3-1二维随机向量的分布1
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chap3-1 随机向量的联合分布和边缘分布
1
（2） P｛-1<X<1, -1<Y<1｝ 1 1 f ( x, y )dxdy
dx e y dy (1 e 2 )(1 e 1 ).
0 1
（3） P{ X Y 1}
1 1 x
2e ( 2 x y )dy dx 1 2e 1 e2 0 0
f ( x) 0
f ( x, y )dxdy 1
f ( x)dx 1
不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其 概率密度与分布函数的关系如下：
F ( x, y )
x
y
f (u, v)dudv
若 f (x, y)在（ x, y ）点连续，则有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
m j 1
pnj
p
i 1
n
im
1
二维随机变量（X,Y） 连续型 X和Y 的联合密度函数
一维随机变量X 连续型 X的密度函数
f ( x , y) P{( x, y) A} f ( x, y )dxdy
Ax )dx
a
b
f ( x, y ) 0
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率分布为
P( X xi ) pi pij , i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布为
P(Y y j ) p j pij ,
二维分布函数的性质 1. x,y R1 有 0≤F(x,y)≤1,
（2） P｛-1<X<1, -1<Y<1｝ 1 1 f ( x, y )dxdy
dx e y dy (1 e 2 )(1 e 1 ).
0 1
（3） P{ X Y 1}
1 1 x
2e ( 2 x y )dy dx 1 2e 1 e2 0 0
f ( x) 0
f ( x, y )dxdy 1
f ( x)dx 1
不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其 概率密度与分布函数的关系如下：
F ( x, y )
x
y
f (u, v)dudv
若 f (x, y)在（ x, y ）点连续，则有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
m j 1
pnj
p
i 1
n
im
1
二维随机变量（X,Y） 连续型 X和Y 的联合密度函数
一维随机变量X 连续型 X的密度函数
f ( x , y) P{( x, y) A} f ( x, y )dxdy
Ax )dx
a
b
f ( x, y ) 0
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率分布为
P( X xi ) pi pij , i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布为
P(Y y j ) p j pij ,
二维分布函数的性质 1. x,y R1 有 0≤F(x,y)≤1,
《概率论》二维随机变量及其分布函数的定义、基本性质
定义3-1 n个随机变量X1，X2，…，X n构成的整体X=(X1，X2，…，X n)称为一个n维随机变量或n维随机向量，X i称为X的第i(i=1，2，…，n)个分量.
定义3-2 设(x，Y)为一个二维随机变量，记
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}，-∞<z<+∞，-∞<y<+∞，< p="" style="padding: 0px; list-style: none;">
称二元函数F(x，y)为X与y的联合分布函数或称为(X，Y)的分布函数.
(X，Y)的两个分量X与y各自的分布函数分别称为二维随机变量(X，Y)关于X与关于y的边缘分布函数，记为F X(x)与F Y(y).
边缘分布函数可由联合分布函数来确定，事实上，一元函数
几何上，若把(X，Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x，y)在(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落在以(x，y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率.
分布函数F(x，y)具有下列性质：
(1)F(x，y)是变量x(或y)的不减函数.
(2)0≤F(x，y)≤l，
对任意固定的y，F(-∞，y)=0
对任意固定的x，F(x，-∞)=0;
F(-∞, -∞)=0，F(+∞，+∞)=1. (3)F(x，y)关于x和关于y均右连续，即F(x,y)=F(x+0,y);F(x，y)=F(x,y+0). (4)对任意固定的x1<x2，y1<y2
F(x2 ,y2)-F(x2,yl)-F(xl，y1)+F(x1+yl)≥0.。
3-1 离散型随机变量联合分布列和边际分布列
解 {Xi,Yj}的取值情: 况 i1 是 ,2,3,4,
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
4
2
25
5
2
5
例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续 求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数， 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律 与边缘分布律。 解：(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
（2）不放回摸球情况
1
8 4 4 4 2 4 1 4 4
27 9 9 9 9 9 27 9 9
2
8 2 4 2 2 2 1 2 2 27 9 9 9 9 9 27 9 9
3
8 1 27 27
4 1 27 27
1 27
pi•
8 27
4
2
1
9 9 27
1
(1) 与(2) 有相同的边缘分布, 但它们 的联合分布却不同.
L
y2
Px1, y2 Px2, y2
L
Pxm, y2
L
L
yn
L
L Px1,yn L
L Px2,yn L
LL
L
L Pxm,yn L
LL
L
2.3.联合分布的性质
1pij Pxi,yj 0;
2 P ij P xi,yj1
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
4
2
25
5
2
5
例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续 求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数， 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律 与边缘分布律。 解：(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
（2）不放回摸球情况
1
8 4 4 4 2 4 1 4 4
27 9 9 9 9 9 27 9 9
2
8 2 4 2 2 2 1 2 2 27 9 9 9 9 9 27 9 9
3
8 1 27 27
4 1 27 27
1 27
pi•
8 27
4
2
1
9 9 27
1
(1) 与(2) 有相同的边缘分布, 但它们 的联合分布却不同.
L
y2
Px1, y2 Px2, y2
L
Pxm, y2
L
L
yn
L
L Px1,yn L
L Px2,yn L
LL
L
L Pxm,yn L
LL
L
2.3.联合分布的性质
1pij Pxi,yj 0;
2 P ij P xi,yj1
3.1随机向量的分布
若 i j 5，有 PX i， Y j 0
若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是 等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求 得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是 等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求 得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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3-1概率论
G
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
二维随机向量的分布
2019/1/6 14
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
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15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
P{a X b} = F(b) − F(a) + P{X = a}
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布
2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2
概率论与数理统计第3章第一节-二维随机变量3-1解析
X， Y X e， Y e e S
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
3_1随机向量的联合分布
x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为
0
f ( x, y )dxdy 1
所以
1
0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
《概率统计》 返回 下页 结束
例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,
1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
《概率统计》 返回 下页 结束
二、 二维离散型随机向量及其分布
1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对 时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质 （1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
下页 结束
一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义 设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称
第3章习题
第三章习题3-1二维向量及分布一. 单项选择题1. 已知二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数F（x, y）= P{X≤x,Y≤y}，则事件{X>1,Y>0}的概率是（A）F（1, 0）（B）1－F（1, +∞）－F（+∞,0）+F （1, 0）（C）F（1, +∞）－F（1, 0）（D）1－F（1, 0）2. 下列说法不正确的是（A）分布函数F（x, y）是变量x和y的不减函数（B）0< F（x, y）<1（C）P{x1<X2<x2, y1<Y<y2}≥0 （D）f（x, y）≥03. 下列二元函数中，可作为连续型随机变量的联合概率密度为（A）（B）;（C）（D）二.填空题1. 因为二元函数不满足，所以不是某一个二维随机变量的联合分布函数。
2. 用（X ，Y）的联合分布函数F（x, y）表示下述概率：（1）P{a≤X≤b, Y <c} ；（2）P{a≤X, Y≥b} 。
3. 设随机变量X与Y相互独立，且均匀服从正态分布N（0，1），则概率P{XY ≥0}=。
4. 设随机变量（X ，Y）的概率密度为则概率P{ X<0.5,y<0.6}= 。
三. 计算题1. 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑放回抽样试验现定义随机变量如下：0 若第一次取出的是正品 0 若第二次取出的是正品X= ，Y=1 若第一次取出的是次品 1 若第二次取出的是次品试就此情况，写出和的联合分布律2. 上题中若作不放回抽样，写出和的联合分布律3. 设随机变量的概率密度为（1）确定常数k（2）求P{X<1, Y<3}（3）求P{X<1.5}（4）求P{X+ Y≤4}四.证明题1. 二元函数不是一个分布函数。
参考答案一. （1）B（2）B（3）B二． 1. P{x1<X2<x2,y1<Y<y2}= F（x2, y2）－F（x2, y1）－F（x1, y2）+ F（x1, y1），2. （1）F（b, c）－F（a, c）（2） 1－F（+∞, b）－F（a, +∞）+ F（a,b）3. 0.54. 0.3三. 1.010 25/36 5/36 15/36 1/362.0 1 0 45/6610/66 110/661/663. （1）k = 1/8（2）3/8， （3）27/32， （4）2/3 四．3.2-边缘分布与条件分布一、单项选择题：1. 如果二维随机变量（X , Y ）分布律为P {X =x i ,Y =y j }=p i j ，X 的分布律为，X x1x2x31/3 1/5a则a =（A ） （B ） （C ）（D ）不能确定2. 设X ~N (1,0.5)，Y ~ N (0,0.5), 且相互独立。
第三章02二维随机向量函数的分布
i! j 2 2 P(Y j ) e j! 由X和Y相互独立知 P( X i )
i 1
e
1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i）P（Y r i )
i 0
r
e-1
i 0
r
i 1
i!
r
e-2
例5 设( X , Y )服从区域D {( x, y ) | 0 x 2, 0 y 1} 0 上的均匀分布，Z 1
1 f ( x, y ) 2 0
X Y X Y
, 求Z的概率分布。
解 ( X , Y )的密度函数为 ( x, y )D 1 其他
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx
这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度
例8 设随机变量 X 与Y 相互独立，X ~ N 0， 1，Y ~ N 0， 1，
令 Z X Y，试求随机变量 Z 的密度函数．
2
P{Z 0} P{ X Y }
x y
f ( x, y )dxdy (
0
1
1
x
1 1 dy )dx 2 4
3 P{Z 1} 1 P{Z 0} 4
可知Z 服从0 1分布。
1 2
若(X,Y)为连续型二维随机变量，并且Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量，则需要由(X,Y)的密度函 数f(x,y)求随机变量Z的密度函数，通常采用分布 函数法。一般步骤为：
证： 由二项分布知
i pi q n1 i , i 0,1, 2, , n P{ X i} C 1 n1
i 1
e
1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i）P（Y r i )
i 0
r
e-1
i 0
r
i 1
i!
r
e-2
例5 设( X , Y )服从区域D {( x, y ) | 0 x 2, 0 y 1} 0 上的均匀分布，Z 1
1 f ( x, y ) 2 0
X Y X Y
, 求Z的概率分布。
解 ( X , Y )的密度函数为 ( x, y )D 1 其他
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx
这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度
例8 设随机变量 X 与Y 相互独立，X ~ N 0， 1，Y ~ N 0， 1，
令 Z X Y，试求随机变量 Z 的密度函数．
2
P{Z 0} P{ X Y }
x y
f ( x, y )dxdy (
0
1
1
x
1 1 dy )dx 2 4
3 P{Z 1} 1 P{Z 0} 4
可知Z 服从0 1分布。
1 2
若(X,Y)为连续型二维随机变量，并且Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量，则需要由(X,Y)的密度函 数f(x,y)求随机变量Z的密度函数，通常采用分布 函数法。一般步骤为：
证： 由二项分布知
i pi q n1 i , i 0,1, 2, , n P{ X i} C 1 n1
3-1.二维随机变量ppt
X的可能取值为 的可能取值为0,1,2,3; Y的可能取值为 3 的可能取值为1, 的可能取值为 解: 的可能取值为
P {X = 0, Y = 1} = 0
P {X = 3, Y = 1} = 0
3 P {X = 1, Y = 1} = 8 3 P {X = 2, Y = 1} = 8
1 P {X = 0, Y = 3} = 8
( X 1, X 2, , X n ) = ( X1(e), X2 (e),, Xn (e)) ( e ∈ S )
为样本空间S上的 维随机变量 为样本空间 上的n维随机变量 上的 维随机变量.
10
二维随机变量
n维随机变量的分布函数 维随机变量的分布函数 是一个n维随机变量 设(X1,X2,…,Xn)是一个 维随机变量 则对于任意一组 是一个 维随机变量.则对于任意一组 实数(x 实数 1,x2,…,xn),恒有 恒有
则其联合分布函数
利用几何图形进行解释
F ( x , y ) = P {X ≤ x;Y ≤ y}
=
xi ≤ x y j ≤ y
∑∑p
ij
14
二维随机变量
设有10件产品中有 件是次品, 件产品中有2件是次品 例 1 设有 件产品中有 件是次品,从中依次随 表示取到正品, "0"表示取到正品,"1"表示取到次 表示取到正品 表示取到次 机地不放回地取两件,若以X,Y分别表示第一次, 分别表示第一次, 机地不放回地取两件,若以 分别表示第一次 品. 第二次的次品数, 第二次的次品数,求(X,Y)的联合分布率. )的联合分布率.
F( x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y}
= P({X ≤ x} ∩{Y ≤ y})
3.1二维随机变量及其分布
y
•(2,2)
1 1 1 0 1 0
(0,0)
•
•
(2,0)
x
故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.
二维联合分布函数（二维联合分布列、二维联合密度函数也一样） 含有丰富的信息，主要有以下三方面的信息：
每个分量的分布（每个分量的所有信息），即边际分布 两个分量之间的关联程度，在第4.3节用协方差和相关系数来描述 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布
定义 设随机试验的样本空间为 S , 而 X X ( ), Y Y ( ) 是定义在 S 上的两个随机变量， 称 ( X ,Y )为定义在 S 上的二维随机变量或二维随机向量. 注： 一般地， 称 n 个随机变量的整体
X ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为 n 维随机变量或随机向量.
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y} pij
xi x , y j y
4、边缘概率分布
pi P{ X xi } pij ,
j
P ({ X xi , Y y j })
P{ X xi ,Y y j }
实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W). 如何研究多维r.v.的统计规律性呢，仿一维 r.v.,我们先研究联合分布函数，然后研究 离散r.v.的联合分布列、连续型r.v.的联合密 度函数等。
3.1 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量
注：以上性质是分布函数的基
本性质，也是判断一个二元函 数作为随机向量的分布函数的 基本条件。
3.1二维随机变量的联合分布
1 , x 1, y 1
盐城工学院概率论与数理统计课题组
推广：如果每次随机试验的结果都对应着一组确定
的实数 1,2， ，L它们n是 随机试验结果不同而变
化的 个随机变n量，则称 个随机变量n 的整体
为一个 维1,随2机，L变量n 。称 维n函数
n
为 维随F机 x1变, x2量,L的, x分n 布p函1数。x1,2 x2,L n xn n
p
, k1, k2
n!
k1 !k2 ! n k1 k2
!
p k1 1
p k2 2
1 p1 p2
nk1 k2
k1 0,1, 2,L n, k2 0,1, 2,L n, k1 k2 n，其中n是给定的自然数，
0 p1 1 , 0 p2 1 , p1 p2 1，称 , 服从三项分布。
1 10
为了书写方便，我们一般 将上面的概率分布情况列 成右表：
0 1 2 3
0
1
0 0 0 10
1
0
0
6 10
0
2
3
0 10
00
盐城工学院概率论与数理统计课题组
2.定义 定义 3.1.1 设 E 是一个随机试验，其样本空间为
，又设 x, y 是定义在 上的随机变量，则
由它们构成的一个向量, 称为二维随机变量（或称二 维随机向量）。
为
kxy, 0 x y,0 y 1,
f
(x,
y)
0,
其他
其中k为常数. 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5).
盐城工学院概率论与数理统计课题组
解：令 D (x,y) 0 x y, 0 y 1
概率论3_1随机向量的分布
D
边缘密度函数
由性质(3) 边缘分布函数FX(x)可表示为
FX(x)P{Xx}P{Xx Y}
x
f (s, t)dsdt
x
[ f (s, t)dt]ds
由(313)知 X是连续型随机变量 且其密度函数为
(313)
fX (x) f (x, y)dy
同理 Y是连续型随机变量 其密度函数为
(316)
例34(1) 设随机向量(X1 Y1)的密度函数f(x y)为
f (x, y)k10x,y,
0 x1, 0 y 1, 其他.
求参数k1的值及(X1 Y1)的边缘密度函数
解 由密度函数的性质 有
11
f (x, y)dxdy 0 0k1xydxdy 1
由此易得k14 (X1 Y1)的边缘密度函数为
第三章随机向量随机向量的分布一随机向量及其分布函数二离散型随机向量的概率分布三连续型随机向量的概率密度函数四二元正态分布一随机向量及其分布函数定义31随机向量p上的一个n维随机向量定义32联合分布函数的联合分布函数说明的交事件二维随机向量xy的分布函数fxsy的概率说明的概率可用分布函数表示为边缘分布函数如果xy的分布函数fxy已知则由fxy可导出x和y各自的分布函数fy为联合分布函数fxy的边缘分布函数二离散型随机向量的概率分布定义33二维离散型随机向量如果二维随机向量xy只取有限个或可数个值y为二维离散型随机向量定义34联合概率分布设随机向量xy的所有可能取值为x则称36为随机向量xy的概率分布或x和y的联合概率分联合概率分布表随机向量xy概率分布可用表格形式表示如下表并称之为联合概率分布表的联合概率的分布可以求出x通常称3738为联合概率分布pxx2号邮筒中信的数求x和y的联合概率分布及边缘概率分y取各种可能值的概率例如311三连续型随机向量的概率密度函数定义35二维连续型随机向量y为二维随机向量分布函数为fxy为二维连续型随机向量并称fxy的概率密度函数简称密度函数或x与y的联合密度函数联合密度函数的性质边缘密度函数由性质3边缘分布函数f由313知x是连续型随机变量且其密度函数为同理y是连续型随机变量其密度函数为通常称314315中的f例33均匀分布设g是平面上的一个有界区域其面积记作sg二维连续的随机向量xy的密度函数按题意可设xy的密度函数为由密度函数的性质可得316说明如果一个二维随机向量xy服从区域g上的均匀分布的边缘密度函数由密度函数的性质的边缘密度函数由密度函数的性质四二元正态分布二元正态分布二元正态分布以为中心在中心附近具有较高的密度离中心越远密度越小设随机向量xy的密度函数为318其中的二元正态分布记作对称地可知比较联合密度函数xy和边缘密度函数对称地可知二元正态分布的边缘分布是一元正态分布它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数不同的二元正态分布比如不同的可以有相同的边缘分布因而由边缘分布不能惟一确定联合分布为了确定一个二元正态分布的密度函数除了知道边缘分布以外还须知道参数的值特别地如果0
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
Dx
y
故
P{a X b,c Y d}
b a
d c
f
( x,
y)dy
dx
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) D)等于以D为底，以曲面z f (x, y)
为顶面的柱体体积。
9 25
例3.1.1 一箱中有10件产品，其中6件一级品，4件二级品， 现随机抽取2次，每次任取一件，定义两个随机变量X和Y：
1 第一次抽到一级品， X 0 第一次抽到二级品.
1 Y 0
第二次抽到一级品， 第二次抽到二级品.
(2)第一次抽取后不放回， 求(X,Y)的联合分布律.
4 7
e6
3 7
e14
本例是一个典型题.大家应掌握分析与 计算的方法。特别是会根据不同形状的概 率密度非零区域与所求概率的事件区域G来 处理这类问题。
例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f
(
x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
解 (1)
f (x, y)dxdy
Ae(3x4 y)dxdy 00
A e3xdx e4 ydy
0
0
A[
1 3
e3x ]0[
1 4
e4 y ]0
A 1 1 12
所以 A 12
12e(3 x4 y) , x 0, y 0
A （x，y）
3.1.2 联合分布函数及其性质 定义3.1.3 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意 实数 x, y，二元函数
§3.1 二维随机变量的联合分布
D
∫∫x , y )≤0} p( x , y )dxdy II. P ( g( X , Y ) ≤ 0) = ∫∫ p( x , y )dxdy = {( x , y ): g (
D
=
{ g ( X ,Y ) ≤ 0}
∫∫
p( x , y )dxdy
如：P ( X 2 ≤ Y ) =
∫∫
{ X 2 ≤Y }
常数k; (2)P(X<1,Y< 3); 求: (1)常数 常数 (3)P(X< 1.5); (4)P(X+Y≤4) + ≤
1/8，3/8，27/32，2/3 ， ， ，
课堂练习: 课堂练习 盒子里装有3只黑球 只黑球， 只红球 只红球， 只白球 在其中任取4 只白球， 盒子里装有 只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取 只球， 表示取到黑球的只数， 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只 表示取到黑球的只数 表示取到红球的只 数，求X,Y的联合分布列 的联合分布列
∫−∞ ∫−∞
则称(X, 是二维连续型随机变量 是二维连续型随机变量. 则称 ,Y)是二维连续型随机变量 而p(x,y)称为 称为 (X,Y)的(概率 密度函数 概率)密度函数 , 的 概率 p(x,y)的性质： 的性质： 的性质 (1) ∀x,y∈R, p(x,y)≥0 ∈ ≥ (2)
∫−∞ ∫−∞ p( x, y )dxdy = 1
+∞
+∞
几何意义： 几何意义： p(x,y)在几何上表示一个曲面 分布区面 介于分布区面和 在几何上表示一个曲面(分布区面 在几何上表示一个曲面 分布区面), xoy平面之间空间的体积为 平面之间空间的体积为1 平面之间空间的体积为
3.1二维随机向量的分布(课件)
为有限个或至多可列个, 则随机向量 ( X , Y ) 为 离散型的.
例 袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球.从中任 取4个,X 和 Y 分别表示4球中 红球及白球的个数.
X
Y
0
1
2 15
2
P X 0, Y 0 0
0 1
0
1 15
P X 0, Y 1 3 4 C6 15 2 2 C2 C3 3 6 3 15 15 P X 0,Y 2 4
y2
...
yj
...
x1 x2 xi
p12 ... p22 ... pi 2 ...
p1 j ... p2 j ... pij ...
Y P
随机变量Y的分布为:
y1 p
Y 1
pi 1
i
y2
...
yj
...
P{Y y1 } P Y y1 , X x1 , x2 ,..., xi ,...
x a
lim F ( x , y ) F (a , y )
y a
lim F ( x , y ) F ( x , a )
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0 F ( , ) lim F ( x , y ) 0,
x y
记
记
p
X 1
X P
x2
X p2
...
xi
...
P X x2 P X x2 , Y y1 , y2 ,..., y j ,...
X p21 p22 ... p2 j ... p2 j p2
j
记为
X
例 袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球.从中任 取4个,X 和 Y 分别表示4球中 红球及白球的个数.
X
Y
0
1
2 15
2
P X 0, Y 0 0
0 1
0
1 15
P X 0, Y 1 3 4 C6 15 2 2 C2 C3 3 6 3 15 15 P X 0,Y 2 4
y2
...
yj
...
x1 x2 xi
p12 ... p22 ... pi 2 ...
p1 j ... p2 j ... pij ...
Y P
随机变量Y的分布为:
y1 p
Y 1
pi 1
i
y2
...
yj
...
P{Y y1 } P Y y1 , X x1 , x2 ,..., xi ,...
x a
lim F ( x , y ) F (a , y )
y a
lim F ( x , y ) F ( x , a )
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0 F ( , ) lim F ( x , y ) 0,
x y
记
记
p
X 1
X P
x2
X p2
...
xi
...
P X x2 P X x2 , Y y1 , y2 ,..., y j ,...
X p21 p22 ... p2 j ... p2 j p2
j
记为
X
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i, j =1,2, …
pij 0,i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk)pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
2020/6/18
10
例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，
取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：
0 第一次取到白球 X 1 第一次取到黑球
的概率意义：
F(x, y)是随机点 (X,Y) O
落在以 (x, y) 为顶点的左
X
下方的无穷矩形的概率.
2020/6/18
图1
4
2)设 x1x2,y1y2
则 P ( x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 )
F(x2,y2) F(x2,y1)F(x1,y2）F(x1,y1)
Y
(x1, y2)
(x2, y2)
2020/6/18
(x1, y1)
O
(x2, y1)
X
5
3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质：
（1） F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,
x 1 ,x 2 R , x 1 x 2 ,有 F (x 1,y)F (x 2,y) 固定x, y 1,y2 R ,y 1y2,有 F (x ,y1)F (x ,y2)
为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。
2020/6/18
8
离散型随机向量的联合分布律
Y X
y1
y 2
ym
x1
p11 p12
p1m
x2
p21 p22
p2m
xn
p n 1
pn2
p nm
2020/6/18
9
二维随机变量（X,Y） 离散型 联合分布
X和Y 的联合概率函数
P (X xi,Yyj)pij,
2020/6/18
12
例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，
令 Xi 10
Yi Yi
(i1,2)
求(X1, X2)的联合概率分布。
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例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求
(X,Y)的概率函数 .
P(X=3, Y=0)=1/8 P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3
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XY 0 1 2 3
0 0 0 0 1/8 1 0 3/8 0 0 2 03/8 0 0
3 0 0 0 1/8
XY 1 3
0 01/ 8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 01/ 8
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随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布
函数的概念.
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定义1 设(X，Y)为二维随机向量, 对于任意x，
y，二元函数F (x ,y ) P (X x ,Y y )
称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合
分布函数. [注] 1)联合分布函数
Y
(x, y)
F (x ,y ) P (X x ,Y y )
问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数?
解: 由于 P ( 1 X 2 , 1 Y 2 )
F ( 2 , 2 ) F ( 1 , 2 ) F ( 2 , 1 ) F ( 1 , 1 )
1 1 1 0 1 0
所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分
第三章 随机向量
二维随机向量的分布 随机向量的数字特征 二维正态分布 大数定律与中心极限定理 n维随机向量
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1
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球 试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
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离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对;
2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
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§3.1 二维随机变量的分布 一、二维随机向量及其联合分布
设X,Y是定义在同一个样本空间 上的随机
变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维 随机向量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性
质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此 必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数
F(x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y)
使得对于x,yR,有 F(x,y) x
y
f(u,v)dud
称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称
f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密
度函数，记作(X8
7
二、离散型随机向量的联合分布律
定义2 如果二维随机向量的每一个分量X和Y 都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散 型随机向量。若 (X，Y)的所有可能值为
(xi , yj ) , i1,2,;j1,2, 称 P ( X x i,Y y j) p i,i j 1 ,2 , ; j 1 ,2 ,
[注] ① f (x, y)的基本性质：
(1)f(x,y)0
(2)
f(x,y)dx d1y
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解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0, Y=0)=0 P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=0)=0 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
P(X=1, Y=i)=0, i=2,3; P(X=2, Y=0)=0 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0
（ 2 ） 0F (x,y)1;
（3） 固定x,有F(x, )0;固定y,有 F(, y)0;
F( , )0，F( , )1， 但 F(, y)1, F(x,) 1.
（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.
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例1 已知二元函数
1 xy0 F(x,y)0 xy0
pij 0,i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk)pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
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例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，
取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：
0 第一次取到白球 X 1 第一次取到黑球
的概率意义：
F(x, y)是随机点 (X,Y) O
落在以 (x, y) 为顶点的左
X
下方的无穷矩形的概率.
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图1
4
2)设 x1x2,y1y2
则 P ( x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 )
F(x2,y2) F(x2,y1)F(x1,y2）F(x1,y1)
Y
(x1, y2)
(x2, y2)
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(x1, y1)
O
(x2, y1)
X
5
3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质：
（1） F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,
x 1 ,x 2 R , x 1 x 2 ,有 F (x 1,y)F (x 2,y) 固定x, y 1,y2 R ,y 1y2,有 F (x ,y1)F (x ,y2)
为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。
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离散型随机向量的联合分布律
Y X
y1
y 2
ym
x1
p11 p12
p1m
x2
p21 p22
p2m
xn
p n 1
pn2
p nm
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二维随机变量（X,Y） 离散型 联合分布
X和Y 的联合概率函数
P (X xi,Yyj)pij,
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例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，
令 Xi 10
Yi Yi
(i1,2)
求(X1, X2)的联合概率分布。
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例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求
(X,Y)的概率函数 .
P(X=3, Y=0)=1/8 P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3
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XY 0 1 2 3
0 0 0 0 1/8 1 0 3/8 0 0 2 03/8 0 0
3 0 0 0 1/8
XY 1 3
0 01/ 8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 01/ 8
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随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布
函数的概念.
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定义1 设(X，Y)为二维随机向量, 对于任意x，
y，二元函数F (x ,y ) P (X x ,Y y )
称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合
分布函数. [注] 1)联合分布函数
Y
(x, y)
F (x ,y ) P (X x ,Y y )
问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数?
解: 由于 P ( 1 X 2 , 1 Y 2 )
F ( 2 , 2 ) F ( 1 , 2 ) F ( 2 , 1 ) F ( 1 , 1 )
1 1 1 0 1 0
所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分
第三章 随机向量
二维随机向量的分布 随机向量的数字特征 二维正态分布 大数定律与中心极限定理 n维随机向量
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从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球 试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
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离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对;
2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
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§3.1 二维随机变量的分布 一、二维随机向量及其联合分布
设X,Y是定义在同一个样本空间 上的随机
变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维 随机向量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性
质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此 必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数
F(x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y)
使得对于x,yR,有 F(x,y) x
y
f(u,v)dud
称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称
f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密
度函数，记作(X8
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二、离散型随机向量的联合分布律
定义2 如果二维随机向量的每一个分量X和Y 都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散 型随机向量。若 (X，Y)的所有可能值为
(xi , yj ) , i1,2,;j1,2, 称 P ( X x i,Y y j) p i,i j 1 ,2 , ; j 1 ,2 ,
[注] ① f (x, y)的基本性质：
(1)f(x,y)0
(2)
f(x,y)dx d1y
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解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0, Y=0)=0 P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=0)=0 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
P(X=1, Y=i)=0, i=2,3; P(X=2, Y=0)=0 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0
（ 2 ） 0F (x,y)1;
（3） 固定x,有F(x, )0;固定y,有 F(, y)0;
F( , )0，F( , )1， 但 F(, y)1, F(x,) 1.
（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.
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例1 已知二元函数
1 xy0 F(x,y)0 xy0