z y x -⋅+-⋅=-法线方程为:100--=-=-z z f y y f x x y x 2.极值应用(1)求一个多元函数的极值(如),(y x f z =):先用必要条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz xz,求出全部驻点,再用充分条件求出驻点处的xx z ,yy z 与xyz ;02>-B AC ,0<A 时有极大值,0>A 时有极小值; 02<-B AC 时无极值.(2)求最值1°:纯数学式子时,区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较; 2°:有实际意义的最值问题.(3)条件极值求一个多元函数在一个或m 个条件下的极值时,用拉格朗日乘数法.如:),,(z y x f u =在条件0),,(1=z y x ϕ与0),,(2=z y x ϕ下的极值时,取解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====0000021ϕϕz y x F F F ,求出x ,y ,z则),,(z y x 就是可能的极值点;再依具体问题就可判定),,(z y x 为极大(或极小)值点.第九章 重积分一、 二重积分 1. 定义:∑⎰⎰=∞→→∆⋅=ni iiin Df d y x f 1)(0),(lim ),(σηξσλ2. 几何意义:当),(y x f ≥0时,⎰⎰Dd y x f σ),(表示以曲面),(y x f z =为顶,以D 为底的曲顶柱体体积.物理意义:以),(y x f 为密度的平面薄片D 的质量. 3. 性质1°:⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(2°:⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f σσσ),(),()],(),([3°:若21D D D +=,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ4°:1),(≡y x f 时,D Dd y x f σσ=⎰⎰),(5°:若在D 上),(y x ϕ≥),(y x ψ,则⎰⎰Dd y x σϕ),(≥⎰⎰Dd y x σψ),(⇒⎰⎰Dd y x f σ),(≥(,)Df x y d σ⎰⎰6°:若),(y x f 在闭区域D 上连续,且m ≤),(y x f ≤M ,则D m σ⋅≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤D M σ⋅7°:(中值定理)若),(y x f 在闭区域D 上连续,则必有点D ∈),(ηξ,使 4. 二重积分的计算法D 极点在内(1)在直角坐标系中1°:若积分区域D 为-X 型区域D :⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21x y x b x a ϕϕ 则化为先y 后x 的二次积分:⎰⎰⎰⎰=bax x Ddyy x f dx dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ2°:若积分区域D 为-Y 型区域D :⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21y x y d y c ψψ 则化为先x 后y 的二次积分:(2)在极坐标系中)sin ,cos (),(θθr r f y x f =,θσrdrd d =1°:极点在D 外:D :⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21θϕθϕβθαr 则有2°:极点在D 的边界上:D :⎩⎨⎧≤≤≤≤)(0θϕβθαr 则有3°:极点在D 内:D :⎩⎨⎧≤≤≤≤)(020θϕπθr 则有在计算二重积分时要注意:1°:选系:是直角坐标系还是极坐标系;若积分区域是圆域、环域或它们的一部分;被积式含有22y x +或两个积分变量之比xy、y x 时,一般可选择极坐标系. 2°:选序:当选用直角坐标系时,要考虑积分次序,选错次序会出现复杂或根本积不出的情况(二次积分换次序).3°:积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合,如:D 关于x 轴(或y 轴)对称时,应配合被积函数对于y (或x )的奇偶性. 4°:若)()(),(21y f x f y x f ⋅=,积分区域D :⎩⎨⎧≤≤≤≤dy c bx a ,则二重积分可化为两个定积分的乘积. 二、 三重积分 1. 定义:∑⎰⎰⎰=∞→→Ω∆⋅=ni iiiin vf dv z y x f 1)(0),,(lim ),,(ςηξλ2. 物理意义:以),,(z y x f 为密度的空间体Ω的质量. 3. 性质(与二重积分类同). 4. 三重积分的计算法 (1)在直角坐标系中 1°:若Ω为:⎩⎨⎧≤≤∈),(),(),(21y x z z y x z D y x xy此处xy D 为Ω在xOy 面上的投影,),(1y x z z =与),(2y x z z =分别为Ω的下界面和上界面方程,则2°:若Ω为:⎩⎨⎧∈≤≤0),,(0201z D z y x C z C此处0z D 为用平面0z z =截Ω则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω21),,(),,(C C D z z y x f dz dxdydz z y x f (2)在柱面坐标系下若Ω为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤),(),()()(2121θθθϕθϕβθαr z z r z r ,则(3)在球面坐标系中若Ω为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤),(),(212121ϕθρϕθρβϕβαθαz ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω212121),(),(2sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(ααϕθρϕθρββρϕρϕρθϕρθϕρϕθd f d d dxdydz z y x f注:1°:柱面坐标、球面坐标对普通班不要求;2°:三重积分的计算也有选系、选序的问题;3°:积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合;4°:若Ω是长方体:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤f z e d y c b x a ,而)()()(),,(321z f y f x f z y x f ⋅⋅=,则三重积分化为三个定积分的乘积. 三、 重积分的应用 1. 几何应用(1) 求面积:⎰⎰=DD d σσ(2) 求体积:⎰⎰Dd y x f σ),(,⎰⎰⎰Ωdv(3) 求曲面面积:若∑:),(y x f z =,∑在xOy 面上的投影为xy D ,则∑的面积为:⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xyD dxdy y z x z A 221 2. 物理应用(1) 求质量:⎰⎰=Dd y x m σμ),(;⎰⎰⎰Ω=dv z y x m ),,(μ(2) 求重心:⎰⎰=D d y x x m x σμ),(1;⎰⎰=Dd y x y m y σμ),(1在均匀情况下,重心公式可变形为:⎰⎰=DDxd x σσ1;⎰⎰=DDyd y σσ1同理,可得到空间体Ω的重心坐标.(3) 求转动惯量:⎰⎰=Dx d y x y J σμ),(2;⎰⎰=Dy d y x x J σμ),(2;y x o J J J +=同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量.第十章 曲线积分与曲面积分一、曲线积分 1.定义:(1)第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):∑⎰=→∆⋅=ni iiiLs f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ(∑⎰=→∆⋅=ni iiiiLs f ds z y x f 1),,(lim ),,(ςηξλ)物理意义:曲线的质量.(2)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):物理意义:变力沿曲线所作的功. 2.性质: (1)⎰⎰⎰+=21L L L(21L L L +=)(2)第一类:⎰⎰-+=L L ds y x f ds y x f ),(),(第二类:⎰⎰-+-=L L(3)两类曲线积分的联系其中αcos ,βcos 是曲线上点),(y x 处切线的方向余弦. (⎰⎰++=++LLds R Q P Rdz Qdy Pdx )cos cos cos (γβα)3.计算法(化线积分为定积分)L :⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ,α≤t ≤β,则 注意:L 为)(x f y =时,取L 为⎩⎨⎧==)(x f y xx ,a ≤x ≤b4.格林公式及其应用 (1)格林公式:⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+D Ldxdy y P x Q Qdy Pdx注意:1°:P ,Q 在D 上具有一阶连续偏导数;2°:L 是单连域D 的正向边界曲线;3°:若D 为多连域,先引辅助线,后再用格林公式.(2)平面上曲线积分与路径无关的条件设P ,Q 在单连域G 内有一阶连续偏导数,A ,B 为G 内任意两点,则以下四个命题等价:1°:⎰+ABL Qdy Pdx 与路径L 无关;2°:对于G 内任意闭曲线C 有0=+⎰CQdy Pdx ; 3°:在G 内,Qdy Pdx +为某函数),(y x u 的全微分;4°:yPx Q ∂∂=∂∂在G 内处处成立.(3°中有:⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u )二、曲面积分 1.定义:(1)第一类曲面积分(对面积的曲面积分) 物理意义:曲面∑的质量。

高等数学(考研要点复习_下)

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第五章 定积分的概念教学目的与要求:1. 解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2. 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。

5.1定积分概念 一. 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点,把区间[a,b]分成n 个小区间,记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ,作和式:)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割,也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取,只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI (I为一个确定的常数),则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分,简称积分,记做⎰badx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数,f(x)dx 为积分表达式,a 为积分下限,b 为积分上限,x 称为积分变量,[a,b]称为积分区间。

注1. 定积分还可以用δε-语言定义 2由此定义,以上二例的结果可以表示为A=⎰badx x f )(和S=⎰21)(T T dt t v3有定义知道⎰badx x f )(表示一个具体的书,与函数f(x)以及区间[a,b]有关,而与积分变量x 无关,即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰b adt t f )(4定义中的0→λ不能用∞→n 代替5如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在,则它就是f(x)在[a,b]上的定积分,那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢?经典反例:⎩⎨⎧=中的无理点,为,中的有理点,为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0,1]上不可积。

高数下册总复习知识点归纳

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第八、九章向量代数与空间解析几何总结○1定义:四步法——分割、代替、求和、取极限;○2性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;○3对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章总结无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义,nns∞→lim存常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛?○两个收敛级数的和差仍收敛?注:一敛、一散之和必发散;两散和、差必发散.○去掉、加上或改变级数有限项?不改变其收敛性?○若级数收敛?则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变。

推论?如果加括号后所成的级数发散?则原来级数也发散?注:收敛级数去括号后未必收敛.莱布尼茨判别法若1+≥nnuu且0lim=∞→nnu,则∑∞=--11)1(nnn u收敛nu∑和nv∑都是正项级数,且nnvu≤.若nv∑收敛,则nu∑也收敛;若nu∑发散,则nv∑也发散.比较判别法比较判别法的极限形式nu∑和nv∑都是正项级数,且lvunnn=∞→lim,则○1若+∞<<l0,nu∑与nv∑同敛或同散;○2若0=l,nv∑收敛,nu∑也收敛;○3如果+∞=l,nv∑发散,nu∑也发比值判别法根值判别法nu∑是正项级数,ρ=+∞→nnn uu1lim,ρ=∞→nnnulim,则1<ρ时收敛;1>ρ(ρ=+∞)时发散;1=ρ时可能收敛也可能发收敛性和函数展成幂级数nnnxa∑∞=0,ρ=+∞→nnn aa1lim,1,0;,0;0,.R R Rρρρρ=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs的性质○在收敛域I上连续;○在收敛域),(RR-内可导,且可逐项求导;○和函数)(xs在收敛域I上可积分,且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式⎰-=πππnxdxxfancos)(1⎰-=πππnxdxxfbnsin)(1收敛定理x是连续点,收敛于)(xf;x是间断点,收敛于)]()([21+-+xfxf周期延拓)(xf为奇函数,正弦级数,奇延拓;)(xf为偶函数,余弦级数、偶延拓.交错级数。

高数下册复习知识点总结

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高数下册复习知识点总结高数下册复习知识点总结高数下册复习知识点总结:8空间解析几乎与向量代数1.给定向量的坐标表达式,如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。

2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式,掌握两个向量垂直和平行的条件。

3.了解常用二次曲面的方程及其图形,以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。

空间曲线在坐标平面上的投影方程。

4.平面方程和直线方程及其求法。

5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。

6.点到直线以及点到平面的距离。

9多元函数微分法及其应用1.有关偏导数和全微分的求解方法,偏导要求求到二阶。

2.复合函数的链式法则,隐函数求导公式和方法。

3.空间曲线的切线和法平面方程,空间曲面的切平面与法线方程;函数沿着一条直线的方向导数与梯度。

4.利用充分条件判断函数的极值问题;利用拉格朗日乘子法(即条件极值)分析实际问题或给定函数的最值问题。

10重积分1.二重积分直角坐标交换积分次序;选择合适的坐标系计算二重积分。

2.选择合适的坐标系计算三重积分。

3.利用二重积分计算曲面的面积;利用三重积分计算立体体积;4.利用质心和转动惯量公式求解问题。

11曲面积分与曲线积分1.两类曲线积分的计算与联系;2.两类曲面积分的计算与联系;3.格林公式和高斯公式的应用。

12曲面积分与曲线积分1.常数项积分的敛散性判别:(1)正项级数;(2)交错级数;(3)一般级数2.幂级数的收敛域(1)标准型(2)非标准型幂级数的和函数,幂级数展开3.傅里叶级数的和函数以及展开式扩展阅读:高数下册总复习知识点归纳(1)高等数学(一)教案期末总复习第八、九章向量代数与空间解析几何总结向量代数定义与运算的几何表达定义向量模有大小、有方向.记作a或AB向量a的模记作a在直角坐标系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca-b 单位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0,则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为,,,则方向余弦分别为cos,cos,cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx,cosy,coszaaaea(cos,cos,cos)cos2+cos2cos21点乘(数量积)ababcos,为向量a与b的夹角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘(向量积)为向量a与b的夹角cab向量c与a,b都垂直定理与公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a//bcosa//bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab两向量夹角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点法式方程形式及特征直线方向向量T{m,n,p}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0xx0yy0zz0mnp高等数学(一)教案期末总复习xx1三点式yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1两点式线线垂直线线平行线面平行参数式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行线面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0 y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0点面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距离AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夹角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222线线夹角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}线面夹角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p 2sinx(t),y(t),z(t),切“线”方程:切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空间(t)曲线:T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程:(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“线”方程:y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x))xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程:(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程:Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空间曲面:n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)F x(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程:xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程:fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“线“方程:zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等数学(一)教案期末总复习第十章总结重积分计算方法(1)利用直角坐标系X型Y型积分类型二重积分典型例题f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD(2)利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段);(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),平面薄片的质量质量=面密度面积为实数)P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时,(关于x轴对称时,有类似结论)0I2f(x,y)dxdyD1计算步骤及注意事项f(x,y)对于x是奇函数,即f(x,y)f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数,即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2应用该性质更方便1.画出积分区域2.选择坐标系标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数关于坐标变量易分离3.确定积分次序原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙4.确定积分限方法:图示法先积一条线,后扫积分域5.计算要简便注意:充分利用对称性,奇偶性高等数学(一)教案期末总复习三重积分(1)利用直角坐标投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos(2)利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;如旋转体○If(x,y,z)dvP161例3空间立体物的质量质量=密度面积22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos(3)利用球面坐标ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如,球体,锥体.○P16510-(1)2222被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如,f(xyz)○Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学(一)教案期末总复习第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型参数法(转化为定积分)第一类曲线积分(1)L:y(x)IIf(x,y)ds计算方法典型例题(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形构件的质量(2)L:y(t)质量=线密度xr()cos弧长(3)rr()()L:f((t),(t))b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P190-3yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面第二类曲线积分(1)参数法(转化为定积分)x(t)L:(t单调地从到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt(2)利用格林公式(转化为二重积分)条件:①L封闭,分段光滑,有向(左手法则围成平面区域D)②P,Q具有一阶连续偏导数结论:LPdxQdy(DQP)dxdyxy满足条件直接应用IPdxQdy应用:有瑕点,挖洞L不是封闭曲线,添加辅助线变力沿曲线所做的功P205-例4P214-5(1)(4)(3)利用路径无关定理(特殊路径法)等价条件:①QP②xy③PdxQdy0LLPdxQdy与路径无关,与起点、终点有关P211-例5、例6、例7④P dxQdy具有原函数u(x,y)(特殊路径法,偏积分法,凑微分法)(4)两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空间第二类曲线积分(1)参数法(转化为定积分)PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dtIP dxQdyRdz(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分)L条件:①L封闭,分段光滑,有向②P,Q,R具有一阶连续偏导数PdxQdyRdzL变力沿曲线所做结论:的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1 高等数学(一)教案期末总复习应用:满足条件直接应用不是封闭曲线,添加辅助线第一类曲面积分投影法:zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的质量Dxy质量=面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积(1)投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz:zz(x,y),为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”,cos0;后侧取“”,cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二类曲面积分○Dyz:yy(x,z),为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”,cos0;左侧取“”,cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流体流向曲面一侧的流量:xx(y,z),为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”,cos0;下侧取“”,cos0(2)高斯公式右手法则取定的侧条件:①封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧②P,Q,R具有一阶连续偏导数结论:PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2应用:满足条件直接应用不是封闭曲面,添加辅助面(3)两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3转换投影法:dydz( 所有类型的积分:z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定义:四步法分割、代替、求和、取极限;○2性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;○3对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。

高数(下册)复习资料完整

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高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量:向量表示((a^b));向量运算(向量积);向量的方向和投影空间方程:曲面方程(旋转曲面和垂直柱面);直线方程(参数方程和投影方程)平面方程:点法式(法向量)、一般式、截距式;平面夹角和距离直线方程:一般式、对称式(方向向量)、参数式;直线夹角;平面交线(法向量积)切平面和切线:切线与法平面;切平面与法线多元函数微分学多元函数极限:趋近方式,等阶代换偏微分和全微分:高阶微分(连续则可等);复合函数求导(Jacobi行列式);多元函数极值:偏导数判定;拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分:直角坐标和极坐标;对称性;换元法三重积分:直角坐标、柱坐标和球坐标;对称性重积分的应用:曲面面积;质心;转动惯量;引力曲线与曲面积分曲线积分:弧长积分;坐标曲线积分(参数方程);格林公式面积积分:对面积积分;坐标面积积分;高斯公式无穷级数级数收敛:通项极限正项级数:调和级数;比较法和比较极限法;根值法;极限法;绝对收敛和条件收敛幂级数:收敛半径和收敛域;和函数;麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数:傅里叶系数(高次三角函数积分);奇偶延拓;正弦和余弦级数;一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数:向量参数式;偏导数;方向余弦梯度(grad):方向导数的最值;梯度方向;物理意义(热导方向与电场方向)格林公式:曲线积分—>二重积分;曲线方向与曲面方向全微分原函数:场的还原;折线积分通量与散度高斯公式:闭合曲面—>三重积分;曲面外侧定向;曲面补齐;向量表达(通量)散度(div):通量的体积元微分;物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式:闭合曲线—>曲面积分;向量积定向;行列式表达;向量表达;物理意义(环通量)旋度(rot):行列式斯托克斯公式;物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =-=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠,则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ,,,则方向余弦分别为cos αβγ,cos ,coscos y x z a a a aaaαβγ===,cos ,coscos a e αβγ=(,cos ,cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘(数量积) θcos b a b a =⋅,θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘(向量积)b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ,b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑:0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程:000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程:),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程:0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程:1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积(1) 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3(2)利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 ); (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时,(关于x 轴对称时,有类似结论)P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分:○1定义:四步法——分割、代替、求和、取极限;○2性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;○3对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。

高数下册总复习知识点.pptx

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F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导,z f (u, v)
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
(1)球面 (2)圆锥面 (3)旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2

高数下知识点复习

高数下知识点复习

高数下知识点复习高等数学下册包含了许多重要的知识点,对于我们深入理解数学的应用和进一步学习其他学科都有着至关重要的作用。

下面就来对这些知识点进行一个系统的复习。

首先是多元函数的微积分学。

多元函数与一元函数有很多相似之处,但也存在着明显的差异。

对于多元函数的极限与连续,要理解多元函数极限的定义和存在条件。

它比一元函数的极限更为复杂,因为需要考虑多个方向上的趋近情况。

连续性的判断也是基于极限的概念,需要函数在某点的极限值等于该点的函数值。

多元函数的偏导数是重点之一。

偏导数表示函数在某一变量方向上的变化率。

计算偏导数时,将其他变量视为常数,只对关注的变量进行求导。

比如对于函数\(f(x,y)\),\(f_x\)表示对\(x\)的偏导数,\(f_y\)表示对\(y\)的偏导数。

偏导数的几何意义可以理解为曲面在某一坐标轴方向上的切线斜率。

全微分则是综合考虑了各个变量的变化对函数值的影响。

它的表达式为\(dz = f_x dx + f_y dy\)。

接着是多元函数的极值问题。

通过求解偏导数为零的方程组,得到驻点。

然后利用二阶偏导数判断驻点是否为极值点。

这里会涉及到判别式\(D = f_{xx}f_{yy} f_{xy}^2\)。

若\(D > 0\)且\(f_{xx} > 0\),则为极小值点;若\(D > 0\)且\(f_{xx} <0\),则为极大值点;若\(D < 0\),则不是极值点。

然后是重积分。

二重积分可以用于计算平面区域上的面积、质量等。

将二重积分化为累次积分是常见的计算方法,要根据积分区域的形状选择合适的积分顺序。

三重积分则是对空间区域的积分,其计算方法与二重积分类似,但更加复杂。

在重积分的应用中,求曲面的面积是一个重要的内容。

需要利用曲面的方程和相应的积分公式进行计算。

再来说说曲线积分和曲面积分。

曲线积分分为第一型曲线积分和第二型曲线积分。

第一型曲线积分与曲线的长度有关,常用于计算曲线的质量等。

高数下复习重点

高数下复习重点

高数下复习重点第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算1向量的模(向量的长度),单位向量,零向量,相等向量,自由向量,向量夹角,向量平行,向量垂直的概念2向量的加法:交换律,结合律,︱a+b︱≤a︱+︱b︱3数乘:–1a称为a的负向量数乘满足:⑴结合律⑵分配律⑶当a≠0时,1/︱a︱×a是与a同方向的单位向量⑷a≠0,a∥b~存在实数k使a=k b⑸向量的坐标运算4向量的坐标表示~向量的坐标运算5向量的模与方向余弦平p277第二节向量的乘积1向量的数量积及其满足的性质p2792向量数量积的坐标运算3向量的向量积定义,几何意义,满足的性质及运算法则p2814向量的混合积的性质:a,b,c共面的充要条件为〔abc〕=0其几何意义:以a,b,c为相邻三棱的平行六面体的体积第三节空间曲面1平面方程:点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0n={A,B,C}一般式:Ax+By+Cz+D=0三点式方程:〔AB AC AD〕=02两平面夹角:Cosθ=︱n1.n2︱/︱n1︱︱n2︱θ∈[0,∏∕2]∏1∥∏2~A1/A2=B1/B2=C1/C2∏1⊥∏2~A1A2+B1B2+C1C2=03点到平面的距离公式d=︱Ax0+By0+Cz0+D︱/(A,B,C,的平方和开根号)4柱面其方程的特点:方程中缺一个字母5旋转曲面∑是由yoz坐标面上曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转一周而成,期房称为f(±x,y的平方和开根号,z)=0;若为绕y轴则方程为f(y,±x,z的平方和开根号)=0第四节空间曲线1空间曲线方程:一般方程参数方程2空间曲线在坐标面上的投影的算法3空间直线方程:一般式点向式参数方程两点式4两直线夹角Cosθ=︱s1.s2︱/︱s1︱︱s2︱L1⊥L2~m1m2+n1n2+p1p2=0L1∥L2~m1/m2=n1/n2=p1/p2L⊥∏~m/A=n/B=p/CL∥∏~Am+Bn+Cp=0典型例题p295 例题75平面束典型例题p296 例题8,p290 2、(6)第九章多元函数微分学第一节多元函数的概念1邻域,去心邻域,内点,聚点,边界点的概念及关系2有界点集与无界点集3开集,闭集,连通集,区域,开区域,闭区域第二节二元函数的极限与连续典型例题p305例题4定理2讨论二元函数的连续性3最值定理,有界定理,介值定理,零点定理第三节偏导数1偏导数的定义2可偏导,对x,y的偏导数都存在3偏导数的几何意义:对某个未知量的偏导数就是在某点处的切线关于某轴的斜率4偏导数的计算:实质为一元函数的求导5定理1p313第四节全微分1偏微分的概念2全微分:等于各偏微分之和dz=Adx+Bdy2可微的必要条件p3173可微的充要条件p3184可微的充分条件p3185推论p3196利用全微分计算多元函数的函数近似值第五节多元复合函数的求导法则1二元函数偏导数的求导法则(定理1p322)2多元函数偏导数求导公式(定理2p327)3全微分形式不变性p3274若u=u(x,y),v=v(x,y),z=f(u,v),则dz=du+dv=(u对x的偏导数dx+u对y的偏导数dy)+(v对x的偏导数dx+v对y的偏导数dy)第六节隐函数的微分法1隐函数存在定理一p329其本质是让等式两边同时对x求导2隐函数存在定理二p331实质同一3隐函数存在定理三p333实质同一4隐函数存在定理四p333实质同一“3-2”“4-2”型,其本质是解方程组5全微分典型例题p336 例题6第七节方向导数和梯度1方向导数的求法定理1p3392方向导数推广到n元函数3梯度的概念p3414梯度与方向导数的关系p3415梯度推广至三元函数6方向导数为梯度与单位方向向量的数量积,即梯度的模长第九节多元函数的极值1极值存在的必要条件p3472极值存在的第二充分条件p3483条件极值的求法:Lagrange乘数法4最值求解步骤:①求出f(x,y)在D内部所有可能极值点②求出f(x,y)在D边界上的所有可能条件极值点③分别计算上述各点处的函数值,最大的就是f(x,y)在D上的最大值,最小者就是f(x,y)在D上的最小值第十节多元函数微分学的几何应用1定理1p3592法平面的概念:与曲线的切向量相垂直的面3定理2p3604定理3p3605定理4p3626定理5p3637关系图p367第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1dσ=dxdy曲顶柱体的体积v=⎰⎰f(x,y)dσ2二重积分的几何意义p3723二重积分的性质p373(积分中值定理)4定理1,2(二重积分的对称性:奇偶对称性,轮轮换对称性)p373第二节二重积分的计算1利用直角坐标计算dσ=dxdy2利用极坐标计算dσ=rdrdθ(被积函数中有x,y的平方和项)第三节三重积分的概念及性质(详见笔记)1三重积分的性质p3912奇偶对称性,轮换对称性第四节三重积分的计算1利用直角坐标计算dv=dxdydz2先二后一条件:穿过空间区域Ω的内部且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点不超过两个3利用柱面坐标计算dv=rdrdθdz4利用球面坐标计算dv=p的平方sinφdpdφdθ第五节重积分的应用空间曲面面积(详见笔记)本章重点p411第十一章曲线积分第一节对弧长的曲线积分。

高数下册复习要点

高数下册复习要点

高等数学下册知识点
1 向量的数量积、垂直与平行的充要条件、向量间夹角公式
2 求平面与直线的位置关系
3 求直线与平面方程
4 空间曲线的切向量及切线方程
5 空间曲面的切平面方程
6 计算一阶偏导数及二阶偏导数
7 求方程所确定的隐函数的偏导数
8 抽象函数的偏导数
9 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值
10 求方向导数、梯度
11 利用直角坐标和极坐标计算二重积分
12 交换积分次序
13 计算立体的体积(二重积分或三重积分)
14 曲线积分与路径无关条件
15 计算对弧长的曲线积分
16 利用格林公式计算对坐标的曲线积分
17 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
18 正项级数的审敛法(比较审敛法及其极限形式、比值审敛法)
19 常见的几种级数(几何级数、调和级数、p级数)的敛散性
20 交错级数的莱布尼兹审敛法,绝对收敛和条件收敛
21 幂级数的收敛域和和函数的确定
22 傅里叶级数的展开式及系数计算公式、傅里叶级数的收敛定理。

高数下知识点复习

高数下知识点复习

高数下知识点复习在高等数学下册的学习中,我们接触到了许多重要的知识点。

这些知识点不仅是数学学科的基础,也在实际应用中发挥着重要作用。

接下来,让我们一起对这些知识点进行一次系统的复习。

首先,我们来看看多元函数微分学。

多元函数的概念是这部分的基础,与一元函数不同,多元函数有多个自变量。

对于二元函数 z = f(x, y),我们要理解其定义域、值域等概念。

偏导数是多元函数微分学中的重要内容。

偏导数表示函数在某一方向上的变化率。

对于函数 z = f(x, y),其关于 x 的偏导数记为∂z/∂x,关于 y 的偏导数记为∂z/∂y。

计算偏导数时,我们把其他自变量看作常数,只对所关注的自变量求导。

全微分则是对多元函数微小变化的一种精确描述。

如果函数 z =f(x, y)的全微分 dz =∂z/∂x dx +∂z/∂y dy,那么全微分在近似计算和误差分析中有着广泛的应用。

接下来是多元复合函数求导法则。

这部分内容相对复杂,需要我们理清函数之间的复合关系。

比如,对于形如 z = f(u(x, y), v(x, y))的复合函数,我们要使用链式法则来求导。

隐函数求导也是一个重点。

当方程 F(x, y) = 0 确定了隐函数 y =y(x)时,我们通过对方程两边同时求导来得到隐函数的导数。

再说说方向导数与梯度。

方向导数表示函数沿某一方向的变化率,而梯度则是一个向量,它的方向是函数值增加最快的方向,其模长等于方向导数的最大值。

在多元函数极值问题中,我们要掌握极值的必要条件和充分条件。

通过求解偏导数为零的方程组,得到可能的极值点,然后再利用充分条件判断是极大值还是极小值。

然后是重积分。

二重积分是将平面区域上的函数进行积分,它可以用来计算平面图形的面积、质量等。

在计算二重积分时,我们可以将其化为累次积分,根据积分区域的特点选择合适的积分顺序。

三重积分则是对空间区域上的函数进行积分,其计算方法与二重积分类似,但更加复杂。

我们可以通过直角坐标、柱坐标、球坐标等不同的坐标系来计算三重积分。

高数下册知识点

高数下册知识点

高数下册知识点高等数学下册包含了许多重要的知识点,这些知识点不仅在数学领域有着广泛的应用,也为其他学科的学习和研究提供了重要的工具。

以下是对高数下册一些关键知识点的详细介绍。

一、多元函数微分学多元函数微分学是研究多元函数的导数和微分的学科。

其中,偏导数是重点之一。

对于多元函数 z = f(x, y),偏导数∂z/∂x 表示固定 y 时,函数 z 对 x 的变化率;∂z/∂y 则表示固定 x 时,函数 z 对 y 的变化率。

全微分是另一个重要概念。

如果函数 z = f(x, y)在点(x, y)处的全增量Δz 可以表示为Δz =AΔx +BΔy +o(ρ)(其中ρ =√(Δx² +Δy²),A、B 与Δx、Δy 无关),则称函数 z 在点(x, y)处可微分,AΔx +BΔy 称为函数 z 在点(x, y)处的全微分,记为 dz =AΔx +BΔy。

多元复合函数求导法则也是必须掌握的。

比如,如果函数 u =φ(x, y),v =ψ(x, y),而 z = f(u, v),那么通过链式法则可以求出∂z/∂x 和∂z/∂y。

隐函数求导法则在解决一些方程所确定的隐函数的导数问题时非常有用。

二、重积分重积分包括二重积分和三重积分。

二重积分的概念可以通过曲顶柱体的体积来引入。

在直角坐标系下,计算二重积分通常可以将其化为累次积分。

在极坐标系下,对于一些具有圆形或扇形对称性的区域,使用极坐标计算二重积分会更加简便。

三重积分与二重积分类似,也有其定义和计算方法。

在直角坐标系下,三重积分可以化为三次累次积分;在柱面坐标系和球面坐标系下,对于具有相应对称性的区域,使用这些坐标系计算三重积分会更高效。

重积分在计算物体的质量、重心、转动惯量等方面有着广泛的应用。

三、曲线积分与曲面积分曲线积分分为对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分。

对弧长的曲线积分的物理意义可以理解为曲线形构件的质量。

对坐标的曲线积分与变力沿曲线做功的问题密切相关。

高等数学下册总复习

高等数学下册总复习

与 y0确. 定
3.设 f(x,y)连,改 续变 二 1d次 yy23y2积 f(x,y分 )dx 0 2
的 积.分 次 序
4.设 由 平x面 yz1,xy1,x0,y0,z1
围 成 的 闭三 区重 域积 , f(分 x 将 ,y,z)dxd化 yd为 z
先z对 ,再 y, 对最x后 的对 三次 . 积分
n1
若 un
收敛n 1

,
u
n
称 u n

对n收 1敛
称 u n

发n散 1 ,
件n收 1敛
Leibniz判别法:

unun10,
且 limun
n
0,
则交错级数 (1) nun 收敛
n 1
1.设
级a数 n 2收
n1


证 an明 收(级 敛 7分 )数 n1 n
2.判别交错 (级 1)nn数 的敛散性
(2)点M0(x0,y0,z0) 到平面 :A x+B y+C z+D = 0
的距离:
M0
d
M1M0 n n
Ax0By0Cz0D A2B2C2
d
n
M1
1.求 过 (2, 1 点 , 3)且 平 行 2 xxy直 yz2 z2 线 10 0的 直 对 称 式 及 方 参 程 数 方 程
n1 3n1
3求 . 幂级 n 1n数 22n1xn的收敛(要 区讨 间论端点处 )
4、判别 n 1(n(1n010)13n0)0是否收敛?若(9'收 ) 敛
5、求
xn的 收 敛 域 及 和 函求数级,数并
n1 n
1 13
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第五章 定积分的概念教学目的与要求:1. 解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2. 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。

5.1定积分概念一. 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点,把区间[a,b]分成n 个小区间,记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ,作和式:)1.......()(1i ni i x f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割,也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取,只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI (I 为一个确定的常数),则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分,简称积分,记做⎰badx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数,f(x)dx 为积分表达式,a 为积分下限,b 为积分上限,x 称为积分变量,[a,b]称为积分区间。

注1. 定积分还可以用δε-语言定义2由此定义,以上二例的结果可以表示为A=⎰badx x f )(和S=⎰21)(T T dt t v3有定义知道⎰badx x f )(表示一个具体的书,与函数f(x)以及区间[a,b]有关,而与积分变量x无关,即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(4定义中的0→λ不能用∞→n 代替5如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在,则它就是f(x)在[a,b]上的定积分,那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢?经典反例:⎩⎨⎧=中的无理点,为,中的有理点,为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0,1]上不可积。

可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。

6几何意义当f(x)≥0时,⎰b a dx x f )(表示曲边梯形的面积;当f(x)≤ 0时,⎰ba dx x f )(表示曲边梯形的面积的负值;一般地,若f(x)在[a,b]上有正有负,则⎰badx x f )(表示曲边梯形面积的代数和。

[例1]计算⎰1dx e x解:显然f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积,现将[0,1]分成n 个等分,分点为n i nix i ,.....2,1,0,==,n x i /1=∆,n /1=λ取i i x =ξ作和式: 11]1)[(111)(111010101-=--===∆→=→=→=→∑∑∑e e e e n Lim e n Lim n e Lim xf Lim n n nn ni ni ni n i ni i i λλλλξ所以:⎰1dx e x =e-17.按照定义5.2定积分的性质积分中值定理 有定积分的定义知,⎰badx x f )(是当a<b 时才有意义,而当a=b 与a>b 时无意义,但为了计算及应用的方便,特作两个规定: 1. a=b 时,⎰ba dx x f )(=02. a>b 时,⎰badx x f )(=-⎰ab dx x f )(性质1:和差的定积分等于它的定积分的和差,即⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([性质2:常数因子可以外提(可以推广到n 个)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(性质3:无论a,b,c 的位置如何,有⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(性质4:f(x)1≡则a b dx x f ba-=⎰)(性质5:若f(x)≤g(x)则,)()(⎰⎰≤ba ba dx x g dx x fb a ≤性质6:⎰⎰≤b abadx x f dx x f )()(性质7:设在[]b ,a ,()M x f m≤≤,则()()()a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰性质8:(积分中值定理)若f(x)在[a,b]上连续,则[a,b]上至少存一点ξ,使下式成立,)()()(ξf a b dx x f ba-=⎰例1.利用定积分几何意义,求定积分值4dx x 112π=-⎰ 上式表示介于0x =, 1x =, 0y =, 2x 1y -=之间面积例2、(估计积分值) 证明 21x x 2dx 3212<-+<⎰证:2221x 49x x 2⎪⎭⎫⎝⎛--=-+在[]1,0 上最大值为49,最小值为2∴21x x 21322≤-+< ∴21x x 2132102<-+<⎰ 5.3定积分的计算方法 一. 变上限积分函数的导数设函数f(x)在[a,b]上连续,x 为[a,b]上任一点,显然,f(x)在[a,b]上连续,从而可积,定积分为⎰xadxx f )(由于积分变量与积分上限相同,为防止混淆,修改为=Φ)(x ⎰x adt t f )((b a ≤)称)(x Φ是变上限积分的函数。

定理1:设f(x)在[a,b]上连续,则=Φ)(x ⎰xadt t f )(在[a,b]上可导,且导数为)())(()(x f dt t f dx d x xa==Φ'⎰ 证明省略定理2:如果函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上限的函数=Φ)(x ⎰xadt t f )(是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

注意:1定理说明了连续函数的原函数一定存在 2此定理指出了定积分与原函数的关系 二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则。

(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,又根据前面的定理知道,积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。

于是这两个原函数之差为某个常数,即。

(2)在上式中令x = a,得。

又由Φ (ξ)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (α) = 0,因此,C = F(a)。

以F(a)代入(2)式中的C,以代入(2)式中的Φ (ξ),可得,在上式中令x = b,就得到所要证明的公式(1) 。

由积分性质知,(1)式对a>b的情形同样成立。

为方便起见,以后把F(b) – F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式,它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法,也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解。

例2计算。

解。

例3 计算。

解。

例4 计算正弦曲线y = sinx 在[0,π ]上与x 轴所围成的平面图形的面积。

解。

例5 求解 易知这是一个型的未定式,我们利用洛必达法则来计算。

因此。

例6、30x 41cosxx 4x sinx cosxlncosx limxtlntdt lim⋅=→→⎰20x 0x 0x x lncosx lim x sinx lim cosx lim 41→→→⋅⋅= cosx2x sinx lim 410x ⋅-=→81-= 5.4定积分的换元法定理:设(1)f(x)在[a,b]上连续,(2)函数)(t x φ=在].[βα上严格单调,且有连续导数,(3)βα≤≤t 时,bt a ≤≤)(φ 且b a ==)(,)(βφαφ则有换元公式:⎰⎰'=βαφφdt t t f dx x f ba)())(()( (1)注1. 用换元法时,当用)(t x φ=将积分变量x 换成t 求出原函数后,t 不用回代,只要积分上下限作相应的变化即可。

2.)(t x φ=必须严格单调3.α可以大于β4. 从左往右看,是不定积分的第二换元法;从右往左看,可以认为是第一换元法。

例1、⎰⎰-=-222222dx )1(x -1x dx x2x x法一 设sin t 1-x =π23t)dt sin (12dt t cos cost sin t)(12π022π2π2=+=+⎰⎰-法二 设t 2sin x 2=原式π232π!4!!3!8dt t sin 82π4=⋅⋅==⎰例2.设()x f 在()+∞∞-,上连续,且()()()dt t f t 2x x F x 0⎰-=,证明:若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数。

证:()()()()()()t d t f u 2x ut dtt f t 2x x F x 0x 0--+--=--=-⎰⎰-()()dt t f t 2x x 0⎰--= ()x F =例3. 奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质(1)()x f 在[-a,a]连续,0a >当()x f 为偶数,则⎰⎰=a0a -a f(x)dx 2f(x)dx 当()x f 为奇函数,则0f(x)dx a-a =⎰(2)⎰⎰=+T0Ta af(x)dx f(x)dx ,()x f 以T 为周期说明在任何长度为T 的区间上的积分值是相等的。

例4、e4)dx e -)(e x x(11-1x -x 2001=+⎰ 原式⎰=10x -x )dx e -x(e 2⎰=10x -x )e -xd(e 2[]1x x )e x(e 2-+= e4=例5、⎰⎰-+=+2π2π2π22dx x sin 1 x cos dx x 2sin x cos x cos2πx 2arctansin dsin x xsin 112π02π02==+=⎰例6、设()x f 为连续函数,且⎰+=π0dx f(x )sinx f(x ) 求()x f解: 设⎰=π0A dx f(x)则()A x sin x f +=两边积分⎰⎰+=ππ0A)dx (sinx dx f(x)π0π0Ax cosx A +-=π12A -=∴ π12sinx f(x)-+=5.5定积分的分部积分法定理:若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数,则⎰⎰'-='bababavdx u uv dx v u |证明:因为v u v u uv '+'=')(,则有v u uv v u '-'=')(,两边取定积分。

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