工程力学--材料力学(第五、六章)经典例题及讲解.
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料的许用应力［σ］=160 MPa，校核该梁 的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
200
2m
4m
Fs( kN) 25 45 kN
100
15kN 解：由弯矩图可见
Mmax 20 kN m
20 M (kN m)
15 11.25
max
M max Wz
力和许用压应力分别为［σ+］和［ σ-］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少? (Ｃ为截面形心)
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
max
M max y2 Iz
[ ]
(1)
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例6：图示外伸梁，受均布载荷作用，材
12Pl bh2
P
h 2z
h 2
b
由正应力强度条件： max
6Pl bh2
[
]
可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。
二、当两梁用螺栓联 为一体时，中性轴只 有一个：
max
M max W
Pl bh2
[P] bh2[ ] 6
6l
三、求螺栓最小直径：
螺栓主要是受剪
z τ
B max
2 5493108 m4
30106 Pa
F 19.2kN F
2、工字形截面梁的剪应力
在腹板上：
翼缘
b
腹板 y
hH
B
3、圆截面梁的剪应力
FS
z 最大剪应力：
max
4 3
FS A
y
例15：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的
许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa， 试求最小直径 dmin。
dx
Pl2
0 2Wz E
16Wz E
P
16Wz E AC l2
16 42
0.2 0.32 6
1010
5 103
150 kN
P
A
x
dx C
2m
2m
300 B
200
例11：我国营造法中，对矩形截面梁给出的
尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证 明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例 接近最佳比值。
P1l bh2
6
max 2
M max 2 Wz 2
P2l hb2
6
由 max 1 max 2 [ ] 得: P1 h
P2 b
例3：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽
度减小一半时，从正应力强度条件考虑，
该梁的承载能力将是原来的多少倍？
解： 由公式
max
M max Wz
158MPa
＜
170MPa
当荷载移至支座附件时： FSmax P 30kN
max
FS max 24.9MPa ＜
[ ]
4
可得： d bh[ ] [ ]
dmin
bh[ ] [ ]
讨论：FS与何力平衡？ FS
N
h
2 bdy
h 2
M
ybdy
Mbh2
0
0 Iz
8Iz
[P]lbh2 8 bh3
3 [P]l 2h
bh[ ]
4
FS
12
例17：简易起重设备，起重量P=30kN，跨长l=5m，吊
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5kN
10.5kN
M ( kN m) 2.5
C截面：
C
max
2.5 88
Iz
28.8 MPa
满足强度要求
4
C max
2.5 52
I z 17.0 MPa
B截面：
B
max
4 52
Iz
Βιβλιοθήκη Baidu
27.3 MPa
本题
可不必计算
车大梁AB由20a1号70工M字Pa钢制成， 1试00校M核Pa梁的强度。
P
解: 査表 Wz 237 106 m3
A
B
Iz 17.2102 m d 7103m
Sz max
当荷载移至跨中时：M max
Pl 4
37.5kN
m
max
M max Wz
例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试
求当最大正应力为最小时的支座位置。
q
解：作弯矩图
支座位置直接影响支座截面和跨
中截面上的弯矩值。当中性轴为截
a
a
面的对称轴，最大拉、压应力相等
l
时，只有支座处截面与跨中截面之
弯矩的绝对值相等，才能使该梁的
ql2 qla
最大弯矩的绝对值为最小，从而使 其最大正应力为最小。
220 60 (70 30)2
99.3106 mm4 99.3106 m4
Pl 80 2 Mmax 4 4 40kN m
还max需校M m核Iaxz 最y1大 2工8.3作MP压a 应＜ 力吗 ？30M梁Pa满足强度要求
例13:图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P =20kN。试在下
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力
C
MC Wz
15MPa
应变值
C
E
15 106 200 109
7.5 105=75με
q 40 kN / m
A
C
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
该梁满足强度条件，安全 20
例7：图示铸铁梁，许用拉应力[σ+ ]=30MPa，
许用压应力[σ- ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，
试校核此梁的强度。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
4 kN
第六章
圆环：
复 习
I y I z I z大 I z小
D4 d 4
64 64
D4 (1 4 )
64
其中 d
D
y
z
d D
bh3 I Z 12
d4
I Z 64
WZ
bh2 6
WZ
d 3
32
h
Z
b
d
Z
IZ
(D4
64
d4)
D4
64
(1 4 )
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长
为 10 mm，E=10GPa，求载荷 P 的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 ( x) d x l/2 M ( x) d x
0E
0 Wz E
l/2 P x
q 20 kN / m
A
4m
Bd
解:
跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大
FS max 40kN,
M max
ql 2 8
40 kN m
由正应力强度条件：
max
M max Wz
[ ]
即
得 d 137 mm
40 103
d3
160 106
32
由剪应力强度条件： max
La 2
副梁CD
P
C
D
a
M
Pa M max CD 4
主梁AB的最大弯矩 副梁CD的最大弯矩
P M max AB 4 (l a)
Pa M max CD 4
由 M max AB M max CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
例5：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应
82
⊕
qa2
qa2
2
2
ql2 qla qa2
82 2
取有效值 a 0.207 l
例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力
均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力
强度条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
P1 P2
P
h
z
b
l
z
h b
(b) (a)
解：
max 1
M max 1 Wz 1
M max bh 2
6
可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD
的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料 相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？
a Pa
C2 A
2D B
l
l
2
2
解：
主梁AB
P 2
A
P 2
B
La M2
M max AB
P (l a) 4
max
3 2
FS A
3P 2 bh
τ
设梁达到了许用载荷[P]
中性轴处：
max
3 2
[P] bh
3bh2[ ]
2bh 6l
[ ]h
4l
全梁中性层上的剪力： 由螺栓剪切强度条件：
FS
bl
bh[
4
]
FS
A螺
bh[ ]
4
d2
压应力分别为
30MPa 和 90MPa
试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的
一个参数 ，并校核此梁的强度。 P=80kN
A 1m 2m
B y2
y1
220
z
60
220
解：设z轴过形心 最为合理时
y1 70mm
y1 y2
max
max
C max
为什么？
B max
4 88 Iz
46.1MPa
例8：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应
变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性 模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
解：C点的应力 C E 200 103 6 104
y2 210mm
P=80kN
A
B y2
220
1m 2m
y1
z
60
220
220 (60 220) 60 22030
y1
2
220 60 220
70mm
=24mm
Iz
24 2203 12
24 220 (210 110)2
220 603 12
列三种截面形状下，比较所耗材料：
140MPa
(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。
P=20kN 解:作弯矩图 Mmax P l 20kN m
l 1m
由强度条件
max
M max Wz
Wz
M max
20103 140 106
（使Wz最大）
dh b
解： b2 h2 d 2
bh2 b(d 2 b2 )
Wz 6
6
Wz d 2 b2 0 b 6 2
由此得 b d
3 h d2 b2 2 d
3
h 2 ≈3:2
b
dh b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、
个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许
解: 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
一、两梁叠放承载
l
FS
P
M
P b
时，每梁将各自弯曲两
梁都有自己的中性层
h
2
h
每梁的最大正应力：
2
M max
max
2 W
其中：
W
b
h
2
2
bh2
6 24
Pl
max
M max 2W
4 3
FS max A
[ ]
即
4 3
40 103
d2
100 106
得
d 26.1mm
4
q 20 kN / m
A
Bd
所以 dmin 137 mm
4m
例16：两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图
所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两
WZ
D3
32
(1 4 )
Z
d D
横截面上的最大正应力：
max
M y1 IZ
max
M y2 IZ
y2 y1
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
max
max
max
max
M ymax IZ
M WZ
y
Wz
Iz y max
Wz: 抗弯截面模量
m3
143cm3
Pl
(1)矩形
Wz
bh2 6
b=6cm h=12cm
A1 72cm2
(2)圆形
Wz
d3
32
d≈11.3cm
A2 100cm2
(3)工字形 查型钢表，取16号工字钢
Wz 141cm3 A3 26.1cm2
例14：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载
F
已知b=2m , 30MPa 90MPa Iz 5493104 mm4
F
qFb
120
A
40
C
B
D
b
b
b
180
86
z
134
解:求出中性轴位置 作弯矩图
Fb/4
20
y 20
⊕
分析可知，不论截面B或截面C，梁的强度
均由最大拉应力控制
F 2m 0.134m
Fb/2
C max
4 5493108 m4
30106 Pa
F 24.6kN
F 2m 0.086m
120MPa
C截面的弯矩 MC C Wz 640 N m
由 MC 0.5RA 0.5 0.4P 0.2P 640 N m
得 P 3.2kN
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
例9：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下
边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试 问该应变片所测得的应变值应为多大？
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
200
2m
4m
Fs( kN) 25 45 kN
100
15kN 解：由弯矩图可见
Mmax 20 kN m
20 M (kN m)
15 11.25
max
M max Wz
力和许用压应力分别为［σ+］和［ σ-］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少? (Ｃ为截面形心)
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
max
M max y2 Iz
[ ]
(1)
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例6：图示外伸梁，受均布载荷作用，材
12Pl bh2
P
h 2z
h 2
b
由正应力强度条件： max
6Pl bh2
[
]
可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。
二、当两梁用螺栓联 为一体时，中性轴只 有一个：
max
M max W
Pl bh2
[P] bh2[ ] 6
6l
三、求螺栓最小直径：
螺栓主要是受剪
z τ
B max
2 5493108 m4
30106 Pa
F 19.2kN F
2、工字形截面梁的剪应力
在腹板上：
翼缘
b
腹板 y
hH
B
3、圆截面梁的剪应力
FS
z 最大剪应力：
max
4 3
FS A
y
例15：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的
许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa， 试求最小直径 dmin。
dx
Pl2
0 2Wz E
16Wz E
P
16Wz E AC l2
16 42
0.2 0.32 6
1010
5 103
150 kN
P
A
x
dx C
2m
2m
300 B
200
例11：我国营造法中，对矩形截面梁给出的
尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证 明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例 接近最佳比值。
P1l bh2
6
max 2
M max 2 Wz 2
P2l hb2
6
由 max 1 max 2 [ ] 得: P1 h
P2 b
例3：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽
度减小一半时，从正应力强度条件考虑，
该梁的承载能力将是原来的多少倍？
解： 由公式
max
M max Wz
158MPa
＜
170MPa
当荷载移至支座附件时： FSmax P 30kN
max
FS max 24.9MPa ＜
[ ]
4
可得： d bh[ ] [ ]
dmin
bh[ ] [ ]
讨论：FS与何力平衡？ FS
N
h
2 bdy
h 2
M
ybdy
Mbh2
0
0 Iz
8Iz
[P]lbh2 8 bh3
3 [P]l 2h
bh[ ]
4
FS
12
例17：简易起重设备，起重量P=30kN，跨长l=5m，吊
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5kN
10.5kN
M ( kN m) 2.5
C截面：
C
max
2.5 88
Iz
28.8 MPa
满足强度要求
4
C max
2.5 52
I z 17.0 MPa
B截面：
B
max
4 52
Iz
Βιβλιοθήκη Baidu
27.3 MPa
本题
可不必计算
车大梁AB由20a1号70工M字Pa钢制成， 1试00校M核Pa梁的强度。
P
解: 査表 Wz 237 106 m3
A
B
Iz 17.2102 m d 7103m
Sz max
当荷载移至跨中时：M max
Pl 4
37.5kN
m
max
M max Wz
例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试
求当最大正应力为最小时的支座位置。
q
解：作弯矩图
支座位置直接影响支座截面和跨
中截面上的弯矩值。当中性轴为截
a
a
面的对称轴，最大拉、压应力相等
l
时，只有支座处截面与跨中截面之
弯矩的绝对值相等，才能使该梁的
ql2 qla
最大弯矩的绝对值为最小，从而使 其最大正应力为最小。
220 60 (70 30)2
99.3106 mm4 99.3106 m4
Pl 80 2 Mmax 4 4 40kN m
还max需校M m核Iaxz 最y1大 2工8.3作MP压a 应＜ 力吗 ？30M梁Pa满足强度要求
例13:图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P =20kN。试在下
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力
C
MC Wz
15MPa
应变值
C
E
15 106 200 109
7.5 105=75με
q 40 kN / m
A
C
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
该梁满足强度条件，安全 20
例7：图示铸铁梁，许用拉应力[σ+ ]=30MPa，
许用压应力[σ- ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，
试校核此梁的强度。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
4 kN
第六章
圆环：
复 习
I y I z I z大 I z小
D4 d 4
64 64
D4 (1 4 )
64
其中 d
D
y
z
d D
bh3 I Z 12
d4
I Z 64
WZ
bh2 6
WZ
d 3
32
h
Z
b
d
Z
IZ
(D4
64
d4)
D4
64
(1 4 )
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长
为 10 mm，E=10GPa，求载荷 P 的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 ( x) d x l/2 M ( x) d x
0E
0 Wz E
l/2 P x
q 20 kN / m
A
4m
Bd
解:
跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大
FS max 40kN,
M max
ql 2 8
40 kN m
由正应力强度条件：
max
M max Wz
[ ]
即
得 d 137 mm
40 103
d3
160 106
32
由剪应力强度条件： max
La 2
副梁CD
P
C
D
a
M
Pa M max CD 4
主梁AB的最大弯矩 副梁CD的最大弯矩
P M max AB 4 (l a)
Pa M max CD 4
由 M max AB M max CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
例5：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应
82
⊕
qa2
qa2
2
2
ql2 qla qa2
82 2
取有效值 a 0.207 l
例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力
均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力
强度条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
P1 P2
P
h
z
b
l
z
h b
(b) (a)
解：
max 1
M max 1 Wz 1
M max bh 2
6
可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD
的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料 相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？
a Pa
C2 A
2D B
l
l
2
2
解：
主梁AB
P 2
A
P 2
B
La M2
M max AB
P (l a) 4
max
3 2
FS A
3P 2 bh
τ
设梁达到了许用载荷[P]
中性轴处：
max
3 2
[P] bh
3bh2[ ]
2bh 6l
[ ]h
4l
全梁中性层上的剪力： 由螺栓剪切强度条件：
FS
bl
bh[
4
]
FS
A螺
bh[ ]
4
d2
压应力分别为
30MPa 和 90MPa
试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的
一个参数 ，并校核此梁的强度。 P=80kN
A 1m 2m
B y2
y1
220
z
60
220
解：设z轴过形心 最为合理时
y1 70mm
y1 y2
max
max
C max
为什么？
B max
4 88 Iz
46.1MPa
例8：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应
变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性 模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
解：C点的应力 C E 200 103 6 104
y2 210mm
P=80kN
A
B y2
220
1m 2m
y1
z
60
220
220 (60 220) 60 22030
y1
2
220 60 220
70mm
=24mm
Iz
24 2203 12
24 220 (210 110)2
220 603 12
列三种截面形状下，比较所耗材料：
140MPa
(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。
P=20kN 解:作弯矩图 Mmax P l 20kN m
l 1m
由强度条件
max
M max Wz
Wz
M max
20103 140 106
（使Wz最大）
dh b
解： b2 h2 d 2
bh2 b(d 2 b2 )
Wz 6
6
Wz d 2 b2 0 b 6 2
由此得 b d
3 h d2 b2 2 d
3
h 2 ≈3:2
b
dh b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、
个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许
解: 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
一、两梁叠放承载
l
FS
P
M
P b
时，每梁将各自弯曲两
梁都有自己的中性层
h
2
h
每梁的最大正应力：
2
M max
max
2 W
其中：
W
b
h
2
2
bh2
6 24
Pl
max
M max 2W
4 3
FS max A
[ ]
即
4 3
40 103
d2
100 106
得
d 26.1mm
4
q 20 kN / m
A
Bd
所以 dmin 137 mm
4m
例16：两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图
所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两
WZ
D3
32
(1 4 )
Z
d D
横截面上的最大正应力：
max
M y1 IZ
max
M y2 IZ
y2 y1
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
max
max
max
max
M ymax IZ
M WZ
y
Wz
Iz y max
Wz: 抗弯截面模量
m3
143cm3
Pl
(1)矩形
Wz
bh2 6
b=6cm h=12cm
A1 72cm2
(2)圆形
Wz
d3
32
d≈11.3cm
A2 100cm2
(3)工字形 查型钢表，取16号工字钢
Wz 141cm3 A3 26.1cm2
例14：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载
F
已知b=2m , 30MPa 90MPa Iz 5493104 mm4
F
qFb
120
A
40
C
B
D
b
b
b
180
86
z
134
解:求出中性轴位置 作弯矩图
Fb/4
20
y 20
⊕
分析可知，不论截面B或截面C，梁的强度
均由最大拉应力控制
F 2m 0.134m
Fb/2
C max
4 5493108 m4
30106 Pa
F 24.6kN
F 2m 0.086m
120MPa
C截面的弯矩 MC C Wz 640 N m
由 MC 0.5RA 0.5 0.4P 0.2P 640 N m
得 P 3.2kN
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
例9：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下
边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试 问该应变片所测得的应变值应为多大？