二次函数顶点坐标公式及其应用
二次函数化顶点坐标公式(一)
二次函数化顶点坐标公式(一)
二次函数化顶点坐标公式
简介
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其具备如下一般形式：y = ax^2 + bx + c
其中，a、b和c都是常数，而x和y代表函数中的变量。
二次函数的顶点坐标公式是一种用于确定二次函数顶点位置的公式，它可以帮助我们通过函数的系数确定顶点坐标。
公式推导
二次函数的顶点坐标公式的推导如下： 1. 将二次函数的一般形式表示为标准形式：y = a(x - h)^2 + k。
其中，(h, k)代表顶点的坐标。
2. 展开括号，得到y = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k。
3. 通过比较系数，我们可以知道顶点坐标满足以下条件： - 顶点的x坐标为h = -b/(2a) - 顶点的y坐标为 k = c - (b^2)/(4a)
顶点坐标公式的应用举例
下面通过一个具体的例子来解释顶点坐标公式的应用：
假设我们有一个二次函数 y = 2x^2 + 4x + 1，我们想要确定它的顶点坐标。
根据顶点坐标公式，我们可以得到： - h = -b/(2a) = -4/(22) = -1 - k = c - (b^2)/(4a) = 1 - (4^2)/(42) = -1
因此，该二次函数的顶点坐标为 (-1, -1)。
总结
通过顶点坐标公式，我们可以利用二次函数的系数快速确定顶点的坐标。
这样的公式在解决数学问题时非常实用，帮助我们简化计算和分析二次函数的性质。
二次函数顶点坐标公式h和k表示
二次函数顶点坐标公式h和k表示二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的中心概念是顶点，顶点坐标可以用公式h和k来表示。
在本文中，我们将探讨二次函数顶点坐标公式h和k的含义和应用。
什么是二次函数？二次函数是一种形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不为零。
它的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。
二次函数可以用来描述许多实际问题，如物体的运动轨迹、图像的变化趋势等。
顶点坐标的重要性在研究二次函数时，顶点坐标是非常重要的。
顶点是二次函数的最高点（对于开口向下的抛物线）或最低点（对于开口向上的抛物线）。
顶点坐标的横坐标表示抛物线的对称轴位置，纵坐标表示抛物线的最高点或最低点的高度。
通过研究顶点坐标，我们可以了解二次函数的性质和特点。
顶点坐标公式二次函数的顶点坐标可以用公式h和k来表示。
对于标准形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数。
公式的推导过程要理解顶点坐标公式的推导过程，我们首先需要求得二次函数的顶点。
对于任意一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过完成平方的方法，将它转化为顶点形式。
首先，我们将二次函数写成完全平方式，即a(x - h)^2 + k，其中h和k为待确定的值。
展开平方，得到ax^2 - 2ahx + ah^2 + k。
与原始的二次函数进行比较，我们可以得到以下等式：• a = a•-2ah = b•ah^2 + k = c由第一个等式可得，a与a相等，两边消去a后可以得到1 = 1。
这说明了a 为任意非零常数即可。
由第二个等式可得，ah = -b，然后可以解出h的值为-b/2a。
由第三个等式可得，ah^2 + k = c，将h的值代入后可以解出k的值为c - a(h^2)。
综上所述，我们得到了二次函数顶点坐标公式(-b/2a, c - a(h^2))，其中h = -b/2a，k = c - a(h^2)。
顶点坐标公式二次函数表达式
顶点坐标公式二次函数表达式
一元二次函数是几何中最常见的函数形式，它的结构为y = ax² +bx +c。
其中a，b，c都是常数，x就是未知数。
一元二次函数的解法有多种，但最常用的方法就是顶点坐标公式。
顶点坐标公式法，又称为顶点坐标法，是一种常用的求解一元二次函数的方法，它可以用来求出一元二次函数的顶点，也就是函数图像的最高点或最低点的坐标。
该方法的求解公式为：顶点坐标（x,y）=（-b/2a,f(-b/2a)），其中a，b，c都是一元二次函数的常数，f（x）表示一元二次函数的函数值。
顶点坐标公式的运用非常简单，只要把一元二次函数的常数a，b，c带入上述公式中，就可以求出一元二次函数的顶点坐标，即函数图像的最高点或最低点。
一元二次函数中函数值的变化趋势，以及函数图像的转折点，都可以从顶点坐标公式中获得。
顶点坐标公式是一种非常有用的工具，它可以帮助我们更好地理解函数图像，分析函数的变化趋势，从而更好地掌握一元二次函数的知识。
它不仅可以帮助我们在几何中解决数学问题，还可以作为高等数学中一元二次函数的研究工具。
二次函数顶点坐标公式和对称轴
二次函数顶点坐标公式和对称轴
二次函数，即二次多项式，是几何图形中最简单的曲线，其特点是存在一个顶点，且其它部分的曲线拱向该顶点。
根据二次函数的知识可知，其顶点的横坐标为x，而纵坐标可用一般式描述，即y=ax^2+bx+c（a≠0）。
因此，若要求出二次函数顶点坐标，只需要求出a、b、c，再代入原二次函数中即可得出。
根据求解顶点坐标需要确定a、b、c的思路，可以发现二次函数具有一个特征，那就是其对称轴。
在二次函数中，对称轴的表达式为x=-b/2a，也即x轴上对称中
心的横坐标，取决于a和b的值。
而通过观察二次函数的图像可以发现，其对称轴的横坐标，也正是二次函数顶点的横坐标。
既然能确定二次函数的顶点横坐标，那么它的纵坐标也可以被确定。
换句话说，在已知a、b、c的情况下，只要将其代入二次函数，就能得出顶点纵坐标的值，而这正是顶点的求解过程。
总结起来，若要求出一个二次函数的顶点坐标，不仅需要求出其a、b、c的值，还要注意其对称轴的横坐标，这正是其求解的关键所在。
通过这些必要的步骤，便可以有效地求出二次函数的顶点坐标，探究其几何图形的特征。
二次函数顶点坐标公式及其应用
二次函数顶点坐标公式及其应用二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，且a≠0。
它的图像是抛物线。
顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标可以用以下公式求得：x=-b/2ay=f(x)=a(x-h)^2+k其中，(h,k)表示顶点的坐标。
通过这个公式，我们可以很方便地求得二次函数的顶点坐标。
应用一：求解最优问题二次函数的顶点坐标在数学上具有重要的意义，它可以用来求解很多最优问题。
例如，我们想要在一个矩形内部，离一条边的距离最远，那么这个问题可以转化为求解顶点坐标的问题。
我们可以通过求解二次函数的极值来找到这个最优解。
应用二：描述物体运动的轨迹二次函数也可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，一个物体从离地面一定高度开始自由下落，那么它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
我们可以通过求解二次函数的顶点坐标，来确定物体的最高点、落地点和运动轨迹等信息。
应用三：经济学中的边际分析在经济学中，边际分析是一种重要的工具，而二次函数的顶点坐标可以用来分析边际效应。
边际效应是指增加或减少一个单位的其中一种输入所产生的效益变化。
通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以找到产生边际效应最大或最小的输入水平，从而指导经济决策。
应用四：求解几何问题在几何学中，二次函数的顶点坐标也有广泛的应用。
例如，在平面几何中，已知一个抛物线和一条直线，我们想要找到抛物线上离直线最近和最远的点，就可以通过求解二次函数的顶点坐标来解决这个问题。
应用五：拟合实验数据二次函数的顶点坐标还可以用来拟合实验数据。
当我们通过实验或观察得到一些数据点时，可以通过求解二次函数的顶点坐标，来得到一个最佳的二次函数模型，以便与观察数据相拟合。
总结：二次函数的顶点坐标公式是一个简单且实用的工具，它在数学和应用领域都有着广泛的应用。
它可以用来解决最优问题、描述物体运动的轨迹、经济学中的边际分析、求解几何问题以及拟合实验数据等。
通过掌握二次函数的顶点坐标公式，我们可以更好地理解和应用这个函数模型。
顶点坐标的公式法
顶点坐标的公式法在数学中，顶点是几何图形的一个重要特征点，它是多边形、曲线或其他几何体的极值点。
在几何图形的分析与求解中，确定顶点坐标是一项关键任务。
顶点坐标的公式法是一种常用的方法，通过这种方法可以方便地求解顶点的坐标。
一、一元二次函数的顶点坐标对于一元二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a eq0，其顶点坐标可以通过公式法求解。
顶点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = f(-\\frac{b}{2a})$。
例如，对于函数f(x)=2x2−4x+3，其中a=2，b=−4，c=3，顶点坐标可表示为：横坐标：$x = -\\frac{-4}{2\\times 2} = 1$纵坐标：$y = f(1) = 2\\times 1^2 - 4\\times 1 + 3 = 1$因此，该函数的顶点坐标为(1,1)。
二、二元二次函数的顶点坐标对于二元二次函数f(x,y)=ax2+by2+cx+dy+e，其中a,b eq0，其顶点坐标可通过类似的方法求解。
顶点的横坐标为 $x = -\\frac{c}{2a}$，纵坐标为 $y = -\\frac{d}{2b}$。
例如，对于函数f(x,y)=x2+2y2−4x−6y+5，其中a=1，b=2，c=−4，d=−6，e=5，顶点坐标可表示为：横坐标：$x = -\\frac{-4}{2\\times 1} = 2$纵坐标：$y = -\\frac{-6}{2\\times 2} = 1.5$因此，该函数的顶点坐标为(2,1.5)。
三、应用场景顶点坐标的公式法在数学建模、优化问题等领域有着广泛的应用。
通过准确求解顶点坐标，可以帮助我们更好地理解几何图形的性质，解决实际问题。
综上所述，顶点坐标的公式法是一种有效的方法，能够简洁地求解几何图形的极值点，为数学分析提供了重要的工具。
通过掌握这一方法，我们能够更加灵活地应用于各种数学问题的求解中。
二次函数顶点式坐标公式
二次函数顶点式坐标公式二次函数是一个非常重要的数学概念，在高中数学中经常会涉及到。
顶点式坐标公式是描述二次函数顶点位置的一种形式。
本文将详细介绍二次函数的顶点式坐标公式及其推导过程。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常为抛物线形状，具有以下性质：1.对称性：二次函数的图像关于其顶点对称。
2.开口方向：由二次函数的系数a的正负决定。
若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。
3. 零点：二次函数的零点也称为根，即函数值为0的横坐标。
若函数存在零点，则会有一个、两个或零个根，取决于判别式b²-4ac的正负。
4.顶点：二次函数的图像的顶点即为抛物线的最高点（若开口向上）或最低点（若开口向下）。
顶点坐标可以通过顶点式坐标公式求得。
二、顶点式坐标公式的推导过程二次函数的顶点式坐标公式可以通过完成平方的方法得到。
我们来推导一下：1.将二次函数的一般式表示为完全平方的形式：y=a(x-h)²+k其中(h,k)为顶点坐标。
2.展开式中只有一项与x有关，我们需要通过调整a的值来消去该项。
展开后得到：y=ax²-2ahx+ah²+k3.为了消去与x有关的一项，我们希望它与函数x²的系数相同。
将其系数设为1：ax²-2ahx+ah²+k = ax²+bx+c4.比较两边的系数，得到：-2ah = bah²+k = c5.求解上面两个方程，解得：h=-b/2ak=c-b²/4a这就是顶点式坐标公式。
三、顶点式坐标公式的应用顶点式坐标公式可以方便地得到二次函数的顶点坐标，进而得到函数的性质和图像。
在实际应用中，具有以下几个重要的应用：1.求顶点：通过顶点式坐标公式，可以直接得到二次函数的顶点坐标，从而确定抛物线的最高点或最低点。
二次函数顶点坐标公式
二次函数顶点坐标公式二次函数是一种非常常见的函数，其形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像是一条平滑的曲线，称为抛物线。
其中一个重要的概念是顶点，它代表了抛物线的最高点或最低点。
顶点在二次函数中是一个非常重要的概念，它代表了二次函数的最高点或最低点。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其顶点坐标可以通过以下公式求得：xv = -b/2ayv = f(xv)其中xv是顶点的横坐标，yv是顶点的纵坐标。
顶点的横坐标-xv是由二次项的系数b和a的关系决定的，而纵坐标yv则是通过将顶点的横坐标代入函数中计算得出的。
以下是通过推导得出顶点坐标公式的过程：首先，二次函数f(x) = ax² + bx + c可以通过配方法转化为标准形式：f(x) = a(x - h)² + k。
其中(h, k)是顶点的坐标。
我们对二次函数进行完成平方的操作：f(x) = ax² + bx + c=a(x²+(b/a)x)+c=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²)+c=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²)-a(b/2a)²+c=a(x+b/2a)²-a(b/2a)²+c由于我们需要将二次项变成完全平方的形式，所以我们需要给原来的二次项加上一个平方的项。
我们可以看到，二次项(x + b/2a)²中的(x + b/2a)就是我们要找的顶点的横坐标-xv。
所以我们可以得到：x+b/2a=0x=-b/2a这就是顶点的横坐标。
然后，我们将顶点的横坐标-xv代入二次函数：y=a(x+b/2a)²-a(b/2a)²+c= a(xv + b/2a)² - a(b/2a)² + c= a(xv² + bxv/a + (b/2a)²) - a(b/2a)² + c= axv² + bxv + a(b/2a)² - a(b/2a)² + c= axv² + bxv + c将顶点的横坐标-xv代入得到：y = axv² + bxv + c这就是顶点的纵坐标-yv。
二次函数零点坐标公式
二次函数零点坐标公式
答：二次函数零点坐标公式是y=a(x-x1)(x-x2)，二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。
函数的原点坐标都是(0,0)，因此，二次函数的原点坐标也是(0，0)，本题应该是二次函数的顶点坐标(一b/2a，4ac-b^2/4a)。
二次函数的顶点公式
二次函数的顶点公式二次函数是一种代数函数，其一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个开口朝上或者开口朝下的抛物线。
顶点公式是一种用来求解二次函数顶点坐标的方法，它可以通过改变二次函数的标准形式，使得计算顶点坐标变得更为简单。
通过顶点公式，我们可以不依靠复杂的图像分析，直接计算二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点公式可以表示为：x = -b / (2a)利用这个公式，我们可以方便地计算出二次函数的顶点的横坐标x。
通过将x的值代入二次函数的方程，我们就可以计算出对应的纵坐标y。
首先，我们需要将二次函数转化为标准形式，即将二次函数化简为y = a(x - h)^2 + k的形式。
其中(h, k)表示顶点的坐标。
利用完全平方式，可以将二次函数化简为标准形式。
首先，我们可以将二次函数的x项项数移项，使得方程变为y - c = a(x^2 + bx)。
然后，我们可以通过添加常数d来将方程变形为一个完全平方式。
具体而言，我们需要满足如下变化：y - c + d = a(x^2 + bx + d / a)。
为了保持等式的平衡，我们需要添加的常数d为-d / (4a)。
这样，我们就成功地将原二次函数转化为标准形式。
接下来，我们可以将标准形式进一步化简为顶点形式。
这可以通过将方程进行平移来实现。
具体而言，我们将方程中的(x + b / (2a))替换为一个新的变量X，即将函数的自变量进行平移。
这样，我们就可以得到一个新的方程y - c + d = a(X^2)，其中X = x + b / (2a)。
注意，此时的顶点坐标为(-b / (2a), c - d)。
接下来，我们将方程进行展开，即将方程平方，并进行组合。
这样，我们可以得到一个新的方程y - c + d =a(X^2)。
通过这个方程，我们可以直接读取出顶点的坐标。
最后，我们将新方程调整为标准形式，得到y = a(X - h)^2 + k。
二次函数顶点坐标公式及其应用ppt
(3)当x为何值时D ，SC有最大值，并求出这个最大值.
G
A
EBF
8.如图：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AF为BC边上 的高，矩形PQED的边PQ在线段BC上，点D、E分别 在线段AB、AC上，设BP=x.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
5.求二次函数y＝mx2＋2mx ＋3(m＞0)的图象的对称 轴，并叙述该函数的增减 性.
应用2.利用二次函数
的最大（小）值解决 实际问题.
▪例、 用长20cm的铁丝围成 一矩形框架，如果矩形的一 边长为xcm，写出矩形面积y （cm2）与x（cm）之间的函 数关系式.并求x为多少时， 这个矩形的面积最大，最大 面积为多少？
1.用6m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
图 26.2.5
过程看课本16页的例5
❖ 做练习2题 3题（规范写法）
1.已知直角三角形两条 直角边的和等于8cm,求 当两条直角边各为多少 时,此直角三角形的面积 最大,最大面积是多少?
y(cm2)
(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
P
EN
BQ
DM C
6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
(1)求AC、BC长；
小结：
计算二次函数的顶点
计算二次函数的顶点二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般的表达式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像形状为抛物线，有一个特殊的点，称为顶点。
本文将介绍如何计算二次函数的顶点。
顶点是二次函数的最高点或最低点，其x坐标表示抛物线的对称轴位置，y坐标则表示抛物线的最大值或最小值。
求二次函数的顶点可以通过以下步骤来实现：步骤一：将一般形式的二次函数转化为标准形式由于二次函数的标准形式可以简化计算，首先需要将函数转化为标准形式。
标准形式的二次函数表达式为：y = a(x-h)^2 + k其中，(h, k)为顶点的坐标。
步骤二：计算顶点的x坐标h由于顶点处的x坐标对应着二次函数的对称轴位置，可以通过以下公式来计算：h = -b / (2a)其中，b为二次项的系数，a为二次项的系数。
步骤三：计算顶点的y坐标k通过将顶点的x坐标h代入原函数的表达式中，可以计算出顶点的y坐标k。
k = ah^2 + bh + c其中，a、b、c为二次函数的系数。
综上所述，通过以上三个步骤，可以计算出二次函数的顶点坐标(h, k)。
举例说明：假设有一个二次函数 y = 2x^2 + 4x + 1，我们来计算其顶点坐标。
步骤一：将一般形式转化为标准形式将 y = 2x^2 + 4x + 1转化为标准形式，得到 y = 2(x^2 + 2x) + 1。
步骤二：计算顶点的x坐标h根据公式 h = -b / (2a)，代入二次项系数为2，一次项系数为4，得到 h = -4 / (2*2) = -1。
步骤三：计算顶点的y坐标k将顶点的x坐标h = -1代入原函数的表达式中，计算得到 k = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = -1。
因此，该二次函数的顶点坐标为 (-1, -1)。
需要注意的是，当二次函数的二次项系数a大于0时，抛物线的形状是向上开口的，顶点是最低点；当二次项系数a小于0时，抛物线的形状是向下开口的，顶点是最高点。
例谈二次函数的顶点横坐标x＝-b2a的简单应用
探索篇•方法展示例谈二次函数的顶点横坐标x =-b 2a的简单应用孔小红（南京市高淳区固城中学，江苏南京）在学习二次函数时，通过对二次函数一般式的配方得到了二次函数顶点坐标公式的横坐标为x ＝-b 2a ，而学生在实际应用时却不能很好地利用它来解题，经常出现错误。
为突破这一难点，笔者结合教学实践，谈谈二次函数顶点的横坐标公式的常见应用。
一、利用二次函数的顶点横坐标求解析式求二次函数解析式是一类常见题型，此类问题中经常会出现与顶点公式相关的条件，如果遇到此类型问题，那么就可以借助顶点横坐标公式来解决。
例题1.抛物线y=x 2+mx+n 的顶点为（1，1），求m ，n 的值。
【解析】∵顶点为（1，1），∴-b 2a =1，4ac-b 24a=1，∵在抛物线y=x 2+mx+n 中，a =1，b=m ，c=n ，则有-m 2×1=14×1×n-m 24×1=1⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐解之得m =-4n =5{例题2.已知抛物线y=ax 2-2x+c 与它的对称轴相交于点A （1，-4），与y 轴交于C ，与x 轴正半轴交于B .求这条抛物线的函数关系式。
【解析】由题意，知点A （1，-4）是抛物线的顶点，∴--22a=1，-4=a -2+c ，{∴a =1，c =-3，∴抛物线的函数关系式为y=x 2-2x -3。
同步练习：抛物线y=x 2+（m -2）x 的对称轴是直线x =-1，求m的值。
二、利用二次函数的顶点横坐标代入计算纵坐标的值二次函数顶点公式（-b 2a ，4ac-b 24a ）顶点的横坐标x ＝-b 2a 为简单而纵坐标计算较为复杂，容易发生计算错误，所以在教学中我常常引导学生利用顶点公式计算时只要将顶点横坐标的值代入即可。
例题3.利用顶点公式或配方法y=-14x 2-x +2确定顶点坐标。
【解析】由x ＝-b 2a=2，可得y =-1，即可确定顶点坐标为（-2，-1）。
定点坐标公式二次函数
定点坐标公式二次函数二次函数是高中数学中的基础知识之一，非常重要。
它在数理化等学科中都有重要的应用。
定点坐标公式是二次函数的重要概念之一，其基本含义是确定二次函数中一个点的坐标，通过此点的坐标和函数的其他参数（如顶点坐标和开口方向）来确定二次函数的具体形式。
本文主要介绍定点坐标公式的计算方法及其应用。
一、二次函数的基本概念二次函数（也称为二次方程）是包含一个二次项（x²）的一元多项式函数，其一般表达式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c均为实数，且a ≠ 0。
其中，二次项系数a决定了函数的开口方向（向上或向下开口）和开口的大小（越大开口越小）；常数项c为函数的截距；x轴截距为函数在x轴上的根，其值可以用一元二次方程求解，即ax² + bx + c = 0。
二次函数是一种不寻常的函数，因为它具有特殊的形式和性质。
比如，它的图像通常呈独特的“U”或“n”字形，其顶点坐标便是定义其形状和位置的要素之一。
另外，由于它拥有一些特定的性质，比如对称性和导数为一次函数等，因此在计算机图像处理、物理、经济学等学科中都具有广泛的应用。
二、定点坐标公式的计算方法定点坐标公式是指通过已知的二次函数的某一点(x0,y0)来求解其函数表达式的公式。
定义一个二次函数f(x)，它的变量x与自变量y关系如下：(1) f(x) = ax² + bx + c那么，当二次函数过点(x0,y0)时，代入该点坐标，可以得到一个关于未知数a、b、c的三元一次方程组，此方程组一般形式如下：(2) y0 = a(x0)² + b(x0) + c此方程可转化为：(3) y0 - a(x0)² - b(x0) = c综合方程式(1),(2),(3)得:(4) a = (y0 - c - b(x0))/(x0)²再将公式(4)代入公式(1)，可以计算出二次函数的另外两个系数b和c，具体如下：(5) b = (2a(x0) - 2y0)/x0(6) c = y0 - ax0² - bx0这样，我们就得到了通过已知坐标点（x0,y0）来计算二次函数各项系数a、b、c的公式。
二次函数顶点式坐标公式
二次函数顶点式坐标公式
二次函数的标准式为$y=ax^2+bx+c$，顶点坐标公式为：
顶点坐标$(x_1,y_1)=(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
其中，$a$、$b$、$c$分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
从二次函数的标准式$y=ax^2+bx+c$可以推出$b^2-4ac$的式子，通常称为判别式。
当判别式的值大于0时，表明二次函数有两个不同的实根，即有两个不同的顶点；如果判别式的值等于0时，表明二次函数有一个相同的实根，即只有一个顶点；如果判别式的值小于0时，表明二次函数没有实根，即没有顶点。
知道了二次函数的标准式和判别式，就可以用顶点坐标公式来计算求出顶点坐标：
顶点坐标$(x_1,y_1)=(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
公式中，$x_1$表示横坐标，$y_1$表示纵坐标，$a$、$b$、$c$分别为二次项系数、一次项系数和常数项，当然也可以扩展到$n$次多项式的顶点坐标。
二次函数的求顶点公式
二次函数的求顶点公式二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
在二次函数中，顶点是一个非常重要的概念，它代表了函数的最高或最低点，是函数图像的转折点。
求解二次函数的顶点是解决二次函数相关问题的关键步骤之一，下面将介绍二次函数的求顶点公式及其应用。
一、二次函数的顶点公式对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过求解顶点的坐标来得到函数的最高或最低点。
顶点的横坐标可以通过公式x=-\frac{b}{2a}来求得，而纵坐标则可以通过将横坐标代入函数表达式得到。
二、求解顶点的步骤为了求解二次函数的顶点，我们可以按照以下步骤进行：步骤一：将二次函数的表达式转化为顶点形式。
将一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c通过配方法转化为顶点形式y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
步骤二：确定顶点的横坐标。
根据公式x=-\frac{b}{2a}，计算出顶点的横坐标。
步骤三：确定顶点的纵坐标。
将顶点的横坐标代入函数表达式y=a(x-h)^2+k，计算出顶点的纵坐标。
三、顶点公式的应用1. 求解二次函数的最值通过求解二次函数的顶点，可以得到函数的最高或最低点，进而确定函数的最大值或最小值。
这在许多实际问题中具有重要意义，例如在物理学中，我们可以通过求解顶点来确定抛体运动的最高点。
2. 研究二次函数的图像特征顶点是二次函数图像的一个关键点，通过求解顶点可以确定图像的转折点。
进而，我们可以利用这个信息来研究二次函数的开口方向、对称轴以及图像的整体形状。
3. 解决实际问题二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如在经济学中，可以利用二次函数来建立成本函数或利润函数，通过求解顶点可以确定最佳生产量或最大利润。
四、求顶点公式的例题分析例题一：求解二次函数y=x^2+4x-3的顶点坐标。
解：首先将函数转化为顶点形式：y=(x^2+4x)-3=(x^2+4x+4)-3-4=(x+2)^2-7从中可以得到顶点坐标为(-2,-7)。
顶点式公式
顶点式公式
顶点式公式如下：
顶点坐标公式：h=b/2a，k=(4ac-b²)/4a)。
公式描述：公式中（h，k)为顶点坐标，二次函数的顶点式为y=a(x-h)²+k(a≠0)。
顶点坐标是用来表示二次函数抛物线顶点的位置的参考指标。
顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大最小值＝k。
顶点坐标公式的特点：
当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。
当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象。
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。
二次函数的求顶点公式
二次函数的求顶点公式二次函数的求顶点公式是解决二次函数的顶点坐标的一种方法。
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a不等于0。
顶点是二次函数的图像的最高点或最低点，它的横坐标和纵坐标可以通过求顶点公式来求得。
我们需要了解二次函数的图像特点。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上，顶点是图像的最低点；当a小于0时，二次函数的图像开口向下，顶点是图像的最高点。
接下来，我们来推导二次函数的求顶点公式。
设二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c，要求顶点，即求得顶点的横坐标x0和纵坐标y0。
我们知道二次函数的对称轴是通过顶点的直线，对称轴的方程可以表示为x=x0，其中x0为顶点的横坐标。
现在，我们来推导顶点的横坐标x0。
由于对称轴通过顶点，所以对称轴上的任意一点与顶点的纵坐标y0相等。
将对称轴的方程x=x0代入二次函数的表达式中，即得到y=ax0^2+bx0+c=y0。
因此，我们可以得到顶点的横坐标x0满足的方程为ax0^2+bx0+c=y0。
接下来，我们来推导顶点的纵坐标y0。
由于顶点是二次函数的最高点或最低点，所以顶点的纵坐标y0是整个二次函数的最大值或最小值。
当a大于0时，二次函数的最小值即为顶点的纵坐标y0；当a 小于0时，二次函数的最大值即为顶点的纵坐标y0。
我们知道，对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a大于0时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标y0，可以通过求取二次函数的最小值来得到顶点的纵坐标y0。
二次函数的最小值可以通过求导数来求得，即求取二次函数的导数并令其等于0，解方程得到极小值点。
当a小于0时，可以通过求取二次函数的最大值来得到顶点的纵坐标y0，方法同上。
我们可以通过以下步骤来求得二次函数的顶点坐标：1. 求得顶点的横坐标x0，通过解方程ax0^2+bx0+c=y0；2. 求得顶点的纵坐标y0，当a大于0时，通过求取二次函数的最小值来得到y0，当a小于0时，通过求取二次函数的最大值来得到y0。
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2a 4 ac b 2
a＜0 向
4a
下
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3
二次函数的图象特点和性质（两种形式的统一）：
二次函数 开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0 增 a＞0 减 性 a＜0
y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
x=h
x b 2a
(h , k)
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6
❖2．抛物线y＝ax2-4x-6的顶 点横坐标是-２，则a=_____.
❖3.已知二次函数y＝x2-6x+m 的最小值为１，则m=____.
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7
4.抛物线y＝ax2 +2x+c的顶点坐标是
（
1 3
，１），则a=____ ,c=___.
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8
5.求二次函数y＝mx2＋2mx ＋3(m＞0)的图象的对称 轴，并叙述该函数的增减 性.
顶点坐标公式： h=- b 2a
k= 4acb2
4a
▪ ２.熟
作业本
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16
2、如图所示，△ABC中，AB=6厘米，BC=8厘米，
∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度 移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移 动.当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动. 如
(1)求y与x之间的函数关系式(并且
确定自变量x的取值范围);
(2)当AB为多少时此矩形ABCD面积最 大，并求这个最大面积.
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18
4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可 售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售, 增加盈利,商场决定采取适当的降价措施, 经过调查发现,每件衬衫每降价1元,商场 平均每天就可以多卖出 2件.若商场每天 要赢利y元，每件衬衫应降价x元.
果P、Q分别从A、B同时出发,经过x秒△PBQ的面积等于
y平方厘米.
（1）写出y(平方厘米)与x(秒)之 C
间的函数关系式.
Q
（2）经过几秒时△PBQ的面积最大，
最大面积是多少.
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B
A
P
17
3.一边靠校园院墙(院墙长22米)， 其它三边用40米的篱笆围成一个矩 形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米 (AB边垂直于墙)，面积为y平方米.
(1)写出ｙ与ｘ的函数关系式，并确定自 变量的取值范围.
(2) 当每件衬衫降价多少元时，每天的赢
利最多．最多赢利是多少?
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19
5、△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高
AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边
QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，
假设这个矩形PQMN的一边长PQ=x(cm), 面积是
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9
应用2.利用二次函数
的最大（小）值解决 实际问题.
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10
▪例、 用长20cm的铁丝围成 一矩形框架，如果矩形的一
边长为xcm，写出矩形面积y
（cm2）与x（cm）之间的函
数关系式.并求x为多少时，
这个矩形的面积最大，最大
面积为多少？
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11
1.用6m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
(1)用含有x的代数式表示BF的长. (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系
式. (3)当x为何值时D ，SC有最大值，并求出这个最大值.
G
A
EBF
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8.如图：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AF为BC边上 的高，矩形PQED的边PQ在线段BC上，点D、E分别 在线段AB、AC上，设BP=x.
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图 2 6 .2 .5
12
过程看课本16页的例5
❖ 做练习2题 3题（规范写法）
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13
1.已知直角三角形两条 直角边的和等于8cm,求 当两条直角边各为多少 时,此直角三角形的面积 最大,最大面积是多少?
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14
小结：
▪ 1.抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
第七课时
二次函数的顶点坐标 公式及其应用
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1
复习、抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
顶点坐标公式：
h=- b
2a
k= 4acb2
4a
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2
二次函数y=ax²+bx+c 的图象及性质
条 件
a≠0 开
口
图象
对称轴 顶点
性质
增减性 最 值
a＞0
向 上
b ,
直线x b 2a
(1)求AC、BC长；
(2)设PC的长为x，△ADP的面积为y.当x为何值时，
y最大，并求出最大值.
A
D
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B
P
C
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7.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°， ∠A=45°，AB=30，BC=x，其中15＜x＜30.作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F 处，DF交BC于点G.
y(cm2)
(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
P
EN
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BQ
DM C
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6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
b 2a
,
4ac 4a
b2
当x=h时y最小值=k 当x=h时y最大值=k
当 当xx22baba时时yy最最大小==
4ac b2 4a
4ac b2 4a
左减右增
左增右减
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4
应用1.直接求抛 物线的顶点坐标.
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5
1.y把=a二(x次-h函)²+数k的y=形- 式15 x为²-2_x_+_2_化__为_, 其图象的顶点坐标为____, 对称轴为_____； 当x____时，y随x的增大而增大； 当x____时，y随x的增大而增小.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，矩形PQED 的面积最大？
(3)连结PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
A
D
E
2021/3/9 B
PF Q
C
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放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
2021/3/9
24