学而思四年级第七讲(环形跑道)

第七讲 环形跑道问题
一、行程问题三要素
环形跑道问题属于行程问题的一类。

对于行程问题，同学们一定要马上反应出路程（S）、速度(V)、时间(t)三个要素之间的关系——
S=V·t
V=S÷t t=S÷V ……公式变形
即，在行程问题中，只有知道S、V、t中的其中两个要素，一定能求出第三个！
二、行程问题基本型
1、相遇问题
关键词：同时、反向
公式： S和 = V和 ·t遇
2、追及问题
关键词：同时、同向
公式： S差 = V差 ·t追
注：我们判断是相遇还是追及主要就是看方向，但要注意的是不管是相遇还是追及，其过程一定是二人同时进行的，所以抓住“同时”也很重要。

当题目中不是同时发生的，要学会如何转化为“同时”。

三、环形跑道问题
环形跑道问题不过是把“行程”的过程搬到了环形跑道上进行，它仍然符合行程问题的公式。

但要注意S与跑道有关系。

做题时，我们要注意
1、确定方向：
（1）反向即为相遇问题，就有S和 = V和 ·t遇
（2）同向即为追及问题，就有S差 = V差 ·t追
2、确定起始点
（1）同地：周期现象
反向（相遇）， 第1次相遇，共合跑1圈
第2次相遇，共合跑2圈
……
第n次相遇，共合跑n圈
同向（追及）， 第1次追上，共多跑1圈
第2次追上，共多跑2圈
……
第n次追上，共多跑n圈
（2）异地：第1次特殊，从第2次开始即为周期现象
四、例题解析
课前回顾 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小王的速度是200米/分，（1）小张和小王同时从同一地点出发反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
解析：（1）同时同地反向，是相遇问题。

S和 = V和 ·t遇
500米 1分钟
第一次相遇，即合跑一圈，即合跑500米，S和、t遇都知道，
那么就可求速度和，得500÷1=500（米/分）
小张的速度： 500-200=300（米/分）
（2）同时同地同向，是追及问题。

S差 = V差 ·t追
500米 300-200
第一次追上，即小张比小王多跑一圈，即S差是500米，速度差也可算出来，
那么可求追及时间：500÷（300-200）=5（分）
小张共跑了多少米：300×5=1500（米）
小张跑了多少圈：1500÷500=3（圈）
例1 在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？
解析： 同时同地同向——追及问题，S差 = V差 ·t追
300米 2分30秒
同时同地反向——相遇问题。

S和 = V和 ·t遇
300米 半分钟
根据分析，根据追及过程可求出速度差，根据相遇过程可求出速度和，接着再用和差问题即可求出两人的速度了。

只是注意单位要统一，时间单位我们统一为秒。

速度差：300÷150=2（米/秒）
速度和：300÷30=10（米/秒）
快的速度：（10+2）÷2=6（米/秒）
慢的速度：（10-2）÷2=4（米/秒） 或 6-2=4（米/秒）
例2 巍巍、铮铮两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。

这条公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时巍巍骑了1440米。

请问：（1）巍巍的速度是多少米/分？
（2）从出发到第一次相遇用时多少分钟？
（3）铮铮骑一圈需要多少分钟？
（4）再过多久他们第二次相遇？
解析：我们做行程问题要敏感，任何一个行程过程，只要知道三要素的两个，一定要反应出马上能求出第三个。

（1）“公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟”，可知巍巍的速度：2400÷10=240（米/分）（2）“第一次相遇时巍巍骑了1440米”，那么可知巍巍用时1440÷240=6（分），这个也是他
B
A
们第一次相遇时共同的用时。

（3）根据第一次相遇 S 和 = V 和 ·t 遇
2400米 6分钟
可求出速度和：2400÷6=400（米/分）
铮铮的速度：400-240=160（米/分）
铮铮骑一圈用时：2400÷160=15（分）
（4）第一次相遇即合骑一圈，用了6分钟，第二次相遇即再合骑一圈，还是要用6分钟。

（尖子）学案2 黑白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米，若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行
（1）多少秒后两只小猫第一次相遇？
（2）如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？
解析： 同时同地背向——相遇问题 S 和 = V 和 ·t 遇
（1）第一次相遇 300米 5+7
可求出相遇时间：300÷（5+7）=25（秒）
（2）同地出发，每次相遇就是一种周期现象
2×60=120（秒）
120÷25=4（次）……20（秒）
说明2分钟内共相遇4次。

（还多跑了20秒，但这20秒还没有相遇）
练 在周长为220米的圆形跑道的一条直径的两端，涛涛、昊昊二人骑
自行车分别以6米/秒和5米/秒的速度同时、相向出发（即一个顺时针，
一个逆时针），沿跑道行驶，则210秒内涛涛昊昊相遇几次？ 解析：同时相向，肯定是相遇问题，但是起始地不是同地，所以要注意
第一次很特殊。

S 和 = V 和 ·t 遇
第一次相遇 110米 6+5 相遇时间：110÷（5+6）=10（秒）
以后的每次相遇 220 6+5 相遇时间：220÷（5+6）=20（秒） 第一次相遇后又相遇：（210-10）÷20=10（次）
共相遇： 10+1=11（次）
例3 昊昊和涛涛在操场上比赛跑步，昊昊每分钟跑250米，涛涛每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么昊昊第一次超过涛涛需要多少分钟？昊昊第二次超过涛涛需要多少分钟？昊昊第三次超过涛涛需要多少分钟？有什么规律呢？
解析： 同时、同地、同向——追及问题
S 差 = V 差 ·t 追
第一次超过 800米 250-210 追及时间：800÷（250-210）=20（分） 第二次超过 2×800米 250-210 追及时间：2×800÷（250-210）=40（分） 第三次超过 3×800米 250-210 追及时间：3×800÷（250-210）=60（分） 规律：每超过一次就是多跑一圈，每次的单次追及时间都是一样的，都是20分钟。

例4 甲乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分钟甲第一次超过乙，22分钟后甲第二次超过乙，假设两人速度保持不变，出发时，甲在乙后面多少米？
解析：同时同向 ——追及问题
S 差 = V 差 ·t 追
第一次 6分 暂时只知道时间，无法求其他要素，
那就先看其他过程
第二次 400米 22-6 可以求出速度差
注意第一次超过后，单看第二次的过程。

从第一次超过到第二次超过，甲比乙多走了1圈，用时22-6=16（分钟）
速度差：400÷16=25（米/分）
针对第一次的过程，可知原来甲与乙相差路程：25×6=150（米）
例5 巍巍、铮铮两人在400米的环形跑道上跑步，巍巍以300米/分钟的速度从起点跑出，1分钟后，铮铮从起点同向跑出，又过了5分钟，巍巍追上铮铮。

请问：铮铮每分钟跑多少米？
如果他们的速度保持不变，巍巍需要再过多少分钟才能第二次追上铮铮？
解析： 注意两人不是同时开始，那么我们一定要转化到“同时”的时候。

巍巍先跑1分钟，他已经跑了300米，这时他和铮铮“同时”跑，
5分钟后巍巍追上铮铮！那么我们知道是巍巍跑得快，他们第一次
的路程差是400-300=100（米）
根据 S 差 = V 差 ·t 追
100米 5分
速度差：100÷5=20（米/分）
铮铮的速度：300-20=280（米/分）
从第一次追上到第二次追上，巍巍比铮铮还要多跑一圈。

S 差 = V 差 ·t 追
400米 20
追及时间：400÷20=20（分）
例6 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时 出发反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 离A 点80米；在D 点第
二次相遇，D 点离B 点60米，求这个圆的周长？ 解析： 首先判断，这是相遇问题
S 和 = V 和 ·t 遇
第一次相遇 合走半圈 假设用1份时间 第二次相遇 又合走一圈 用2份时间
合计 共合走一圈半 共用3份时间
第一次相遇时，小张从A 走到C，走了80米（即他在1份时间里走80米），那么到第二次相遇时，从A 到D（共用了3份时间），他一共走了80×3=240（米）。

半圈：240-60=180(米)，
圆的周长：180×2=360（米）
注：通过这个题，我们要掌握“倍比”的思想。

即 S = V ·t
速度不变时，（1）时间增倍，那么所走的路程一定也增倍。

（2）路程增倍，所花的时间一定也增倍。

铮铮
巍巍
A B。