数学建模期末考试答卷

第一题：猜数是最古老的数学游戏之一，有各种玩法。下面的猜数游戏比较简单：甲先想好一个不超过三位（0--999）的数字

让乙猜。在猜数时甲可以改变自己事先想好的数，但不能与此前已经回答的问题相矛盾。乙可以提问，单甲只能回答是与不是。

试计算乙最少要提问几次，才能讲出甲的数字；设计一个使乙能通过最少提问次数而讲出甲想好的数字，写出提问方案;..解：（1）

先分析问题：由于数字有限，只要采用二分法，一定可以猜中。可以采用二分法来猜数；虽然甲可以改变自己的数字，但只能

回答是与不是就不会对结果有影响。由于2^10=1024 ，所以要将此数确定下来需要十一次；所以至少要十一次就可以将此

数确定下来。（2）采用二分法求解；在猜数时可以这样问问题：首先问是不是0—500；如果甲回答是就说明此数在0到500，

若回答不是，那就是500到999，这样一来就可以判断大致范围。由于甲的改变不得与之前回答的相矛盾，所以对结果就不会产

生影响（例：甲之前想的数是257，那么经过一次提问后甲的数只能是0到500之间，而不会超过此范围至于是多少就无所谓了），

如此继续下去就可以将甲的数字猜出来。…第三题：某造船厂根据合同要在当年算起的连续三年年末各提供规格相同的大型货

轮，各年的生产能力和每条货轮的单位成本如下表。一条货轮积压一年增加维护费40元，再订合同时已有两条积压的货轮，该

厂希望在第三年末在交完合同任务后能储存一条备用。

产的不需维修费③年底交货）…解：此题类似与线性规划，可以用此部分知识解；设连

续三年的产量为x，y，z，则x<=3，y<=5，z<=2.

合同应交货轮为w艘；则有题意得x<=3，y<=5，z<=2…x+y+z+2=w+1费用之和为

Q=x*500+x*2*40+y*600+y*40+z*550+2*3*40 =580*x+640*y+550*z+240;即

要求Q的最小值。

第五题：现有一兔子，一只饿狼，兔子为与狼的正西方向110米处，假设狼与兔子是同时发现对方并一起奔跑，狼向正北处70

米的巢穴跑，而狼在追兔子。已知狼的速度是兔子的两倍，且两者均匀速跑。（【注】常微分高阶初值问题的MATLAB的库函数

是ode45。）要求：建立狼运动轨迹微分模型；(1)画出狼与兔子的运动轨迹图；(2)用解析法求解，问兔子能否安全回巢？(3)用数

值方法求解，问兔子能否安全回巢？解：二者运动的轨迹图如下→

微分模型：上图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，70）的位置；红线为饿狼的运动轨迹，，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（110，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。建立数学模型需研究一下几个问题：（1）设野兔的速度为v0，饿狼的速度为v1，野兔的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，70）-野兔巢穴的上面还是下面。（4）用数值方法求解。根据第一步建立的关于二郎追野兔的运动轨迹微分模型，进行数学运算，讨论兔子能否安全回到巢穴，即所求交点的y值大于70还是小于70. 问题分析:9(1)如果狼知道兔子的巢穴位置，那么狼就会沿直线追赶，有数学中勾股定理就可知结果。(2)若果狼不知道兔子的巢穴位置，那么狼就会面向兔子跑。这需要经过复杂的计算才知道结果；数值法求解：初始时刻(t=0)兔子位于原点(0,0)，饿狼位于(110,0)；兔子以常速度v0沿y轴跑，饿狼在t时刻的位置为(x,y)，其速度为v1=2v0；饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则：饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为Y-y=(dy/dx)*(X-x)=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(X-x)..其中(X,Y)为切线上动点。又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子(0,v0t)在切线上，所以v0t-y=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(0-x)..从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定 (dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x)(1) (dx/dt)2+(dy/dt)2=v12(2)..由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，两边对t求导并化简 (d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)..由(2)有(dx/dt)2{1+[(dy/dt)/(dx/dt)]2}=v12..即dx/dt=-v1/[1+(dy/dx)2]1/2 (注这里去负号，是由这个追赶曲线——上图，决定的)代入(3)，并把v1=2v0代入并化简得(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2 (4)这是一个二阶微分方程，它满足初始条件y(110)=0..令p= dy/dx，这dp/dx= d2y/dx2，这(4)化为…. (dp/dx)*x=[1+p2]1/2/2，可分离变量求得ln{p+[1+p2]1/2/2}=0.5*lnx+c..又p(110)=0，所以c=-ln110，从而p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10这p=( x1/2/10-10/x1/2)/2即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，从而

y=(x-330)*x1/2/30+c，又y(110)=0则y=(x-330)*x1/2/30+220/3…令x=0，得y(0)=220/3>70故兔子没有有危险。